运筹学_单纯形法_的应用举例
设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并 连续工作八小时，问该公交线路怎样安排司机和乘务人员， 既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?
2010年8月
管理工程学院
《运筹学》
16
解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人
员数, 这样我们建立如下的数学模型。
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 ≥ 60 x1 + x2 ≥ 70 x2 + x3 ≥ 60 x3 + x4 ≥ 50 x4 + x5 ≥ 20 x5 + x6 ≥ 30 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ≥ 0
x11+ x12+ x13+
x21 + x22 + x23 +
x31 ≤ 100 x32 ≤ 100 x33 ≤ 60
(供应量限制） (供应量限制） (供应量限制）
xij ≥ 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3
2010年8月
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12
例.汽油混合问题。一种汽油的特性可用两种指标描述，用“辛烷数”来定 量描述其点火特性，用“蒸汽压力”来定量描述其挥发性。某炼油厂有1、2、 3、4种标准汽油，其特性和库存量列于表4-6中，将这四种标准汽油混合， 可得到标号为1，2的两种飞机汽油，这两种汽油的性能指标及产量需求列于 表4-7中。问应如何根据库存情况适量混合各种标准汽油，既满足飞机汽油 的性能指标，又使2号汽油满足需求，并使得1号汽油产量最高？
(x11+x21+x31)≤100
(x12+x22+x32)≤100
(x13+x23+x33)≤60
通过整理，得到以下模型：
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11
目标函数：Max z = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33 约束条件： s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 ≥ 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 ≤ 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 ≥ 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 ≤ 0 （原材料2不超过50%）
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《运筹学》
丙使用的原料单价*原料数量，故有 目标函数
9
利润=总收入-总成本=甲乙丙三种产品的销售单价*产品数量-甲乙
Max 50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33） -65（x11+x21+x31）-25（x12+x22+x32）-35（x13+x23+x33） = -15x11+25x12+15x13-30x21+10x22-40x31-10x33
不小于 100 2010年8月
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解：设xij为飞机汽油i中所用标准汽油j的数量(L)。 x11 x12 x13 x14 目标函数为飞机汽油1的总产量： 库存量约束为： x11 x21 380000 x12 x22 265200
13
x13 x23 408100 x14 x24 130100
《运筹学》
1
要制作100套钢筋架子，每套有长2.9m、2.1 m和1.5m的钢筋各一根。已知原材料长7.4m， 应如何切割，使用原材料最节省。 解：所谓合理利用原材料，就是要使料头总 长最少。表1.14是节省材料的几种较好方案。
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2
设按Ⅰ种方案下料的原材料数x1根，方案Ⅱ 用x2根，方案Ⅲ用x3根，方案Ⅳ用x4根，方 案Ⅴ用x5根， 根据表1-14可列出约束条件：
解：设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样 我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量限制 3 个。
11 12 13 14
j 1
2.85 x21 1.42 x22 4.27 x23 18.49 x24 0
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综上所述，得该问题的数学模型为：
14
max
x11 x12 x13 x14
x21 x22 x23 x24 250000 x x 380000 21 11 x12 x22 265200 408100 x13 x23 x x 130100 14 24 2.85 x11 1.42 x12 4.27 x13 18.49 x14 0 2.85 x21 1.42 x22 4.27 x23 18.49 x24 0 16.5 x11 2 x12 4 x13 17 x14 0 7.5 x 7 x 13 x 8 x 0 21 22 23 24 xij 0, (i 1, 2; j 1, 2, 3, 4)
目标是使用料最少，即
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3
◆ 方案选择。 某厂计划期分为n各阶段，在第j(j=1,…,n)个 阶段，生产上要用rj个专用工具。到阶段末， 凡在这个阶段内使用过的工具都应该送去修 理后才能再使用。修理分两种，一是慢修， 即等某种规格工具积压到一定批量后集中修， 每件b元，需要p个阶段能取回。二是送去后 立即修，这样费用贵一些，每件c(c>b)元， q(q>p)个阶段可取回。新购一个这样的工具 需a(a>c)元。
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5
所以上述问题可描述为下面线性规划模型：
xj= rj
(j=1,…,q+1)
xj+ zj-q-1= rj
(j=q+2,…,p+1)
xj+ zj-q-1 +yj-p-1 = rj (j=p+2,…,n) yj+ zj + sj + sj-1 = rj (j=1,…,n) yj=0 zj=0 (j≥n -p) (j≥n-q)
标准汽 油
表
辛烷数
107.5 93.0
蒸汽压力(g/cm2)
7.11×10-2 11.38 ×10-2
库存量(L)
380000 265200
1 2
表
4---6
3
4 飞机汽 油 1 2
4---7
87.0
108.0 辛烷数 不小于91
5.69×10-2
28.45 ×10-2
408100
130100
蒸汽压力(g/cm2) 产量需求 不大于9.96 ×10-2 不大于9.96 ×10-2 越多越好 不少于 250000 管理工程学院
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4
用xj表示第j个计划阶段新购的工具数； yj表示第j阶段末送去慢修的工具数； zj表示第j阶段末送去快修的工具数； sj表示j阶段木工具的存储数。 则每个阶段需用的工具数rj有以下关系式 rj= yj+ zj + sj + sj-1 (j=1,…,n) rj= xj (j=1,…,q+1) rj= xj+ zj-q-1 (j=q+2,…,p+1) rj= xj+ zj-q-1 +yj-p-1 (j=p+2,…,n) 且yn-p= yn-p+1=…= yn=0 zn-q= zn-q+1=…= zn=0
x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 28 x3 + x4 + x5 + x6 ≥ 15 x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 24 x5 + x6 + x7 + x1 ≥ 25 x6 + x7 + x1 + x2 ≥ 19 x7 + x1 + x2 + x3 ≥ 31 x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 28 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
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18
解：设 xi ( i = 1,2,…,7)表示星期一至日开始 休息的人数,这样我们建立如下的数学模型。 目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +
x7
约束条件：s.t.
