湖南省郴州市中考数学试卷(解析版)讲课教案
2020年湖南省郴州中考数学试卷(附答案与解析)
绝密★启用前2020年湖南省郴州市初中学业水平考试数 学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；2.选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；3.非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；4.在草稿纸、试题卷上答题无效；5.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6.答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回。
本试卷共8页，有三道大题，共26小题，满分为130分，考试时间120分钟.一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1.如图表示互为相反数的两个点是（ ）A .点A 与点B B .点A 与点DC .点C 与点BD .点C 与点D2.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空.北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1 000 000 000纳秒）用科学记数法表示10纳秒为（ ）A .8110-⨯秒B .9110-⨯秒C .91010-⨯秒D .90.110-⨯秒 3.下列图形是中心对称图形的是（ ）ABCD4.下列运算正确的是 （ ）A .()44a a -=B .236a a a = C=D .325235a a a +=5.如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截.下列条件能判定a b 的是 （ ）A .13∠=∠B .24180∠+∠=C .45∠=∠D .12∠=∠6.则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义．．．．．．．的是（ ）A .中位数B .平均数C .众数D .方差7.如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式（ ）A .()22211x x x -+=-B .()()2111x x x -=+-C .()22211x x x ++=+D .()21x x x x -=-毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------8.在平面直角坐标系中，点A 是双曲线()110k y x x=＞上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线()220k y x x =＜交于点B ，连接AB .已知2AO BO=，则12kk =（ ）A .4B .4-C .2D .2-二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9.若分式11x +的值不存在．．．，则x =________. 10.已知关于x 的一元二次方程2250x x c -+=有两个相等．．．．的实数根，则c =________. 11.质检部门从1 000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品.试据此估计这批电子元件中大约有________件次品.12.某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为28.0s =.后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差2s =新________.13.小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为________.14.在平面直角坐标系中，将AOB △以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11AOB △.已知()23A ，，则点1A 的坐标是________.15.如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为________.16.如图，在矩形ABCD 中，4AD=，8AB =.分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F .作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN =________.三、解答题：（17～19题每小题6分，20～23题每小题8分，24～25题每小题10分，26题12分，共82分）17.计算：)1°12cos 45113-⎛⎫-+-⎪⎝⎭18.解方程：24111x x x =+--19.如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE CF =.连接DE ，DF ，BE ，BF . 求证：四边形BEDF 是菱形.20.疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP 等平台进行教学视频推送.某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A .效果很好；B .效果较好；C .效果一般；D .效果不理想）.并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了________名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中α∠的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般.从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21.2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功.运载火箭从地面O 处发射，当火箭到达点A 时，地面D 处的雷达站测得4000AD =米，仰角为30°.3秒后，火箭直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得B 处的仰角为45°.已知C ，D 两处相距460米，求火箭从A 到B 处的平均速度（结果精确到1米/1.7321.414）22.为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1 380万元. （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A ，B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资.甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车.按此要求安排A ，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23.如图，ABC △内接于O ，AB 是O 的直径.直线l 与O 相切于点A ，在l 上取一点D 使得DA DC =.线段DC ，AB 的延长线交于点E .（1）求证：直线DC 是O 的切线；（2）若2BC =，°30CAB ∠=，求图中阴影部分的面积（结果保留π）.24.为了探索函数()10y x x x=+＞的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法.描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以相应的函数值y 为纵坐毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________ ________________ _____________-------------在------------------此------------------卷------------------上-------------------答-------------------题-------------------无-------------------效----------------标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象； （2）已知点()11x y ，，()22x y ，在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若1201x x ＜＜≤，则1y ________2y ；若121x x ＜＜，则1y ________2y ； 若121x x =，则1y ________2y （填“＞”，“＝”，“＜”）.（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米.已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米.设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元. ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内？ 25.如图1，在等腰直角三角形ADC 中，°90ADC ∠=，4AD =.点E 是AD 的中点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接AG ，CE .将正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转，旋转角为()°°090αα＜＜.（1）如图2，在旋转过程中，①判断AGD △与CED △是否全等，并说明理由；②当CE CD =时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长. （2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P . ①求证：AG CP ⊥；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.26.如图1，抛物线()230y ax bx a =++≠与x 轴交于()10A -，，()30B ，，与y 轴交于点C .已知直线y kx n =+过B ，C 两点.（1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点，①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D .设PDC △的面积为1S ，ADC △的面积为2S ，求12S S 的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF BC ⊥，垂足为F .点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由.2020年湖南省郴州市初中学业水平考试 数学答案解析一、 1.【答案】B【解析】根据一个数的相反数定义求解即可.解：在3-，1-，2，3中，3和3-互为相反数，则点A 与点D 表示互为相反数的两个点.故选：B . 【考点】相反数 2.【答案】A【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.∵1秒＝1 000 000 000纳秒，∴10纳秒101000000000=÷秒0.00000001=秒8110-=⨯秒.故选：A .【考点】科学记数法表示较小的数 3.【答案】D【解析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案. 解：A 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； B 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； C 、不是中心对称图形，故此选项不合题意； D 、是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D .【考点】中心对称图形 4.【答案】A【解析】根据积的乘方、同底数幂的乘法、二次根式的减法以及合并同类项法则进行计算得出结果进行判断即可.A .()44a a -=，计算正确，符合题意；B .232+35=a a a a =，故本选项错误；C==，故本选项错误； D .3223a a +不能计算，故本选项错误； 故选：A .【考点】积的乘方，同底数幂的乘法，二次根式的减法，合并同类项 5.【答案】D【解析】直接利用平行线的判定方法进而分析得出答案. 【详解】A 、当13∠=∠时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；B 、当24180∠+∠=时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；C 、当45∠=∠时，c d ，不能判定a b ，故此选项不合题意；D 、当12∠=∠时，a b ，故此选项符合题意；故选：D .【考点】平行线的判定 6.【答案】C【解析】鞋店的经理最关心的是各种鞋号的鞋的销售量，特别是销售量最大的鞋号. 解：对这个鞋店的经理来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数. 故选：C .【考点】统计量的意义的理解与运用 7.【答案】B【解析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积，然后根据面积相等列出等式即可.第一个图形空白部分的面积是21x -， 第二个图形的面积是()()11x x +- 则()()2111x x x -=+-. 故选：B .【考点】平方差公式的几何背景8.【答案】B【解析】分别作AE x ⊥轴，BF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，证明AOE OBF △∽△得到24AOE BOF S AO S BO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△，结合反比例函数的系数的几何意义即可得到答案. 解：过A 作AE x ⊥轴，过B 作BF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，如图，则°90AEO BFO ∠=∠=，°90AOE OAE ∠+∠=∴，°90AOB ∠=∵， °90BOF AOE ∠+∠=∴， OAE BOF ∠=∠∴，AOE OBF ∴△∽△， 24AOE BOF S AO S BO ⎛⎫== ⎪⎝⎭△△∴，即1212412k k =， 124k k =∴10k ∵＞，20k ＜，124kk =-∴. 故选：B .【考点】反比例函数系数的几何意义，相似三角形的判定与性质，三角形的面积 二、9.【答案】1-【解析】根据分式无意义的条件列出关于x 的方程，求出x 的值即可.∵分式11x +的值不存在， 10x +=∴，解得：1x =-， 故答案为：1-. 【解析】利用判别式的意义得到()2245420b ac c ∆=-=--⨯=，然后解关于c 的方程即可.2a =∵，5b =-，c c =，根据题意得()2245420b ac c ∆=-=--⨯=，解得258c =， 故答案为：258.【考点】根的判别式 11.【答案】20【解析】先求出次品所占的百分比，再根据生产这种零件1 000件，直接相乘得出答案即可.∵随机抽取100件进行检测，检测出次品2件，∴次品所占的百分比是：2100%2%100⨯=， ∴这一批次产品中的次品件数是：：10002%20⨯=（件）， 故答案为：20. 【考点】用样本估计总体 12.【答案】8.0【解析】根据一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为28.0S =新；故答案为：8.0. 【考点】方差的意义 13.【答案】337y x =+【解析】利用待定系数法即可求出该函数表达式. 解：设该函数表达式为y kx b =+，根据题意得：40243k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得337k b =⎧⎨=⎩，∴该函数表达式为337y x =+.故答案为：337y x =+.【解析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可.解：∵将AOB △以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到11AOB △，()23A ，， ∴点1A 的坐标是：222333⎛⎫⨯⨯ ⎪⎝⎭，，即1423A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.故答案为：423⎛⎫⎪⎝⎭，.【考点】位似变换 15.【答案】48【解析】圆锥的主视图是等腰三角形，根据圆锥侧面积公式S rl π=代入数据求出圆锥的底面半径长，再由勾股定理求出圆锥的高即可.根据圆锥侧面积公式：S rl π=，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故6010r ππ=⨯⨯， 解得：6r =.由勾股定理可得圆锥的高8=，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积1128=482=⨯⨯，故答案为：48.【解析】连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD =，8AB =，根据勾股定理可得BD 的长，根据作图过程可得，MN 是BD 的垂直平分线，所以DN BN =，在Rt ADN △中，根据勾股定理得DN 的长，在Rt DON △中，根据勾股定理得ON 的长，进而可得MN 的长.如图，连接DN ，在矩形ABCD 中，4AD=，8AB =，BD =∴根据作图过程可知：MN 是BD 的垂直平分线，DN BN =∴，OB OD == 8AN AB BN AB DN DN =-=-=-∴，在Rt ADN △中，根据勾股定理，得222DN AN AD =+，()22284DN DN =-+∴，解得5DN =，在Rt DON △中，根据勾股定理，得ON==，CD AB ∵，MDO NBO ∠=∠∴，DMO BNO ∠=∠， OD OB =∵，()DMO BNO AAS ∴△≌△，OM ON ==∴MN =∴故答案为：【解析】根据负整指数幂的性质，特殊角的三角函数值，绝对值，零指数幂的性质，直接计算即可.具体解题过程参照答案. 【考点】实数的混合运算18.【答案】解：24111x x x =+--去分母得，()2141x x x +=+- 解得，3x =，经检验，3x =是原方程的根， 所以，原方程的根为：3x =.【解析】观察可得方程最简公分母为()21x -，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验.具体解题过程参照答案.【考点】解分式方程的基本思想是“转化思想”，解分式方程一定注意要检验 19.【答案】证明：连接BD ，交AC 于O ，如图所示：∵四边形ABCD 是菱形，OA OC =∴，OB OD =，AC BD ⊥， AE CF =∵， OE OF =∴，∴四边形BEDF 是平行四边形，•EF BD ⊥∵，∴四边形BEDF 是菱形.【解析】连接BD ，由菱形ABCD 的性质得出OA OC =，OB OD =，AC BD ⊥，得出OE OF =，证出四边形BEDF 是平行四边形，再由EF BD ⊥，即可证出四边形BEDF 是菱形.具体解题过程参照答案.【考点】菱形的判定与性质，平行四边形的判定和性质 20.【答案】（1）200（2）“C ”的人数为：20080602040---=（人）， 补全条形统计图如下：°°40360=72200α∠=⨯； （3）用A ，B ，C ，D 分别表示甲，乙，丙，丁，①画树状图如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的有2种，P∴（1人认为效果很好，1人认为效果较好）21 126==；【解析】（1）用评价为“效果很好”的人数除以评价为“效果很好”的人数所占百分比即可得到抽查的总人数.8040%200÷=（人），故答案为：200.（2）首先求出评价为“效果一般”的人数，再补全条形统计图；用评价为“效果一般”的人数除以抽查的总人数，得到评价为“效果一般”的人数所占百分比乘以360°可得到α∠.具体解题过程参照答案.