RSA算法描述
RSA算法
RSA算法它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。
它易于理解和操作，也很流行。
算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。
但RSA的安全性一直未能得到理论上的证明。
它经历了各种攻击，至今未被完全攻破。
一、RSA算法:首先, 找出三个数, p, q, r,其中p, q 是两个相异的质数, r 是与(p-1)(q-1) 互质的数......p, q, r 这三个数便是private key接著, 找出m, 使得rm == 1 mod (p-1)(q-1).....这个m 一定存在, 因为r 与(p-1)(q-1) 互质, 用辗转相除法就可以得到了.....再来, 计算n = pq.......m, n 这两个数便是public key编码过程是, 若资料为a, 将其看成是一个大整数, 假设 a < n....如果a >= n 的话, 就将 a 表成s 进位(s <= n, 通常取s = 2^t),则每一位数均小於n, 然後分段编码......接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),b 就是编码後的资料......解码的过程是, 计算c == b^r mod pq (0 <= c < pq),於是乎, 解码完毕...... 等会会证明c 和a 其实是相等的:)如果第三者进行窃听时, 他会得到几个数: m, n(=pq), b......他如果要解码的话, 必须想办法得到r......所以, 他必须先对n 作质因数分解.........要防止他分解, 最有效的方法是找两个非常的大质数p, q,使第三者作因数分解时发生困难.........<定理>若p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),a 是任意一个正整数,b == a^m mod pq,c == b^r mod pq,则c == a mod pq证明的过程, 会用到费马小定理, 叙述如下:m 是任一质数, n 是任一整数, 则n^m == n mod m(换另一句话说, 如果n 和m 互质, 则n^(m-1) == 1 mod m)运用一些基本的群论的知识, 就可以很容易地证出费马小定理的........<证明>因为rm == 1 mod (p-1)(q-1), 所以rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中k 是整数因为在modulo 中是preserve 乘法的(x == y mod z and u == v mod z => xu == yv mod z),所以, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq1. 如果a 不是p 的倍数, 也不是q 的倍数时,则a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pa^(q-1) == 1 mod q (费马小定理) => a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q 所以p, q 均能整除a^(k(p-1)(q-1)) - 1 => pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1即a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq2. 如果a 是p 的倍数, 但不是q 的倍数时,则a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)=> a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q=> q | c - a因p | a=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p=> p | c - a所以, pq | c - a => c == a mod pq3. 