系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置
能控性与能观性
假使输出矩阵C中有某一列全为零，譬如说第2列中c12, c22, …, cm2均为零，则在 t y(t)中将不包含 e 2 x20这个自由分量，亦即不包含 x2(t)这个状态变量，很明显，这 个x2(t)不可能从y(t)的测量值中推算出来，即x2(t)是不能观的状态。
系统是状态完全能控的
x 2 1 x2 b2u y c1 c2 x
1 1 b1 x x u; 0 0 1
对于式(3-5)的系统
x 1 1 x1 x2 b1u x 2 1 x2
x2不受u(t)的控制，而为不能控的系统。
对式(3-3)的系统，系统矩阵A为对角线型，其标量微分方程形式为
x 1 1 x1
x 2 2 x2 b2u
x 2
x 1
1 1 0 x x u; 0 1 b2
对于式(3-4)的系统
y c1 c2 x
x 1 1 x1 x2
c13 c23 c33
1 2 1t 1t 1t e x10 te x20 t e x30 2! x1 (t ) 1t 1t e x20 te x30 这时，状态方程的解为 x(t ) x2 (t ) x ( t ) 3 1t e x 30
从而
y1 (t ) c11 c12 y (t ) y2 (t ) c21 c22 y3 (t ) c31 c32
现代控制理论实验报告
现代控制理论实验报告实验一系统能控性与能观性分析一、实验目的1.理解系统的能控和可观性。
二、实验设备1.THBCC-1型信号与系统·控制理论及计算机控制技术实验平台；三、实验容二阶系统能控性和能观性的分析四、实验原理系统的能控性是指输入信号u对各状态变量x的控制能力，如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间把系统所有的状态引向状态空间的坐标原点，则称系统是能控的。
对于图21-1所示的电路系统，设iL和uc分别为系统的两个状态变量，如果电桥中则输入电压ur能控制iL和uc状态变量的变化，此时，状态是能控的。
反之，当时，电桥中的A点和B点的电位始终相等，因而uc不受输入ur的控制，ur只能改变iL的大小，故系统不能控。
系统的能观性是指由系统的输出量确定所有初始状态的能力，如果在有限的时间根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
为了说明图21-1所示电路的能观性，分别列出电桥不平衡和平衡时的状态空间表达式：平衡时：由式（2）可知，状态变量iL和uc没有耦合关系，外施信号u只能控制iL的变化，不会改变uc的大小，所以uc不能控。
基于输出是uc，而uc与iL无关连，即输出uc中不含有iL的信息，因此对uc的检测不能确定iL。
反之式（1）中iL与uc有耦合关系，即ur的改变将同时控制iL和uc的大小。
由于iL与uc的耦合关系，因而输出uc的检测，能得到iL 的信息，即根据uc的观测能确定iL（ω）五、实验步骤1．用2号导线将该单元中的一端接到阶跃信号发生器中输出2上，另一端接到地上。
将阶跃信号发生器选择负输出。
2．将短路帽接到2K处，调节RP2，将Uab和Ucd的数据填在下面的表格中。
然后将阶跃信号发生器选择正输出使调节RP1，记录Uab和Ucd。
此时为非能控系统，Uab和Ucd没有关系（Ucd始终为0）。
3．将短路帽分别接到1K、3K处，重复上面的实验。
控制系统的能控性与能观性
系统能控性与能观性的对偶关系
▪ 卡尔曼对偶原理
若有两系统 x1 A1x1 B1u1 x2 A2x2 B2u2
y1 C1x1
y2 C2x2
满足条件 A2 A1T , B2 C1T , C2 B1T
▪ 例：已知系统的状态方程如下，判别其能控性
2 1 3 2 5 4
[B
AB
A2
B]
1
1
2
2
4
4
-1 -1 -2 -2 -4 -4
▪ 系统的能控矩阵M的秩等于2，即rankM=2，所 以系统是不完全能控的。
▪ 3. 通过系统的输入和状态矢量间的传递函数来判别 系统的能控性
▪ 例：（1）
4 5 5
x
1
0
1
1
x
0 b2
u;
y
c1
c2 x
画出模拟结构图
（3-2）
u b2
x1
c1
1
x2
c2
y
2
u b2
x2
1
c2
x1 c1
y
1
▪ 由图可以看出: (3-1) 的系统模拟结构 图中状态变量 x1 是一个与 u(t) 无任 何联系的孤立部分，也就是说 x1 不 受 u(t)的控制，因此，x1 是不能控的。 尽管 x2受到的 u(t) 控制，但整个系统仍
( An1)T CT T
CAn1
满秩，即RankN=n。
1 1 0 x 2 1 x 1 u
y 1 0 x
N
C CA
1 0
1 1
rankN=2，满秩，系统是能观的。
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性
第4章（1）线性控制系统的能控性和能观性第四章线性控制系统的能控性和能观性在现代控制理论中，能控性(Controllability)和能观性(Observ- ability)是两个重要的概念，它是卡尔曼(Kalman)在1960年提出的，是最优控制和最优估计的设计基础。
