运筹学单纯形法的例题
运筹学-单纯形法灵敏度对偶
若新增约束如下：
max z 50x1 100x2 x1 x2 300 2x1 x2 400 x2 250 10x1 30x2 5000(电力约束) x1, x2 , 0
x1 x2 s1
把最优解x1=50,x2 =250代入电力约束 1050+30 250=80005000 新约束不满足,最优解变化
例题：已知某线性规划初始可行基是（S1 S2 S3 a1）， 最终单纯形表如下，求对偶价格不变时的△bi变化范围
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50
1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
0
1
Zj
50 100 0
δj
0
0
0
（1） △b1的变化范围： ?
（2） △b2的变化范围：?
（3） △b3的变化范围： ? （4） △b4的变化范围：?
1 0 1 2 0.5
B1 p6'
2
1
1
0.5
2
0 0 1 1.5 1.5
Z6' 50 0.5 0 (2) 100 1.5 175
' 6
C6
Z6'
150 175
25
δ6´<0，最优解不变，即仍生产Ⅰ50件，Ⅱ100件。
2、变量xk系数列由pk变为pk´，在最终单纯形表 上xk是基变量
x1 x2 s1
50 100 0
X1 50 1
0
0
S3 0
0
0
0
X2 100 0
1
0
s1 0
0
单纯形法的矩阵计算例题
1、在使用单纯形法求解线性规划问题时，初始基本可行解通常通过以下哪种方法获得？A. 两阶段法B. 高斯消元法C. 矩阵求逆D. 逐次逼近法（答案）A2、在单纯形表的迭代过程中，当所有检验数均非负时，说明当前解是？A. 无界解B. 无解C. 最优解D. 可行解但非最优（答案）C3、单纯形法中，选择进入基的变量时，通常选择检验数最小的变量，这是？A. 错误的做法B. 正确的做法，但仅当目标函数求最大值时C. 正确的做法，但仅当目标函数求最小值时D. 无论目标函数求最大还是最小，都是正确的做法（答案）B（假设题目中指的是选择绝对值最大的负检验数对应的变量进入基，若求最小值则选择正检验数）4、在单纯形迭代过程中，若出现某个基变量的值为零，而该变量在目标函数中的系数（即检验数）为正，则？A. 该问题无界B. 应立即停止迭代，因为当前解不可行C. 应将该变量从基中换出D. 这种情况不可能发生（答案）C5、单纯形法中，退出基的变量选择通常基于？A. 检验数的大小B. 基变量在约束条件中的系数比值（即比值检验）C. 目标函数中的系数D. 变量的下界或上界（答案）B6、在单纯形迭代过程中，若所有基变量的检验数均为零，则？A. 达到了最优解，且可能存在多个最优解B. 达到了最优解，且唯一C. 问题无解D. 需要进行人工变量调整（答案）A7、单纯形法中，若某个迭代步骤中发现无法找到符合条件的进入基变量（即所有检验数均非负），则？A. 当前解即为最优解B. 问题无解C. 需要引入人工变量继续迭代D. 应检查初始基本可行解的正确性（答案）A8、在构建初始单纯形表时，若目标函数为求最小化，则检验数应如何计算？A. 检验数= 目标函数系数- 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和B. 检验数= 目标函数系数+ 约束条件右侧常数与基变量系数的乘积之和的相反数C. 检验数= 目标函数系数直接作为检验数D. 检验数= 约束条件左侧系数与目标函数系数的比值（答案）B（简化描述，实际计算中需考虑基变量的当前值和目标函数系数）9、单纯形法中，当某个基变量的值为负时，说明？A. 当前解不可行B. 当前解可能是最优解，但需进一步验证C. 应立即将该变量从基中换出D. 这种情况在正确执行单纯形法时不可能发生（答案）D（在正确执行时，基变量应始终非负）10、在单纯形迭代过程中，若发现某个非基变量的检验数为正，且该变量对应的约束条件为“≤”类型，则？A. 该变量应被选为进入基的变量B. 该变量不能进入基，因为其检验数为正C. 需要检查该变量的上界是否满足约束D. 该问题可能无解（答案）A（在求最大化问题时，正检验数对应的非基变量是潜在的进入基候选）。
运筹学单纯形法的例题
可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之下__
3
.
05.07.2020
练习㈠用图解法
5
4 4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0)
0
1
2
3
4
5
6
7
4
.
05.07.2020
练习㈠. 单纯形表
1 31 0 7 4 20 1 9
填入第一个约束的数据.
填入第二个约束的数据.
5
.
05.07.2020
❖至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解；
❖所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有2正4 的，则可能有. 无穷多个最优0解5.07.。2020
基变量列中_x_5_换为_x_1_,
改CB列,_-_M__换为_4__.
Excel
17
.
