河南省商丘市2018届高三上学期期末数学(文)试题Word版含答案

商丘市2017-2018学年度第一学期期末考试高三数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设1}|2-x ||{x ≤=A ，}1)23ln(|{<-=x x B ，则=B A （ ） A ．)23,(-∞ B ．)23,1[ C ．)23,1( D ．]3,23( 2. 设复数z 满足i =+z-1z1，则=||z （ ） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 2 3. 已知非零向量n m ,的夹角为3π，且)2(n m n +-⊥=（ ） A ． 1 B ．2 C ．21 D ．31 4.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若30954=++a a a ，则=11S （ ） A ．100 B ．110 C. 120 D ．2205.在区间]2,2[-中随机取一个实数k ，则事件“直线kx y =与圆1)3(22=+-y x 相交”发生的概率为（ ）A ．21B ． 41 C. 61 D ．816.已知|)1ln(|)(-=x x f ，设)57(f a =，)4(f b =，)23(f c =，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a >>B ． b a c >> C. c a b >> D ．a b c >> 7.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出=n （ ）A ．2B ．4 C. 6 D ．88.已知B A ,两点均在焦点为F 的抛物线)0(22>=p px y 上，若4||||=+BF AF ，线段AB 的中点到直线2px =的距离为2，则p 的值为（ ） A ．1或3 B ． 2 C. 4 D ．2或69.已知函数)sin()(ϕω+=x A x f )||,0,0(πϕω<>>A 的部分图像如图所示，则函数)cos()(ωϕ+=x A x g 图像的一个对称中心可能为（ ）A ．)0,25(-B ．)0,61( C. )0,31(- D ．)0,65( 10.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的所有面中，最大面的面积是（ ）A ．2B ．5 C. 3 D ．5211.双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为21,F F ，过1F 作倾斜角为030的直线与y 轴和双曲线右支分别交于B A ,两点，若点A 平分B F 1，则该双曲线的离心率为（ ）A ． 3B ．335 C. 553 D ．2 12.已知函数x a y ln 2+=（],1[e ex ∈）的图像上存在点P ，函数22--=x y 的图像上存在点Q ，且Q P ,关于原点对称，则a 的取值范围是（ ） A ．),[2+∞e B ．]14,3[e + C. ],14[22e e +D ．],3[2e 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤-≥-04001y x y x x ，则目标函数y x z +=2的最小值为 ．14.设曲线x x y cos sin +=在点)1,2(π处的切线与直线02=+-ay x 垂直，则实数=a ．15.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设ABC ∆三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为])2([41222222b c a c a S -+-=，若C A c sin 3sin 2=，4)(22-=-b c a ，则用“三斜求积”公式求得ABC ∆的面积为 ．16. 在三棱锥BCD A -中，侧棱AD AC AB ,,两两垂直，ADB ACD ABC ∆∆∆，,的面积分别为262322，，，则三棱锥BCD A -的外接球的表面积为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，12a a S n n -= )(*N n ∈，且11+a ，4a ，3-5a 成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令n n a b 4log 2=)(*N n ∈，求数列}1{1+n n b b 的前n 项和n T . 18. 已知ABC ∆中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知CBA c b a cos cos cos +=+，C AB cos )sin(=-.（1）求C B A ,,；（2）若33+=∆ABC S ，求c a ,.19. 已知具有线性相关关系的两个变量y x ,之间的几组数据如下表所示：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+，并估计当20=x 时，y 的值；（2）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取2个点，求恰有1个点落在直线042=--y x 右下方的概率.参考公式：^1221()ni ii nii x ynx yb xn x ==-=-∑∑，x by a ^^-=. 20. 如图1，在直角梯形ABCD 中，CD AB //，AD AB ⊥，且121===CD AD AB ，现以AD 为一边向梯形外作正方形ADEF ，然后沿边AD 将正方形ADEF 翻折，使平面ADEF 与平面ABCD 垂直，M 为ED 的中点，如图2.（1）求证：//AM 平面BEC ； （2）求证：⊥BC 平面BDE ； （3）求点D 到平面BEC 的距离.21. 在平面直角坐标系中，已知两点)0,2(-M ，)0,2(N ，动点P 满足32||=PM ，线段PN 的中垂线交线段PM 于Q 点. （1）求Q 点的轨迹C 的方程；（2）过点)0,1(D 的直线l 与轨迹C 相交于B A ,两点，设点)2,3(E ，直线BE AE ,的斜率分别为21,k k ，问21k k +是否为定值？并证明你的结论.22.已知函数x x x x g ln 2)(2++=. （1）若函数a x g ≥)('恒成立，求实数a 的取值范围；（2）函数mx x g x f -=)()(，若)(x f 存在单调递减区间，求实数m 的取值范围； （3）设)(,2121x x x x <是函数)(x f 的两个极值点，若27≥m ，求)()(21x f x f -的最小值.商丘市2017—2018学年度第一学期期末考试高三数学（文科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）C A A B B CD C D C A D二、填空题（每小题5分，共20分）（13）3 （14）1（15（16）6π三、解答题（共70分） （17）(本小题满分10分)解：（Ⅰ）由12n n S a a =-得，()11122n n S a a n --=-≥由()1111222n n n n S a a S a a n --=-⎧⎪⎨=-≥⎪⎩，作差得()122n n a a n -=≥，由题意可知10a ≠，所以数列{}n a 是公比为2的等比数列又145,,13a a a +-成等差数列，所以541213a a a ++-= 即111116163a a a =++-，解得12a = 所以2n n a =（Ⅱ）442log og 4l n n n b a n === 所以11111n n b b n n +=-+ 于是11111122311n n T n n n =-+-++-=++ （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）cos cos cos a b A Bc C++=，由正弦定理可得： ∴sin sin cos cos sin cos A B A BC C++=， ∴sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-， 得 sin()sin()C A B C -=-.