能观（测）性针对的是系统状态空间模型中的状态的可观测性，它反映系统的内部状态x(t)（通常是不可以直接测量的）被系统的输出量y(t)（通常是可以直接测量的）所反映的能⼒。
能控性严格上说有两种，⼀种是系统控制输⼊u(t)对系统内部状态x(t)的控制能⼒，另⼀种是控制输⼊u(t)对系统输出y(t)的控制能⼒。
但是⼀般没有特别指明时，指的都是状态的可控性。
所以，系统的能控性和能观性研究⼀般都是基于系统的状态空间表达式的。
4-1 线性连续定常系统的能控性定义对于单输⼊n 阶线性定常连续系统bu Ax x+= 若存在⼀个分段连续的控制函数u(t)，能在有限的时间段 []f t t ,0内把系统从0t 时刻的初始状态()0t x 转移到任意指定的终态()f t x ，那么就称系统在0t 时刻的状态()0t x 是能控的；如果系统每⼀个状态()0t x 都能控，那么就称系统是状态完全可控的。
反之，只要有⼀个状态不可控，我们就称系统不可控。
对于线性定常连续系统，为简便计，可以假设00=t ，()0=f t x ，即00=t 时刻的任意初始状态()0x ，在有限时间段转移到零状态()0=f t x （原点）。
4-2线性连续定常系统的能控性判别4-2-1具有约旦标准型系统的能控性判别 1．单输⼊系统具有约旦标准型系统bu x x+Λ==Λn λλλλ0000000000000321n λλλλ≠≠≠≠ 321即为n 个互异根或bu Jx x+==++n m m J λλλλλλ000000000000000100000000121111m 个重根1λn-m 个互异根n m m λλλ≠≠≠++ 21 例：分析下列系统的能控性（1）u b x x+??=221000λλ[]x c c y 21=解：?=111x xλ 1x 与u ⽆关，即不受u 控制 ?+=u b x x2222λ 2x 为能控状态该系统为状态不完全能控，因⽽为不能控系统。
第四章线性系统的能控性和能观性
习题4-7 已知系统的状态方程为
1 0 0 0 x 0 u 0 x 0 1 0 3 1 1
试判断系统是否可以采用状态反馈，分别配置以下 两组闭环极点：{2，2，1}；{2，2，3}。若能 配置，求出反馈阵K。
sI ( A BK) =
0
k1 3+ k2
sI ( A BK) = (s+1) [ s2 + (1+ k3) s + 3+ k2 ] 而希望的特征多项式为 (s +1)(s +2) (s +2) = (s +1) (s2 + 4s + 4) [ k2 k3] = [1 5]
19
习题4-5 受控系统的传递函数为
12
例4-11 已知系统的状态空间表达式为
0 0 5 A 1 0 0 C 0 0 1
设计输出反馈阵H，使闭环系统渐近稳定。 解： 利用能观测标准形可以判定原系统是能观测的。 列出原系统的特征多项式为 sI A = s3 + 3s2 + s 5 显然系统是不稳定的。 采用输出至输入的反馈控制，设u = r Hy，并设输 出反馈阵为
10
例4-10 已知线性定常系统的传递函数为 欲将闭环极点配置在s1= 2，s2 = 1+j，s3= 1j， 试确定状态反馈阵K。
10 G( s) s( s 1)(s 2)
解：因为给定系统的传递函数无零极点相消，所 以给定系统为能控的，能够通过状态反馈将闭环极点 配置在希望的位置上。由给定的传递函数可写出相应 的能控标准形 0 0 1 0
显然系统是不稳定的。
不管怎样选择h1和h2，都不能使闭环特征多项式的
现代控制理论基础实验报告
紫金学院计算机系实验报告现代控制理论基础实验报告专业：年级：姓名：学号：提交日期：实验一 系统能控性与能观性分析1、实验目的：1.通过本实验加深对系统状态的能控性和能观性的理解；2.验证实验结果所得系统能控能观的条件与由它们的判据求得的结果完全一致。
2、实验内容：1.线性系统能控性实验;2. 线性系统能观性实验。
3、实验原理：系统的能控性是指输入信号u 对各状态变量x 的控制能力。
如果对于系统任意的初始状态，可以找到一个容许的输入量，在有限的时间内把系统所有的状态变量转移到状态空间的坐标原点。
则称系统是能控的。
系统的能观性是指由系统的输出量确定系统所有初始状态的能力。
如果在有限的时间内，根据系统的输出能唯一地确定系统的初始状态，则称系统能观。
对于图10-1所示的电路系统，设i L 和u c 分别为系统的两个状态变量，如果电桥中4321R R R R ≠，则输入电压u 能控制i L 和u c 状态变量的变化，此时，状态是能控的；状态变量i L 与u c 有耦合关系，输出u c 中含有i L 的信息，因此对u c 的检测能确定i L 。
即系统能观的。
反之，当4321R R ＝R R 时，电桥中的c 点和d 点的电位始终相等， u c 不受输入u 的控制，u 只能改变i L 的大小，故系统不能控；由于输出u c 和状态变量i L 没有耦合关系，故u c 的检测不能确定i L ，即系统不能观。
