清华北大自主招生模拟试题(数学)

自主招生模拟试题--03一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.82.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.23.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】．A.12B.18C.24D.364.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为)12)(1(21)(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】．A.5B.6C.7D.8 5.若ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是【 】．A.(0,)+∞B.51(0,)2+ C.5151(,)22-+ D.51(,)2-+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】．A.55B.89C.109D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x =--+--+的最大值为____________.8.若函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________.9.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为____________.10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是:①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的有______________.（写出所有正确结论的编号．．） 三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.设b x ax x f ++=4)(2)0(<a ,方程0)(=x f 的两实根为21,x x ,方程x x f =)(的两实根为βα,. (1)若1||=-βα,求b a ,的关系式；(2)若b a ,均为负整数,且1||=-βα,求)(x f 的解析式； (3)若21<<<βα,求证:7)1)(1(21<++x x .12.已知正实数12,,n a a a …,的和为1,求证:222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++…. 13.设AB 是抛物线px y 22=)0(>p 的一条过焦点的弦,且AB 与x 轴不垂直,点P 是y 轴上异于坐标原点O 的一点,且满足B A P O ,,,四点共圆,设B A P ,,的纵坐标依次为210,,y y y ,求210y y y +的值.14.在直角坐标平面内,设x 轴,y 轴正方向上的单位向量分别是i ,j,该坐标平面内的点n A ,n B 满足以下两个条件:①1OA j = ,且1+n n A A ＝i ＋j ；②i OB 31=,且1+n n B B ＝2()33n i ⨯.(1)求n OA 及n OB 的坐标；(2)若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ,求n a 的表达式；(3)是否存在正整数M ,对*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在,求M 的最小值；若不存在,说明理由． 15.设ABC ∆的内切圆半径为1,三边长a BC =,b CA =,c AB =.若a ,b ,c 都是整数,求证:ABC ∆为直角三角形.自主招生模拟试题答题纸ABCDA 1B 1C 1D 1第10题图α一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)题号 1 2 3 4 5 6 答案二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分)题号7 8 9 10 答案三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.12.13.14.15.参考答案一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8解析:依题可知,由S 的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案:62.若函数1463)(23+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2()()()()()()()()()()()()()()()()()()3323333222223223614=13110,3131101,1311019,11123613=06380365=0f x x x x x xg y y y g y f a a a f b b b g a g b g a a b a a a a b a ab b a b b b b a =+++++++=+=++++==++++=⇒++∴+⇒+=-⎧+++⎪⇒+-+++++=⎨++-⎪⎩- 法一：设，则为奇函数且为单调递增函数，且=-9,=9,=-9=g -b-1,法二：易得()()()22260,380,0.D ab b a b a b ++>++>∴+<选。

3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】．A.12B.18C.24D.36解析:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成12个“正交线面对”,所以共有36个“正交线面对”；选D.4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为)12)(1(21)(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】．A.5B.6C.7D.8解析:由题知第一年产量为a 1＝12×1×2×3＝3；以后各年产量分别为a n ＝f (n )－f (n －1)＝12n ·(n ＋1)(2n＋1)－12n (n －1)(2n －1)＝3n 2,令3n 2≤150,得1≤n ≤52⇒1≤n ≤7,故生产期限最长为7年．答案:C.5.若ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则sin cot cos sin cot cos A C AB C B++的取值范围是【 】．