x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
+ + + + + + +
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19
◆生产问题 某公司面临一个是外包协作还是自行生产的 问题。该公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过 铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸 件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本 厂铸造才能保证质量。数据如表。问：公司为了获得 最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、 乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各 应多少件？
运筹学单纯形法
只要取 x5=min{-，8/2，12}=4 就有上式成立。 x5=4时， x4=0，故决定用x5换x4 x1 =4- 1/4 x4 x5 =4-1/2 x4 +2 x3 x2 =2+1/8 x4–1/2 x3 代入得 z=14-3/2 x3 –1/8 x4 ，令x3 ，x4=0得z=14。新基可 行解为 X(3) =(4,2,0,0,4) T –为最优解，新顶点Q2 最优目标值z=14 。
§3.4 最优性检验和判别定理
线性规划解的四种可能： 1、有唯一解； 2、无穷多最优解； 3、无界解； 4、无可行解。 何时达最优解, 何种最优解？
将基本可行解X(0)和X(1)分别代入目标函数得
z z
(0)
= ∑ ci xi0
i =1 m
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1)
= ∑ ci [ xi0 − θ aij ] + θ ci
§3.3 从初始基可行解转换为另一基可行解
0 0 记初始基可行解为X(0),有 X ( 0 ) = (x10 x 2 L x m 0 L 0
)
Pi xi0 = b 该解满足约束方程, 即 ∑
i =1
m
(1)
非基向量可以用基向量的线性组合表示
Pj = ∑ aij Pj
i =1 m
m
(2) (3)
Pj − ∑ aij Pj = 0
从实际例子中分析单纯形法原理的基本框架为 •第一步：将LP线性规划变标准型，确定一个初始可行解 （顶点）。 •第二步：对初始基可行解最优性判别，若最优，停止；否 则转下一步。 •第三步：从初始基可行解向相邻的基可行解（顶点）转 换，且使目标值有所改善—目标函数值增加，重复第二和 第三步直到找到最优解。
运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
15单纯形法(运筹学)
1
2
3
4
X(1)= (2,3) X(2)= (4,2)
全部解： 全部解：X=α
(1) -4 0 1 -2 0
14
15
本问题无界。 本问题无界。 X2
O
X1
Z=0
16
1.5.4 初始基本可行解的求法 (一)、大M法： 一、 法 例1 ： maxZ= 6X1 +4X2 2X1 +3X2 ≤ 100 4X1 +2X2 ≤ 120 X1 X1 X2 ≥0
=14
X2 ≥ 22
17
λj <0
8
(3)、 (3)、maxZ=10X1 + 12X2 3X1+4X2 ≤ 6 4X1+ X2 ≤ 2 3X1 +2X2 ≤ 3 X1 , X2 ≥0
9
10
X =(0, 3/2, 0, 1/2, 0)T Zmax=18
退化解
*
11
例：maxZ= -3/4X4+20X5 -1/2X6+6X7 X1+1/4X4 -8X5 -X6+9X7 =0 X2+1/2X4-12X5 -1/2X6+3X7 =0 X3+X6 =1 X1 … X7 ≥0 (P1 P2 P3) → (P4 P2 P3) → (P1 P2 P3) → (P4 P5 P3) → (P6 P5 P3) → (P6 P7 P3) → (P1 P7 P3)
运筹学及其应用4.3 对偶单纯形法
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 x1+2x2+ x3-x4＝ 1 2x1- x2+3x3– x5＝4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
min w= 2x1+3x2+4x3+0x4+0x5 -x1-2x2- x3+x4＝ -1 -2x1+x2-3x3+x5＝ -4 x1,x2,x3,x4,x5≥ 0
4
234 000
0
x1 x2 x3 x4 -1 -2 -1
x4 x5 b 1 0 -1
max
2 −2
4 ，
−3
=
−1
0 x5 -2* 1 -3 0 1 -4
σ 234 000
0 x4 0 -2.5 0.5 1 -0.5 1
2 x1 1 -0.5 1.5 0 -0.5 2
σ 0 4 1 0 1 -4
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格； (2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
1
步骤：(1)保持σj ≥ 0，j= 1,···,n，确定XB，建立计算表格；
(2)判别XB = B-1b ≥ 0是否成立？ ①若成立，XB为最优基变量； ②若不成立，转(3)；
5
• 作业 • P81 1.12(1)
6
§3 对偶单纯形法
单纯形法：由 XB = B-1b ≥ 0，使σj ≥ 0，j = 1,···,m 对偶单纯形法：由σj ≥ 0(j= 1,···,n)，使XB = B-1b ≥ 0 相同点：都用于求解原问题
单纯形法的几种特殊情况
达不到最优解。
下面一个是由E.Beale给出的循环的例子。
例5
目标函数
min f =－（3/4）x4+20x5－（1／2）x6+6x7.