1.1 当4321R RR R ≠时u L u i R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L u i C L C L ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121 (10-1)y=u c =[01]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c L u i (10-2)由上式可简写为bu Ax x+= cx y =式中⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C L u i x ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫+++-+-+-⎝⎛+-+-+++-=)11(1)(1)(1)(143214343212143421243432121R R R R C R R R R R R R R L R R R R R R C R R R R R R R R L A⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=01L b 1] [0=c由系统能控能观性判据得][Ab brank =2 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡cA c rank故系统既能控又能观。
一级倒立摆MATLAB仿真、能控能观性分析、数学模型、极点配置
题目一：考虑如图所示的倒立摆系统。
图中，倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。
图 倒立摆系统设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。
要求：1、建立倒立摆系统的数学模型2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的分析方法进行参数的确定4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状态变量的时间响应图。
解：1 建立一级倒立摆系统的数学模型 系统的物理模型如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l ，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u 。
这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。
图1 一级倒立摆物理模型建立系统状态空间表达式为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。
在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsin θ。
这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到u l y dtd m dt d M =++)sin (y 2222θ （1） 对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到θθsin )sin y (m 22mg l dtd =+ （2）方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。
4.4线性时变系统的能控性和能观性
n
M
N
n1
(t1
)
N0(t) C(t)
N k 1 (t )
Nk
(t ) A(t )
d dt
Nk
(t)
(k 0,1,2,L ,n 1)
第四章 线性系统的能控性与能观性
例 4.4.2.（2）已知线性时变连续系统为
x1 t 1 0 x1
x2
0
2t
0
x2
Td [0, 2], t0 0.5, t f 2
解：首先计算 0
M0 (t ) B(t ) 1
1
1
M1(t)
A(t )M0 (t )
d dt
M0 (t )
2t
t t 2
3t
M2 (t )
A(t )M1(t )
d dt
M1(t)
4t 2 2
(t 2 t )2 2t 1
进而，可以找到 t1 1，[0使,3有]
第四章 线性系统的能控性与能观性
t
t 2
第四章 线性系统的能控性与能观性
2t 0 2t
M
2
(t
)
A(t)M1(t)
d dt
M 1 (t )
t t
2 4
1
2t
t
2
1
t4 2t
M0(t) M1(t) M2(t) 秩为3，所以系统是完全能控
第四章 线性系统的能控性与能观性
推论（秩判据）：假设矩阵A(t)和B(t)在时间区间
N1 ( t )
t 2 1 4t 2 3t 2 (t 2 t )2 (2t 1)
N0 (t1 )
1 1 1
于是
rank
(k 1, 2,L , n 1)
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实 验 报 告课程 自动控制原理 实验日期 12 月26 日 专业班级 姓名 学号实验名称 系统的能控性与能观性分析及状态反馈极点配置 评分批阅教师签字一、实验目的加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念，掌握状态反馈极点配置方法，掌握如何使用MATLAB 进行以下分析和实现。