如果a 是q 的倍数, 但不是p 的倍数时, 证明同上4. 如果a 同时是p 和q 的倍数时,则pq | a=> c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq=> pq | c - a=> c == a mod pqQ.E.D.这个定理说明a 经过编码为b 再经过解码为c 时, a == c mod n (n = pq)....但我们在做编码解码时, 限制0 <= a < n, 0 <= c < n,所以这就是说a 等於c, 所以这个过程确实能做到编码解码的功能二、RSA 的安全性RSA的安全性依赖于大数分解，但是否等同于大数分解一直未能得到理论上的证明，因为没有证明破解RSA就一定需要作大数分解。
RSA加密算法原理及RES签名算法简介
RSA加密算法原理及RES签名算法简介第⼀部分：RSA原理与加密解密⼀、RSA加密过程简述A和B进⾏加密通信时,B⾸先要⽣成⼀对密钥。
⼀个是公钥，给A，B⾃⼰持有私钥。
A使⽤B的公钥加密要加密发送的内容，然后B在通过⾃⼰的私钥解密内容。
⼆、RSA加密算法基础整个RSA加密算法的安全性基于⼤数不能分解质因数。
三、数学原理(⼀) 互质关系：两个数a和b没有除1外的其他公约数，则a与b互质1. 任意两个质数构成互质关系2. 两个数中，如果⼤数为质数，则两数必定互质3. 1和任意整数互质4. 当p>1时，p与p-1互质(相邻两数互质)5. 当p=2n+1(n>0且n为整数)时，p与p+2互质(相连的两个奇数互质)(⼆) 求欧拉函数：定义：与正整数n互质且⼩于正整数n的正整数的个数。
通常使⽤ψ(n)表⽰。
求取与正整数n互质的正整数的个数ψ(n),且ψ(n)满⾜ψ(n)∈(2,n)1. 如果n=1,则ψ(n)=12. 如果n是质数,则ψ(n)=n-13. 如果n是质数p的次⽅,则：ψ(p^k)=p^k-p^(k-1) = p^k*(1-1/p)4. 若p1和p2互质,n=p1*p2,则ψ(n)= ψ(p1*p2)= ψ(p1) ψ(p2)5. 任意⼀个⼤于1的正整数都可以写成⼀系列质数的积6. 根据定理5，推导欧拉定理：因为n = (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr) (p1~pr都是质数)所以ψ(n)= ψ((p1^k1)) ψ(p2^k2) ……ψ(pr^kr) 定理4ψ(n)= (p1^k1)*(1-1/p1) * (p2^k2)(1-1/p2)……(pr^kr)*(1-1/pr) 定理3ψ(n)= (p1^k1)* (p2^k2)*……(pr^kr) * (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)ψ(n)=n (1-1/p1) (1-1/p2)…… (1-1/pr)(三) 欧拉定理：正整数a与n互质，则下式恒成⽴a^ψ(n) ≡1(mod n)即：a的ψ(n)次幂除以n,余数恒为1(四) 模反元素如果两个正整数a和n互质,则必定存在整数b使得a*b-1被n除余数为1ab ≡1(mod n)其中b被称为a的模反元素四、RSA算法详解：假设A和B要通信(⼀) ⽣成密钥1. 公钥1) 随机⽣成两个不相等的质数p和q(质数越⼤越安全)2) 计算n,n=p*q 则n的⼆进制位数就是密钥的长度。
RSA运算原理介绍
RSA运算原理介绍RSA（Rivest-Shamir-Adleman）是一种非对称加密算法，主要用于保护通信和数据的安全性。
它是由Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman于1977年合作开发的，被广泛应用于互联网中的安全协议，如HTTPS、S/MIME和SSH等。
RSA算法基于两个数论原理：欧拉函数和大素数的难以分解性。
其基本原理如下：1.密钥的生成：（1）选择两个大素数p和q，这两个数的乘积n被称为模数。
（2）计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)(q-1)。
（4）计算中国剩余定理的参数：计算 d = e的模φ(n)的乘法逆元。
也就是说，找到一个整数d，满足ed ≡ 1 (mod φ(n))。
（5）至此，我们得到了公钥(n,e)和私钥(n,d)。
