第四章 能控性和能观测性
定常离散系统的能控性 定常连续系统的能控性
第四章 线性系统的能控性与能观性
例4.0.1
桥形电路(a) ，两个电容相等。选各自的电压为状态
变量，且设电容上的初始电压为零，根据电路理论，则 两个状态分量恒相等。相平面图(b)中，相轨迹为一条直
线，因此系统状态只能在相平面的一条直线上移动，不 论电源电压如何变动，都不能使系统的状态变量离开这
条直线。显然，它是不完全能控的。
量开始，在第N步到达零状态，其中N是大于k的
有限数，那么就称此系统在第k步上是能控的。如 果对每一个k，系统的所有状态都是能控的，则称 系统是状态完全能控的，简称能控。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 …, 性
4.1.2 单输入离散系统能控性的判定条件
单输入线性定常离散系统的状态方程
2.系统能控
线性定常连续系统的状态方程
x Ax Bu
(4.2.1)
对于式(4.2.1)所示线性时变连续系统,指定 初始时刻 t 0 Td，如果状态空间的所有非零状态 都是在 t 0 时刻能控的, 则称系统在时刻 t 0是状态 完全能控的，简称系统在时刻 t 0 能控。如果系统 对于任意的 t 0 Td 均是状态完全能控的(即系统的 能控性与初始时刻 t 0 Td 的选取无关)，则称系 统是一致能控的。
第四章 线性系统的能控性与能观性
4.1 定 常 离 散 系 统 的 能 控 性
例4.1.1
1 0 0 1 x (k 1) 0 2 2 x ( k ) 0u ( k ) 1 1 0 1
1 1 1 Ab A 2b rank 0 2 2 3 1 1 3
第四章 线性系统的能控性与能观性
能控与能观
§ 2 线性连续定常系统的能控性判据
推论： (a) 已知系统方程，记其能控指数为μ，并设 rankB=r，则必成立：
n r n r 1
(b) 对于单输入单输出系统，也即 r=1时，系统的能控指数为 μ=n。 (c) 线性定常系统完全能控的充分条件是：
rankQ
n r 1
rank [ B AB A
为对系统方程导出的约当规范形：
ˆˆ ˆ ˆ x A x B u , 其中：
J1 ˆ A
J2
ˆ B1 ˆ , B B2 ˆ Jl Bl
J i1 Ji
i
1
J ik
而 ( ri1 ri 2 ri i ) i 的最后一行所组成的矩阵：
b ri 1 b ri 2 b ri i
对i=1,2……均为行线性无关。
§ 2 线性连续定常系统的能控性判据 2-2 能控性指数：
, , l ( l 重 ) 且 ( ) n 时， 1 2 l
为对系统方程导出的约当规范形：
ˆ ˆ ˆ x Ax ˆˆ y Cx
其中：
§3 线性连续定常系统的能观性判据
J1 ˆ A ˆ ˆ , C C 1 Jl J i1 Ji ˆ ˆ , C C i i1 J i 1
我们在第二章得出了：
x (t ) (t , t 0 ) x 0
将上式带入系统方程，得：
t
( t , ) B ( ) u ( ) d
t0
y ( t ) C ( t ) ( t , t 0 ) x 0 C ( t ) ( t , ) B ( ) u ( ) d D ( t ) u ( t )
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
4.4线性时变系统的能控性和能观性
n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
第四章 线性系统的能控性与能观性
t
t 2
第四章 线性系统的能控性与能观性
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)
自动化--能控性与能观测性
能控性与能观测性现代控制理论的能控性能观测性是建立在状态空间描述的基础上，状态方程描述了输入u(t)引起状态x(t)的变化过程，输出方程则描述了由状态的变化引起输出y(t)的变化，能控性能观测性就是分析输入u(t)对状态x(t)的控制能力和输出y(t)对状态的反映能力，一个系统若具有能控性和能观测性，人们就可以对它实施最优控制。
一、引言1960年卡尔曼提出系统的能控性和能观测性问题，它是系统的两个基本特征。
对经典控制理论所讨论的SISO(单输入单输出系统)，它的输入量和输出量之间的动态关系可唯一的由系统的传递函数确定，即唯一输入对应唯一输出，而且输出可观测也可唯一确定输入。
现代控制理论着眼于分析、优化和控制MIMO（多输入多输出）系统内部特性和动态变化状态，其状态变量向量维数一般比输入向量维数高，并且有时还不能测量，所以存在系统内部状态能量控制和能观测问题。
二、能控性能控系统：假设系统初时刻处于状态空间任一点x=x(t0),倘若能够找到容许控制函数(输入)u在有限时间区间j内将系统由初态x转移到状态空间原点x(tj)=0则称为能控系统。
能达系统：假设系统初始时刻位于状态原点x(t)=0,倘若能够找到容许函数(输入)u 在有限时间内将系统由初态转移到状态空间任一点x(t)=x则称系统为能达系统。
对于线性连续系统，能控和能达是等价的，对线性离散系统则不同。
线性定常系统状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵QK=[B AB……An-1B]满秩(代数判据)，如果A为某个特征值有一个或者多个约旦矩阵则系统能控的充要条件是对于A的每个特征值的约旦块的B分块的最后一行都不全为零。