（3）用A，B，C，D分别表示甲，乙，丙，丁四人，画出树状图（或列表）表示所有等可能的情况数，得到“1人认为效果很好，1人认为效果较好”结果数，进而用概率公式求解即可.具体解题过程参照答案.【考点】从条形统计图和扇形统计图21.【答案】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：3AB x=，在Rt ADO△中，°30ADO∠=，4000AD=，2000AO=∴，2DO=∴460CD=∵，2460OC OD CD=-=∴，在Rt BOC△中，°45BOC∠=，BO OC=∴，20003OB OA AB x=+=+∵，200032460x+=∴，解得335x≈（米/秒）.答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒.【解析】设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可得3AB x=，在Rt ADO△中，°30ADO∠=，4000AD=，可得2000AO=，2DO=，在Rt BOC△中，°45BOC∠=，可得BO OC=，即可得200032460x+=，进而解得x的值.具体解题过程参照答案.【考点】直角三角形的应用-仰角俯角问题22.【答案】（1）解：设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：540321380x yx y==+⎧⎨+⎩，解得：300240xy==⎧⎨⎩.答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨.（2）解：设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50m-）辆，依题意，得：()()75503003750240m mm m⎧+-⎪⎨+-⎪⎩≥≥，解得：125272m ≤≤. m ∵为正整数，m ∴可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B 型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车.【解析】（1）设甲物资采购了x 吨，乙物质采购了y 吨，根据“某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，且采购两种物资共花费1 380万元”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论.具体解题过程参照答案.（2）设安排A 型卡车m 辆，则安排B 型卡车（50m -）辆，根据安排的这50辆车一次可运输300吨甲物质及240吨乙物质，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数即可得出各运输方案.具体解题过程参照答案.【考点】二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用 23.【答案】（1）证明：连接OC ，OA OC =∵，OAC OCA ∠=∠∴， DA DC =∵， DAC DCA ∠=∠∴，∵直线l 与O 相切于点A ，°90DAO ∠=∴， °90DAC OAC ∠+∠=∴， °90DCA OCA ∠+∠=∴， °90DCO ∠=∴， OC DC ⊥∴，又∵点C 在O 上，∴直线DC 是O 的切线；（2）解：°30CAB ∠=∵，°260COB CAB ∠=∠=∴，又OB OC =∵，BOC ∴△为等边三角形， 2OB OC BC ===∴，26022=3603BOC S ππ=扇形∴，°90OCE ∠=∵，°60COB ∠=， °°9030E COB ∠=-∠=∴， 24OE OC ==∴，∴在RtCOE △中，CE=12122COE S OC OE==⨯⨯△∴ 23COE BOC S S S π=-△阴影扇形∴∴阴影部分的面积为23π.【解析】（1）连接OC ，根据OA OC =，DA DC =可得OAC OCA ∠=∠，DAC DCA ∠=∠，再根据直线l 与O 相切于点A 可得°90DAO ∠=，进而可得°90DCO ∠=，由此可证得直线DC 是O 的切线.具体解题过程参照答案.（2）先证明BOC △为等边三角形，可得2OB OC BC ===，根据扇形面积公式可求得23BOC S π=扇形，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得CE =，由此可求得COE S =△23COE BOC S S S π=-△阴影扇形.具体解题过程参照答案.【考点】切线的性质与判定，扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理 24.【答案】（1）如图1所示；（2）＞＜=（3）①∵底面面积为1平方米，一边长为x 米，∴与之相邻的另一边长为1x米，∴水池侧面面积的和为：1112122x x x x ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭∵底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米，111120.51y x x x x ⎛⎫=⨯++⨯=++ ⎪⎝⎭∴即：y 与x 的函数关系式为：11y x x=++；②∵该农户预算不超过3.5千元，即 3.5y ≤11 3.5x x ++∴≤ 12.5x x +∴≤，根据图象或表格可知，当2 2.5y ≤≤时，12x ≤≤，【解析】（1）用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象即可.具体解题过程参照答案.（2）观察函数图象可以看出有最低点，即函数有最小值，结合表格提供的信息即可解决问题.根据图象和表格可知，当1201x x ＜＜≤时，12y y ＞；当121x x ＜＜，则12y y ＜；当121x x =，则12y y =.（3）①根据底面面积可求出底面另一条边长，进而可求出水池的侧面积，分别表示出底面和侧面的造价，从而可表示出y 与x 的函数关系式.具体解题过程参照答案. ②根据函数关系式结合表格可得出x 的控制范围.具体解题过程参照答案. 【考点】反比例函数的性质25.【答案】解：（1）①全等，理由如下：在等腰直角三角形ADC 中，AD CD =，°90ADC ∠=， 在正方形DEFG 中，GD ED =，°90GDE ∠=， 又90ADE EDC ︒∠+∠=∵，90ADE ADG ︒∠+∠=，ADG CDE ∠=∠∴在AGD △和CED △中，AD CD ADG CDE GD ED =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()AGD CED SAS ∴△≌△；②如解图2，过A 点作AM GD ⊥，垂足为M ，交FE 与N ，∵点E 是AD 的中点，∴在正方形DEFG中，2DE GD GF EF ====，由①得C AGD ED ≌△△，AG CE =∴，又CE CD =∵，4AG AD CD ===∴，AM GD ⊥∴，112GM GD ==∴，又90D F ︒∠=∠=∵，∴四边形GMNF 是矩形，2MN GF ==∴，在Rt AGM △中，AM ===，cos 4AM GAM AG ∠==∴ FG AM ∵，GAM AGF ∠=∠∴cos FGAGF GH ∠==∴，cos FGGH AGF==∠∴. （2）①由①得C AGD ED ≅△△，EC GAD D ∠=∠∴，又90ECD ECA DAC ︒∠∠++=∠∵，90GAD ECA DAC ︒∠∠++=∠∴，90APC ︒∠=∴，即：AG CP ⊥；②90APC ︒∠=∵，sin PC AP PAC =∠∴，∴当PAC ∠最大时，PC 最大，°45DAC ∠=∵，是定值，GAD ∠∴最大时，PAC ∠最大，PC 最大，4AD =∵，2GD =，∴当GD AG ⊥，30GAD ︒∠=最大，如解图3，此时AG ===又AG CP ⊥∵，EF FG ⊥，F ∴点与P 点重合，CEFP ∴四点共线，2CP CE EF AG EF =+=+=∴，【解析】（1）①由等腰直角三角形性质和正方形性质根据全等三角形判定定理()SAS 即可证明；②过A 点作AM GD ⊥，垂足为M ，交FE 与N ，利用等腰三角形三线合一性质构造直角三角形，由勾股定理求出AM 的长，进而得出cos cos GAM AGF ∠=∠，再由cos FG GH AGF =∠求出结果.具体解题过程参照答案.（2）①根据全等三角形性质可得C GAD E D ∠=∠，再在APC △和ADC △中由三角形内角和定理得出°90GAD ECA DAC ++=∠∠∠，从而证明结论；②根据°90APC ∠=得出PC 最大值是GAD ∠最大时，即GD AG ⊥时，进而可知CEF 三点共线，F 与P 重合，求出此时CE 长，继而可得CP 最大值.具体解题过程参照答案.【考点】三角形的综合26.【答案】（1）把()10A -，，()30B ，代入23y ax bx =++得： 309330a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得：12a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为223y x x =-++，令0x =，则3y =，∴点C 的坐标为()30，， 把()30B ，，()3C 0，代入y kx n =+得： 303k n n +=⎧⎨=⎩， 解得：13k n =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的表达式为3y x =-+；（2）①PA ∵交直线BC 于点D ，∴设点D 的坐标为()3m m -+，， 设直线PA 的表达式为11y k x b =+，11113k b mk b m -+=⎧⎨+=-+⎩∴，解得：113131m k m m b m -+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，∴直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++， 2332311m m x x x m m -+-++=-++++∴， 整理得：()4101m x x m ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭，解得：141mx m =+，21x =-（不合题意，舍去），∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标为41mm +， 分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图：DM PN ∴，OM m =，41mON m =+，1OA =， ()()2212223943241111PDCADCm m m S S PD MN m m m S S DA AM m m m ⎛⎫--+- ⎪-+⎝⎭+======+++△△∴， 10-∵＜， ∴当32m =时，分子取得最大值，即12SS 有最大值，最大值为925；②存在，理由如下： 作FG AB ⊥于G ，如图，223y x x =-++∵的对称轴为：12bx a=-=， 1OE =∴，()30B ∵，，()03C ，3OC OB ==∵，°90OCB ∠=，OCB ∴△是等腰直角三角形， °90EFB ∠=∵，2BE OB OE =-=，OCB ∴△是等腰直角三角形， 1EG GB EG ===∴，∴点F 的坐标为()21，， 当EF 为边时，EFPQ ∴为平行四边形， OE PF =∴，QEPF y 轴，∴点P 的横坐标与点F 的横坐标同为2，当2x =时，222233y =-+⨯+=，∴点P 的坐标为()23，， 312QE PF ==-=∴， 点Q 的坐标为()12，； 当EF 为对角线时，如图，∵四边形PEQF 为平行四边形，QE PF =∴，QEPF y 轴，同理求得：点P 的坐标为()23，， 312QE PF ==-=∴， 点Q 的坐标为()12-，； 综上，点P 的坐标为()23，，点Q 的坐标为()12，或()12-，； 【解析】（1）把()10A -，，()30B ，代入()230y ax bx a =++≠可求得抛物线的表达式，再求得点C 的坐标，把()30B ，，C 的坐标代入y kx n =+即可求解.具体解题过程参照答案.（2）①设点D 的坐标为()3m m -+，，利用待定系数法求得直线PA 的表达式为3311m m y x m m -+-+=+++，解方程2332311m m x x x m m -+-++=-++++，求得点P 的横坐标为41mm +，利用平等线分线段成比例定理求得411mmPD MN m DA AM m -+==+，得到()212239241m S S m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=+，利用二次函数的性质即可求解.具体解题过程参照答案. ②根据等腰直角三角形的性质求得点F 的坐标为()21，，分当EF 为边和EF 为对角线时两种情况讨论，即可求解.具体解题过程参照答案. 【考点】一元二次方程的解法。
2020年郴州市中考数学试题、试卷(解析版)
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 2．（3分）（2020•郴州）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝00纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．×10﹣9秒3．（3分）（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．√8−√2=√6D．2a3+3a2＝5a55．（3分）（2020•郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A ．∠1＝∠3B ．∠2+∠4＝180°C ．∠4＝∠5D ．∠1＝∠26．（3分）（2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm ）24 25 26 销售数量（双） 2 7 18 10 8 3则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（ ）A ．中位数B ．平均数C ．众数D ．方差7．（3分）（2020•郴州）如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A ．x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2B ．x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1） C ．x 2+2x +1＝（x +1）2 D ．x 2﹣x ＝x （x ﹣1） 8．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y 1=k 1k （x ＞0）上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线y 2=k 2k （x ＜0）交于点B ，连接AB ，已知kk kk=2，则k 1k 2=（ ）A．4 B．﹣4 C．2 D．﹣2二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•郴州）若分式1k+1的值不存在，则x＝．10．（3分）（2020•郴州）已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．11．（3分）（2020•郴州）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有件次品．12．（3分）（2020•郴州）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝．13．（3分）（2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为．14．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．15．（3分）（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 ．16．（3分）（2020•郴州）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8．分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN ＝ ．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）（2020•郴州）计算：（13）﹣1﹣2cos45°+|1−√2|﹣（√3+1）0． 18．（6分）（2020•郴州）解方程：k k −1=4k 2−1+1． 19．（6分）（2020•郴州）如图，在菱形ABCD 中，将对角线AC 分别向两端延长到点E 和F ，使得AE ＝CF ．连接DE ，DF ，BE ，BF ．求证：四边形BEDF 是菱形．20．（8分）（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少（要求画树状图或列表求概率）21．（8分）（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈，√2≈）．22．（8分）（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案23．（8分）（2020•郴州）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．（10分）（2020•郴州）为了探索函数y＝x+1k（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x (1)4131212345…y (17)410352252103174265…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内25．（10分）（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E 是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD 与△CED 是否全等，并说明理由；②当CE ＝CD 时，AG 与EF 交于点H ，求GH 的长．（2）如图3，延长CE 交直线AG 于点P ．①求证：AG ⊥CP ；②在旋转过程中，线段PC 的长度是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．（12分）（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B（3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点．（1）求抛物线和直线BC 的表达式；（2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求k 1k 2的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省郴州市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．（3分）（2020•郴州）如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D【解答】解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．2．（3分）（2020•郴州）2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝00纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．×10﹣9秒【解答】解：∵1秒＝00纳秒，∴10纳秒＝10÷00秒＝ 00001秒＝1×10﹣8秒．故选：A．3．（3分）（2020•郴州）下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．（3分）（2020•郴州）下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．√8−√2=√6D．2a3+3a2＝5a5【解答】解：A、（﹣a）4＝a4，正确；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、√8−√2=2√2−√2=√2，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．