2.加密过程：（1）对于待加密的明文M，将其转化为整数m。
（2）计算密文c，通过公式：c ≡ m^e (mod n)。
其中^是表示幂运算，mod表示取模运算。
（3）将密文c发送给接收方。
3.解密过程：（1）接收到密文c。
（2）利用私钥(n, d)计算明文m，通过公式：m ≡ c^d (mod n)。
（3）将明文m转换为原始明文M。
RSA算法的安全性基于两个数论问题的困难性：（1）大整数分解问题：将一个大的合数n分解为两个素数p和q的乘积。
这个问题在现有的算法中是非常耗时的，因此大的素数对是安全性的基础。
（2）模取幂运算问题：通过已知的底数、指数和模数，计算模取幂运算的结果是容易的。
但如果只给定模和幂，计算底数是困难的。
RSA加密算法通过将消息的整数表示与指数相乘并取模，从而保护了消息的机密性。
RSA算法的性能因素：（1）密钥的长度：一般来说，密钥越长，RSA算法的安全性越强，但加解密的性能也会降低。
（2）模的大小：模的大小应该适当选择，过小会导致安全性降低，过大会增加计算开销。
（3）加解密的性能：由于RSA算法的性能较差，所以通常会使用RSA与对称加密算法（如AES）结合，同时保证安全性和效率。
rsa算法基本原理
rsa算法基本原理RSA算法基本原理RSA是一种非对称加密算法，它的基本原理是利用大素数的因数分解困难性来实现加密和解密的过程。
RSA算法由三个步骤组成：密钥生成、加密和解密。
1. 密钥生成RSA算法中，首先需要生成一对密钥：公钥和私钥。
公钥用于加密数据，私钥用于解密数据。
密钥的生成过程如下：1.1 选择两个大素数p和q，并计算它们的乘积n=p*q。
n的长度决定了RSA算法的安全性。
1.2 计算n的欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
1.3 选择一个与φ(n)互质的整数e，1 < e < φ(n)。
1.4 计算e关于φ(n)的模反元素d，即满足e*d ≡ 1 (mod φ(n))的整数d，1 < d < φ(n)。
1.5 公钥为(n, e)，私钥为(n, d)。
2. 加密加密过程是指使用公钥对原始数据进行加密的过程。
加密过程如下：2.1 将原始数据转换为整数m，满足0 ≤ m < n。
2.2 计算密文c ≡ m^e (mod n)，即对m进行模n的指数操作。
2.3 密文c即为加密后的数据。
3. 解密解密过程是指使用私钥对密文进行解密的过程。
解密过程如下：3.1 计算明文m ≡ c^d (mod n)，即对密文c进行模n的指数操作。
3.2 明文m即为解密后的数据。
RSA算法的安全性基于大整数的因子分解问题的困难性，因为在当前计算能力下，对于非常大的整数进行因子分解是非常耗时的。
这使得RSA算法在现实应用中具有较高的安全性。
除了加密和解密外，RSA算法还可以用于数字签名和密钥协商等领域。
数字签名是指用私钥对数据进行签名，然后用公钥进行验证，以确保数据的完整性和来源可靠性。
密钥协商是指两个通信方通过交换公钥来协商出一个共享的对称密钥，以便进行后续的加密通信。
总结一下，RSA算法是一种基于大整数的非对称加密算法，利用大素数的因子分解困难性来实现数据的加密和解密。
它的安全性建立在大整数因子分解问题的困难性上，适用于保护数据的机密性、完整性和来源可靠性。
rsa加密算法详解及例题
RSA加密算法详解及例题
RSA加密算法是一种非对称加密算法，其安全性基于对极大整数做因数分解的困难性。
以下是RSA加密算法的详解及例题：
1. 密钥生成：
* 随机选择两个质数P和Q，越大越安全。
* 计算它们的乘积N=P*Q。
* 计算欧拉函数φ(N)=(P-1)*(Q-1)。
* 随机选择一个整数E，条件是1<E<φ(N)，且E与φ(N)互质。
* 计算E对于φ(N)的模反元素D，使得EDmodφ(N)=1，即D=E-1modφ(N)。
* 公钥为(E, N)，私钥为(D, N)。
2. 加解密过程：
* 加密：明文M进行加密后得到密文C，计算公式为C=MemodN。
* 解密：将密文C进行解密后得到明文M，计算公式为M=CdmodN。
例题：在RSA加密体制中，已知素数P=7，Q=11，公钥E=13，试计算私钥D并给出对明文M=5的加密，求其密文。
解：首先，根据上述算法进行密钥生成。
根据素数P和Q得到N=77。
计算φ(N)=60。
