2008年高考理科数学(江西)卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“x y =”是“x y =”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．定义集合运算:{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为A ．0B ．2C ．3D ．6 3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是 A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1) 4．若01x y <<<，则A ．33yx< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44x y<5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++ 6．函数sin ()sin 2sin2x f x xx =+是A ．以4π为周期的偶函数B ．以2π为周期的奇函数C ．以2π为周期的偶函数D ．以4π为周期的奇函数7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是A ．(0,1)B ．1(0,]2 C．(0,2 D．[,1)28．10101(1)(1)x x++展开式中的常数项为A ．1B ．1210()C C ．120C D ．1020C9．设直线m 与平面α相交但不．垂直，则下列说法中正确的是 A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 10．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(,)22ππ内的图象是11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为A ．1180B ．1288C ．1360D ．148012．已知函数2()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是A ． [4,4]-B ．(4,4)-C ． (,4)-∞D ．(,4)-∞-第Ⅱ卷二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在答题卡上 13．不等式224122x x +-≤的解集为 ． 14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．15．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD 、的长度分别等于每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．16．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：A ．2AC AF BC +=B ．22AD AB AF =+C ．AC AD AD AB ⋅=⋅ D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．ABDECF三.解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．已知1tan 3α=-，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2）求函数())cos()f x x x αβ=-++的最大值．18．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率； （2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.19．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S = 33960b S =．(1)求n a 与n b ； (2)求和：12111nS S S +++ ．20．如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132OA =． （1）求证：11B C ⊥面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小．1C 1A21．已知函数4322411()(0)43f x x ax a x a a =+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．22．已知抛物线2y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2000(,0)y x y ≠>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线C 于E F 、．（1）证明E F N 、、三点共线；（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. [3,1]- 14..223144x y -= 15. 5 16. A 、B 、D三、解答题：本大题共6小题，共74分。

17．解：（1）由cosβ=(0,)βπ∈ 得tan 2β=，sin 5β=于是tan()αβ+=12tan tan 3121tan tan 13αβαβ-++==-+.（2）因为1tan ,(0,)3ααπ=-∈所以sin αα== ()f x x x x x = x =()f x18．解：（1）令A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件()0.20.40.40.30.2P A =⨯+⨯=（2）令B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件()0.20.60.40.60.40.30.48P B =⨯+⨯+⨯=19．（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩①解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++ 20．解 ：（1）证明：依题设，EF 是ABC ∆的中位线，所以EF ∥BC ， 则EF ∥平面OBC ，所以EF ∥11B C 。

又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ， 则AH ⊥11B C 。

因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ， 所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥11B C ， 因此11B C ⊥面OAH 。

（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N 。

因为1OC ⊥平面11OA B ，根据三垂线定理知，1C N ⊥11A B ，1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则1EM OM ==。

设1OB x =，由111OB OA MB EM =得，312x x =-，解得3x =，1C 1A在11Rt OA B ∆中，11A B ==1111OA OB ON A B ⋅==所以11tan OC ONC ON∠==111O A B C --为。

解法二：（1）以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -则11(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)22A B C E F H所以1111(1,,),(1,,),(0,2,2)2222AH OH BC =-==-所以0,0AH BC OH BC ⋅=⋅=所以BC ⊥平面OAH由EF ∥BC 得11B C ∥BC ，故：11B C ⊥平面OAH (2)由已知13(,0,0),2A 设1(0,0,)B z则111(,0,1),(1,0,1)2A E EB z =-=--由1A E 与1EB 共线得:存在R λ∈有11A E EB λ= 得11321(1)(0,0,3)z z B λλ⎧-=-⎪⇒=⎨⎪=-⎩∴ 同理:1(0,3,0)C111133(,0,3),(,3,0)22A B AC ∴=-=- 设1111(,,)n x y z =是平面111A B C 的一个法向量, 则33023302x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令2x =得1y x == 1(2,1,1).n ∴=又2(0,1,0)n =是平面11OA B 的一个法量12cos ,6n n ∴<>==xy所以二面角的大小为arccos621. 解：（1）因为322()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示所以()f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，与， （2）由（1）得到45()(2)3f x f a a =-=-极小值，47()()12f x f a a ==极小值 4()(0)f x f a ==极大值要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要44571312a a -<<或41a <， 即a >01a ≤<.22．（1）证明：设221122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、则直线AB 的方程：()222121112x x y x x x x x -=-+-即：1212()y x x x x x =+-因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ①又直线AP 方程：21001x y y x y x -=+由210012x y y x y x x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩得：2210010x y x x y x ---= 所以22100012111,E E E x y y y x x x y x x x -+=⇒=-= 同理，200222,F F y y x y x x =-=所以直线EF 的方程：201201212()y x x y y x x x x x +=-- 令0x x =-得0120012[()]y y x x x y x x =+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上 所以,,E F N 三点共线（2）解：由已知A B M N 、、、共线，所以()00,)A y B y 以AB 为直径的圆的方程：()2200x y y y +-=由()22002x y y y x y⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得()22000210y y y y y --+-=所以0y y =（舍去），01y y =-要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--=。