∴C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立).即 2C A B =+, 得3C π=，∴23B A π+=，1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去） ∴5,,4123A B C πππ===.（Ⅱ）1sin 32ABC S ac B ∆===+又sin sin a c A C ==所以a c ==（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）1(246810)65x =++++= ，1(3671012)7.65y =++++=5214163664100220ii x==++++=∑，516244280120272i ii x y==++++=∑51522215272567.644ˆ 1.120056405()i ii ii x y xybxx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑，∴7.66 1.11a =-⨯=，∴回归直线方程为 1.11y x =+， 故当20x =时，23y =（Ⅱ）可以判断，落在直线240x y --=右下方的点满足240x y -->， 故符合条件的点的坐标为()()()6,7,8,10,10,12， 共有10种取法， 满足条件的有6种，所以63105P == （20）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：取EC 中点N ，连结BN MN ,．在△EDC 中，,M N 分别为,EC ED 的中点，所以MN ∥CD ，且12MN CD =．…2分 由已知AB ∥CD ，12AB CD =，所以MN ∥AB ，且MN AB =． 所以四边形ABNM 为平行四边形．所以BN ∥AM ． 又因为⊂BN 平面BEC ，且⊄AM 平面BEC ，所以AM ∥平面BECG M AFBCD EN（Ⅱ）在正方形ADEF 中，ED AD ⊥． 又因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，且平面ADEF 平面ABCD AD =，所以⊥ED 平面ABCD ．所以ED BC ⊥．在直角梯形ABCD 中，1==AD AB ，2=CD ，可得2=BC ．在△BCD 中，2,2===CD BC BD ，所以222CD BC BD =+． 所以BC BD ⊥． 所以BC ⊥平面BDE ．（III ）解法一：因为BC ⊂平面BCE ，所以平面BDE ⊥平面BEC ． 过点D 作EB 的垂线交EB 于点G ，则⊥DG 平面BEC 所以点D 到平面BEC 的距离等于线段DG 的长度 在直角三角形BDE 中，DG BE DE BD S BDE ⋅=⋅=∆2121 所以3632==⋅=BE DE BD DG 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. 解法二：BE ⊂平面BDE ,所以BC BE ⊥ 所以,1222121=⋅⋅=⋅=∆BC BD S BCD.26322121=⋅⋅=⋅=∆BC BE S BCE 又BCE D BCD E V V --=，设点D 到平面BEC 的距离为.h 则⋅=⋅∆3131DE S BCD h S BCE ⋅∆，所以36261==⋅=∆∆BCE BCD S DE S h 所以点D 到平面BEC 的距离等于36. （21）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）以题意可得：||||NQ PQ =,||||NQ MQ +=>， 所以Q 点的轨迹C 是以,M N为焦点，长轴长为且a c =所以2221b a c =-=，1b =所以轨迹C 的方程为2213x y +=. （Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，由22113x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1,x y ==，设(1,A B，122233222k k +=+=. ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，将(1)y k x =-代入2213x y +=整理化简，得2222(31)6330k x k x k +-+-=， 依题意，直线l 与轨迹C 必相交于两点，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122631k x x k +=+，21223331k x x k -=+， 又11(1)y k x =-，22(1)y k x =-，所以12122112121222(2)(3)(2)(3)33(3)(3)y y y x y x k k x x x x ----+--+=+=----12211212[2(1)](3)[2(1)](3)93()k x x k x x x x x x ---+---=-++1212121212122()[24()6]93()x x k x x x x x x x x -++-++=-++2212222222336122()[246]3131633933131k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++2212(21)26(21)k k +==+ 综上得：12k k +为定值2.（说明：若假设直线l 为1x my =+，按相应步骤给分） （22）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为1()1g x x x'=++，1()113g x x x '=++≥=()g x a '≥，所以3a ≤（Ⅱ）所以()()21111x m x f x x m x x+-+=+-+='，又因为()0f x '<在()0+∞，上有解， 令()()211g x x m x =+-+，则()010g =>，只需2102(1)40m m -⎧>⎪⎨⎪-->⎩解得1{31m m m >><-，或，即3m >． （III ）因为()()211x m x f x x+-+'=，令()0f x '=，即()2110x m x +-+=，两根分别为12x x ，，则12121{1x x m x x +=-=，，又因为()()()()2212111222111ln 1ln 22f x f x x m x x x m x x -=+-+----()()()()()222222111212121222111ln ln 22x x x x m x x x x x x x x =-+--+=---+ ()22221112112122212221111ln ln ln 222x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 令12x t x =，由于12x x <，所以01t <<． 又因为72m ≥， ()()22122514x x m +=-≥， 即()2121212212x x x x x x x x +=++，即12524t t ++≥， 所以241740t t -+≥，解得4t ≥或14t ≤，即104t <≤． 令()111ln (0)24h t t t t t ⎛⎫=--<≤ ⎪⎝⎭， ()()2222211112102222t t t h t t t t t ----=--'==<，所以()h t 在104⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减， ()min 111115ln 42ln244248h t h ⎛⎫⎛⎫==--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 所以()()12f x f x -的最小值为152ln28-+．。