2011年考研数学二真题及解析
2011年考研数学数二真题解析
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.(1)已知当0x →时，()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小量，则（ ） (A) 1,4==k c (B) 1,4==-k c (C) 3,4==k c (D) 3,4==-k c【答案】(C) 【解析】由泰勒展开，因为33sin ()3!x x x o x =-+，所以33(3)sin 33()3!x x x o x =-+.则，333339()3sin sin 33()4()322x x f x x x x o x x o x x ⎛⎫=-=--+=+- ⎪⎝⎭. 当0x →时，3()4f x x ，所以选择(C) .(2)设函数()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则()233()2limx x f x f x x→-=（ ）2(0)(A) f '- )() 0B (f '- )(C) (0f ' (D) 0【答案】(B) 【解析】()[]()2323332(0)()(0)()2limlimx x x f x f f x f x f x f x xx→→⎡⎤----⎣⎦=()3300(0)()(0)lim 2lim (0)2(0)(0)x x f x f f x f f f f x x'''→→--=-=-=-。
(3)函数()ln (1)(2)(3)f x x x x =---的驻点个数为（ ） (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3【答案】(C)【解析】(2)(3)(1)(3)(1)(2)()(1)(2)(3)x x x x x x f x x x x --+--+--'=---231211(1)(2)(3)x x x x x -+=--- 令2()31211g x x x =-+，由于2124311120∆=-⨯⨯=>，故()g x 有两个不同的实根，且不是1,2,3，所以()f x 有两个不同的驻点.(4)微分方程2(0)λλλλ-''-=+>x x y y e e 的特解形式为（ ） (A) ()x x a e e λλ-+. (B) ()x x ax e e λλ-+.(C) ()x x x ae be λλ-+. (D) 2()x x x ae be λλ-+【答案】(C) 【解析】特征方程为220r λ-=,解得特征根12r r λλ==-, 齐次方程20y y λ''-=的通解为12x x y C e C e λλ-=+, 非齐次方程2x y y e λλ''-=有特解1x y x a e λ=⋅⋅, 非齐次方程2x y y e λλ-''-=有特解2x y x b e λ-=⋅⋅,故非齐次方程2x x y y e e λλλ-''-=+可设特解().x x y x ae be λλ-=+(5)设函数(),g()f x x 均具有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0f g ><，且(0)(0)0f g ''==，则函数()()z f x g y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是（ ）(A) (0)0,g (0)0f ''''<>. (B) (0)0,g (0)0f ''''<<.(C) (0)0,g (0)0f ''''>>. (D) (0)0,g (0)0f ''''><.【答案】(A) 【解析】(0,0)(0,0)(0)(0)0()()x z f g f x g y '''===，(0,0)(0,0)(0)(0)0()()y z f g f x g y '''===。
2011-数二真题、标准答案及解析
0
0
0
小关系是( )
(A) I J K ． (B) I K J ． (C) J I K ． (D) K J I ． (7) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ，再交换 B 的第 2 行与第 3
1 0 0
1 0 0
行得单位矩阵，记
P1
=
1
1
0
，
P2
2 = (1, 2,3)T ， 3 = (3, 4, a)T 线性表示． (I) 求 a 的值； (II) 将 1, 2 , 3 由1,2 ,3 线性表示．
(23) (本题满分 11 分)
1 1 −1 1
A 为三阶实对称矩阵，
A
的秩为
2，即 r ( A)
=
2 ，且
A
0
0
=
0
0 ．
−1 1 1 1
(A) k = 1, c = 4 ． (B) k = 1, c = −4 ． (C) k = 3, c = 4 ． (D) k = 3, c = −4 ．
( ) x2 f ( x) − 2 f x3
(2) 已知 f ( x) 在 x = 0 处可导，且 f (0) = 0 ，则 lim x→0
x3
=(
)
(A) −2 f (0) ． (B) − f (0) ．
(C) f (0) ．
(D) 0．
(3) 函数 f (x) = ln (x −1)(x − 2)(x − 3) 的驻点个数为( )
(A) 0．
(B) 1．
(C) 2．
(4) 微分方程 y − 2 y = ex + e−x ( 0) 的特解形式为( )
2011年考研数学二真题及答案解析
2011年考研数学二真题及答案解析2011年考研数学二真题及答案解析一、选择题部分1. 如图，矩形OABC中，AB=4，BC=3，M为BC的中点，点D，E分别在AO，CO上，满足AD=CE，连接DE、BM相交于F。
则DE/AB的值等于（）。
A．1/3 B．1/4 C．1/2 D．2/3答案：A解析：根据题意，首先连接AM，然后用面积比解法。