5．（3分）（2020•郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3 B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5 D．∠1＝∠2【解答】解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．6．（3分）（2020•郴州）某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）242526销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差【解答】解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．7．（3分）（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）【解答】解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x 2﹣1＝（x +1）（x ﹣1）． 故选：B ．8．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，点A 是双曲线y 1=k 1k （x ＞0）上任意一点，连接AO ，过点O 作AO 的垂线与双曲线y 2=k 2k （x ＜0）交于点B ，连接AB ，已知kk kk=2，则k 1k 2=（ ）A ．4B ．﹣4C ．2D ．﹣2【解答】解：作AD ⊥x 轴于D ，BE ⊥x 轴于E ，∵点A 是双曲线y 1=k 1k （x ＞0）上的点，点B 是双曲线y 2=k 2k （x ＜0）上的点， ∴S △AOD =12|k 1|=12k 1，S △BOE =12|k 2|=−12k 2，∵∠AOB ＝90°， ∴∠BOE +∠AOD ＝90°， ∵∠AOD +∠OAD ＝90°， ∴∠BOE ＝∠OAD ， ∠BEO ＝∠OAD ＝90°， ∴△BOE ∽△OAD ， ∴k 1k 2=（kk kk）2，∴12k 1−12k 2=22，∴k 1k 2=−4， 故选：B ．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）（2020•郴州）若分式1k +1的值不存在，则x ＝ ﹣1 ．【解答】解：若分式1k +1的值不存在，则x +1＝0， 解得：x ＝﹣1， 故答案为：﹣1．10．（3分）（2020•郴州）已知关于x 的一元二次方程2x 2﹣5x +c ＝0有两个相等的实数根，则c ＝258． 【解答】解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c ＝0， 解得c =258． 故答案为：258．11．（3分）（2020•郴州）质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有 20 件次品．【解答】解：1000×2100=20（件）， 即这批电子元件中大约有20件次品， 故答案为：20．12．（3分）（2020•郴州）某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S 2＝，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S 新2＝ ．【解答】解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变， ∴所得到的一组新数据的方差为S 新2＝； 故答案为：．13．（3分）（2020•郴州）小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x （日） 1 2 3 4 成绩y （个）40434649小红的仰卧起坐成绩y 与日期x 之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为 y ＝3x +37 ．【解答】解：设该函数表达式为y ＝kx +b ，根据题意得： {k +k =402k +k =43，解得{k =3k =37， ∴该函数表达式为y ＝3x +37． 故答案为：y ＝3x +37．14．（3分）（2020•郴州）在平面直角坐标系中，将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，已知A （2，3），则点A 1的坐标是 （43，2） ．【解答】解：∵将△AOB 以点O 为位似中心，23为位似比作位似变换，得到△A 1OB 1，A （2，3），∴点A 1的坐标是：（23×2，23×3），即A 1（43，2）．故答案为：（43，2）．15．（3分）（2020•郴州）如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为 48 ．【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S ＝πrl ， 圆锥的母线长为10， 侧面展开图的面积为60π， 故60π＝π×10×r ， 解得：r ＝6．由勾股定理可得圆锥的高=√102−62=8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形， ∴它的面积=12×12×8=48，故答案为：48．16．（3分）（2020•郴州）如图，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8．分别以点B ，D 为圆心，以大于12BD 的长为半径画弧，两弧相交于点E 和F ．作直线EF 分别与DC ，DB ，AB 交于点M ，O ，N ，则MN ＝ 2√5 ．【解答】解：如图，连接DN ，在矩形ABCD 中，AD ＝4，AB ＝8， ∴BD =√kk 2+kk 2=4√5， 根据作图过程可知：MN 是BD 的垂直平分线，∴DN ＝BN ，OB ＝OD ＝2√5，∴AN ＝AB ﹣BN ＝AB ﹣DN ＝8﹣DN ， 在Rt △ADN 中，根据勾股定理，得DN 2＝AN 2+AD 2，∴DN 2＝（8﹣DN ）2+42， 解得DN ＝5，在Rt △DON 中，根据勾股定理，得ON =√kk 2−kk 2=√5，∵CD ∥AB ， ∴∠MDO ＝∠NBO ， ∠DMO ＝∠BNO ， ∵OD ＝OB ，∴△DMO ≌△BNO （AAS ）， ∴OM ＝ON =√5， ∴MN ＝2√5． 故答案为：2√5．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．（6分）（2020•郴州）计算：（13）﹣1﹣2cos45°+|1−√2|﹣（√3+1）0．【解答】解：原式＝3﹣2×√22+√2−1﹣1＝3−√2+√2−2 ＝1．18．（6分）（2020•郴州）解方程：kk−1=4k2−1+1．【解答】解：kk−1=4k−1+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．19．（6分）（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【解答】证明：方法一：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．方法二：∵ABCD为菱形∴AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝∠DCA＝∠BCA＝∠BAC，∴∠EAD＝∠EAB＝∠FCD＝∠FCB，所以就能得到四个三角形全等，所以四条边相等，所以四边形BEDF为菱形．20．（8分）（2020•郴州）疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了200 名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少（要求画树状图或列表求概率）【解答】解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×40200=72°，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）=212=16．21．（8分）（2020•郴州）2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：√3≈，√2≈）．【解答】解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝2000√3，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝2000√3−460，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x ＝2000√3−460， 解得x ≈335（米/秒）．答：火箭从A 到B 处的平均速度为335米/秒．22．（8分）（2020•郴州）为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元． （1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨（2）现在计划安排A ，B 两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A 型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B 型卡车．按此要求安排A ，B 两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案 【解答】解：（1）设甲物资采购了x 吨，乙物质采购了y 吨，依题意，得：{k +k =5403k +2k =1380，解得：{k =300k =240． 答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨． （2）设安排A 型卡车m 辆，则安排B 型卡车（50﹣m ）辆，依题意，得：{7k +5(50−k )≥3003k +7(50−k )≥240，解得：25≤m ≤2712．∵m 为正整数，∴m 可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A 型卡车，25辆B 型卡车；方案2：安排26辆A 型卡车，24辆B 型卡车；方案3：安排27辆A 型卡车，23辆B 型卡车．23．（8分）（2020•郴州）如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径．直线l 与⊙O 相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥BD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE=√3OC＝2√3，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB=12×2×2√3−60⋅k×22360=2√3−2k3．24．（10分）（2020•郴州）为了探索函数y＝x+1k（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x (1)4131212345…y (17)410352252103174265…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x 1•x 2＝1，则y 1 ＝ y 2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为千元/平方米．设水池底面一边的长为x 米，水池总造价为y 千元． ①请写出y 与x 的函数关系式；②若该农户预算不超过千元，则水池底面一边的长x 应控制在什么范围内 【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x 1＜x 2≤1，则y 1＞y 2；若1＜x 1＜x 2，则y 1＜y 2， 若x 1•x 2＝1，则y 1＝y 2． 故答案为＞，＜，＝．（3）①由题意，y ＝1+（2x +2k ）×＝1+x +1k （x ＞0）． ②由题意1++1k ≤，∵x ＞0，可得2x 2﹣5x +2≤0， 解得：12≤x ≤2，∴长x 应控制在12≤x ≤2的范围内．25．（10分）（2020•郴州）如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E 是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE ＝∠ADC ， ∴∠ADG ＝∠CDE ， ∴△AGD ≌△CED （SAS ）．②如图2中，过点A 作AT ⊥GD 于T ．∵△AGD ≌△CED ，CD ＝CE ， ∴AD ＝AG ＝4， ∵AT ⊥GD ， ∴TG ＝TD ＝1，∴AT =√kk 2−kk 2=√15， ∵EF ∥DG ， ∴∠GHF ＝∠AGT ， ∵∠F ＝∠ATG ＝90°， ∴△GFH ∽△ATG ， ∴kk kk =kkkk ， ∴kk 4=2√15，∴GH=8√15 15．（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED ＝90°，CD ＝4，DE ＝2， ∴EC =√kk 2−kk 2=√4−2=2√3， ∵EF ＝DE ＝2， ∴CP ＝CE +EF ＝2+2√3， ∴PC 的最大值为2+2√3．26．（12分）（2020•郴州）如图1，抛物线y ＝ax 2+bx +3（a ≠0）与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．已知直线y ＝kx +n 过B ，C 两点． （1）求抛物线和直线BC 的表达式； （2）点P 是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P 在第一象限内，连接PA ，交直线BC 于点D ．设△PDC 的面积为S 1，△ADC 的面积为S 2，求k 1k 2的最大值； ②如图2，抛物线的对称轴l 与x 轴交于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，垂足为F ．点Q 是对称轴l 上的一个动点，是否存在以点E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出点P ，Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）把A （﹣1，0），B （3，0）代入y ＝ax 2+bx +3得：{k −k +3=09k +3k +3=0， 解得，{k =−1k =2∴抛物线的表达式，y ＝﹣x 2+2x +3，∴点C 坐标为（0，3），把B （3，0），C （0，3）代入y ＝kx +n 得：{3k +k =0k =−3， 解得，{k =−1k =−3∴直线BC 的表达式：y ＝﹣x +3．（2）①∵PA 交直线BC 于点，∴设点D 的坐标为（m ，﹣m +3），设直线PA 的表达式为y ＝k 1x +b 1，∴{−k 1+k 1=0kk 1+k 1=−k +3， 解得，{k 1=−k +3k +1k 1=−k +3k +1∴直线PA 的表达式，y =−k +3k +1x +−k +3k +1，∴−k +3k +1x +−k +3k +1=−x 2+2x +3， 整理得，（x −4k k +1）（x +1）＝0 解得x =4k k +1或﹣1（不合题意，舍去），∴点D 的横坐标为m ，点P 的横坐标4k k +1， 分别过点D 、P 作x 轴的垂线，垂足分别为M 、N ，如图1中：∴DM ∥PN ，OM ＝m ，ON =4k k +1，OA ＝1，∴k 1k 2=k △kkk k △kkk =kk kk =kk kk =4k k +1−k k +1=−k 2+3k (k +1)2， 设k 1k 2=t ，则t =−k 2+3k (k +1)2 整理得，（t +1）m 2+（2t ﹣3）m +t ＝0，∵△≥0，∴（2t ﹣3）2﹣4t （t +1）≥0，解得t ≤916 ∴k 1k 2有最大值，最大值为916．②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∵OC＝OB＝3，∠OCB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2）；当EF为对角线时，如图3中，∵PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥轴，同理求得：点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；！。
2024年湖南省中考数学真题卷含答案解析
2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.4. 下列计算正确是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =5.）AB. C. 14D.6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 1929. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC∥ B. ADE ABC△△∽ C. 2BC DE =D.的..12ADE ABC S S =10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当yx（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <-B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．13. 分式方程21x +=1的解是_______．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．16. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即kf l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．的18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF为________分米（结果用含根号的式子表示）．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19. 计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的学生人数．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DCPDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠=︒；的【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A BB C的值．2024年湖南省初中学业水平考试数 学本试题卷共6页．时量120分钟．满分120分．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号写在答题卡和本试题卷上，并认真核对条形码上的姓名、准考证号和相关信息：2．选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹；3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，否则作答无效：4．在草稿纸、试题卷上作答无效；5．请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；6．答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸．一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在日常生活中，若收入300元记作300+元，则支出180元应记作（ ）A. 180+元 B. 300+元C. 180-元D. 480-元【答案】C 【解析】【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义，结合题意解答即可；【详解】解：收入为“+”，则支出为“-”，那么支出180元记作180-元．故选：C ．2. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将4015000用科学记数法表示应为（ ）A. 70.401510⨯ B. 64.01510⨯ C. 540.1510⨯ D.34.01510⨯【答案】B 【解析】【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a 的形式，以及指数n 的确定方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数．【详解】解：4015000用科学记数法表示为64.01510⨯．故选：B ．3. 如图，该纸杯的主视图是（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键．【详解】解：该纸杯的主视图是选项A ，故选：A ．4. 下列计算正确的是（ ）A. 22321a a -= B. 32(0)a a a a ÷=≠ C. 236a a a ⋅= D.()3326a a =【答案】B 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方，根据以上运算法则逐项分析即可．【详解】解：A 、22232a a a -=，故该选项不正确，不符合题意； B 、32(0)a a a a ÷=≠，故该选项正确，符合题意；C 、235a a a ⋅=，故该选项不正确，不符合题意； D 、()3328a a =，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．5. ）A. B. C. 14 D.【答案】D 【解析】【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键．直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．=故选：D6. 下列命题中，正确的是（ ）A. 两点之间，线段最短B. 菱形的对角线相等C. 正五边形的外角和为720︒D. 直角三角形是轴对称图形【答案】A 【解析】【分析】本题考查了命题与定理的知识，多边形外角性质，菱形性质及轴对称图形的特点，解题的关键是掌握这些基础知识点．【详解】解：A 、两点之间，线段最短，正确，是真命题，符合题意；B 、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，选项错误，是假命题，不符合题意；C 、正五边形的外角和为360︒，选项错误，是假命题，不符合题意；D 、直角三角形不一定轴对称图形，只有等腰直角三角形是轴对称图形，选项错误，是假命题，不符合题意；故选：A ．7. 如图，AB ，AC 为O 的两条弦，连接OB ，OC ，若45A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）A. 60︒B. 75︒C. 90︒D. 135︒【答案】C【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半是解题的关键．根据圆周角定理可知12A BOC ∠=∠，即可得到答案．【详解】根据题意，圆周角A ∠和圆心角BOC ∠同对着 BC，∴12A BOC ∠=∠，45A ∠=︒ ，224590BOC A ∴∠=∠=⨯︒=︒．故选：C ．8. 某班的5名同学1分钟跳绳的成绩（单位：次）分别为：179，130，192，158，141．这组数据的中位数是（ ）A. 130B. 158C. 160D. 192【答案】B【解析】【分析】本题考查了中位数，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数．据此求解即可．【详解】解：从小到大排序为130，141，158，179，192，最中间的数是158，∴中位数是158，故选：B ．是9. 如图，在ABC 中，点D E ，分别为边AB AC ，的中点．下列结论中，错误的是（ ）A DE BC ∥ B. ADE ABC △△∽ C. 2BC DE = D. 12ADE ABC S S = 【答案】D【解析】【分析】本题考查了三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质，由三角形中位线性质可判断A C 、；由相似三角形的判定和性质可判断B D 、，掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】解：∵点D E ，分别为边AB AC ，的中点，∴DE BC ∥，2BC DE =，故A C 、正确；∵DE BC ∥，∴ADE ABC △△∽，故B 正确；∵ADE ABC △△∽，∴221124ADE ABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭△△，∴14ADE ABC S S = ，故D 错误；故选：D ．10. 在平面直角坐标系xOy 中，对于点(),P x y ，若x ，y 均为整数，则称点P 为“整点”．特别地，当y x（其中0xy ≠）的值为整数时，称“整点”P 为“超整点”，已知点()24,3P a a -+在第二象限，下列说法正确的是（ ）A. 3a <- B. 若点P 为“整点”，则点P 的个数为3个C. 若点P 为“超整点”，则点P 的个数为1个D. 若点P 为“超整点”，则点P 到两坐标轴的距离之和大于10【答案】C.【解析】【分析】本题考查了新定义，点到坐标轴的距离，各象限内点的特征等知识，利用各象限内点的特征求出a 的取值范围，即可判断选项A ，利用“整点”定义即可判断选项B ，利用“超整点”定义即可判断选项C ，利用“超整点”和点到坐标轴的距离即可判断选项D ．【详解】解：∵点()24,3P a a -+在第二象限，∴24030a a -<⎧⎨+>⎩，∴32a -<<，故选项A 错误；∵点()24,3P a a -+为“整点”， 32a -<<，∴整数a 为2-，1-，0，1，∴点P 的个数为4个，故选项B 错误；∴“整点”P 为()8,1-，()6,2-，()4,3-，()2,4-，∵1188=--，2163=--，3344=--，422=--∴“超整点”P 为()2,4-，故选项C 正确；∵点()24,3P a a -+为“超整点”，∴点P 坐标为()2,4-，∴点P 到两坐标轴的距离之和246+=，故选项D 错误，故选：C ．二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11. 计算：()2024--=________．【答案】2024【解析】【分析】本题考查了求一个数的相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义，即可求解．【详解】解：()20242024--=，故答案为：2024．12. 有四枚材质、大小、背面图案完全相同的中国象棋棋子“”“”“”“”，将它们背面朝上任意放置，从中随机翻开一枚，恰好翻到棋子“”的概率是________．【答案】14【解析】【分析】本题考查了概率，熟练掌握概率公式是解本题的关键．概率=所求情况数与总情况数之比．根据概率公式计算即可．【详解】解：∵共有4枚棋子，∴从中任意摸出一张，恰好翻到棋子“”的概率是14．故答案为：1413. 分式方程21x +=1的解是_______．【答案】x=1【解析】【分析】先给方程两边同乘最简公分母x+1，把分式方程转化为整式方程2=x+1，求解后并检验即可．【详解】解：方程的两边同乘x+1，得2=x+1，解得x=1．检验：当x=1时，x+1=2≠0．所以原方程的解为x=1．故答案为：x=1．【点睛】此题考查了解分式方程，掌握解分式方程的一般步骤及方法是解题的关键．14. 一个等腰三角形的一个底角为40︒，则它的顶角的度数是________度．【答案】100【解析】【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和，解答时根据等腰三角形两底角相等，求出顶角度数即可．【详解】解：因为其底角为40°，所以其顶角180402100=︒-︒⨯=︒．故答案为：100．15. 若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为________．【答案】2【解析】【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根，则240b ac ∆=->；有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=；没有实数根，则24<0b ac ∆=-．据此即可求解．【详解】解：由题意得：()22444120b ac k ∆=-=--⨯⨯=，解得：2k =故答案为：216. 在一定条件下，乐器中弦振动的频率f 与弦长l 成反比例关系，即k f l=（k 为常数．0k ≠），若某乐器的弦长l 为0.9米，振动频率f 为200赫兹，则k 的值为________．【答案】180【解析】【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，把0.9l =，200f =代入k f l =求解即可．【详解】解：把0.9l =，200f =代入k f l =，得2000.9k =，解得180k =，故答案为：180．17. 如图，在锐角三角形ABC 中，AD 是边BC 上的高，在BA ，BC 上分别截取线段BE ，BF ，使BE BF =；分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，在ABC ∠内，两弧交于点P ，作射线BP ，交AD 于点M ，过点M 作MN AB ⊥于点N ．若2MN =，4AD MD =，则AM =________．【答案】6【解析】【分析】本题考查了尺规作图，角平分线的性质等知识，根据作图可知BP 平分ABC ∠，根据角平分线的性质可知2DM MN ==，结合4AD MD =求出AD ，AM ．详解】解：作图可知BP 平分ABC ∠，∵AD 是边BC 上的高，MNAB ⊥，2MN =，∴2MD MN ==，∵4AD MD =，∴8AD =，∴6AM AD MD =-=，故答案为：6．18. 如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng ）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知AB CD ⊥于点B ，AB 与水平线l 相交于点O ，OE l ⊥．若4BC =分米，12OB =分米．60BOE ∠=︒，则点C 到水平线l 的距离CF 为________分米（结果用含根号的式子表示）．【答案】(6-##()6-+【解析】【分析】题目主要考查解三角形及利用三角形等面积法求解，延长DC 交l 于点H ，连接OC，根据题意及解三角形确定BH =OH =，再由等面积法即可求解，作出辅助线是解题关键．【详解】解：延长DC 交l 于点H ，连接OC ，如图所示：在Rt OBH △中，906030BOH ∠=︒-︒=︒，12dmOB =【12tan 30BH ∴=⨯︒=，OH =OBH OCH OBCS S S =+△△△ 111222OB BH OH CF OB BC ∴⋅=⋅+⋅即11112124222CF ⨯=⨯+⨯⨯，解得：6CF =-．故答案为：(6-．三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19计算：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭【答案】52【解析】【分析】题目主要考查实数的混合运算，特殊角的三角函数、零次幂的运算等，先化简绝对值、零次幂及特殊角的三角函数、算术平方根，然后计算加减法即可，熟练掌握各个运算法则是解题关键．【详解】解：01|3|cos 602⎛⎫-+-+︒ ⎪⎝⎭13122=++-52=．20. 先化简，再求值：22432x x x x x-⋅++，其中3x =．【答案】1x x +，43【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先计算乘法，再计算加法，然后把3x =代入化简后的结果，即可求解．【详解】解：22432x x x x x-⋅++()()22232x x x x x x+-⋅++=.23x x x-=+1x x +=，当3x =时，原式31433+==．21. 某校为了解学生五月份参与家务劳动的情况，随机抽取了部分学生进行调查、家务劳动的项目主要包括：扫地、拖地、洗碗、洗衣、做饭和简单维修等．学校德育处根据调查结果制作了如下两幅不完整的统计图：请根据以上信息，解答下列问题：（1）本次被抽取的学生人数为 人；（2）补全条形统计图：（3）在扇形统计图中，“4项及以上”部分所对应扇形的圆心角度数是 ︒；（4）若该校有学生1200人，请估计该校五月份参与家务劳动项目数量达到3项及以上的学生人数．【答案】（1）100（2）见解析 （3）36（4）300人【解析】【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图，样本估计总体，求扇形统计图圆心角等，理解题意，结合统计图得出相关信息是解题关键．（1）根据参与1项家务劳动的人数及比例即可得出结果；（2）先求出参加3项家务劳动的学生人数，然后补全统计图即可；（3）用360度乘以4项及以上所占的比例即可；（4）用总人数乘以参与家务劳动的项目数量达到3项及以上的比例即可．【小问1详解】解：根据题意得：3030%100÷=人，的故答案为：100；【小问2详解】100330421015----=，补全统计图如下：【小问3详解】1036036100︒⨯=︒，故答案为：36；【小问4详解】15101200300100+⨯=人．22. 如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，点E 在边AB 上， ．请从“①B AED ∠=∠；②AE BE =，AE CD =”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：（1）求证：四边形BCDE 为平行四边形；（2）若AD AB ⊥，8AD =，10BC =，求线段AE 的长．【答案】（1）①或②，证明见解析；（2）6【解析】【分析】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形，理解题意，熟练掌握平行四边形的判定和性质是解题关键．（1）选择①或②，利用平行四边形的判定证明即可；（2）根据平行四边形的性质得出10DE BC ==，再由勾股定理即可求解．【小问1详解】解：选择①，证明：∵B AED ∠=∠，∴DE CB ∥，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；选择②，证明：∵AE BE =，AE CD =，∴CD BE =，∵AB CD ∥，∴四边形BCDE 为平行四边形；【小问2详解】解：由（1）得10DE BC ==，∵AD AB ⊥，8AD =，∴6AE ==．23. 某村决定种植脐橙和黄金贡柚，助推村民增收致富，已知购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元．（1）求脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价；（2）该村计划购买脐橙树苗和黄金贡柚树苗共1000棵，总费用不超过38000元，问最多可以购买脐橙树苗多少棵？【答案】（1）50元、30元（2）400棵【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据“购买1棵脐橙树苗和2棵黄金贡柚树苗共需110元；购买2棵脐橙树苗和3棵黄金贡柚树苗共需190元”列方程组求解即可；（2）购买脐橙树苗a 棵，根据“总费用不超过38000元”列不等式求解即可．【小问1详解】解：设脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为x 元/棵，y 元/棵，根据题意，得211023190x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得5030x y =⎧⎨=⎩，答：脐橙树苗和黄金贡柚树苗的单价分别为50元/棵，30元/棵；【小问2详解】解：设购买脐橙树苗a 棵，则购买黄金贡柚树苗()1000a -棵，根据题意，得()5030100038000a a +-≤，解得400a ≤，答：最多可以购买脐橙树苗400棵．24. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．活动主题测算某水池中雕塑底座的底面积测量工具皮尺、测角仪、计算器等模型抽象某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD ，其示意图如下：活动过程测绘过程与数据信息①在水池外取一点E ，使得点C ，B ，E 在同一条直线上；②过点E 作GH CE ⊥，并沿EH 方向前进到点F ，用皮尺测得EF的长为4米；③在点F 处用测角仪测得60.3CFG ∠=︒，45BFG ∠=︒，21.8AFG ∠=︒；④用计算器计算得：sin60.30.87︒≈，cos60.30.50︒≈，tan60.3 1.75︒≈．sin21.80.37︒≈，cos21.80.93︒≈，tan21.80.40︒≈．请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：（1）求线段CE 和BC 的长度：（2）求底座的底面ABCD 的面积．【答案】（1）7米；3米（2）18平方米【解析】【分析】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，结合图形求解是解题关键．（1）根据题意得tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，即可确定CE 长度，再由45BFG ∠=︒得出4BE EF ==米，即可求解；（2）过点A 作AM GH ⊥于点M ，继续利用正切函数确定6AB ME ==米，即可求解面积．【小问1详解】解：∵GH CE ⊥，EF 的长为4米，60.3CFG ∠=︒，∴tan tan60.3 1.75CE CFE EF∠=︒=≈，∴7CE =米；∵45BFG ∠=︒，∴4BE EF ==米，∴3CB CE BE =-=米；【小问2详解】过点A 作AM GH ⊥于点M ，如图所示：∵21.8AFG ∠=︒，∴tan tan21.80.4AM AFG MF∠=︒=≈，∵4AM BE ==米，∴10MF =米，∴1046AB ME ==-=米，∴底座的底面ABCD 的面积为：3618⨯=平方米．25. 已知二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，点()11,P x y ，()22,Q x y 是此二次函数的图像上的两个动点．（1）求此二次函数的表达式；（2）如图1，此二次函数的图像与x 轴的正半轴交于点B ，点P 在直线AB 的上方，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交AB 于点D ，连接AC DQ PQ ,,．若213x x =+，求证DC PDQ A S S △△的值为定值；（3）如图2，点P 在第二象限，212x x =-，若点M 在直线PQ 上，且横坐标为11x -，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，求线段MN 长度的最大值．【答案】（1）29y x =-+（2）为定值3，证明见解析（3）374【解析】【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB 的解析式，()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，表示出()()23PD x x =+-+，13CD x =-+，代入DC PDQA S S △△即可求解；（3）设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，求出直线PQ 的解析式，把11x x =-代入即可求出线段MN 长度的最大值．【小问1详解】∵二次函数2y x c =-+的图像经过点()2,5A -，∴54c =-+，∴9c =，∴29y x =-+；【小问2详解】当0y =时，209x =-+，∴123,3x x =-=，∴()3,0B ，设直线AB 的解析式为y kx b =+，∴2530k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴13k b =-⎧⎨=⎩，∴3y x =-+，设()211,9P x x -+，则()()2113,39Q x x +-++，()11,3D x x -+，∴()()()2211111193623PD x x x x x x =-+--+=-++=+-+，13CD x =-+．