约束条件：x1+（1／4）x4－8x5－x6+9x7=0，
x2+（1／2）x4－12x5－（1／2）x6+3x7=0，
x3+x6=1，
x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7≥0.
50 150 250
12500
50/1 150/2 —
50 50 250
15000
— 50/1 250/1
8
§4 几种特殊情况
这样我们求得了最优解为x1=50,x2=250,s1=0,s2=50,s3=0,此线性规划的 最优值为15000。这个最优解是否是惟一的呢？由于在第2次迭代的检验数
中除了基变量的检验数 1,2,4 等于零外，非基变量s3的检验数也等
30 0 20 1 -M 0
1
1/10
-3/10
0
0
0
-7/10
-1
1
zj
20
30
3+M/10 11+7M/10
M
-M
cj-zj
0
0
-3-M/10 -11-7M/10
-M
0
管理运筹学
b
比值
150 30 40
-40M
150/10 — 40/1
15
15/(3/10)
30
30/1
25
25/(7/10)
例4.用单纯形表，求解下列线性规划问题。
解：加上松驰变量s1,s2,s3化为标准形式后，
运筹学应用案例
运筹学应用案例运筹学是一门应用数学，研究如何在资源有限的情况下，最优地组织和管理这些资源。
运筹学的应用范围非常广泛，涉及到各个领域。
以下是一个关于运筹学应用的实际案例。
某公司是一家制造业企业，主要生产产品A和产品B。
这家公司有两个生产车间和一个物流中心，每个车间配备了不同的生产设备。
公司的目标是最大化利润。
产品A在车间1中生产，车间1的生产设备可以在一小时内生产5个单位的产品A。
产品B在车间2中生产，车间2的生产设备可以在一小时内生产4个单位的产品B。
物流中心负责将产品A和产品B运送到市场，物流中心的运输能力为每小时20个单位。
同时，公司还面临一个资源的限制，即每天生产的产品A和产品B的总数不能超过400个单位。
另外，公司还有一个库存的限制，即每天生产的产品A和产品B的总数不能超过600个单位。
为了系统地解决这个问题，公司决定使用运筹学的方法进行决策。
首先，公司需要确定目标函数。
由于公司的目标是最大化利润，所以可以将目标函数定义为利润函数。
假设公司每个单位的产品A的利润为10美元，每个单位的产品B的利润为8美元。
那么公司的目标函数可以定义为：Z=10A+8B。
然后，公司需要确定约束条件。
根据资源的限制，可以得到以下约束条件：A≤5×小时数（车间1的生产能力）B≤4×小时数（车间2的生产能力）A+B≤400（每天生产的总数限制）A+B≤600（库存的限制）20A+20B≤600（物流中心的运输能力）接下来，公司需要确定变量的取值范围。
由于产量和库存数量为实数，所以可以将A和B的取值范围定义为非负实数。
最后，公司需要使用线性规划算法来求解最优解。
线性规划算法可以通过求解目标函数的最大值来找到最优解。
在这个案例中，可以使用单纯形法来求解最优解。
通过使用运筹学的方法，公司可以得到最优的生产和运输计划，以最大化利润。
对于公司而言，这个案例展示了如何在资源有限的情况下，通过合理的规划和管理，实现最优的生产和销售策略。
运筹学单纯形法
单纯形表
max z=x1+2x2 s.t. x1+x23 x2 1 x1, x2 0
Cj CB XB b 0 0 Z X3 3 X4 1 0 1 2 0 0
标准化
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2 ,x3, x40
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 1 2 1 0 0 0 1 0
Z=x1+2x2 x1+x2+ x3 =3 x2 +x4=1 单纯形表
Cj
1
2
0
0
单纯形法原理 单纯形表 CB XB b
z=x1+2x2 x3 =3-x1-x2 x4=1 -x2
x2进基，x4离基
X1 X2 X3 X4
3/1 11
0
1 0
1 1
1 1
2 2 0 1 0 2 0 1 0 0 1 0 -1 0
max z=x1+2x2 s.t. x1+x2+x3 =3 x2 +x4=1 x1, x2, x3, x40
x1=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,1,2,0), z=2 C (x1,x2,x3,x4)= (2,1,0,0), z=4,最优解
B
x4=0 x3=0
(x1,x2,x3,x4)= (0,0,3,1), z=0
1 0
0 0
0 1
0
CB XB b 0 2 Z Cj CB XB b 1 2 Z X1 2 X2 1 4 X3 2 X2 1 2 1 1 0 0
X1 X2 X3 X4 1 0 1 1 0 0 0 -1 1 -1
应用运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法
应⽤运筹学基础：线性规划（4）-对偶与对偶单纯形法这⼀节课讲解了线性规划的对偶问题及其性质。