设矩形OABC的面积为S，则S=AB×BC=12。
由于AD=CE，所以AM=CM，即BM=1.5，MF=BM/2=0.75。
在ΔABF中，AF是BM的中线，所以AF=BM/2=0.75。
设AC与DE交点为G，则AG=(BC+DE)/2=3+DE/2。
在ΔEBG中，EF是AM的中线，所以EF=AM/2=1.25。
因此，S[DEFG]/S[OABC]=[1-(MF/BC)]×[1-(EF/AB)]=2/3。
所以DE/AB=[S[DEFG]/S[OABC]]1/2=1/3。
2. 若（cosx+sinx）tanx=3，则tan3x的值为（）。
A．1/2 B．1/3 C．1 D．3答案：D解析：将（cosx+sinx）tanx=3变形为cosx/(sinx+1/cosx)=3/sin^2(x)。
设y=sin(x)，则cos(x)=√(1-y^2)，所以上式化为(y+1/√(1-y^2))√(1-y^2)=3/y^2。
整理得y^5+3y^4+3y^3-8=0。
由于y=0不是方程的解，所以可将其化为(y+1)^3=y^2+3y+8/3。
又因为y^2+3y+8/3=(y+3/2)^2+7/12>0，所以y只可能为y=-1或y=-1/2。
当y=-1时，得cos(x)=0，sin(x)=-1，此时tan3x不存在。
当y=-1/2时，得cos(x)=√(1-1/4)=√3/2，sin(x)=-1/2。
因此sin(3x)=3sin(x)-4sin^3(x)=-3/4，cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)=-1/2。
2011数二真题及解析
2011数二真题及解析题目一题目描述已知函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，且f(1)=2，f(2)=1，求函数f(f)的解析式。
解析由题目已知，函数f(f)=f2+ff+f在区间[1,2]上为减函数，即在该区间上f′(f)<0。
又根据函数的导数的性质，有f′(f)=2f+f。
因此，要使f(f)在区间[1,2]上为减函数，必须满足f′(f)< 0，即2f+f<0。
又知道f(1)=2，即将f=1代入f(f)的解析式，得到1+ f+f=2，即f+f=1。
再将f(2)=1，即将f=2代入f(f)的解析式，得到4+2f+f=1，即2f+f=−3。
将f+f=1和2f+f=−3联立，可以求解得到f=−2和f=3。
因此，函数f(f)的解析式为f(f)=f2−2f+3。
题目二题目描述设随机变量f的概率密度函数为$ f(x) = \begin{cases} kx^2, & \text{0<x<1} \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $求常数f的值。
解析根据随机变量的概率密度函数的性质，概率密度函数f(f)需要满足以下两个条件：1.$f(x) \\geq 0$，即在定义区间内，概率密度函数的取值不能为负。
2.$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = 1$，即概率密度函数的积分等于1。
由题目已知条件可知，在定义区间0<f<1内，$f(x)\\geq 0$，因此可以得到$kx^2 \\geq 0$，即$k \\geq 0$。
又根据第二个条件，计算概率密度函数的积分：$\\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) dx = \\int_{0}^{1} kx^2 dx = \\frac{k}{3}x^3 \\Bigg|_{0}^{1} = \\frac{k}{3}$根据第二个条件可知$\\frac{k}{3}=1$，因此f=3。
2011年全国硕士研究生入学统一考试考研数学二真题及详解【圣才出品】
【考点】定积分值大小的比较
【解析】x∈（0，π/4），有 sinx＜cosx＜1＜cotx，则 lnsinx＜lncosx＜0＜lncotx，故 π
J 4 ln cot xdx 0 0
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π
π
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C．x（aeλx＋be－λx）
D．x2（aeλx＋be－λx）
【答案】C
【考点】微分方程特解的求法
【解析】原方程对应的齐次方程的特征方程 y2－λ2＝0，解得 y1＝λ，y2＝－λ，则 y″－ λ2y＝eλx 的特解 y1＝C1xeλx；y″－λ2y＝eλx 的特解 y2＝C2xe－λx。故原方程的特解 y＝x（C1eλx＋ C2e－λx）。故选 C 项。
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C＝∂2z/∂y2＝f（x）g″（y）
在（0，0）点，A＝f″（0）g（0），B＝f′（0）g′（0）＝0，C＝f（0）g″（0）。由
z x
(0,0)
z y
(0,0)
0
可得，（0，0）是 z＝f（x）g（y）可能的极值点。若 z＝f（x）g（y）在（0，0）有极
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A．α1，α3
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B．α1，α2
C．α1，α2，α3
D．α2，α3，α4
【答案】D
【考点】基础解系的求法
【解析】因为 Ax＝0 基础解系含一个线性无关的解向量，所以 r（A）＝3，于是 r（A*）
＝1，故 A*x＝0 基础解系含 3 个线性无关的解向量。又 A*A＝|A|E＝0 且 r（A）＝3，所以 A
2011考研数学二真题
第4 页 共9 页
明、证明过程或演算步骤 .