∴()()()()()11111233332PDQ ADC S x x x x S x x +-++-==-++ ，∴DCPDQA S S △△的值为定值；【小问3详解】设()211,9P x x -+，则()2112,49Q x x --+，设直线PQ 的解析式为y mx n =+，∴2112119249mx n x mx n x ⎧+=-+⎨-+=-+⎩，∴12129m x n x =⎧⎨=-+⎩，∴12129y x x x -=+，当11x x =-时，()22111113712924y x x x x ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，∴当12x =-时，线段MN 长度的最大值374．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，数形结合是解答本题的关键．26. 【问题背景】已知点A 是半径为r 的O 上的定点，连接OA ，将线段OA 绕点O 按逆时针方向旋转9(0)0αα︒<<︒得到OE ，连接AE ，过点A 作O 的切线l ，在直线l 上取点C ，使得CAE ∠为锐角．【初步感知】（1）如图1，当60α=︒时，CAE ∠= ︒；【问题探究】（2）以线段AC 为对角线作矩形ABCD ，使得边AD 过点E ，连接CE ，对角线AC ，BD 相交于点F ．①如图2，当2AC r =时，求证：无论α在给定的范围内如何变化，BC CD ED =+总成立：②如图3，当43=AC r ，23CE OE =时，请补全图形，并求tan α及A B B C的值．【答案】（1）30︒；①证明见解析；②补全图形见解析，43，12【解析】【分析】（1）可证OEA △是等边三角形，则60OAE ∠=︒，由直线l 是O 的切线，得到90OAC ∠=︒，故906030CAE ∠=︒-︒=︒；（2）①根据矩形的性质与切线的性质证明OAE FCD △≌△，则AE CD =，而BC AD =，由AD AE DE =+，得到BC CD DE =+；②过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，先证明点E 在线段OC 上，4tan 3AC AO α==，由等腰三角形的性质得12EOG α∠=，根据互余关系可得12EAH EOG α∠=∠=，可求4tan 3AH OH α==，解OAE △，求得1tan 2EAH ∠=，可证明12ACB α∠=，故在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【详解】解：（1）由题意得60AOE α∠==︒，∵OA OE =，∴OEA △是等边三角形，∴60OAE ∠=︒，∵直线l 是O 的切线，∴90OAC ∠=︒，∴906030CAE ∠=︒-︒=︒，故答案为：30︒；（2）①如图：∵OA OE =，∴OAE OEA ∠=∠，∵AOE α∠=，∴180OAE OEA α∠+∠+=︒，∴18019022OAE αα︒-∠==︒-，∵90OAC ∠=︒，∴12DAC α∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴FA DF =，12CF DF AC r ===，∴12DAC FDA α∠=∠=，∴1122DFC ααα∠=+=，∵OA OE r ==，∴,OA FC OE FD ==，∵AOE DFC ∠=∠，∴OAE FCD △≌△，∴AE CD =，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC AD =，∵AD AE DE =+，∴BC CD DE =+；②补全图形如图：过点O 作OG AE ⊥于点G ，AH OE ⊥于点H ，在Rt AOC 中，4,3OA r AC r ==，∴由勾股定理得53OC r =，∵23CEOE =，∴23CE r =，∴OC OE CE =+，∴点E 在线段OC 上，∴在Rt ACO ，4tan 3AC AO α==，∵OG AE ⊥，OA OE =，∴12EOG α∠=，∵AH OE ⊥，∴90EOG OEA EAH OEA ∠+∠=∠+∠=︒，∴12EAH EOG α∠=∠=，在Rt OAH △中，4tan 3AHOH α==，∴设4,3AH m OH m ==，∴由勾股定理得5OA OE m ==，∴532HE m m m =-=，∴在Rt AHE △中，1tan tan22HE EAH AH α∠===∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC ∥，∴12ACB DAC α∠=∠=，而12EAH α∠=，∴12ACB α∠=，∴在Rt ABC △中，1tan tan 22AB ACB BC α∠===．【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键．。
2019年湖南郴州中考数学试题(附详细解题分析)
2019年湖南省郴州市中考数学试卷考试时间：120分钟 满分：130分{题型:1－选择题}一、选择题：本大题共8小题，每小题8分，合计24分． {题目}1．（2019年郴州T 1）如右图，数轴上表示－2 的相反数的点是A ．MB ．NC ．PD ．Q{答案}A{解析}本题考查了有理数与数轴间的关系，由于点M 对应的有理数是－2，因此本题选A ． {分值}3{章节:[1－1－2－2]数轴} {考点:数轴表示数} {类别:常考题} {难度:1－最简单}{题目}2．（2019年郴州T 2）如图是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是A ．B ．C ．D ．{答案}C{解析}本题考查了轴对称图形；中心对称图形，根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可解答本题．中国建设银行标志：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；中国农业银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；中国银行标志：既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；中国人民银行标志：是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；因此本题选C ． {分值}3{章节:[1－23－2－2]中心对称图形} {考点:轴对称图形} {考点:中心对称图形} {类别:常考题} {难度:1－最简单}{题目}3．（2019年郴州T 3）邓小平曾说：“中东有石油，中国有稀土”．稀土是加工制造国防、军工等工业品不可 或缺的原料．据有关统计数据表明：至 2017 年止，我国已探明稀土储量约 4400 万吨，居世界第一位，请用科学记数法表示 44 000 000 为A ．44×106B ． 4.4×107C ． 4.4×108D ． 0.44×109{答案}B{解析}本题考查了科学计数法表示较大的数，将44 000 000用科学记数法表示为：4.4×107．因此本题选B ． {分值}3{章节:[1－1－5－2]科学计数法}{考点:将一个绝对值较大的数科学计数法} {类别:常考题} {难度:1－最简单}{题目}4．（2019年郴州T ）下列运算正确的是A ．(x 2)3＝x 5B ．2810+=C ．x ·x 2·x 4＝x 6D ．2＝2{答案}D{解析}本题考查了同底数幂的乘法以及二次根式的运算，利用相关运算法则进行计算，然后判断即可．(x2)3＝x6，所以A错误；2832，所以B错误；．x·x2·x4＝x7，所以C错误；22，所以D正确，因此本题选D．{分值}3{章节:[1－16－3]二次根式的加减}{考点:同底数幂的乘法}{考点:幂的乘方}{考点:二次根式的除法法则}{考点:二次根式的加减法}{类别:常考题}{难度:2－简单}{题目}5．（2019年郴州T5）一元二次方程2 x2＋3x−5 ＝0 的根的情况为A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根{答案}B{解析}本题考查了一元二次方程根的判别式，因为a＝2，b＝3，c＝－5，所以Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－5)＝49＞0，所以方程2 x2＋3x−5 ＝0有两个不相等的实数根，因此本题选B．{分值}3{章节:[1－21－2－2]公式法}{考点:根的判别式}{类别:常考题}{难度:2－简单}{题目}6．（2019年郴州T6）下列采用的调查方式中，合适的是A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式{答案}A{解析}本题考查了调查方法的选择，调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析．了解东江湖的水质情况时，若进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失，因此宜采用抽样调查的方式，故A选项是合适的；企业为了解所生产的产品的合格率，所采取的实验多带有破坏性，因此采取抽样调查即可，故B选项不合适；小型企业员工数量有限，因此给在职员工做工作服前对每个人进行尺寸大小进行测量即可，所以C选项不合适；在了解某市中小学生的视力情况时，若进行一次全面的调查，费大量的人力物力是得不尝失的，采取抽样调查即可，故D选项不合适．因此本题选A．{分值}3{章节:[1－19－4]课题学习选择方案}{考点:全面调查}{考点:抽样调查}{类别:思想方法}{难度:2－简单}{题目}7．（2019年郴州T7）如图，分别以线段A B 的两端点A，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，在线段A B的两侧分别交于点E，F，作直线E F 交A B 于点O．在直线E F 上任取一点P （不与O重合），连接P A，PB，则下列结论不一定成立的是A．P A＝PB B．OA＝OB C．OP＝OF D．PO⊥AB{答案}C{解析}本题考查了线段垂直平分线的性质；作图—复杂作图，由作图过程可知EF 是AB 的垂直平分线，所以PA ＝PB ，OA ＝OB ，PO ⊥AB ，一定成立，因此本题选C ． {分值}3{章节:[1－13－1－2]垂直平分线} {考点:垂直平分线的性质}{考点:与垂直平分线有关的作图} {考点:垂直平分线的判定} {类别:北京作图} {难度:2－简单}{题目}8．（2019年郴州T 8）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对 全等的三角形，如图所示，已知∠A ＝90°，BD ＝4，CF ＝6，则正方形 ADOF 的边长是A ．2B ．2C ．3D ．4{答案}B{解析}本题考查了勾股定理和解一元二次方程，设正方形ADOF 的边长为x ，则AB ＝4＋x ，AC ＝6＋x ，BC ＝10，由于∠A ＝90°，所以BC 2＝AB 2＋AC 2，即100＝16＋8x ＋x 2＋36＋12x ＋x 2，解得x ＝2或x ＝－12（不合题意，舍去），因此本题选B ． {分值}3{章节:[1－17－1]勾股定理} {考点:勾股定理}{考点:角平分线的性质} {类别:常考题} {难度:2－简单}{题型:2－填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，合计24分．{题目}9．（2019年郴州T 9）二次根式2x -中，x 的取值范围是 ．{答案}x ≥2{解析}本题考查了二次根式有意义的条件．直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．若2x -在实数范围内有意义，则x －2≥0，解得：x ≥2．因此本题应填x ≥2．（第7题图）OFE ABP（第8题图）{章节:[1－16－1]二次根式}{考点:二次根式的有意义的条件} {类别:常考题}{难度:2－简单}{题目}10．（2019年郴州T10）若32x yx+=，则yx＝．{答案}1 2{解析}本题考查了比例的性质，直接运用比例的性质化简计算即可，因为x yx+＝1＋yx＝32，所以yx＝31122-=，因此本题应填12．{分值}3{章节:[1－27－3]图形的相似}{考点:比例的性质}{类别:常考题}{难度:2－简单}{题目}11．（2019年郴州T11）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a//b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3 的度数为度．{答案}100{解析}本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，∵a∥b，∴∠1＝∠2＋∠3，又∵∠2＝30°，∴∠3＝∠1－∠2＝130°－30°＝100°，因此本题应填100．{分值}3{章节:[1－11－2]与三角形有关的角}{考点:三角形的外角}{考点:两直线平行同位角相等}{类别:常考题}{难度:2－简单}{题目}12．（2019年郴州T12）某校举行演讲比赛，七个评委对小明的打分如下：9，8，7，6，9，9，7，这组数据的中位数是．{答案}8{解析}本题考查了中位数的概念，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的数（或最中间的两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．将数据9，8，7，6，9，9，7，从小到大排列为：6，7，7，8，9，9，9，中间的数是8，即这组数据的中位数是8，因此本题应填8．{分值}3{章节:[1－20－1－2]中位数和众数}{考点:中位数}{类别:常考题}{难度:2－简单}{题目}13．（2019日期 1 2 3 4数量（瓶）120 125 130 135观察此表，利日该商店销售纯净水的数量约为瓶．（第11题图）{解析}本题考查了函数的应用，由表格可知销售数量y 与日期x 之间的函数关系式为y ＝120＋5（x －1）＝5x ＋115，当x ＝7时，y ＝5×7＋115＝150，因此本题应填150． {分值}3{章节:[1－19－1－1]变量与函数} {考点:函数关系式} {考点:函数值} {类别:思想方法} {难度:2－简单} {题目}14．（2019年郴州T 14）如图是甲、乙两人 6 次投篮测试（每次投篮 10 个）成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作2甲S 、2乙S ，则 2甲S 2乙S （填“＞”“＝”或“＜”）{答案}＜{解析}本题考查了方差的计算，因为甲x ＝16（8＋7＋8＋6＋9＋8）＝233，2甲S ＝16〔（8－233）2＋（7－233）2＋（8－233）2＋（6－233）2＋（9－233）2＋（8－233）2〕＝89，乙x ＝16（7＋4＋7＋9＋5＋7）＝132，2乙S ＝16〔（7－132）2＋（4－132）2＋（7－132）2＋（9－132）2＋（5－132）2＋（7－132）2〕＝3112，因为3112＞89，所以2乙S ＞2甲S ，因此本题应填“＜”．{分值}3{章节:[1－20－2－1]方差} {考点:算术平均数} {考点:方差} {类别:常考题} {难度:2－简单}{题目}15．（2019年郴州T 15）已知某几何体的三视图如图，其中主视图和左视图都是腰长为 5，底边长为 4 的等腰三角形，则该几何体的侧面展开图的面积是 ．（结果保留 π ）{答案}10π{解析}本题考查了由三视图判断几何体，圆锥的计算．依题意，圆锥的地面周长为4π，圆锥的母测试次数测试成绩/个甲 乙（第14题图）15题图）55 44线长为5，所以其侧面展开图为扇形，面积为12×4π×5＝10π，因此本题应填10π．{分值}3{章节:[1－29－2]三视图}{考点:简单几何体的三视图}{考点:扇形的面积}{类别:常考题}{难度:2－简单}题目}16．（2019年郴州T16）如图，点A，C分别是正比例函数y＝x的图象与反比例函数y＝4x 的图象的交点，过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB⊥x轴于点B，则四边形ABCD的面积为．{答案}8{解析}本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组4y xyx=⎧⎪⎨=⎪⎩得22xy=⎧⎨=⎩或22xy=-⎧⎨=-⎩，所以A的坐标为（2，2），C的坐标为（－2，－2），又过A点作AD⊥x轴于点D，过C点作CB ⊥x轴于点B，所以B（－2，0），D（2，0），所以BD＝4，AD＝2，所以ABCD的面积＝AD·BD ＝0，因此本题应填8．{分值}3{章节:[1－26－1]反比例函数的图像和性质}{考点:反比例函数与一次函数的综合}{考点:一次函数与几何图形综合}{考点:代数填空压轴}{考点:几何填空压轴}{类别:易错题}{难度:3－中等难度}{题型:4－解答题}三、解答题：本大题共10小题，合计82分．{题目}17．（2019年郴州T17）计算：0011(3)2cos3013()2π---+-+{解析}本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．{答案}解：原式＝1－2×3＋3－1＋2＝1－3＋3－1＋2＝2{分值}6{章节:[1－28－3]锐角三角函数}{难度:2－简单}{类别:常考题}{考点:简单的实数运算}（第16题图）{考点:二次根式的混合运算} {考点:特殊角的三角函数值}{题目}18．（2019年郴州T 18）先化简，再求值：2211211a a a a a ----+-，其中a 3 {解析}本题考查了分式的化简求值，原式中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a 的值代入计算即可求值．{答案}解： 原式＝21(1)a a --－1(1)(1)a a a -+- ＝22(1)(1)(1)(1)(1)a a a a a -+---+＝1(1)(1)(1)a a a a +---+＝221aa -． 当a 3223(3)1-233． {分值}6{章节:[1－15－2－2]分式的加减} {难度:2－简单} {类别:常考题}{考点:分式的混合运算} {考点:简单的实数运算} {题目}19．（2019年郴州T 19）如图，□ABCD 中，点 E 是边 AD 的中点，连接 CE 并延长交 BA 的延长线于点 F ，连接 AC ，DF ．求证：四边形 A CDF 是平行四边形．{解析}本题考查了平行四边形、平行线的判定，全等三角形的性质，解题的关键是得到AF ∥CD ，且AF ＝C D ． {答案}证明：∵ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，即AF ∥CD ， ∴∠AFE ＝∠DCE∵点 E 是边 AD 的中点， ∴EF ＝EC ，又∵∠AEF ＝∠DEC ， ∴△AEF ≌△DEC ， ∴ AF ＝DC ∴四边形 A CDF 是平行四边形．{分值}6{章节:[1－18－1－2]平行四边形的判定} {难度:3－中等难度} {类别:常考题}{考点:平行四边形边的性质} {考点:两直线平行内错角相等} {考点:全等三角形的判定ASA ,AAS } {考点:全等三角形的性质}{考点:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形}{题目}20．（2019年郴州T 20）我市去年成功举办 2018 郴州国际休闲旅游文化节，获评“全国森林旅游示范市”．我市有 A ，B ，C ，D ，E 五个景区很受游客喜爱．一旅行社对某小区居民在暑假期间去 以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了如下两幅不完整的统计图：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数是人，m ＝，并补全条形统计图；（2）若该小区有居民1200 人，试估计去B地旅游的居民约有多少人？（3）小军同学已去过E地旅游，暑假期间计划与父母从A，B，C，D四个景区中，任选两个去旅游，求选到A，C两个景区的概率．(要求画树状图或列表求概率){解析}本题考查了扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法．（1）由D组人数及其所占百分比求得被调查人数，再用B组人数除以被调查人数所得的百分比求m，继而根据各组人数之和等于总人数求出C组的人数，从而补全条形统计图；（2）用样本估计总体，从而估计去B地旅游的居民人数；（3）依据树状图，可得共有12种等可能的情况，其中选中A、C的情况有2种，即可得选到A，C两个景区的概率．