引⼊对偶问题考虑⼀个线性规划问题：$$\begin{matrix}\max\limits_x & 4x_1 + 3x_2 \\ \text{s.t.} & 2x_1 + 3x_2 \le 24 \\ & 5x_1 + 2x_2 \le 26 \\ & x \ge0\end{matrix}$$ 我们可以把这个问题看作⼀个⽣产模型：⼀份产品 A 可以获利 4 单位价格，⽣产⼀份需要 2 单位原料 C 和 5 单位原料 D；⼀份产品 B 可以获利 3 单位价格，⽣产⼀份需要 3 单位原料 C 和 2 单位原料 D。
现有 24 单位原料 C，26 单位原料 D，问如何分配⽣产⽅式才能让获利最⼤。
但假如现在我们不⽣产产品，⽽是要把原料都卖掉。
设 1 单位原料 C 的价格为 $y_1$，1 单位原料 D 的价格为 $y_2$，每种原料制定怎样的价格才合理呢？⾸先，原料的价格应该不低于产出的产品价格（不然还不如⾃⼰⽣产...），所以我们有如下限制：$$2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ 3y_1 + 2y_2 \ge3$$ 当然也不能漫天要价（也要保护消费者利益嘛- -），所以我们制定如下⽬标函数：$$\min_y \quad 24y_1 + 26y_2$$ 合起来就是下⾯这个线性规划问题：$$\begin{matrix} \min\limits_y & 24y_1 + 26y_2 \\ \text{s.t.} & 2y_1 + 5y_2 \ge 4 \\ & 3y_1 + 2y_2 \ge 3 \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这个问题就是原问题的对偶问题。
对偶问题对于⼀个线性规划问题（称为原问题，primal，记为 P） $$\begin{matrix} \max\limits_x & c^Tx \\ \text{s.t.} & Ax \le b \\ & x \ge 0\end{matrix}$$ 我们定义它的对偶问题（dual，记为 D）为 $$\begin{matrix} \min\limits_x & b^Ty \\ \text{s.t.} & A^Ty \ge c \\ & y \ge 0\end{matrix}$$ 这⾥的对偶变量 $y$，可以看作是对原问题的每个限制，都⽤⼀个变量来表⽰。
运筹学单纯形法例题求解过程
运筹学单纯形法例题求解过程（原创版）目录一、运筹学单纯形法的基本概念二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解2.编制初始单纯形表3.判断基本可行解是否为最优解4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解5.重新计算机会费用和检验数三、运筹学单纯形法的应用实例正文一、运筹学单纯形法的基本概念运筹学单纯形法是一种求解线性规划问题的方法，它是基于数学和统计学的理论基础，通过逐步优化算法，寻找线性规划问题中最优解的一种方法。
线性规划问题是指在一定约束条件下，寻求目标函数的最小值或最大值的问题。
而单纯形法是线性规划问题中最常用的求解方法之一，它通过迭代计算，不断优化基变量，从而得到问题的最优解。
二、运筹学单纯形法的求解步骤1.确定基变量和初始基本可行解在求解线性规划问题时，首先需要确定问题的基变量，即在所有变量中选择若干个变量作为基变量。
基变量的选取可以通过寻找单位矩阵的方法来确定。
确定基变量后，可以求出初始基本可行解，即满足所有约束条件的变量值组合。
2.编制初始单纯形表根据初始基本可行解和线性规划模型提供的信息，可以编制初始单纯形表。
单纯形表是一个包含基变量、非基变量、目标函数系数、约束条件常数项和检验数等元素的矩阵表。
3.判断基本可行解是否为最优解在求解过程中，需要判断基本可行解是否为最优解。
这可以通过检验数来进行。
检验数是指非基变量与对应约束条件的乘积，如果所有非基变量的检验数都小于等于 0，说明已经达到最优解。
否则，需要继续迭代求解。
4.迭代求解下一个使目标函数更优的基本可行解如果基本可行解不是最优解，需要通过迭代求解来寻找下一个使目标函数更优的基本可行解。
迭代过程中，需要确定换入变量和换出变量，然后根据换入变量和换出变量生成新的单纯形表，并重新计算机会费用和检验数。
5.重新计算机会费用和检验数在迭代过程中，需要重新计算机会费用和检验数，以便判断新的基本可行解是否更优。
如果新的基本可行解的检验数满足条件，说明已经找到最优解，可以结束迭代求解过程。
单纯形法的综述及其应用-文献综述