1、系统的能观测性、能控性分析；2、系统的最小实现；3、进行状态反馈系统的极点配置；4、研究不同配置对系统动态特性的影响。
二、实验内容1.能控性、能观测性及系统实现（a ）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。
gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf, mineral ； （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s as s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；（c ）已知系统矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=2101013333.06667.10666.6A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；（d ）求系统1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。
2.实验内容原系统如图1-2所示。
图中，X 1和X 2是可以测量的状态变量。
图1-2 系统结构图试设计状态反馈矩阵,使系统加入状态反馈后其动态性能指标满足给定的要求:(1) 已知：K=10，T=1秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤20%，ts≤1秒。
(2) 已知：K=1，T=0.05秒，要求加入状态反馈后系统的动态性能指标为：σ%≤5%，ts≤0.5秒。
状态反馈后的系统，如图1-3所示：图1-3 状态反馈后系统结构图分别观测状态反馈前后两个系统的阶跃响应曲线，并检验系统的动态性能指标是否满足设计要求。
三、实验环境 1、计算机1台；2、MATLAB6.5软件1套。
四、实验原理（或程序框图）及步骤 1、系统能控性、能观性分析设系统的状态空间表达式如下：p m n R y R u R x Du Cx y Bu Ax x∈∈∈⎩⎨⎧+=+=&（1-1）其中A 为n ×n 维状态矩阵；B 为n ×m 维输入矩阵；C 为p ×n 维输出矩阵；D 为p ×m 维传递矩阵，一般情况下为0。
系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的关系如式(1-2)所示：D B A sI C s den s num s G +-==-1)()()(()((1-2)式(1-2)中，)(s num 表示传递函数阵的分子阵，其维数是p ×m ；)(s den 表示传递函数阵的分母多项式，按s 降幂排列的后，各项系数用向量表示。
系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。
系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t 1-t 0）内，能把任一给定的初态x(t 0)转移至预期的终端x(t 1)，则称此状态是能控的。
若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。
状态能控性判别方法分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能控性判别式为：[]nB A AB BRank RankQ n c ==-1Λ（1-3）系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（1-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。
状态能观测性判别方法也分为2种：一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。
状态能观测性判别式为：[]nCA CA CRank RankQ Tn o ==-1Λ（1-4）系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。
已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。
实现的方式不唯一，实现也不唯一。
其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。
2、状态反馈极点配置一个受控系统只要其状态是完全能控的，则闭环系统的极点可以任意配置。
极点配置有两种方法：①采用变换矩阵T ，将状态方程转换成可控标准型，然后将期望的特征方程和加入状态反馈增益矩阵K 后的特征方程比较，令对应项的系数相等，从而决定状态反馈增益矩阵K ；②基于Carlay-Hamilton 理论，它指出矩阵状态矩阵A 满足自身的特征方程，改变矩阵特征多项式)(A Φ的值，可以推出增益矩阵K ，这种方法推出增益矩阵K 的方程式叫Ackermann 公式。