{答案}解：（1）有统计图可知：D组人数有20人，占调查人数的10％，所以被调查到的人数为20÷10％＝200（人）又B组人数为70，所以占被调查人数的70÷200×100％＝35％，所以m＝35，C组人数为：200－20－70－20－50＝40（人）补全的条形统计图为：（2）若该小区有居民1200 人，则去B地旅游的居民约有1200×70200＝420（人）；（3）画树状图如下：A B CA B DA C DB C DA B C D可见，共有12种等可能的情况，其中选中A、C的情况有2种，所以选到A，C两个景区的概率为21126．{分值}8{章节:[1－25－2]用列举法求概率}{难度:3－中等难度}{类别:常考题}{考点:两步事件不放回}{考点:扇形统计图}{考点:条形统计图}{题目}21．（2019年郴州T21）如图所示，巡逻船在A处测得灯塔C在北偏东45°方向上，距离 A 处30 km．在灯塔C的正南方向B处有一渔船发出求救信号，巡逻船接到指示后立即前往施救．已知B处在A处的北偏东60°方向上，这时巡逻船与渔船的距离是多少？（精确到0.01km．参考数据：2≈1.414，3≈1.732，6≈2.449 ）{解析}本题考查了解直角三角形的应用－方向角问题．延长CB交东西方向线于点D，则AD＝AC·sin45°，AD＝AB·sin60°，从而得到AC·sin45°＝AB·sin60°，由于AC＝30km，sin45°2，sin603，因此可求得AB，此即巡逻船与渔船的距离．{答案}解：延长CB交东西方向线于点D，则AD＝AC·sin45°，AD＝AB·sin60°，∴AC·sin45°＝AB·sin60°，由于AC＝30km，sin452，sin603，∴AB＝sin45sin60AC︒︒g23023＝624.49（km）答：巡逻船与渔船的距离是24.49km．{分值}8{章节:[1－28－1－2]解直角三角形}{难度:3－中等难度}{类别:常考题}{考点:解直角三角形－方位角}{考点:解直角三角形}{题目}22．（2019年郴州T22）某小微企业为加快产业转型升级步伐，引进一批A，B两种型号的机器．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B 型机器加工60个零件所用时间相等．（1）每台A，B两种型号的机器每小时分别加工多少个零件？（2）如果该企业计划安排A，B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，为了如期完成任务，要求两种机器每小时加工的零件不少于72件，同时为了保障机器的正常运转，两种机器每小时加工的零件不能超过76件，那么A，B两种型号的机器可以各安排多少台？{解析}本题考查了分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．（1）设一台A型号机器每小时加工x个零件，则一台B型机器每小时加工（x－2）个零件，根据一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用时间相等可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）利用两种机器每小时加工的零件不少于72件，不能超过76件，列方程组可得出结论．{答案}解：（1）设一台A型号机器每小时加工x个零件，则一台B型机器每小时加工（x－2）个零件，根据80602x x=-，解得x＝8经检验x＝8是原方程的解，所以A型机器每小时加工零件8个，B型机器每小时加工零件6个；（2）设A型号机器安排y台，则B型号机器安排（10－y）台，依题意，可得72≤8y＋6（10－y）≤76解得6≤y≤8即y的可取值为：6，7，8所以A，B两种型号的机器可以作如下安排：①A型号机器6台，B型号机器4台；②A型号机器7台，B型号机器3台；③A型号机器8台，B型号机器2台．{分值}8{章节:[1－15－3]分式方程}{难度:3－中等难度}{类别:常考题}{考点:其他分式方程的应用}{考点:一元一次不等式的整数解}{考点:一元一次不等式的应用}{题目}23．（2019年郴州T23）如图，已知A B 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于点D，且A D//O C．（1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）延长C O 交⊙O 于点E．若∠CEB＝30°，⊙O 的半径为2，求»BD的长．（结果保留π ）{解析}本题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质和弧长的计算．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用是解决问题的关键．{答案}解：（1）证明：连接OD ，如答图所示．∵AD//OC ，∴∠COD ＝∠ADO ，∠COB ＝∠DAO ， 又∵OA ＝OD ，∴∠ADO ＝∠DAO ， ∴∠COD ＝∠COB ，在△COD 和△COB 中OD OB COD COB OC OC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌COB ， ∴∠CDO ＝∠CBO ， 又CD 与⊙O 相切于点 D ， ∴∠CDO ＝90°， ∴∠CBO ＝90°， ∴BC 是⊙O 的切线；（2）∵∠CEB ＝30°，∴∠COB ＝60°，由（1）知，∠COD ＝∠COB ， ∴∠COD ＝60°，∴∠DOB ＝∠COD ＋∠COB ＝120° ∵⊙O 的半径为 2，∴»BD的长＝1202180π⨯⨯＝43π． {分值}8{章节:[1－24－2－2]直线和圆的位置关系} {难度:3－中等难度} {类别:常考题}{考点:两直线平行同位角相等} {考点:两直线平行内错角相等} {考点:全等三角形的判定SAS } {考点:全等三角形的性质} {考点:切线的性质} {考点:切线的判定} {考点:弧长的计算}{题目}24．（2019年郴州T 24）若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数．下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数（23题答图）（第23题图）2111x y x x x ⎧-≤-⎪=⎨⎪->-⎩的图象与性质．x…－3 －52 －2 －32 －1 －12 0 12 1 32 2 523 … y … 23 45 1 43 2 32 1 12 0 12 1 322 … 如图所示．（1）如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象； （2）研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：①点A （－5，y 1），B （－72，y 2），C （x 1，52），D （x 2，6）在函数图象上，则 y 1 y 2 ， x 1 x 2 ；（填“＞”、“＝”或“＜”）②当函数值y ＝2 时，求自变量 x 的值；③在直线x ＝－1的右侧的函数图象上有两个不同的点 P ( x 3，y 3 )，Q ( x 4，y 4 ) ，且y 3＝y 4 ，求x 3＋x 4的值； ④ 若直线 y ＝a 与函数图象有三个不同的交点，求 a 的取值范围．{解析}本题考查了函数图象的一般画法，分段函数的增减性，绝对值的性质等内容．{答案}解：（1）根据列表、描点，可以做出函数图像，如下图：（2）①由图象可知，当x ≤－1时，函数值随x 的增大而减小，因为A 、B 在函数图象上，且－5＜－72＜－1，所以y 1＜y 2．又因为52＞2，6＞2，C 、D 在函数图象上，所以C 、D 在函数图象y ＝x －1（x ＞1）上，且函数值随x 的增大而增大， ∵52＜6，∴x 1＜x 2． 即这里的两空应填：＜；＜．②当y ＝2时，若x ≤－1，则有－2x＝2，解得x ＝－1；若x ＞－1时，则有|x －1|＝2，即x －1＝±2，解得x ＝3或x ＝－1（不合题意，舍去）综上所述，y ＝2时，自变量x 的值为－1或3．③若点 P ( x 3，y 3 )，Q ( x 4，y 4 ) 是直线x ＝－1的右侧的函数图象上的两个不同的点，且y 3＝y 4 ，则|x 3－1|＝|x 4－1|，所以x 3－1＝－（x 4－1），所以x 3＋x 4＝2． ④若直线 y ＝a 与函数图象有三个不同的交点， 通过观察函数图象可知：0＜a ＜2．{分值}10{章节:[1－26－1]反比例函数的图像和性质} {难度:3－中等难度} {类别:高度原创} {考点:分段函数}{考点:函数图象上的点} {考点:一次函数的性质} {考点:反比例函数的性质}{题目}25．（2019年郴州T 25）如图1，矩形ABCD 中，点E 为AB 边上的动点（不与A ，B 重合），把△ADE 沿DE 翻折，点A 的对应点为A 1 ，延长EA 1交直线DC 于点F ，再把∠BEF 折叠，使点B 的对应点B 1落在EF 上，折痕EH 交直线BC 于点H ． （1）求证：△A 1DE ∽△B 1EH ；（2）如图2，直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，若点A 1恰好落在直线MN 上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G 为△DEF 内一点，且∠DGF ＝150°，试探究DG ，EG ，FG 的数量关系．{解析}本题考查了相似三角形的判定，轴对称图形的性质，勾股定理等内容．{答案}解：（1）证明：由于△ADE 沿DE 翻折，点A 的对应点为A 1 ， ∴∠AED ＝∠A 1ED再把∠BEF 折叠，使点B 的对应点B 1落在EF 上，折痕EH 交直线BC 于点H ． ∴∠BEH ＝∠FEH ，又∠AED ＋∠A 1ED ＋∠BEH ＋∠FEH ＝180° ∴∠A 1ED ＋∠FEH ＝90°∵ABCD 是矩形，∴∠EDA 1＋∠A 1ED ＝180°－90°＝90° ∴∠∠EDA 1＝∠FEH ，又∠DAE ＝∠DA 1E ＝∠HBE ＝∠HB 1E ＝90°， ∴△A 1DE ∽△B 1EH ；（2）△DEF 是等边三角形，理由如下：∵MN 是矩形的对称轴，点A 1恰好落在直线MN 上， ∴111EAA F，即EA 1＝A 1F ， 又∠DA 1E ＝90°∴DA 1是EF 的垂直平分线，∴DE ＝DF ，∠EDA 1＝∠FDA 1，即△DEF 是等腰三角形． ∵△A 1DE 是△ADE 沿DE 翻折得到的，∴∠ADE ＝∠A 1DE ＝∠A 1DF ＝13∠ADC ＝30°，∴∠EDF ＝60°，即△DEF 是等边三角形．（3）DG ，EG ，FG 所满足的数量关系为：DG 2＋FG 2＝EG 2． 理由如下：将△EDG 绕点E 逆时针旋转60°，从而旋转后的ED 将会和EF 重合，同时G 点落在了 G 1的位置（如答图）．（第25题图）（图3）（图2）（图1）N MCB A B BAGDEHDEH DEA 1B 1A 1B 1A 1B 1由于△EFG 1是由△EDG 旋转过去得到的， 因此FG 1＝DG ，EG ＝EG 1，∠GEG 1＝60°． ∴GG 1＝EG ，所以△GFG 1的三边长事实上分别等于GF 、GD 、GE 。
2018年湖南省郴州市中考数学试题及参考答案案
2018年湖南省郴州市初中毕业、升学考试试卷数 学一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1.（2018湖南郴州中考，1，3分，★☆☆）下列实数：3、0、12、2-、0.35，其中最小的实数是（ ）A ．3 B.0 C. 2- D.0.352.（2018湖南郴州中考，2，3分，★☆☆）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫.请用科学记数法表示125000为（ ）A ．51.2510⨯ B.60.12510⨯ C.412.510⨯ D. 61.2510⨯ 3.（2018湖南郴州中考，3，3分，★☆☆）下列运算正确的是( ) A ．326a a a ⋅= B.221aa -=-C. 33233-=D. ()()2224a a a +-=+4.（2018湖南郴州中考，4，3分，★☆☆）如图，直线a 、b 被直线c 所截，下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）A ．∠2=∠4 B. ∠1+∠4=180° C. ∠5=∠4 D. ∠1=∠35.（2018湖南郴州中考，5，3分，★☆☆）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（ ）6.（2018湖南郴州中考，6，3分，★☆☆）甲、乙两超市在1月至8月期间的赢利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（）A.甲超市的利润逐月减少B.乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C.8月份两家超市利润相同D.乙超市在9月份的利润必超过甲超市7.（2018湖南郴州中考，7，3分，★★☆）如图，∠AOB=60°.以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于点C，D两点：分别以C，D为圆心，以大于12CD的长为半径作弧，两弧相交于点P：以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A.6B.2C.3D.338.（2018湖南郴州中考，8，3分，★★☆）如图，A ，B 是反比例函数4y x=在第一象限内的图象上的两点，且A ，B 两点的横坐标分别是2和4，则△OAB 的面积是（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共14小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．9.（2018湖南郴州中考，9，3分，★☆☆）计算：(23- .10.（2018湖南郴州中考，10，3分，★☆☆）因式分解：3222a a b ab -+= . 11.（2018湖南郴州中考，11，3分，★☆☆）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是 .12.（2018湖南郴州中考，12，3分，★☆☆）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是 .13.（2018湖南郴州中考，13，3分，★★☆）已知关于x 的一元二次方程260x kx +-=有一个根为-3，则方程的另一个根为 .14.（2018湖南郴州中考，14，3分，★☆☆）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨试验，结果如下表所示： 抽取瓷砖数n 100 300 400 600 1000 2000 3000 合格品数m96 282 382 570 949 1906 2850 合格品频率m n0.9600.9400.9550.9500.9490.9530.950则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是 .（精确到0.01）15.（2018湖南郴州中考，15，3分，★★☆）如图，圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 cm.（结果用π表示）16.（2018湖南郴州中考，16，3分，★★☆）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC 的一个顶点在原点O 处，且∠AOC=60°，A 点的坐标是（0，4），则直线AC 的表达式是 .三、解答题（本大题共10小题，满分82分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（2018湖南郴州中考，17，6分，★★☆）计算：()20181122sin 4521--︒+--.18.（2018湖南郴州中考，18，6分，★★☆）解不等式组：()32214232x x x x +>-⎧⎪⎨-≤-⎪⎩①②，并把解集在数轴上表示出来.19.（2018湖南郴州中考，19，6分，★★☆）如图，在□ABCD 中，作对角线BD 的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD、BC于E、F，连接BE、DF.求证：四边形BFDE 是菱形.20.（2018湖南郴州中考，20，8分，★★☆）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血.献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型，在献血者人群中随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：血型 A B AB O人数10 5（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m= ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？21.（2018湖南郴州中考，21，8分，★★☆）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A 、B 两种奖品以鼓励抢答者.如果购买A 种20件，B 种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B 种10件，共需280元. （1）A 、B 两种奖品每件各是多少元？（2）现要购买A 、B 两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A 种奖品最多购买多少件？22.（2018湖南郴州中考，22，8分，★★☆）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行高度AD ，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B ，C 的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D ，B ，C 在同一水平线上，已知桥BC=30米，求无人机飞行高度AD.（精确到0.01米，参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈）23.（2018湖南郴州中考，23，8分，★★☆）已知BC 是⊙O 的直径，点D 是BC 延长线上一点，AB =AD ，AE 是⊙O 的弦，∠AEC =30°. （1）求证：直线AD 是⊙O 的切线；（2）若A E ⊥BC ，垂足为M ，⊙O 的半径为4，求AE 的长.24.（2018湖南郴州中考，24，8分，★★☆）参照学习函数的过程与方法，探究函数20x yx x的图象与性质.因为221x yx x ，即21y x，所以我们对比函数2y x来探究. 列表：x… -4 -3 -2 -112- 121 2 3 4 …2y x =-…12 231 2 4-4-2 -1-2312- … 2x y x-=… 32 532 3 5 -3 -1 01312…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x 的取值为横坐标，以2x y x相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.（1）请把y 轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来： （2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当0x 时，y 随x 的增大而 ；（填“增大”或“减小”）②2x yx 的图象是由2y x的图象向 平移 个单位而得到； ③图象关于点 中心对称.（填点的坐标） （3）设A 11,x y ，B 22,x y 是函数2x yx的图象上的两点，且12x x =0，试求123y y 的值.25.（2018湖南郴州中考，25，10分，★★★）如图，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A （-1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t . （1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l ，l 与x 轴的交点为D ，在直线l 上是否存在点M ，使得四边形CDPM 是平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，连接BC ，PB ，PC ，设△PBC 的面积为S ，①求S 关于t 的函数表达式；②求P 点到直线BC 的距离的最大值，并求出此时点P 的坐标.26.（2018湖南郴州中考，26，12分，★★★）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F. （1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E.求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P′DF′，连接P′C，F′B，设旋转角为0180.①若0∠BDC，即DF′在∠BDC内部时，求证：△DP′C∽△DF′B；②如图3，若点P是CD的中点，△DF′B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF′的值，如果不能，请说明理由.2018年湖南省郴州市初中毕业、升学考试数学试卷答案全解全析1.答案：C解析：根据有理数的大小比较法则：正数大于零，负数都小于零，正数大于一切负数，比较即可．∵0＜0.35＜12＜3，∴最小的数是C ． 考查内容：有理数的大小比较命题意图：本题主要考查学生对有理数大小比较的方法和规则掌握，难度较低. 2.答案：A解析：先把原数写成整数位为一位数的数1.25，再把原数的整数位减1，即6-1=5,5就是科学记数法中10的指数，从而写出结果.即125000＝1.25×105．故选A ． 考查内容：科学记数法命题意图：本题主要考查学生对科学记数法表示绝对会较大的数的基础知识，难度较低。