线性定常连续系统的输出的能控性判据为能控矩阵[CB CAB……CAn-1B]满秩（模态判据）。
能控性判据可以通过MATLAB直接得出矩阵的秩。
三、能观测性为了抑制干扰，降低参数灵敏度以构成最优系统，控制系统大多采用反馈形式，而反馈信息一般由系统的状态变量组合而成，但并非所有的状态变量在物理上都能测取到，于是提出能否通过输出的测量获得全部变量信息的问题，既可观测性。
现代控制理论(12-17讲：第4章知识点)
0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 x y x 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0
MIMO系统，n=5，r=5，独立特征向量为2， C阵对应列 (1、4列)，线性无关, 故系统状态完全能观。
4-4 线性定常离散系统的能控性和能观性
故系统是不能观测的。
y 3 2 0 x
18
例2：判定如下系统的能观性。
1 0 3 x x 7 u 0 3
0 0 1 y x 0 u 1 1
故系统是能观测的。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
解： n=3、 r=1 有
0 2 8 Q c B AB A 2 B 0 0 0 1 3 11
显然：
rankQc 2( n)
4
故系统是不能控的。
3、能控性判据之二 (1)、系统特征值互异的情况：
若线性定常系统： Ax + Bu , 具有n个互不相同的 x 特征值，则其状态完全能控的充分必要条件是，系统经非 奇异变换后的状态方程式：
C 1 1 rankQo rank 1 n CA 5 5
故系统是不能观测的.（detQo=0）
16
例2：判定如下系统的能观性。
2 1 1 x x 1 u 1 3
1 0 y x 1 0
b1 0
故系统状态不可控。
特别要注意特征值互异的条件，否则会影 响判定结论的正确性。
(2)、系统具有重特征值的情况： 若线性定常系统： Ax + Bu , 具有重特征值，且 x 每一个重特征值只对应一个独立特征向量，则其状态完全能 控的充分必要条件是，系统经非奇异变换后的Jordan规范形：
系统的能控性能观测性稳定性分析
系统的能控性能观测性稳定性分析1. 能控性（Controllability）能控性是指系统输出能否通过适当的输入方式对系统进行控制。
如果一个系统是能控的，意味着通过控制器的输入信号，我们能够将系统的输出发展到我们所期望的状态。
对于一个线性时不变（LTI）系统，能控性可以通过判断其控制矩阵的秩来确定。
控制矩阵（也称为控制可达矩阵）是由系统的状态方程和控制器的输入方程组成的。
如果控制矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能控的；否则，系统是无法被完全控制的。
能控性的分析可以帮助我们选择合适的控制策略和控制器设计。
当系统的能控性差时，我们可能需要通过增加或修改系统的状态变量或控制器的输入方式来提高系统的能控性。
2. 能观测性（Observability）能观测性是指系统的内部状态能否通过系统的输出信号来判断。
一个能观测的系统意味着我们可以通过观测系统的输出来估计系统的状态。
对于一个线性时不变系统，能观测性可以通过判断其观测矩阵的秩来确定。
观测矩阵（也称为观测可达矩阵）是由系统的状态方程和输出方程组成的。
如果观测矩阵的秩等于系统的状态数量，则系统是能观测的；否则，系统的一些状态是无法通过输出来观测到的。
能观测性的分析可以帮助我们选择合适的观测器设计，以实现对系统状态的估计。
当系统的能观测性差时，我们可能需要增加或改变系统的输出方程来提高系统的能观测性。
3. 稳定性（Stability）稳定性是指系统在受到扰动后是否会逐渐恢复到原来的状态。
对于线性时不变系统，稳定性可以分为几种类型：零状态稳定、有限状态稳定和无限状态稳定。
零状态稳定（Zero-state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到零。
有限状态稳定（Finite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在有限时间内收敛到一些有限值。
无限状态稳定（Infinite state stability）是指当系统受到初始条件扰动时，输出信号会在无限时间内收敛到一些有限值。
4 线性系统的能控性与能观性
4 线性系统的能控性与能观性内容提要能观性与能控性是现代控制理论中的两个重要问题。
比如在设计最优控制系统时，目的在于通过控制变量的作用，使系统的状态按预期的轨迹运行，如果状态变量不受控制，当然无法实现最优控制。
另外，一个系统的状态变量往往难以测取，需要由输出量来估计状态，不能观测的系统就无法实现此目的。
本章主要介绍线性系统的能控能观方面的基本知识，内容包括：1) 能控性与能观性两个基础性概念，它们的判别准则以及对偶关系；2) 分析系统的内在结构，按能控性与能观性进行的标准分解；3) 系统能控性、能观性和传递函数矩阵间的关系，即系统状态空间描述法与输入输出描述法的关系；4) 能控标准形和能观标准形；5) 系统的实现和传递函数矩阵的最小实现问题。