五、程序源代码1.>> num=[1 -1];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b)Qc =1 -10 730 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 -11 -1 0-11 -27 -18>> rank(Qo)ans =3>> num=[1 0];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b)Qc =1 -10 730 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 01 0 0-10 -27 -18>> rank(Qo)ans =3>> num=[1 1];den=[1 10 27 18];[a,b,c,d]=tf2ss(num,den); >> Qc=ctrb(a,b)Qc =1 -10 730 1 -100 0 1>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =0 1 11 1 0-9 -27 -18>> rank(Qo)ans =22.>> a=[6.666 -10.667 -0.333;1 0 1;0 1 2];b=[0 1 1]';c=[1 0 2]; >> Qc=ctrb(a,b)Qc =0 -11.0000 -84.99201.0000 1.0000 -8.00001.0000 3.0000 7.0000>> rank(Qc)ans =3>> Qo=obsv(a,c)Qo =1.0000 02.00006.6660 -8.6670 3.667035.7686 -67.4392 -3.5528>> rank(Qo)ans =33.>> num=[1 1];den=[1 10 27 18];[A,B,C,D]=tf2ss(num,den) A =-10 -27 -181 0 00 1 0B =1C =0 1 1D =>> [Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D) 1 state removed.Am =-17.2017 -8.567718.5677 8.2017Bm =0.5774-0.5774Cm =1.0000 1.0000Dm =4.(1)>> A=[-1/1 10/1;-1 0];B=[0;1];C=[1 0];>> p=[-5+sqrt(-75);-5-sqrt(-75)]p =-5.0000 + 8.6603i-5.0000 - 8.6603i>> k=place(A,B,p)k =8.1000 9.0000>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)num =0 0.0000 10.0000den =1.0000 1.0000 10.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; >> [num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D)num =0 0 10.0000den =1.0000 10.0000 100.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid;(2)>> A=[-1/0.05 1/0.05;-1 0];B=[0;1];C=[1 0]; >> p=[-7+sqrt(-51);-7-sqrt(-51)]p =-7.0000 + 7.1414i-7.0000 - 7.1414i>> k=place(A,B,p)k =10.0000 -6.0000>> [num,den]=ss2tf(A,B,C,D)num =0 0 20den =1 20 20>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid; >> [num,den]=ss2tf(A-B*k,B,C,D)num =0 0.0000 20.0000den =1.0000 14.0000 100.0000>> t=0:0.05:12;sys=tf(num,den);step(sys,t);grid;六、实验数据、结果分析1.（1）系统能观，能控（2）系统能观，能控（3）系统能观，能控2.系统能观，能控3.Am =-17.2017 -8.567718.5677 8.2017Bm =0.5774-0.5774Cm =1.0000 1.0000Dm =4.（1）状态反馈前状态反馈后（2）状态反馈前状态反馈后思考题：1. 输出反馈能使系统极点任意配置吗？不能，对完全能控的单输入单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现闭关系统极点的任意配置。
2. 若系统的某个状态不能直接测量，能用什么办法构成全状态反馈？根据图可得状态观测器方程：式中，为状态观测器的状态矢量，是状态x 的估计值；)ˆ(ˆˆy y G Bu x A x-++=&x GC Gy Bu x A ˆˆ-++=Bu Gy x GC A ++-=ˆ)(状态观测器的输出矢量；G 为状态观测器的输出误差反馈矩阵。