因为E小于φ(N)且与φ(N)互质，选择E=13作为公钥。
根据公式计算D模反元素得到D=7。
现在有公钥(E, N)=(13, 77)和私钥(D, N)=(7, 77)。
接下来，用公钥加密明文M=5得到密文C=5^13mod77=15。
所以，密文为15。
此例题仅展示了RSA加密算法的基本原理和步骤，实际应用中需要考虑更多安全因素和操作细节。
RSA和DES加密算法详解
RSA算法可以用于生成数字签名，验证数据的完整性和来源，确保数据在传输过程中未 被篡改或伪造。
密钥管理
RSA算法可以用于密钥分发和交换，确保通信双方能够安全地共享密钥，进行加密通信。
DES的应用场景
保护金融交易
DES加密算法曾广泛应用于金融交易中，如 信用卡交易和银行转账，保护敏感信息不被 非法获取。
加密过程
将明文转换为数字后，使用公钥(e,n)进行加密，得到密文。解密过程则使用私钥(d,n)进行解密，还原出明文。
RSA算法的安全性
安全性基于大数因子分解
RSA算法的安全性主要基于大数因子分解的困难性。即使攻击者知道了公钥和密文，也很难通过计算 得到原始的明文。
密钥长度决定安全性
RSA算法的安全性取决于密钥长度。一般来说，密钥长度越长，RSA算法的安全性就越高。目前常用 的RSA密钥长度为2048位，被认为是足够安全的。
缺点
01
计算开销大
RSA加密算法相对于DES加密算法需要更多的计算资源和时间，因此在
处理大量数据时可能效率较低。
02
密钥长度较长
为了达到足够的安全强度，RSA加密算法通常需要较长的密钥长度（例
如2048位），这会增加实现和存储密钥的难度和成本。
03
可能遭受侧信道攻击
虽然RSA加密算法本身不容易遭受侧信道攻击，但在某些实现中可能会
暴露密钥信息，从而遭受攻击。
05
DES加密算法的优缺点
优点
安全性高
DES加密算法使用56位密钥，在256次试验中密和解密过程中速度较 快。
易实现
DES算法易于理解和实现，因此在许多编程语言中都 有现成的库可供使用。
缺点
密钥长度短
简述rsa算法描述
简述rsa算法描述RSA算法是一种非对称加密算法，由三位数学家Rivest、Shamir 和Adleman在1977年提出。
RSA算法的安全性基于大数分解的困难性，即将一个大的合数分解成两个质数的乘积的难度。
RSA算法被广泛应用于数字签名、密钥交换、数据加密等领域。
RSA算法的加密过程如下：1. 选择两个大质数p和q，计算它们的乘积n=p*q。
2. 计算欧拉函数φ(n)=(p-1)*(q-1)。
3. 选择一个整数e，使得1<e<φ(n)且e与φ(n)互质。
4. 计算e关于模φ(n)的乘法逆元d，即满足ed≡1(mod φ(n))的最小正整数d。
5. 公钥为(n,e)，私钥为(n,d)。
6. 加密明文m，得到密文c，公式为c=m^e(mod n)。
RSA算法的解密过程如下：1. 使用私钥(n,d)解密密文c，得到明文m，公式为m=c^d(mod n)。
RSA算法的安全性基于大数分解的困难性，即将一个大的合数分解成两个质数的乘积的难度。
因为RSA算法的安全性依赖于大数分解的困难性，所以RSA算法的安全性也受到了量子计算机的威胁。
量子计算机可以在多项式时间内分解大数，从而破解RSA算法。
因此，研究量子安全的加密算法是当前的热点问题。
除了RSA算法，还有其他的非对称加密算法，如椭圆曲线加密算法、Rabin加密算法等。
这些算法都有各自的优缺点，应根据具体的应用场景选择合适的算法。
RSA算法是一种非常重要的加密算法，被广泛应用于数字签名、密钥交换、数据加密等领域。
随着量子计算机的发展，研究量子安全的加密算法将成为未来的热点问题。
RSA算法
RSA算法非常简单，概述如下：找两素数p和q取n=p*q取t=(p-1)*(q-1)取任何一个数e,要求满足e<t并且e与t互素（就是最大公因数为1）取d*e%t==1这样最终得到三个数：n d e设消息为数M (M <n)设c=(M**d)%n就得到了加密后的消息c设m=(c**e)%n则m == M，从而完成对c的解密。
注：**表示次方,上面两式中的d和e可以互换。
在对称加密中：n d两个数构成公钥，可以告诉别人；n e两个数构成私钥，e自己保留，不让任何人知道。
给别人发送的信息使用e加密，只要别人能用d解开就证明信息是由你发送的，构成了签名机制。