A.(0,)+∞B.51(0,)2+ C.5151(,)22-+ D.51(,)2-+∞ 解析:设,,a b c 的公比为q ,则2,b aq c aq ==,而sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C B C B B C B C ++=++sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B bq B C A A aππ+-=====+-．因此,只需求q 的取值范围．又因,,a b c 成等比数列,最大边只能是a 或c ,因此,,a b c 要构成三角形的三边,必需且只需a b c+>且b c a +>．即有不等式组22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2210,10.q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩ 解得1551,225151.22q q q ⎧-+<<⎪⎪⎨-+⎪><-⎪⎩或 从而515122q -+<<,因此所求的取值范围是5151(,)22-+． 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】．A.55B.89C.109D.133解析:设n a 为集合},,2,1{n 的符合题意的子集个数,则}2,1,,,2,1{++k k k 的符合题意的子集可分为两类:第一类子集中不含2+k ,这类子集有1+k a 个；第二类子集含2+k ,这类子集或为},,2,1{k 的相应子集与}2{+k 的并,或为},,2,1{k 的单元子集与}2{+k 的并,共有k a k +个.故k a a a k k k ++=++12.又由于3,143==a a ,从而递推可得13310=a . 故选D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x =--+--+的最大值为____________.解析:因为2222222424)0()1()3()2(11363-+---+-=+--+--=x x x x x x x x x y ,所以其几何意义是:抛物线2x y =上的点),(2x x P 到点)2,3(A ,)1,0(B 的距离之差.再结合三角形的三边关系可知:10=≤-AB PB PA ,等号当且仅当点P 在AB 延长线与抛物线的交点处.即函数最大值为10. 8.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数ξ的期望E ξ为____________. [解法一] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比赛停止的概率为22215()()339+=．若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有5(2)9P ξ==, 4520(4)()()9981P ξ===, 2416(6)()981P ξ===,故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．[解法二] 依题意知,ξ的所有可能值为2,4,6.令k A 表示甲在第k 局比赛中获胜,则k A 表示乙在第k 局比赛中获胜． 由独立性与互不相容性得12125(2)()()9P P A A P A A ξ==+=, 1234123412341234(4)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++332112202[()()()()]333381=+=, 1234123412341234(6)()()()()P P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ξ==+++2221164()()3381==,故520162662469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．9.若函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________. 解析:令t x =sin ,则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=,即t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ,0)1(3)1(2≥----t t at ,0)3)1()(1(≥-+--t at t ,及01≤-t 可知 03)1(≤-+-t at ,即3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时,(1)总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知1223≤≤-a . 10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是:①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7以上结论正确的为______________.（写出所有正确结论的编号．．） 解析:如图,B 、D 、A 1到平面α的距离分别为1、2、4,则D 、A 1的中点到平面α的距离为3,所以D 1到平面α的距离为6；B 、A 1的中点到平面α的距离为52,所以B 1到平面α的距离为5；则D 、B 的中点到平面α的距离为32,所以C 到平面α的距离为3；C 、A 1的中点到平面α的距离为72,所以C 1到平面α的距离为7；ABCDA 1B 1C 1D 1第10题图α而P 为C 、C 1、B 1、D 1中的一点,所以选①③④⑤. 三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)11.设b x ax x f ++=4)(2)0(<a ,方程0)(=x f 的两实根为21,x x ,方程x x f =)(的两实根为βα,.(1)若1||=-βα,求b a ,的关系式；(2)若b a ,均为负整数,且1||=-βα,求)(x f 的解析式； (3)若21<<<βα,求证:7)1)(1(21<++x x .解:(1)由f (x )＝x 得ax 2＋3x ＋b ＝0(a <0,a 、b ∈R )有两个不等实根为α、β,∴Δ＝9－4ab >0,α＋β＝－3a ,α·β＝ba.由|α－β|＝1得(α－β)2＝1,即(α＋β)2－4αβ＝9a 2－4ba ＝1,∴9－4ab ＝a 2,即a 2＋4ab ＝9(a <0,a 、b ∈R )．