毕业论文文献综述数学与应用数学单纯形法的综述及其应用一、 前言部分（说明写作的目的，介绍有关概念、综述范围，扼要说明有关主题争论焦点）1.写作目的本文主要在于介绍单纯形法的历史背景，基本计算方法，改进的计算方法，以及单纯形法的应用．目的在于对单纯形法的历史背景，计算方法等进行综述，并总结单纯形法在生活各个领域的应用，单纯形法是求解线性规划问题很有效的方法，通过对单纯形法的进一步了解，最后提出一实际问题利用单纯法进行分析求解．2.有关概念LP 问题的一般形式[1]()1122. Max min n n ob Z c x c x c x =+++L()()()1111221121122222112212..: ,,,0 n n n n m m mn n m n a x a x a x b a x a x a x b s t a x a x a x b x x x +++≤≥⎧⎪+++≤≥⎪⎪⎨⎪+++≤≥⎪⎪≥⎩L L LL L 线性规划问题的标准型为[2]()()()11221111221121122222m112212min a a s.t.a 01,2,,,,,n n n n n n m mn n m j n S c x c x c x S x a x a x b x a x a x b x a x a x b x j n x x x =+++⎧+++=⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪⎪≥=⎩L L L L L L 为目标函数（1）为决策变量 其矩阵形式为min s.t.0S CXAX b X ==⎧⎨≥⎩（2）其中，()12,,,n C c c c =L ，决策向量()()1212,,,,,,,T T n m X x x x b b b b ==L L ．A 为约束条件中的系数矩阵, 即111212122212n n m m mm a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L M M M M L 本文除了介绍线性规划问题的一般形式、标准形式和矩阵形式以外还列举了一些定义. 定义1[3]：设矩阵A 的秩为m ，矩阵B 是A 中的一个m 阶满秩子方阵，则B 为一个基矩阵．矩阵A 中剩余元素组成的子阵为N ,即[]A BN =.把x 的分量相应地分成两部分，记成B x 和N x ，B x 的分量与B 的列对应，称为基变量；N x 的分量与N 中的列对应，称为非基变量．在约束Ax b =中令所有的非基变量取值为零时，得到解10B N x B b x x -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，称为相应于B 的基本解．定义2[3]：基本解得基变量都取非负值时，即满足10B x B b -=≥的基本解为基本可行解．定义3[4]：满足式（1）各约束条件的解()12,,,T n X x x x =L 称为可行解.全部可行解的集合称为可行域.目标函数1min n j j j Z c x ==∑达到最大值的可行解称为最优解.定义4[4]：设A 为约束方程组1(1,...,)n ij j i j a x b i m ===∑的m n ⨯阶系数矩阵，设(n m >),其秩为m ，B 为矩阵A 中的一个m m ⨯阶的满秩子矩阵，称B 为线性规划问题的一个基.不失一般性，设11111...(,...,)...m m m mm a a B a a αα⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M B 中每一个向量(1,..,)j j m α=称为基向量；与基向量j α对应的变量j x 称为基变量.基变量以外的的变量称为非基变量.定义5[4]：在约束方程组1(1,...,)n ijj i j a x b i m ===∑中，令所有非基变量12...0m m n x x x ++====.此时约束方程组有唯一解()12,,,TB m X x x x =L .将此解加上非基变量取０的值，有()12,,,,0, 0m X x x x =L ，称X 为线性规划问题的基本解.基本解总数不超过m n C 个.3.综述范围通常，求解LP 模型时，常用基本单纯形方法、大M 法、两阶段法等，所以在文献[5-8]具体介绍了求解线性规划的单纯形法的一些计算方法．根据对模型中是否存在单位基矩阵、存在怎么样的基矩阵等特征的判断来选择方法或判断解的存在与否等情况．这就是说，在求解线性规划的单纯形法中，初始基(矩阵)的确定是一个基本问题．通常使用大M 法和两阶段法，通过人工构造，人为地在系数矩阵中形成一个单位矩阵作为初始基，再进行单纯形法的迭代[9]．由于越来越多的领域借助于线性规划来做出最优决策，完善线性规划理论及其有效解法已成为重要研究课题．单纯形法作为求解线性规划问题较实用而有效的算法已在实际中得到广泛应用．本文在文献[10-11]简述关于单纯形算法的讨论、优化设计与实现，分析了单纯形算法的主要特点．最后本文例举一些单纯形法在实际问题应用例子来说明单纯形法是处理运筹学模型的一种重要方法．4.主题的争论各种资源的最优配置已成为当今节约型社会的研究热点．它广泛应用于国防、科技、工业、农业、交通运输、环境工程、教育、经济及社会科学等领域，是指在一定的人力、物力、财力等资源条件下，如何合理利用这些资源完成最多任务或得到最大效益的方法．线性规划的资源最优配置是研究在一组线性约束之下，目标线性函数的最小值或最大值问题[3]．Dantzig 在1947年提出了求解线性规划问题的单纯形算法．单纯形算法是寻找最优基本可行解的一种行之有效的算法[12].二、主体部分（阐明有关主题的历史背景、现状和发展方向，以及对这些问题的评述）（一）历史背景单纯形法是求解线性规划问题的通用方法．