05.07.2020
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解：
Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7
s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x2 ≥ 0
可行域在直线 x1+3x2=7之上__
s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9
基引是进谁两?个这 理x“1里?,x人“2 ,工x-”3 如变,x4何量,x5处”,x6≥0
x5 ,x620
.
05.07.2020
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6
单纯形法的计算题
单纯形法的计算题
单纯形法是一种求解线性规划问题的数学方法。
下面是一道使用单纯形法求解的线性规划问题的例子：
求最大化目标函数z = -2x1 + 3x2，
约束条件：
1. x1 + x2 <= 4
2. 3x1 + 4x2 <= 12
3. x1, x2 >= 0
用单纯形法求解此问题，需要进行以下步骤：
1. 建立初始单纯形表格：根据约束条件，我们可以确定初始单纯形表格的基变量和非基变量。
2. 计算目标函数的系数和：根据目标函数的系数，我们可以计算出目标函数的系数和。
3. 检查退出条件：如果目标函数的系数和大于零，则无法找到可行解；如果目标函数的系数和小于等于零，则已经找到最优解。
4. 迭代计算：如果未达到最优解，需要继续迭代计算，更新单纯形表格，直到找到最优解为止。
5. 输出结果：最终的单纯形表格中，最优解对应的基变量和非基变量的值即为所求的最优解。
具体到这个例子中，可以使用线性规划软件包或编程语言实现单纯形法来求解。
通过输入约束条件和目标函数，可以得到最优解。
运筹学习题解答(chap1 线性规划及单纯形法)
第一章 线性规划及单纯形法一、写出下列线性规划的标准形式，用单纯形法求解，并指出其解属于哪种情况。
1、P55,1.3(a)21510m ax x x Z +=⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤+0x ,x 8x 2x 59x 4x 3.t .s 212121 解：将模型化为标准型21510x x Z Max +=⎪⎩⎪⎨⎧≥=++=++0,,,825943..4321421321x x x x x x x x x x t s 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)2,1(*=X ，最优目标值为2。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
2、 P55,1.3(b)21x x 2Z m ax +=s.t⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤+≤0,524261552121212x x x x x x x解：将模型化为标准型21x x 2Z Max +=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++=+0x ,...,x ,x ,5x x x ,24x x 2x 6,15x x 552152142132 单纯形表如下因所有检验数0j ≤σ，已达最优解，最优解是)0,0,2,2,2(X *=，最有目标值为217。
由检验数的情况可知，该问题有唯一最优解。
3、3212x x x Z Min -+=，t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤++≤+-≤-+0,,,5,822,422321321321321x x x x x x x x x x x x 解：将模型化为标准型：3212x x x Z Min -+=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=+++=++-=+-+0,,,5,822,422321632153214321x x x x x x x x x x x x x x x 用单纯形法迭代最优解为（0，0，4），最优值为-4。
4、43213x x x x Z Min +++=t s . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=++=++-0,,,,,63,4224321421321x x x x x x x x x x 解：因为所有检验数均已非负，故已是最优解，最优解为（0，2，0，4），--10分最优目标值：6Z =*。
运筹学 线性规划问题的单纯形法
线性规划的单纯形法
由上表可知：
S=100*X1+80*X2
约束条件：
2*X1+4*X2<=80
3*X1+1*X2<=60
X1,X2>=0
由此可以引入松弛变量：
2*X1+4*X2+k1<=80
3*X1+1*X2+k2<=60
S=100*X1+80*X2+(0)*k1+(0)*k2〃k1和k2为闲置时间不产生利润
可建表
注：Zj为Cj列的每行数分别与XI，X2，k1，k2列相乘然后加的结果（例如：0=0*2+0*3）由表可知X1所在列为最有列，所以K2退出基变组（列表下，红字部分表示交换格）
而由表可知要消去图中绿字所在行必须是图中绿字所在行-2*红字所在行。
消去后的表的情
注：此时由上表可知X2所在列是最有解，切Cj-Zj依旧为正。
所以，此时K1出基（将k1行中各数据*3/10）得到如下表：
注：由表可知此时Cj-Zj为零，如果接续下去此值将会为负所以此时由最大利润为2560即：当摩托车生产16辆，自行车生产12辆是有最大利润。
本题只是为了让和我有一样迷惑的人有一个解题案例，如若真正搞懂线性规划问题的单纯形法还得去以参考书为准。
单纯形法原理及例题
单纯形法原理及例题
单纯形法原理：
单纯形法是求解线性规划问题的一种数学方法，它是由美国数学家卢克·单纯形于1947年发明的。
用单纯形法求解线性规划的过程，往往利用线性规划的对偶形式，将原问题变换为无约束极大化问题，逐步把极大化问题转换为标准型问题，最后利用单纯形法的搜索方法求解满足所有约束条件的最优解。
例题：
问题：求解最小化目标函数z=2x1+x2的线性规划问题，约束条件如下：