∫x ln(1 + t2 )dt
（ 15）（本题满分 10 分）已知函数 F (x ) = 0 x3a
，设
lim x→+∞ F ( x) = lim x→0+ F ( x) = 0 ，试求 a 的取值范围。
解：由 lim x→+∞ F ( x) = 0 ，所以至少 a > 0
所以 tan α= dy dx
，两边同时对
x 求导数，得
sec2
αdα = dx
d2y dx2
由题知
dα dy = ，并且
sec2 α= 1+ tan2 α所以得微分方程
dx dx
?d 2y
? ??
dx
2
?
= dy + ( dy )3, dx dx
y(0) = 0,
此方程是不显含
（ 5） 设 函 数 f ( x), g ( x) 均 有 二 阶 连 续 导 数 ， 满 足 f (0) > 0, g(0) < 0 ， 且
f ′(0) = g′(0) = 0 ，则函数 z = f ( x) g( y) 在点 (0,0) 处取得极小值的一个充分条件
是（
）
（ A ） f ′(0′) < 0, g′(0′) > 0
4t
( ) 解： dx = t2 +1 ， dx2 = t 2 +1 3
当
t
= 1时，
x=
5
，
y
=
-
1
是极小值
3
3
当 t = - 1时， x = - 1 ， y = 1是极大值
2011年考研数学(二)及参考答案
2011年考研数学试题（数学二）一、选择题1. 已知当时，函数A k=1,c=4B k=a, c=-4C k=3,c=4D k=3,c=-42.A B C D03. 函数的驻点个数为A0 B1 C2 D34. 微分方程A BC D5设函数具有二阶连续导数，且，则函数在点（0，0）处取得极小值的一个充分条件A BC D6.设A I<J<KB I<K<JC J<I<KD K<J<I7.设A为3阶矩阵，将A的第二列加到第一列得矩阵B，再交换B的第二行与第一行得单位矩阵。
记则A=A B C D8设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为A B C D二、填空题9.10. 微分方程11.曲线的弧长s=____________12.设函数 ，则13.设平面区域D由y=x,圆及y轴所组成，则二重积分14.二次型，则f的正惯性指数为________________三、解答题15. 已知函数，设，试求的取值范围。
16. 设函数y=y(x)有参数方程，求y=y(x)的数值和曲线y=y(x)的凹凸区间及拐点。
17. 设，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g(x)可导，且在x=1处取得极值g(1)=1,求18. 设函数y(x)具有二阶导数，且曲线l:y=y(x)与直线y=x相切于原点，记是曲线l在点（x,y)外切线的倾角，求y(x)的表达式。
19.证明：1）对任意正整数n，都有2）设,证明收敛。
20.一容器的内侧是由图中曲线绕y旋转一周而成的曲面，该曲面由连接而成。
（1）求容器的容积。
（2）若从容器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力加速度为；水的密度为）21.已知函数f(x,y)具有二阶连续偏导数，且f(1,y)=0,f(x,1)=0,，其中，计算二重积分。
22.X01P1/32/3Y-101P1/31/31/3求：（1）（X，Y）的分布；（2）Z=XY的分布；（3）23.A为三阶实矩阵，，且（1）求A的特征值与特征向量；（2）求A参考答案选择题：CBCC ABDD填空题：9. 10. 11. 12. 13 14. 解答题：15. 解：16.解：sss17.解：18. 解：19.解：20. 解：21. 解：22. 解：23. 解：。
2011年研究生入学统一考试数学二试题及解析.doc
2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题及解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1、已知当0x →时，函数()3sin sin 3f x x x =-与kcx 等价无穷小，则（A ）1,4k c == （B ）1,4k c ==- （C ） 3,4k c == （D ）3,4k c ==- 【分析】本题考查等价无穷小的有关知识.可以利用罗必达法则或泰勒公式完成。
【详解】法一:由题设知 1003sin sin 33cos 3cos31=lim=lim k k x x x x x xcx kcx-→→-- 23003sin 9sin 33cos 27cos3=lim=lim (1)(1)(2)k k x x x x x xk k cx k k k cx --→→-+-+--- 3024=lim(1)(2)k x k k k cx -→--从而(1)(2)243k k k c k --=⎧⎨=⎩，故3,4k c ==。
从而应选（C ）。
法二:333333(3)()3(())(3())4()3!3!x x f x x o x x o x x o x =-+--+=+ 所以3,4k c ==。
，从而应选（C ）。
2、已知()f x 在0x =处可导，且(0)0f =，则2330()2()lim x x f x f x x→-= （A ）2'(0)f - （B ）'(0)f - （C ） '(0)f （D ）0【分析】本题考查导数的定义。
通过适当变形，凑出()f x 在0x =点导数定义形式求解。
【详解】2322333300()2()()(0)()(0)limlim[2]x x x f x f x x f x x f f x f x x x →→---=- ()2233300()(0)()(0)lim 2lim '0x x x f x x f f x f f x x →→--=-=- 故应选（B ）。
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