湖南省郴州市中考数学真题试题(含解析)
湖南省郴州市2018年中考数学真题试题一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.352．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×1063．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+44．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠35．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D 两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：= ．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= ．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：合格品频率则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是．（精确到0.01）15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为cm．（结果用π表示）16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：（1）这次随机抽取的献血者人数为人，m= ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：﹣﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3.00分）下列实数：3，0，，，0.35，其中最小的实数是（）A．3 B．0 C．D．0.35【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得﹣＜0＜0.35＜＜3，所以最小的实数是﹣．故选：C．【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．2．（3.00分）郴州市人民政府提出：在2018年继续办好一批民生实事，加快补齐影响群众生活品质的短板，推进扶贫惠民工程，实现12.5万人脱贫，请用科学记数法表示125000（）A．1.25×105B．0.125×106C．12.5×104D．1.25×106【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示，本题得以解决．【解答】解：125000=1.25×105，故选：A．【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数，解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法．3．（3.00分）下列运算正确的是（）A．a3•a2=a6B．a﹣2=﹣C．3﹣2=D．（a+2）（a﹣2）=a2+4【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算法则、平方差公式分别计算得出答案．【解答】解：A、a3•a2=a5，故此选项错误；B、a﹣2=，故此选项错误；C、3﹣2=，故此选项正确；D、（a+2）（a﹣2）=a2﹣4，故此选项错误．故选：C．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及负指数幂的性质以及二次根式的加减运算、平方差公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（3.00分）如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，不能判定a∥b（）A．∠2=∠4 B．∠1+∠4=180°C．∠5=∠4 D．∠1=∠3【分析】根据同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；内错角相等，两直线平行，进行判断即可．【解答】解：由∠2=∠4或∠1+∠4=180°或∠5=∠4，可得a∥b；由∠1=∠3，不能得到a∥b；故选：D．【点评】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．5．（3.00分）如图是由四个相同的小正方体搭成的立体图形，它的主视图是（）A．B．C．D．【分析】找到几何体的上面看所得到的图形即可．【解答】解：从几何体的上面看可得，故选：B．【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6．（3.00分）甲、乙两超市在1月至8月间的盈利情况统计图如图所示，下面结论不正确的是（）A．甲超市的利润逐月减少B．乙超市的利润在1月至4月间逐月增加C．8月份两家超市利润相同D．乙超市在9月份的利润必超过甲超市【分析】根据折线图中各月的具体数据对四个选项逐一分析可得．【解答】解：A、甲超市的利润逐月减少，此选项正确；B、乙超市的利润在1月至4月间逐月增加，此选项正确；C、8月份两家超市利润相同，此选项正确；D、乙超市在9月份的利润不一定超过甲超市，此选项错误；故选：D．【点评】本题主要考查折线统计图，折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．7．（3.00分）如图，∠AOB=60°，以点O为圆心，以任意长为半径作弧交OA，OB于C，D 两点；分别以C，D为圆心，以大于CD的长为半径作弧，两弧相交于点P；以O为端点作射线OP，在射线OP上截取线段OM=6，则M点到OB的距离为（）A．6 B．2 C．3 D．【分析】直接利用角平分线的作法得出OP是∠AOB的角平分线，再利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：过点M作ME⊥OB于点E，由题意可得：OP是∠AOB的角平分线，则∠POB=×60°=30°，∴ME=OM=3．故选：C．【点评】此题主要考查了基本作图以及含30度角的直角三角形，正确得出OP是∠AOB的角平分线是解题关键．8．（3.00分）如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A．4 B．3 C．2 D．1【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（2，2），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=2．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3，从而得出S△AOB=3．【解答】解：∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴当x=2时，y=2，即A（2，2），当x=4时，y=1，即B（4，1）．如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×4=2．∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，∴S△AOB=S梯形ABDC，∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+2）×2=3，∴S△AOB=3．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征，梯形的面积．二、填空题（每题3分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．（3.00分）计算：= 3 ．【分析】原式利用平方根的定义化简即可得到结果．【解答】解：原式=3．故答案为：3【点评】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．10．（3.00分）因式分解：a3﹣2a2b+ab2= a（a﹣b）2．【分析】原式提取a，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=a（a2﹣2ab+b2）=a（a﹣b）2．故答案为：a（a﹣b）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．11．（3.00分）一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是720°．【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．【解答】解：这个正多边形的边数为=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°．故答案为720°．【点评】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．12．（3.00分）在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是8 ．【分析】根据众数的定义即可判断．【解答】解：这组数据8出现的次数最多，所以众数为8，故答案为8．【点评】本题考查众数的定义，记住在一组数据中次数出现最多的数是这组数据的众数．13．（3.00分）已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为 2 ．【分析】根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．【解答】解：设方程的另一个根为a，则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，解得：a=2，故答案为：2．【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．14．（3.00分）某瓷砖厂在相同条件下抽取部分瓷砖做耐磨实验，结果如下表所示：合格品频率则这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95 ．（精确到0.01）【分析】根据表格中实验的频率，然后根据频率即可估计概率．【解答】解：由击中靶心频率都在0.95上下波动，所以这个厂生产的瓷砖是合格品的概率估计值是0.95，故答案为：0.95．【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想，解题的关键是求出每一次事件的频率，然后即可估计概率解决问题．15．（3.00分）如图，圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为12πcm．（结果用π表示）【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．【解答】解：设底面圆的半径为rcm，由勾股定理得：r==6，∴2πr=2π×6=12π，故答案为：12π．【点评】此题考查了圆锥的计算，解答本题的关键是掌握圆锥侧面展开图是个扇形，要熟练掌握扇形与圆锥之间的联系，难度一般．16．（3.00分）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的一个顶点在原点O处，且∠AOC=60°，A点的坐标是（0，4），则直线AC的表达式是y=﹣x+4 ．【分析】根据菱形的性质，可得OC的长，根据三角函数，可得OD与CD，根据待定系数法，可得答案．【解答】解：如图，由菱形OABC的一个顶点在原点O处，A点的坐标是（0，4），得OC=OA=4．又∵∠1=60°，∴∠2=30°．sin∠2==，∴CD=2．cos∠2=cos30°==，OD=2，∴C（2，2）．设AC的解析式为y=kx+b，将A，C点坐标代入函数解析式，得，解得，直线AC的表达式是y=﹣x+4，故答案为：y=﹣x+4．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出C点坐标是解题关键，又利用了菱形的性质及待定系数法求函数解析式．三、解答题（本大题共10小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（6.00分）计算|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018．【分析】首先计算乘方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：|1﹣|﹣2sin45°+2﹣1﹣（﹣1）2018=﹣1﹣2×+0.5﹣1=﹣1.5【点评】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．18．（6.00分）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．【分析】首先解出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①，得：x＞﹣4，解不等式②，得：x≤0，则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，将解集表示在数轴上如下：【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．19．（6.00分）如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，在△EOD和△FOB中，，∴△DOE≌△BOF（ASA）；∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出OE=OF是解题关键．20．（8.00分）6月14日是“世界献血日”，某市采取自愿报名的方式组织市民义务献血．献血时要对献血者的血型进行检测，检测结果有“A型”、“B型”、“AB型”、“O型”4种类型．在献血者人群中，随机抽取了部分献血者的血型结果进行统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的图表：（1）这次随机抽取的献血者人数为50 人，m= 20 ；（2）补全上表中的数据；（3）若这次活动中该市有3000人义务献血，请你根据抽样结果回答：从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率是多少？并估计这3000人中大约有多少人是A型血？【分析】（1）用AB型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算m的值；（2）先计算出O型的人数，再计算出A型人数，从而可补全上表中的数据；（3）用样本中A型的人数除以50得到血型是A型的概率，然后用3000乘以此概率可估计这3000人中是A型血的人数．【解答】解：（1）这次随机抽取的献血者人数为5÷10%=50（人），所以m=×100=20；故答案为50，20；（2）O型献血的人数为46%×50=23（人），A型献血的人数为50﹣10﹣5﹣23=12（人），如图，故答案为12，23；（3）从献血者人群中任抽取一人，其血型是A型的概率==，3000×=720，估计这3000人中大约有720人是A型血．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了统计图．21．（8.00分）郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A 种15件，B种10件，共需280元．（1）A、B两种奖品每件各多少元？（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价=单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据题意得：，解得：．答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，解得：a≤．∵a为整数，∴a≤41．答：A种奖品最多购买41件．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，找出关于a的一元一次不等式．22．（8.00分）小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732）【分析】由∠EAB=60°、∠EAC=30°可得出∠CAD=60°、∠BAD=30°，进而可得出CD=AD、BD=AD，再结合BC=30即可求出AD的长度．【解答】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°，∴∠CAD=60°，∠BAD=30°，∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=A D•tan∠BAD=AD，∴BC=CD﹣BD=AD=30，∴AD=15≈25.98．【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题，通过解直角三角形找出CD=AD、BD=AD是解题的关键．23．（8.00分）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出AM，再用垂径定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵∠AEC=30°，∴∠ABC=30°，∵AB=AD，∴∠D=∠ABC=30°，根据三角形的内角和定理得，∠BAD=120°，连接OA，∴OA=OB，∴∠OAB=∠ABC=30°，∴∠OAD=∠BAD﹣∠OAB=90°，∴OA⊥AD，∵点A在⊙O上，∴直线AD是⊙O的切线；（2）连接OA，∵∠AEC=30°，∴∠AOC=60°，∵BC⊥AE于M，∴AE=2AM，∠OMA=90°，在Rt△AOM中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2，∴AE=2AM=4．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆周角定理，求出∠AOC=60°是解本题的关键．24．（10.00分）参照学习函数的过程与方法，探究函数y=的图象与性质．因为y=，即y=﹣+1，所以我们对比函数y=﹣来探究．列表：﹣﹣描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y=相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示：（1）请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来；（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当x＜0时，y随x的增大而增大；（填“增大”或“减小”）②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移 1 个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数y=的图象上的两点，且x1+x2=0，试求y1+y2+3的值．