x1+2x2≥3
3x1+x2≥6
x1,x2≥0
解：将上述线性规划问题转换为无约束极大化问题，可得：
极大化问题：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2≤3
3x1+x2≤6
x1,x2≥0
将极大化问题转换为标准型问题，可得：
Max z=-2x1-x2
s.t. x1+2x2+s1=3
3x1+x2+s2=6
x1,x2,s1,s2≥0
运用单纯形法的搜索方法求解：
令x1=0,x2=0，则可得s1=3,s2=6，即(0,0,3,6)是单纯形的初始解；
令z=-2x1-x2=0，代入约束条件，可得x1=3,x2=3，则可得s1=0,s2=0，即(3,3,0,0)是新的单纯形解。
由于s1=s2=0，说明x1=3,x2=3是线性规划问题的最优解，且最小值为z=2*3+3=9。
运筹学原理单纯形法练习题
四、把下列线性规划问题化成标准形式：2、minZ=2x1-x2+2x3五、按各题要求。
建立线性规划数学模型1、某工厂生产A、B、C三种产品，每种产品的原材料消耗量、机械台时消耗量以及这些资源的限量，单位产品的利润如下表所示：根据客户订货，三种产品的最低月需要量分别为200，250和100件，最大月销售量分别为250，280和120件。
月销售分别为250，280和120件。
问如何安排生产计划，使总利润最大。
2、某建筑工地有一批长度为10米的相同型号的钢筋，今要截成长度为3米的钢筋90根，长度为4米的钢筋60根，问怎样下料，才能使所使用的原材料最省?某运输公司在春运期间需要24小时昼夜加班工作，需要的人员数量如下表所示： 起运时间 服务员数 2—6 6—10 10一14 14—18 18—22 22—24 8 10 7 12 4每个工作人员连续工作八小时，且在时段开始时上班，问如何安排，使得既满足以上要求，又使上班人数最少?五、分别用图解法和单纯形法求解下列线性规划问题．并对照指出单纯形迭代的每一步相当于图解法可行域中的哪一个顶点。
六、用单纯形法求解下列线性规划问题：七、用大M法求解下列线性规划问题。
并指出问题的解属于哪一类。
八、下表为用单纯形法计算时某一步的表格。
已知该线性规划的目标函数为maxZ=5x1+3x2，约束形式为“≤”，X3，X4为松驰变量．表中解代入目标函数后得Z=10XlX2 X3 X4 —10 b-1 f g X3 2 C O 1 1／5 Xlade1(1)求表中a ～g 的值 (2)表中给出的解是否为最优解?（1）a=2 b=0 c=0 d=1 e=4/5 f=0 g=－5 （2） 表中给出的解为最优解 第四章 线性规划的对偶理论 五、写出下列线性规划问题的对偶问题 1．minZ=2x1+2x2+4x3六、已知线性规划问题应用对偶理论证明该问题最优解的目标函数值不大于25七、已知线性规划问题maxZ=2x1+x2+5x3+6x4其对偶问题的最优解为Yl﹡=4，Y2﹡=1，试应用对偶问题的性质求原问题的最优解。
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2
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
练习㈠用图解法和单纯形法求如 下线性规划问题的最优解： Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≤ 7 s.t. 4x1 + 2x2 ≤ 9 x1 , x2 ≥ 0 7 2 x1+3x2=7经过点(__,0)与(1,__) 0.5 4x1+2x2=9经过点(2,___)与(0,___) 4.5
标准化为: M是一个大的正数 Max z =4 x1+x2+0x3+0x4-Mx5 x1 + 3x2 + x3 =7 s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5=9 x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥ 0 这个“-”如何处 基是谁? 理? 再引进一个“人工变 量”x5
12 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表
两行，几列? 少一列? 填入第一个约束的数据.
14 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表
填入第二个约束的数据.基? 填目标函数系数,填基变量列, 填CB列,计算Zj,计算检验数σj,
15 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表
7 9/4
查什么？ 不是！ 谁进基? 最优吗？ 检验数最大的x1进基, 谁出基? x1的系数有正的吗? 求比值?
第五章(P.99-100)： 预习第六章§2
线性规划的对偶问题
25 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
作业
7a,b,c,d
练
0 6 0 0
习
0 0
6u 0 3 0 0 150
1
0 6 6
0 5-6u 0 -3 0 一个LP问题的单纯形表如上： 必须为____
1、试补齐中间的空格； ∴u=5/6 2、u取什么值时此问题有无穷多最优解？ 26 2013-7-27
4 1 0 0 x3 0 1 3 1 0 7 7 x4 0 4 2 0 1 9 9/4 0 0 0 0 0 4 1 0 0 最优吗？查什么？ 不是！ 谁进基？ 检验数最大的x1进基, 谁出基？ 求比值？ x1的系数有正的吗？
7 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
4 x3 0 1 x4 0 4 0 4 1 3 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
21 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
解LP问题单纯形法
LP问题解的几种可能：
唯一解 有解 无穷多解
无有限最优解 无解
22
无可行解
《运筹学》单纯形法 2013-7-27
LP问题解的几种可能： Ax≤b s.t. x≥0
无需引入人工变量.一定有可 行解,从而一定有基可行解,但 还有可能有无穷最优解或无有 限最优解.