它是是美国数学家G.B.丹齐克于1947年首先提出来的．它的理论根据是：线性规划问题的可行域是n维向量空间Rn中的多面凸集，其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到．顶点所对应的可行解称为基本可行解．单纯形法的基本思想是：先找出一个基本可行解，对它进行鉴别，看是否是最优解；若不是，则按照一定法则转换到另一改进的基本可行解,再鉴别；若仍不是，则再转换,按此重复进行．因基本可行解的个数有限，故经有限次转换必能得出问题的最优解．如果问题无最优解也可用此法判别．（二）现状1.基本定理下面主要介绍一下在单纯形法的综述及其应用中所涉及的一些基本定理.定理1[3]：若式（1）存在有界最优解，则必从基本可行解中得到．定理2[9]:若矩阵A经过有限次初等行（列）变换变换成矩阵B则，A的行（列）向量组与B的行（列）向量组等价，而A的任意k个列（行）向量与B中对应的k个列（行）向量有相同的线性相关性．定理3[4]:若线性规划问题存在可行解，则问题的可行域为凸集.定理4[4]:线性规划问题的基本可行解X对应线性规划问题可行域的顶点.定理5[4]:若线性规划问题有最优解，一定存在一个基本可行解是最有解.2．单纯形法的计算（1）计算步骤单纯形表X列依次标明各方程的基变量；BB C 是基变量相应的价值系数，它们是与基变量相对应的；b 列是约束方程组右端的常数；j c 行是基变量的价值系数；i θ列的数字是在确定换入变量后，按θ规则计算后填入；最后一行称为检验数行，对应各非基变量i x 的检验数是,1,1,2,...,m j i i j i c c a j n =-=∑．现在把单纯性法的的计算步骤归纳如下： 第一步 对于一个已知的可行基12B ,,...,)j j jn p p p =（，写出B 对应的典式以及B 对应的基可行解(0)x ，(0)110200(,,...,)T B m x B b b b b -==第二步 检查检验数，如果所有检验数 0j λ≤ （j=1,2,…,n ）则(0)x 便是最优解，计算结束，否则转下一步．第三步 如果有检验数0r λ>，而112(,,...,)0T r r r mr B p b b b -=≤，则问题无最优解，计算结束，否则转下一步．第四步 如果有检验数0r λ>，且12(,,...,)T r r mr b b b 中有正数，则取r x 为进基变量（若有多个正检验数，可任选一个，一般来说选取最大的检验数有利于提高迭代效率），并求最小比值00min i s ir srb b b b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭ 由此来确定js x 为离基变量（若上述最小比值同时在几个比值上达到，则选取其中下标最小的变量为离基变量），然后用r P 代换js p 得新基B ，再接下一步．第五步 求出新基B 的典式（计算或直接通过初等行变换来实现）以及B 对应的基可行解，1(1B 10200B (,,...,)Tm x b b b b -==） 然后，以B 取代B ，(1)x 取代(0)x ，返回第二步[13]．（2）单纯形法的进一步讨论人工变量：大M 法和两阶段法为了解线性规划问题 min .0CX s t AX b X ⎧⎨=≥⎩ 需要一个初始基可行解，为此常常借助于大M 法或两阶段法． 大M 法：在一个线性规划问题的约束条件中加入人工变量后，要求人工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工变量在目标函数中的系数为（-M ）（M 为任意大的正数），这样目标函数要实现最大化时，必须把人工变量从基变量换出．否则目标函数不可能实现最大化．在许多线性规划问题中，引进松弛变量化成标准形式后，约束条件方程组的系数矩阵并不含m 阶单位矩阵，这样就给单纯形解法的换基迭代带来了困难，为了很快找到第一个可行基，在利用单纯形法求解时，首先要在线性规划问题中引入人工变量，把问题变为约束方程组的系数矩阵中含有单位阵，用以作为人造基，然后再按照单纯形法进行换基迭代，求得最优解或判定无最优解．这种方法就称为两阶段法．第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化．如11111122111211222222m112212min 0...0a a s.t.a ,,...,0n n m nn n n n n n m mn n n m m n m x x x x x a x a x x b x a x a x x b x a x a x x b x x x ω++++++=+++++++++=⎧⎪++++=⎪⎪⎨⎪++++=⎪≥⎪⎩L L L LL 然后用单纯形法求解上述模型，若得到0ω=，这说明原问题存在基可行解，可以进行第二段计算．否则原问题无可行解，应停止计算．第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量．将目标函数行的系数，换原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表．