习题与解答4.1 判断下列系统的能控性。
1) u x x x x⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10 01112121 2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321111001 342100010u u x x x x x x3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21321321020011 100030013u u x x x x x x4) u x x x x x x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1110 000000000001432111114321λλλλ 5) u x x x x x x⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡031 2025016200340321321解：1) 由于该系统控制矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01b ，系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0111A ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1101 0111Ab 从而系统的能控性矩阵为[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==1011Ab bU C 显然有[]n Ab b U C ===2rank rank满足能控性的充要条件，所以该系统能控。
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A x b u x c c y Cc x
0 1 0 a2
n
能控标 准形
非能控 标准形
0 0 Ac Pc APc1 0 a0
1 0 0 a1
0 0 1 an 1
r 维输入, m维输出 的 n 阶系统
1 A1x1 B1u1 设有两个系统，一个系统 1 x y1 C1x1 2 A 2x2 B2u2 另一个系统 2 x m 维输入, r 维输出 y 2 C2 x 2 的 n 阶系统
若满足下列条件，则称 1与 2 是互为对偶的。
能控标准形
n 1
n2
可写出其状态空间表 达式：
1 0 0 0 0 1 A 0 0 0 a0 a1 a2
0 0 b 0 1
C b0 , b1 bn1
12
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
Ax bu 设系统的状态空间表达式为： x y Cx
若系统是完全能控的，rank[QC ] rank[ B AB An 1 B] n 则必定存在非奇异线性变换 x Pc x 或
1
x Pc x
使其变换成能控标准形：
x Ac x bc u
13
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
A x b u x c c y Cc x
Ac Pc APc1
bc Pc b
Cc CP
1 c
20
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
二、 系统的能观测标准形 如果一个系统的状态空间表达式为： 1 0 0 0 0 a0 x1 b0 x x 2 1 0 0 0 a1 x2 b1 0 1 0 0 a2 b2 u n 1 0 xn 1 x 能观 n x 0 0 0 1 an 1 xn bn 1 标准形
能控标准型对于 状态反馈比较方便
能观标准型对于 状态观测器的设计 及系统辩识比较方便
8
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
能控标准形是指在一组基底下，将能控性矩阵中的 A 和 B 表现为能控的标准形式。
能观标准形是指在一组基底下，将能观性矩阵中的 A 和 C 表现为能观的标准形式。
9
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 实质：对系统状态空间表达式进行非奇异线
5
4.3 对偶原理
二、对偶原理 系统 1 (A1 , B1 , C1 )与 2 (A 2 , B2 , C2 )是互为
对偶的两个系统， 则
1 的能控性等价于
2 的
能观性, 1 的能观性等价于 2的能控性。或者
说，若 1是状态完全能控的（完全能观的），
则 2是状态完全能观的（完全能控的）。
2 n 1
1 A P AP P A A P c c 证明： c 推得 ) c c (由 c
1
15
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
Pc A Ac Pc
P 1A P 2
2 P2 A P A P 1 3
n 2 Pn2 A P A Pn1 1
n1 Pn1 A P A Pn 1
rankQ c 2
∴ 系统是能控的
18