16 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡. 单纯形表：迭代
x1 x5 基变量列中___换为___, -M 4 改CB列,____换为___.
17 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
Excel
练习㈢用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解： Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≥ 7 s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x 2 ≥ 0
x2
0 1 0 0 0
x3
0 0 1 0 0
x4
7 7 9 9/4 0
bi
比
CB
1
x3 0 x1 4 zj σj=Cj- zj
9
4 0 1 4 0
1 2.5 0.5 2 -1
《运筹学》单纯形法
0 0 1 -0.25 4.75 0 0.25 2.25 0 1 9 0 -1
2013-7-27
练习㈡用图解法和单纯形法求 如下线性规划问题的最优解： Max z =4 x1 + x2 x1 + 3x2 ≤ 7 s.t. 4x1 + 2x2 ≥ 9 x1 , x 2 ≥ 0
《运筹学》单纯形法
下 可行域在x1+3x2=7与4x1+2x2=9之__
3 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠用图解法
5
4
4x1+x2=9
3
2
1 (2.25,0) 0 1
4
2
3
4
5
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
6
7
练ห้องสมุดไป่ตู้㈠. 单纯形表
1 4 3 1 2 0 0 1 7 9
填入第一个约束的数据. 填入第二个约束的数据.
20 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈢.用单纯形法
Max z=4x1+x2+0x3+0x4 -Mx5 –Mx6 x1+3x2-x3 +x5 =7 s.t. 4x1+2x2 -x4 +x6=9 x1,x2,x3,x4 ,x5,x6 ≥0 基是谁? x5,x6 它们的检验数为0 请它们出基,逼它们取值为0. 不能全出基,就无可行解. Excel
5 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
4 x3 0 1 x4 0 4 0 4 1 3 2 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
7 9
基?
0
填目标函数系数,填基变量列, 填CB列,计算Zj,计算检验数σj,
6 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈠. 单纯形表
下 可行域在直线 x1+3x2=7之__
上 可行域在直线4x1+2x2=9之__
10 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
练习㈡用图解法
5 最优解是x1=7,x2=0,此时Max z=28
4
4x1+x2=28 3
2 (7,0) 1
0
11
1
2
3
4
5
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
6
7
练习㈡.用单纯形法 (大M法)
23 《运筹学》单纯形法 2013-7-27
解LP问题单纯形法
一般要引入人工变量. 人工变量不能全出基则无可行解,更 无最优解. 不需人工变量或人工变量可以全部出 基则必有可行解.分:
LP问题解的几种可能：
解LP问题单纯形法
至少有一个非基变量的检验数为正,但它的系 数全为非正,则无有限最优解； 所有非基变量的检验数全为非正，已有最优解， 但若其中至少有一个的检验数为0，且它的系 数中有正的，则可能有无穷多个最优解。 24 2013-7-27 《运筹学》单纯形法
上 可行域在直线 x1+3x2=7之__
上 可行域在直线4x1+2x2=9之__
18 《运筹学》单纯形法
2013-7-27
5
练习㈢用图解法
有可行解,但无有限的最优解,z→+∞.
4
3
2
1
0
19
1
2
3
4
5
《运筹学》单纯形法
2013-7-27
6
7
练习㈢.用单纯形法(大M法)
标准化为: M是一个大的正数 Max z=4x1+x2+0x3+0x-Mx5 -Mx6 4 x1 + 3x2 - x3 +x5 =7 s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x6=9 x1 ,x2 ,x3 ,x4,x5 ,x6≥0 这里“-”如何处 基是谁? 理? 引进两个“人工变量” x5 ,x6
7 9
7 9/4
0
x1 x4 基变量列中___换为___, 改CB列,___换为___. 0 4
8 《运筹学》单纯形法
Excel
2013-7-27
练习㈠用单纯形法
迭代 次数 基 变量
CB
x1
x2
x3
x4
bi
比
0
迭代 次数
zj σj=Cj- zj
基 变量
x3 x4
0 0
4 1 4 0 4
x1
1 3 2 0 1
练习㈡.用单纯形法
Max z =4x1+x2+0x3+0x4-Mx5 x1 + 3x2 + x3 =7 s.t. 4x1 + 2x2 -x4+x5 =9 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥0 基是谁? x3,x5 x5的检验数为0
请它出基,逼它取值为0.
13 《运筹学》单纯形法 2013-7-27