浙江省绍兴一中高三数学回头考试试题 理

一、选择题：(本大题共10小题，每小题3分，共30分)。

1．已知复数z ，映射zi z f →:，则i 32+的原象是（ ） A ．i 23- B ．i 32- C ．i 23+ D ．i 32+2．已知角α的终边上一点的坐标为22(sin,cos ),33ππ则角α的最小正值为（ ） A ．23π B ．56π C ．53π D ．116π3．如果n xx )23(32-的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值为（ ）A ．3B ．5C ．6D ．104．集合{}R x x y y M ∈-==,12，集合{}R x x y x N ∈-==,92，则=⋂N M （ ）A ．{}31≤≤-t tB ．{}30≤≤t t C ．()(){}1,2,1,2-D ．φ5．命题甲：22,2,211x x x-⎪⎭⎫⎝⎛成等比数列；命题乙：)3lg(,)1lg(,lg ++x x x 成等差数列；则甲是乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）A ．),3()1,3(+∞⋃-B ．),2()1,3(+∞⋃-C ．),3()1,1(+∞⋃-D ． )3,1()3,(⋃--∞7．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c ，[,,(0,1)]a b c ∈，已知他投篮一次得分的期望是2，则ba 312+的最小值为（ ）A ．332 B ．328 C ．314 D ．316 8．若实数x ，y 满足不等式组330,230,10,x y x y x my +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩且x y +的最大值为9，则实数m =( )A ．2-B ． 1-C ．1D ． 29. 已知点P 的双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上一点，1F 、2F 分别为双曲线的左、右焦点，I 为 △21F PF 的内心，若2121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=λ成立， 则λ的值为（ ）A ．a b a 222+B ．b aC ．a bD ．22ba a +10．设函数2()(0)f x ax bx c a =++<的定义域为D ，若所有点))(,(t f s ),(D t s ∈构成一个正方形区域，则a 的值为（ ）A ．2-B ．4-C ．6-D ．8-二、填空题:(本大题共7小题，每小题3分，共21分)． 11．幂函数3222)1()(--⋅--=m mx m m x f 在),0(+∞∈x 上是减函数，则实数m = ；12．.若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为 ；13．如右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 ；14．直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===，120BAC ∠=，则此球的表面积等于 ；15．为参加2012年伦敦奥运会，某旅游公司为三个旅游团提供了d c b a ,,,四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a 线路旅游团数ξ的数学期望=ξE ；16．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x x f x x ++=的最小值为________．17．已知O 是△ABC 的外心，2=AB ，1=AC ，120=∠BAC .设=，=,若n m +=，则=-n m ．三、解答题:．（本大题共49分）18．（本题满分9分）已知函数1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f ．（Ⅰ）求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）若65)(=θf ，)3π23π(，∈θ，求θ2sin 的值；19．（本题满分9分）已知等比数列}{n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a 与4a 的等差中项； （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅱ）若2log n n n b a a =-，12n n S b b b =+++，求使不等式12470n n S +-+<成立的n 的最小值；20．（本小题满分9分）平行四边形ABCD 中，AB=2，AD=，且045BAD ∠=，以BD 为折线，把ABD ∆折起，使平面ABD CBD ⊥平面，连AC 。

（Ⅰ）求证：AB DC ⊥ （Ⅱ）求二面角B-AC-D 平面角的大小； （Ⅲ）求四面体ABCD 外接球的体积。

21．（本小题满分10分）已知,MA MB 是曲线C ：24x y =的两条切线，其中,A B 是切点，（I ）求证：,,A M B 三点的横坐标成等差数列；（II ）若直线AB 过曲线C 的焦点F ，求MAB ∆面积的最小值；22．（本小题满分12分）设函数2()(3),xf x x x m e -=++⋅（其中m R ∈，e 是自然对数的底数） （I ）若3,()(0,(0))m y f x f ==求曲线在点处的切线方程； （II ）若函数()(,0)f x -∞在上有两个极值点。

①求实数m 的范围； ②证明()f x 的极小值大于e 。

2012届高三数学理科回头考答案三、解答题：本大题共5小题，共49分。

18．（本题满分9分）解：（Ⅰ）1cos sin 3cos )(2+-=x x x x f12sin 2322co 1+-+=x x s 23)32cos(++=πx ． …3分 由πππππ22322+≤+≤+k x k ，得653ππππ+≤≤+k x k （Z k ∈）． ∴函数)(x f 的单调递增区间是]65,3[ππππ++k k （Z k ∈）． …5分（Ⅱ）∵65)(=θf ， ∴6523)32cos(=++πx ， 32)32cos(-=+πθ． ∵⎪⎭⎫⎝⎛∈323ππθ，，∴)35,(32πππθ∈+， 35)32(cos 1)32(sin 2-=+--=+πθπθ．…7分∴)32cos(23)32sin(21)332sin(2sin πθπθππθθ+-+=-+=6532-=． …9分 19．（本题满分9分）解：（1）设等比数列}{n a 的首项为1a ，公比为q ，则有211(2)3a q a q += ① 3211()24a q q a q +=+ ②由①得：2320q q -+=，解得 2q =或 1q =（不合题意舍去）当2q =时，代入②得：12a =； 所以1222n nn a -=⨯= …4分（2）2log 2nn n n b a a n =-=- 所以232122232n n S n =-+-+-++-23(2222)(123)n n =++++-++++122(12)(1)112212222n n n n n n +-+=-=---- …7分 因为12470n n S +-+< 代入得2900n n +->， 解得9n >或10n <-（舍去）所以所求n 的最小值为10 …9分20（本题满分9分）（1）解：在ABD ∆中，22202cos 454,2BD AB AD AB AD BD =+-⋅=⇒=， 易得AB BD ⊥，面ABD ⊥面BDC ∴AB ⊥面BDC ∴AB DC ⊥ …3分在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的射线为z 轴，建立如图空间直角坐标系。

则D （0，0，0），B （2，0，0），C （0，2，0），A （2，0，2）（2）设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，而(0,0,2),(2,2,0)BA BC ==-，由00n BA n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：20220z x y =⎧⎨-+=⎩，取(1,1,0)n = 。

再设平面DAC 的法向量为(,,)m x y z =，而(2,0,2),(0,2,0)DA DC ==，由0m DA m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得：22020x z y +=⎧⎨=⎩，取(1,0,1)m =-，所以1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==⋅，所以二面角B-AC-D 的大小是060 …7分（3）……由于,ABC ADC ∆∆均为直角三角形，故四面体ABCD 的外接球球心在AD 中点，又23AC =，所以球半径3R =，得34433ABCD V R ππ== 。

…9分21．（1）证明：12y x '=，设11(,)A x y 、22(,)B x y ； 直线MA 的方程为1111()2y y x x x -=- ① 直线MB 的方程为2221()2y y x x x -=- ②①-②得：点M 的横坐标122x x x +=，所以 点,,A M B 的横坐标成等差数列；…4分（2）焦点F 的坐标为（0，1），显然直线AB 的斜率是存在的； 设直线AB 的方程为1y kx =+将直线AB 的方程代入214y x =得：2440x kx --= （0∆>恒成立）24(1)AB k =+，且2M x k = 又由①②得：12114M y x x ==-，从而点M 到直线AB 的距离221d k =+， …8分3224(1)4MAB S k ∆=+≥ 当且仅当0k =时取等号；故MAB ∆面积的最小值为4 …10分。