大M 法与两阶段法都是从寻求线性规划问题的一个初始可行基引入的．从形式上看，它们是两种不同的方法，但在本质上是一致．3．单纯形法的算法（1）改进单纯形算法通常使用大M 法和两阶段法，通过人工构造，人为地在系数矩阵中形成一个单位矩阵作为初始基，再进行单纯形法的迭代．这样，往往无意中扰乱了思想主线，增加了计算量．特别对于人工计算显得运算操作繁杂而偏离了主体，在理解和教学中常常带来不便．通过对单纯形法求解法的实质的分析和认识，提出了基于矩阵初等变换初始可行基的获得方法，进而得到基于单纯形法的求解线性规划模型的直接方法使单纯法的运用简单明白．利用这种确定初始可行基的方法求解线性规划问题时，首先，对线性规划模型()2的系数增广矩阵进行上述的初等行变换而得到r r ⨯阶的初始可行基()r m ≤，接着，将所得初始可行基安排入单纯形表，然后，进行单纯形表的表上作业程序．这样做的优点不仅在于可以给出初始可行基()r m =，而且可以方便地发现不独立的约束()r m <，并将其提前剔除，以减少单纯形法的计算量．具体步骤为:步骤 1 对增广矩阵B 施行一系列的初等行变换，并始终保持可行性(即：b 列非负)，直到B 中含有单位矩阵；这里需要注意的是当变换到可以使某一行元素全部为0时，说明约束方程组不独立，B 可以降维为()()11m n -⨯+，那么，所得到的单位矩阵也就是()()11m n -⨯+阶的，并非一定要得到B 的m m ⨯阶的单位矩阵作为基．步骤 2 将步骤1的结果安排到一个单纯形表中，并以B 中的单位矩阵的列所相应的变量为基变量而得到初始单纯形表；步骤 3 在步骤2的所得的单纯形表上按照通常的单纯形表上作用法进行求解．需要说明的是，在步骤1中完全可以不用第一类初等行变换(交换任两行的位置)，而只用第二、三类初等行变换就可以实现．该方法的优势在于思想清晰，方法简明，计算量减小．有了初始可行基，就可从这个可行基相应的基本可行解出发进行换基迭代，从而，求得目标函数的最优解或判断其无最优解[9]．（2）计算机算法利用数学计算工具来解决单纯形法中计算的难题，其应用价值和推广价值是可观的，不仅可以提高计算速度，而且可以大大提高计算的准确性．求解思路：首先把它变为如下(左式) 标准形式:11221111221121122222m112212max a a s.t.a ,,...,2n n n n n n m mn n m n Z c x c x c x x a x a x b x a x a x b x a x a x b x x x =++++++=⎧⎪+++=⎪⎪⎨⎪+++=⎪≥⎪⎩L L L L L 1231112131121222322123...0.........n n n m m m mn m c c c c a a a a b p a a a a b a a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦M M 然后对p 进行标准化, 记[]123...T i i i i mi a a a a a =,如果i a 是只有一个分量为1 的单位向量，那么把p 第一行中的i c 通过矩阵变换， 变成0， 标准化完成.．标准化的目的是将第一行中的系数12,,...,n c c c 变为检验数, 其中非基变量系数均为0，基变量的系数则未必为0．接着对p 进行变换, 首先在p 矩阵的第一行第1到第n 个分量中找出一个最大数，如果这个最大数不大于0 ，则不用进行再次迭代，直接得到最终变换矩阵g ．反之，用k 记下最大数所对应的列.．然后进行判断： 如果p 的第k 列的第2 至第m 个数全都小于或等于0 ，那么此线性规划问题无界，迭代结束．反之， 用p 的最后一列的第2 至第m 个分量分别除以第k 列对应的数，如果碰到除数小于或等于0 则跳过. 在所得结果中找出最小的那个数，用j 记下该数所对应的行．于是得到主元素(,)p j k 接下来是对第j 行进行行变换，将P( j , k) 变为1．然后对其他行进行行变换，使p 矩阵的第k 列的其他分量都变为0 ， 于是第一轮变换结束．接下来回到变换过程的开始，重复迭代过程至到跳出迭代过程为止，最后对结果矩阵进行智能分析． 其中需要人工进行的步聚是构造计算矩阵p 和分析迭代结果两步， 以使求解过程比较简便且可靠性高[14]．4．单纯形法的应用一个经济、管理问题凡满足一下条件时，才能建立线性规划的模型．（1）要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数：（2）存在多种方案及有关数据：（3）要求达到的目的是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式来描述．一般满同时足上面几个条件的实际生活中的难解问题都可以用线性规划问题来解决．所以越来越多的领域借助于线性规划来做出最优的决策．单纯形法在实际中的应用最常使用于资源的配置．人力、时间和物质资源的优化配置问题是制定企业生产计划时考虑的重要问题，线性规划模型可以考虑各类资源的变动对其造成的影响并寻求最佳方案.在企业生产和经济管理等领域中，人们常会遇到这样的问题，如何从一切可能的方案中选择最好、最优的方案，在数学上把这类问题称为最优化问题．