别人给你发送信息时使用d加密，这样只有拥有e的你能够对其解密。
rsa的安全性在于对于一个大数n，没有有效的方法能够将其分解从而在已知n d的情况下无法获得e；同样在已知n e的情况下无法求得d。
<二>实践接下来我们来一个实践，看看实际的操作：找两个素数：p=47q=59这样n=p*q=2773t=(p-1)*(q-1)=2668取e=63，满足e<t并且e和t互素用perl简单穷举可以获得满主e*d%t ==1的数d：C:/Temp>perl -e "foreach $i (1..9999){ print($i),last if $i*63%2668==1 }"847即d＝847最终我们获得关键的n=2773d=847e=63取消息M=244我们看看加密：c=M**d%n = 244**847%2773用perl的大数计算来算一下：C:/Temp>perl -Mbigint -e "print 244**847%2773"465即用d对M加密后获得加密信息c＝465解密：我们可以用e来对加密后的c进行解密，还原M：m=c**e%n=465**63%2773 ：C:/Temp>perl -Mbigint -e "print 465**63%2773"244即用e对c解密后获得m=244 , 该值和原始信息M相等。
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(1)、RSA算法描述
❒RSA公钥密码体制的基本原理：根据数论，寻求两个大素数比较简单，而将他们的乘积分解开则极为困难。
欧拉函数Φ(n)：Φ(n)表示小于n且与n 互素的正整数个数。
显然，对于任一素数p，有Φ(p) = p-1。
求欧拉函数值：对两个不同的素数p 和q，如果n=pq，则Φ(n) = Φ(p)×Φ(q) = (p-1)×(q-1)
❒RSA算法密钥计算过程：
用户秘密选取两个大素数p 和q，计算n=pq，n称为RSA 算法的模数，公开。
计算出n的欧拉函数Φ(n) = (p-1)×(q-1)，保密。
从(1, Φ(n))中随机地选择一个与Φ(n)互素的数e作为加密密钥，公开。
计算出满足下式的d 作为解密密钥，保密。
ed=1 mod Φ(n)
R SA算法密钥：
加密密钥PK = |e, n| 公开
解密密钥SK = |d, n| 保密
举例：选择两个素数p=7 以及q=17。
计算：n=pq=7×17=119，Φ(n)=(p-1)(q-1)=96 。
选择小于Φ(n)且与Φ(n)互素的e ，这里取e=5 。
根据式：ed=1 mod Φ(n) 计算d ：
代入已知值：5d = k×96 + 1，求得d = 77
❒RSA算法加密解密过程：
R SA算法属于分组密码，明文在加密前要进行分组，分组的值m 要满足：0<m <n
加密算法：C = E(m) ≡me mod n
解密算法：m = D(c) ≡cd mod n
证明加密和解密是一对逆运算：
欧拉定理：对任何互素的整数a 和n，有：
aΦ(n) ≡1 mod n →aΦ(n)＋1 ≡a mod n 欧拉定理推论：给定两个素数p 和q，以及整数n=pq 和m，其中0<m <n ，则下列关系成立：
mΦ(n)＋1 ≡m mod n →mΦ(n) ≡1 mod n →[ mΦ(n) ]k ≡1 mod n →mkΦ(n) ≡1 mod n
证明：因为ed = 1 mod Φ(n)，所以存在k使得
ed = kΦ(n)+1，k为不小于1的整数。
D(c) = cd mod n≡(me)d mod n
≡mkΦ(n)+1 mod n ≡m mod n = m
❒RSA算法的几点说明：
对于RSA算法，相同的明文映射出相同的密文。
R SA算法的密钥长度：是指模数n的长度，即n的二进制位数，而不是e或d的长度。
R SA的保密性基于大数进行因式分解很花时间，因此，进
行RSA加密时，应选足够长的密钥。
512bit已被证明不安全，1024bit也不保险。
R SA最快情况也比DES慢100倍，仅适合少量数据的加密。
公钥e取较小值的方案不安全。
❒RSA算法的实现：
大素数的生成(p,q)：采用先随机生成大奇数，然后检验其是否为素数。
Rabin Miller算法。
幂运算和大数除法：加解密运算。
R SA算法参数的选择：
模数n与素数p,q，加密密钥e 和解密密钥d。