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 （2）计算非奇异变化矩阵
Qc b
1
Ab
1
1 0 1 1
Pc
1 1 Pc 0 1
1
19
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形 （3）求得能控 标准形：
0 x1 0 x 0 0 2 0 u 1 x n 1 a n1 1 xn
y C0 C1 C2 Cn1 x
2）求变换矩阵
24
To T1
1 3 AT1 2 4
1 1 3 0 1 x y CTx 1 x 2 2 4
25
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
本节小结
1、能控标准型、能观标准型的基本形式；
若系统是完全能观的，则必存在非奇异线性变换
~ x To x
将系统变换为能观标准形
Ao x bou x y Co x
C CA T1 n 1 CA
1
变换矩阵为：
T o T1
AT1 A T1
n1
0 0 1
能 控 标 准 形
则，该系统一定完全能控。
11
回顾：第二章讲
过，根据传递函数
bn1s bn2 s b1s b0 G( s ) n n 1 s an1s a1s a0
Ax bu x y Cx
0 0 1 an 1
2、牢固掌握将系统的传递函数或状态方程和输出方 程转化为能控标准型、能观标准型的方法； （重点：变换矩阵） 3、注意：只有能控ห้องสมุดไป่ตู้观的系统才可以化为能控标准
型、能观标准型
（即：在化能控标准型时需先判断系统是否能控， 而在化能观标准型需先判断系统是否能观）。
26
4.5 线性系统的结构分解
系统中只要有一个状态变量不能控，则称系统不能控； 不能控系统一般含有能控和不能控两种状态变量。 只要有一个状态变量不能观，则称系统不能观； 不能观测系统一般也有能观和不能观两种状态变量。
1
G2 ( s) C2 ( sI A2 ) B2 B ( sI A ) C
T 1
1
T 1 1
T 1
T T B1 [(sI A1 )1 ]T C1 [C1 ( sI A1 )1 B1 ]T
G1 ( s)
2、互为对偶的系统，其特征值相同。
T
I A2 I A1T I A1
Modern Control Theory
第四章 线性控制系统的能控性 和能观测性
1
第四章 线性控制系统的能控性和能观测性
本章主要内容
线性连续系统的能控性
线性连续系统的能观性 对偶原理 线性系统的能控标准形与能观标准形
线性系统的结构分解
传递函数矩阵与能控性、能观性的关系
2
4.3 对偶原理 一、线性定常系统的对偶关系
因此，从能控性、能观性角度出发： 状态变量可分成：能控能观状态变量、能控不能观状 态变量、不能控能观状态变量、不能控不能观状态 变量四类。
采用系统坐标变换的方法对状态空间进行分解，由相应状态 变量作坐标轴构成的子空间也分成四类，并把系统也相应分 成四类子系统，这些统称为系统的结构分解。
把系统能控或能观部分同不能控或不能观部分区分开来， 将有利于更深入了解系统的内部结构。
1 能控 2 能观 1 能观 2 能控
6
4.3 对偶原理 例如：能观标准形---显然能观的
能控标准形——显然能控的
7
4.4 线性系统的能控标准形 和能观标准形
由于状态变量选择的非唯一性，系统的状态空间表 达也不是唯一的。 在实际应用中，常根据所研究问题的需要，将状态 空间表达式化成相应的几种标准形式（如前述的对角标 准型、约当标准型 ） 好处 对于状态转移矩阵的计算、对能控性和能观性的分析 十分方便。
A2 A , B2 C , C2 B
T 1 T 1
T 1
3
4.3 对偶原理
1
系统结构图
2 系统结构图
输入输出互换； 信号传递反向； 信号引出与综合点互换； 4 各矩阵转置。
4.3 对偶原理 1、对偶系统的传递函数矩阵互为转置。
G1 ( s) C1 ( sI A1 ) B1
16
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
17
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
例4.13 试将下列系统变换为能控标准形
1 1 1 x x u 1 0 1
Qc b
y 1 0x
解：（1）先判别系统的能控性
1 0 Ab 1 1
22
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
非能观 标准型
~ x T Ao x bo u ox x Ax bu x y Cx y Co x
能观标 准型
0 0 0 0 a0 1 0 0 0 a 1 Ao To1 ATo 0 1 0 0 a2 0 0 0 1 an 1 b0 b n n1 1 sI A s an1s a1s a0 1 bo To b b2 Co CTo 0 0 0 1 b n 1
y 0 0 0 1x
则系统必定完全能观测。
bn1s n1 bn2 s n2 b1s b0 G( s ) n n 1 s an1s a1s a0
21
4.4 线性系统的能控标准形和能观标准形
Ax bu 设系统的状态空间表达式为： x y Cx
27
4.5 线性系统的结构分解
x
xco x co xco x co
xco
--能控能观 --能控不能观 --不能控能观
xco
xco xco