如何解决这类问题，在当今商品经济的环境下，是一个关系到国计民生的重要问题．线性规划是理论和方法都比较成熟，并具有广泛应用价值的一个运筹学分支．如果一个问题的限制条件可以写成某些决策变量的线性方程组或线性不等式组，目标可以写成决策变量的线性函数，那么这个问题的数学模型就是线性规划问题．线性规划法是研究如何将有限的人力、物力、设备、资金等资源进行最优计划和分配的理论方法．线性规划是企业生产过程中决策制定的理论依据，决策的合理与否直接影响到企业的经济效益，文献[15]介绍了线性规划理论，阐述了线性规划函数中各要素以及各变量的变化对分析造成的影响，通过单纯形法案例进行了计算，针对大型、复杂的模型，需要选择更为有效的手段来进行计算．能源紧缺是人类社会面临的重要问题．现代城市轨道交通系统通过轨道上方的直流接触网供电，因电动车组往往牵引功率巨大，需消耗大量电能，因此，有效利用牵引能源至关重要．单列车牵引策略优化对于节约牵引能耗具有极其重要意义.在文献[16-17]讨论了单纯形优化算法在城市轨道交通列车惰行点搜索方面的应用，列车运行因受多重因素影响，确定必要的惰行起点在实际情况的约束下并不容易．通过分析列车站内运行惰行点搜索特点、约束条件及寻解空间等．详细介绍了二维空间中单纯形法寻找合适列车惰行点的实现过程．借助于单列车仿真系统的帮助，通过问题的寻优结果分析，研究了这种启发式搜索方法在确定惰行点方面的可行性和性能表现．借助于单纯形法在城市勒道交通列车站问运行惰行点搜索方面的应用，在综合考虑运行时间和能量消耗不同要求的情况下，应用该搜索方法得到的惰行点可以为优化列车运行提供满意解．启发式的搜索方法，通过较低的迭代次数，为列车运行的惰行点搜索提供了解决方案．然而，在站间运行时，首先要关注两站之间的距离有没有足够的空间容纳多个惰行点，从而合理选择惰行点数量．从应用角度看，根据整条线路的总运行时间搜索多个站点间的惰行点，会使搜索更复杂．这将在今后进一步研究[16]．三、总结部分（将全文主题进行扼要总结，提出自己的见解并对进一步的发展方向做出预测）线性规划是运筹学的一个重要分支，早在20世纪30年代末，前苏联著名的数学家康托洛维奇就提出了线性规划的数学模型，越来越来受到人们的重视．而后于1947 年由美国数学家G. B. Duntzg提出一般线性规划问题的求解方法——单纯形法，它是线性规划问题的通用解法．从而使得线性规划的应用领域更加的广泛．线性规划这一学科也因此开始形成并迅速地发展起来．单纯形方法与经典分析的方法很不相同，它利用了矩阵的初等变换，通过部分枚举的方法来寻求线性规划问题的最优基可行解，从而求得值．由于这种方法运算简单又有规则，且适用性广泛．所以它的应用迅速得到发展，根据它而编制的程序已在一些计算机上开发实现．值得指出的是，尽管单纯形法避开了经典极值问题常用的微分法，但是单纯形法的最优性条件仍可用微分法导出[18]．四、参考文献（根据文中参阅和引用的先后次序按序编排）[1]田学民.利用单纯形法解线性规划问题的机理[J].中国科技论文在线,2010.[2]贺学海.单纯形法解决LP问题的研究[J].沈阳师范大学报(自然科学版).2010,28(1):14-16.[3]王东雷.基于单纯算法的优化设计与实现[J].安徽农业科学.2007,35(36):11727-11728.[4]蔡海涛等.运筹学[M].湖南长沙.国防科技大学出版社.2003.[5]张毅.谈两阶段法与大M法的统一处理方法[J].陕西理工学院学报(自然科学版).2009,25(2):85-86.[6]白岩.线性规划中两阶段法德简便计算法[J].长春师范学院学报自然科学版).2005,24(5):1-3.[7]Hamdy A.Taha.运筹学(英文版) [M].北京:人民邮电出版社.2007.[8]拉塞尔C.沃克.数学规划导论(英文版)[M].北京.机械工业出版社.2005.[9]申卯兴,许进.求解线性规划的单纯形法的直接方法[J].华东科技大学.2007,43(30):94-96.[10]高引民,杜晓马.关于单纯形算法的讨论[J].太原机械学院学报.1994,15(1):70-75.[11]陈英霞,朱维钧.关于单纯形算法的两点思考[J].怀化学院学报.2008,11(11):26-27.[12]王东雷,张耀中.一种改进的单纯算法实现及其应用[J].安徽农业科学.2007,35(35):11601-11602.[13]张干宗.线性规划[M].武汉.武汉大学出版社.2004.[14]毕春丽,曾强,王荣文.线性规划问题中单纯形法的计算机求解[J].焦作工学院学报(自然科学版).2002,21(6):472-474.[15]王树祥,武新霞,卜少利.线性规划在企业生产计划中的应用及模型的建立和求解[J].中国电力教育.2007,21:195-197.[16]赵亚辉,朱琴跃.基于单纯形法的城轨列车惰行点搜索[J].同济大学(自然科学版).2010,38(1):81-85.[17]赵亚辉,谢维达.单纯形法在城轨列车惰行点搜索中的应用[J].同济大学(自然科学版).2009,45(14):217-220.[18]毛东明,许风.单纯形法最优性条件的经典证明[J].辽东学刊(自然科学版).1994, 3:12-14.。