(2)由(1)得a (a ＋4b )＝9,∵a 、b 均为负整数,∴⎩⎨⎧-=+-=941b a a 或⎩⎨⎧-=+-=149b a a 或⎩⎨⎧-=+-=343b a a显然后两种情况不合题意,应舍去,从而有⎩⎨⎧-=-=21b a .故所求函数解析式为f (x )＝－x 2＋4x －2.(3)证明:由已知得x 1＋x 2＝－4a ,x 1·x 2＝b a ,又由α<1<β<2得α＋β＝－3a <3,α·β＝b a <2,∴－1a <1,∴(x 1＋1)(x 2＋1)＝x 1·x 2＋(x 1＋x 2)＋1＝b a －4a＋1<2＋4＋1＝7,即(x 1＋1)(x 2＋1)<7.12.已知正实数12,,n a a a …,的和为1,求证:222211212231112n n n n n a a a a a a a a a a a a --++++≥++++…. 证明:设左边为2222112122311n n n n n a a a a x a a a a a a a a --=++++++++…出于对称性的考虑,再引进2222321122311n n n n a a a a y a a a a a a a a -=++++++++有2222222223111212231n n n n n n ia a a a a a a a x y a a a a a a a a -------=++++++++…122311()()()()0n n n a a a a a a a a -=-+-++-+-=…又由222i j i ji ja a a a a a ++≥+得222222231121223111()()22n n a a a a a a x x y a a a a a a +++=+=++++++122311[()()()]4n a a a a a a ≥++++++… 1211()22n a a a =+++=… 当且仅当121n a a a n====…时,可取等号.13.设AB 是抛物线px y 22=)0(>p 的一条过焦点的弦,且AB 与x 轴不垂直,点P 是y 轴上异于坐标原点O 的一点,且满足B A P O ,,,四点共圆,设B A P ,,的纵坐标依次为210,,y y y ,求210y y y +的值.()22121021012121212211:=-,-2-=0,,22--,=-,,,,==2AB pl ky x y pky p y y p y y y yy y y y p PA PB k k y y p ≠解：设直线与抛物线方程联立得：由于是方程的两根，且则有设直线的斜率为则k ()202222-=,,,,,tan tan p y y k A P O B APB AOB APB AOBy ∠=∠∠=∠因为四点共圆，所以，()()()()()()()()()()102022211201212124210201210202212211221042122-2--2--+-tan ==2-2-1++4--1+2-2-=0tan ==+43p y y p y y p y y y y y y y k k y y APB p y y p y y k k p p y y y y y y p y y y y y y y AOB p p y y p ⎡⎤⎣⎦∠=⋅⇒∠令()()()()()()()()()()()()2112012211201242210201020222120121020120120122--+2--+1=+4--3+4--33-3+=+4--,-=+=4+=4p y y y y y y y y y y y y y y p p y y y y pp y y y y y y y y y p y y y y p y y y y y y y y y ⎡⎤⎣⎦⇒=⇒⇒⇐∴而 14.在直角坐标平面内,设x 轴,y 轴正方向上的单位向量分别是i ,j,该坐标平面内的点n A ,n B 满足以下两个条件:①1OA j = ,且1+n n A A ＝i ＋j ；②i OB 31=,且1+n n B B ＝2()33n i ⨯.(1)求n OA 及n OB 的坐标；(2)若四边形11++n n n n A B B A 的面积是n a ,求n a 的表达式；(3)是否存在正整数M ,对*N n ∈都有n a ＜M 成立？若存在,求M 的最小值；若不存在,说明理由．解析:（1）1121n n n OA OA A A A A -=+++ (1)()(1)(1,)j n i j n i nj n n =+-+=-+=-1121n n n OB OB B B B B -=+++ 1212223()3()3()3333n i i i i -=+⨯+⨯++⨯21()23399(),02313nn i -⎛⎫=⨯=-⨯ ⎪⎝⎭- ． (2)1111212[109()](1)[109()]2323n n n n n n n PA B PA B a S S n n +++=-=-⨯⨯+--⨯⨯△△125(2)()3n n -=+-⨯,(3)1122[53(2)()][53(1)()]33n n n n a a n n -+-=+-⨯-+-⨯112223()[(2)(1)()](4)()333n n n n n --=⨯---⨯=-⨯∴120a a -<,230a a -<,340a a -<,450a a -=,560a a ->,670a a ->,等 即在数列{}n a 中,45859a a ==+是数列的最大项, 所以存在最小的自然数6M =,对一切)(*N n ∈都有n a ＜M 成立．15.设ABC ∆的内切圆半径为1,三边长a BC =,b CA =,c AB =.若a ,b ,c 都是整数,求证:ABC ∆为直角三角形.证明:设ABC ∆的内切圆在三边BC 、CA 、AB 上的切点分别为F E D ,,,记x AF AE ==,y BD BF ==,z CE CD ==,则2,2,2cb a z b ac y a c b x -+=-+=-+=.∵c b a ,,都是整数, ∴c b a a b c a c b -+-+-+,,同为偶数或同为奇数.于是,z y x ,,均为整数或均为奇数的一半. 下面证明后者是不可能的.∵1=r , ∴2cot ,2cot ,2cotCz B y A x === 又11111)22tan(2cot -+=-+=+=xy yx xyy x B A C , ∴1-+=xy y x z 若y x ,均为奇数的一半,不妨设),(212,212*N n m n y m x ∈-=-=,则3224)1(4----+=n m mn n m z . ∵)1(4-+n m 为偶数, 3224---n m mn 为奇数,∴z 不可能是奇数的一半,矛盾.故z y x ,,均为整数. 不妨设C B A ≤≤,则060≥C ,于是32cot≤=Cz ,又*N z ∈,∴1=z ,即1==r z ∴四边形DCEI 为正方形,其中I 为ABC ∆的内心,即090=∠ACB .故ABC ∆为直角三角形.。