【分析】（1）用光滑曲线顺次连接即可；（2）利用图象法即可解决问题；（3）根据中心对称的性质，可知A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，由此即可解决问题；【解答】解：（1）函数图象如图所示：（2）①当x＜0时，y随x的增大而增大；②y=的图象是由y=﹣的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（0，1）中心对称．（填点的坐标）故答案为增大，上，1，（0，1）（3）∵x1+x2=0，∴x1=﹣x2，∴A（x1，y1），B（x2，y2）关于（0，1）对称，∴y1+y2=2，∴y1+y2+3=5．【点评】本题考查反比例函数的性质、中心对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．25．（10.00分）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于C点，点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A、B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC，交抛物线对称轴l于点E，由点A、B的坐标可得出对称轴l为直线x=1，分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时，由抛物线的对称性可得出此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t ≠2时，不存在，利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴，交BC于点F，由点B、C的坐标利用待定系数法可求出直线BC 的解析式，根据点P的坐标可得出点F的坐标，进而可得出PF的长度，再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值，利用勾股定理可求出线段BC的长度，利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值，再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，，解得：，∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2，∴不存在．（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，，解得：，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0，∴当t=时，S取最大值，最大值为．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC==3，∴P点到直线BC的距离的最大值为=，此时点P的坐标为（，）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．26．（12.00分）在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．【解答】解：（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，∵PF∥BC，∴∠DFP=∠ADF，∴∠DFQ=∠ADF，∴△DEF是等腰三角形，（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，∵∠P′DF′=∠PDF，∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，∴∠P′DC=∠F′DB，由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，∵PF∥BC，∴△DPF∽△DCB，∴△DP′F′∽△DCB∴，∴△DP'C∽△DF'B②当∠F′DB=90°时，如图所示，。
2020年湖南省郴州市中考数学试卷 (解析版)
2020年郴州市中考数学试卷一、选择题（共8小题）.1．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a55．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠26．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差7．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）8．在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O 作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．若分式的值不存在，则x＝．10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．11．质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有件次品．12．某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝．13．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为．14．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是．15．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．18．解方程：＝+1．19．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．20．疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）21．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．22．为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．24．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1y2；若1＜x1＜x2，则y1y2；若x1•x2＝1，则y1y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．如图表示互为相反数的两个点是（）A．点A与点B B．点A与点D C．点C与点B D．点C与点D 解：3和﹣3互为相反数，则点A与点D表示互为相反数的两个点．故选：B．2．2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星在西昌卫星发射中心点火升空．北斗卫星导航系统可提供高精度的授时服务，授时精度可达10纳秒（1秒＝1000000000纳秒）．用科学记数法表示10纳秒为（）A．1×10﹣8秒B．1×10﹣9秒C．10×10﹣9秒D．0.1×10﹣9秒解：∵1秒＝1000000000纳秒，∴10纳秒＝10÷1000000000秒＝0.000 00001秒＝1×10﹣8秒．故选：A．3．下列图形是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意．故选：D．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a）4＝a4B．a2•a3＝a6C．﹣＝D．2a3+3a2＝5a5解：A、（﹣a）4＝a4，正确；B、a2•a3＝a5，故此选项错误；C、﹣＝2﹣＝，故此选项错误；D、2a3+3a2，不是同类项，无法合并，故此选项错误；故选：A．5．如图，直线a，b被直线c，d所截．下列条件能判定a∥b的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠4＝∠5D．∠1＝∠2解：A、当∠1＝∠3时，c∥d，故此选项不合题意；B、当∠2+∠4＝180°时，c∥d，故此选项不合题意；C、当∠4＝∠5时，c∥d，故此选项不合题意；D、当∠1＝∠2时，a∥b，故此选项符合题意；故选：D．6．某鞋店试销一种新款男鞋，试销期间销售情况如下表：鞋的尺码（cm）2424.52525.52626.5销售数量（双）27181083则该组数据的下列统计量中，对鞋店下次进货最具有参考意义的是（）A．中位数B．平均数C．众数D．方差解：对鞋店下次进货来说，他最关注的是哪一型号的卖得最多，即是这组数据的众数．故选：C．7．如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．8．在平面直角坐标系中，点A是双曲线y1＝（x＞0）上任意一点，连接AO，过点O 作AO的垂线与双曲线y2＝（x＜0）交于点B，连接AB，已知＝2，则＝（）A．4B．﹣4C．2D．﹣2解：作AD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E，∵点A是双曲线y1＝（x＞0）上的点，点B是双曲线y2＝（x＜0）上的点，∴S△AOD＝|k1|＝k1，S△BOE＝|k2|＝﹣k2，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE+∠AOD＝90°，∵∠AOD+∠OAD＝90°，∴∠BOE＝∠OAD，∠BEO＝∠OAD＝90°，∴△BOE∽△OAD，∴＝（）2，∴＝22，∴＝﹣4，故选：B．二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）9．若分式的值不存在，则x＝﹣1．解：若分式的值不存在，则x+1＝0，解得：x＝﹣1，故答案为：﹣1．10．已知关于x的一元二次方程2x2﹣5x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．解：根据题意得△＝（﹣5）2﹣4×2×c＝0，解得c＝．故答案为：．11．质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有20件次品．解：1000×＝20（件），即这批电子元件中大约有20件次品，故答案为：20．12．某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩（分）分别为：86，88，90，92，94，方差为S2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差S新2＝8.0．解：∵一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，方差不变，∴所得到的一组新数据的方差为S新2＝8.0；故答案为：8.0．13．小红在练习仰卧起坐，本月1日至4日的成绩与日期具有如下关系：日期x（日）1234成绩y（个）40434649小红的仰卧起坐成绩y与日期x之间近似为一次函数关系，则该函数表达式为y＝3x+37．解：设该函数表达式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴该函数表达式为y＝3x+37．故答案为：y＝3x+37．14．在平面直角坐标系中，将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，已知A（2，3），则点A1的坐标是（，2）．解：∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．15．如图，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，则圆锥主视图的面积为48．解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的母线长为10，侧面展开图的面积为60π，故60π＝π×10×r，解得：r＝6．由勾股定理可得圆锥的高＝＝8，∵圆锥的主视图是一个底边为12，高为8的等腰三角形，∴它的面积＝＝48，故答案为：48．16．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8．分别以点B，D为圆心，以大于BD的长为半径画弧，两弧相交于点E和F．作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N，则MN＝2．解：如图，连接DN，在矩形ABCD中，AD＝4，AB＝8，∴BD＝＝4，根据作图过程可知：MN是BD的垂直平分线，∴DN＝BN，OB＝OD＝2，∴AN＝AB﹣BN＝AB﹣DN＝8﹣DN，在Rt△ADN中，根据勾股定理，得DN2＝AN2+AD2，∴DN2＝（8﹣DN）2+42，解得DN＝5，在Rt△DON中，根据勾股定理，得ON＝＝，∵CD∥AB，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，∵OD＝OB，∴△DMO≌△BNO（AAS），∴OM＝ON＝，∴MN＝2．故答案为：2．三、解答题（17～19题每小题6分，20～23题每小题6分，24～25题每小题6分，26题12分，共82分）17．计算：（）﹣1﹣2cos45°+|1﹣|﹣（+1）0．解：原式＝3﹣2×+﹣1﹣1＝3﹣+﹣2＝1．18．解方程：＝+1．解：＝+1，方程两边都乘（x﹣1）（x+1），得x（x+1）＝4+（x﹣1）（x+1），解得x＝3，检验：当x＝3时，（x﹣1）（x+1）＝8≠0．故x＝3是原方程的解．19．如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD，∠DCA＝∠BCA，∴∠DCF＝∠BCF，∵CF＝CF，∴△CDF≌△CBF（SAS），∴DF＝BF，∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵AE＝CF，DA＝AB，∴△DAE≌△BFC（SAS），∴DE＝BF，同理可证：△DCF≌△BEA（SAS），∴DF＝BE，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DF＝BF，∴平行四边形BEDF是菱形．20．疫情期间，我市积极开展“停课不停学”线上教学活动，并通过电视、手机APP等平台进行教学视频推送．某校随机抽取部分学生进行线上学习效果自我评价的调查（学习效果分为：A．效果很好；B．效果较好；C．效果一般；D．效果不理想），并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图：（1）此次调查中，共抽查了200名学生；（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中∠α的度数；（3）某班4人学习小组，甲、乙2人认为效果很好，丙认为效果较好，丁认为效果一般．从学习小组中随机抽取2人，则“1人认为效果很好，1人认为效果较好”的概率是多少？（要求画树状图或列表求概率）解：（1）80÷40%＝200（名），故答案为：200；（2）200﹣80﹣60﹣20＝40（名），360°×＝72°，补全条形统计图如图所示：（3）用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：共有12种可能出现的结果，其中“1人认为效果很好，1人认为效果较好”即：1人为A，1人为B的有2种，∴P（1人认为效果很好，1人认为效果较好）＝＝．21．2020年5月5日，为我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运較火箭从地面O处发射，当火箭到达点A时，地面D处的雷达站测得AD＝4000米，仰角为30°．3秒后，火箭直线上升到达点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．已知C，D两处相距460米，求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到1米/秒，参考数据：≈1.732，≈1.414）．解：设火箭从A到B处的平均速度为x米/秒，根据题意可知：AB＝3x，在Rt△ADO中，∠ADO＝30°，AD＝4000，∴AO＝2000，∴DO＝2000，∵CD＝460，∴OC＝OD﹣CD＝2000﹣460，在Rt△BOC中，∠BCO＝45°，∴BO＝OC，∵OB＝OA+AB＝2000+3x，∴2000+3x＝2000﹣460，解得x≈335（米/秒）．答：火箭从A到B处的平均速度为335米/秒．22．为支援抗疫前线，某省红十字会采购甲、乙两种抗疫物资共540吨，甲物资单价为3万元/吨，乙物资单价为2万元/吨，采购两种物资共花费1380万元．（1）求甲、乙两种物资各采购了多少吨？（2）现在计划安排A，B两种不同规格的卡车共50辆来运输这批物资．甲物资7吨和乙物资3吨可装满一辆A型卡车；甲物资5吨和乙物资7吨可装满一辆B型卡车．按此要求安排A，B两型卡车的数量，请问有哪几种运输方案？解：（1）设甲物资采购了x吨，乙物质采购了y吨，依题意，得：，解得：．答：甲物资采购了300吨，乙物质采购了240吨．（2）设安排A型卡车m辆，则安排B型卡车（50﹣m）辆，依题意，得：，解得：25≤m≤27．∵m为正整数，∴m可以为25，26，27，∴共有3种运输方案，方案1：安排25辆A型卡车，25辆B型卡车；方案2：安排26辆A型卡车，24辆B型卡车；方案3：安排27辆A型卡车，23辆B型卡车．23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，在l上取一点D使得DA＝DC，线段DC，AB的延长线交于点E．（1）求证：直线DC是⊙O的切线；（2）若BC＝2，∠CAB＝30°，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．【解答】（1）证明：连接OC，∵AB是⊙O的直径．直线l与⊙O相切于点A，∴∠DAB＝90°，∵DA＝DC，OA＝OC，∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA，∴∠DCA+∠ACO＝∠DAC+∠CAO，即∠DCO＝∠DAO＝90°，∴OC⊥BD，∴直线DC是⊙O的切线；（2）解：∵∠CAB＝30°，∴∠BOC＝2∠CAB＝60°，∵OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴OC＝OB＝BC＝2，∴CE＝OC＝2，∴图中阴影部分的面积＝S△OCE﹣S扇形COB＝﹣＝2﹣．24．为了探索函数y＝x+（x＞0）的图象与性质，我们参照学习函数的过程与方法．列表：x…12345…y…2…描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图1所示：（1）如图1，观察所描出点的分布，用一条光滑曲线将点顺次连接起来，作出函数图象；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，结合表格和函数图象，回答下列问题：若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2；若x1•x2＝1，则y1＞y2（填“＞”，“＝”或“＜”）．（3）某农户要建造一个图2所示的长方体形无盖水池，其底面积为1平方米，深为1米．已知底面造价为1千元/平方米，侧面造价为0.5千元/平方米．设水池底面一边的长为x米，水池总造价为y千元．①请写出y与x的函数关系式；②若该农户预算不超过3.5千元，则水池底面一边的长x应控制在什么范围内？解：（1）函数图象如图所示：（2）若0＜x1＜x2≤1，则y1＞y2；若1＜x1＜x2，则y1＜y2，若x1•x2＝1，则y1＞y2．故答案为＞，＜，＞．（3）①由题意，y＝1+（2x+）×0.5＝1+x+（x＞0）．②由题意1+x+≤3.5，∵x＞0，可得2x2﹣5x+2≤0，解得：≤x≤2，∴长x应控制在≤x≤2的范围内．25．如图1，在等腰直角三角形ADC中，∠ADC＝90°，AD＝4．点E是AD的中点，以DE为边作正方形DEFG，连接AG，CE．将正方形DEFG绕点D顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜90°）．（1）如图2，在旋转过程中，①判断△AGD与△CED是否全等，并说明理由；②当CE＝CD时，AG与EF交于点H，求GH的长．（2）如图3，延长CE交直线AG于点P．①求证：AG⊥CP；②在旋转过程中，线段PC的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．解：（1）①如图2中，结论：△AGD≌△CED．理由：∵四边形EFGD是正方形，∴DG＝DE，∠GDE＝90°，∵DA＝DC，∠ADC＝90°，∴∠GDE＝∠ADC，∴∠ADG＝∠CDE，∴△AGD≌△CED（SAS）．②如图2中，过点A作AT⊥GD于T．∵△AGD≌△CED，CD＝CE，∴AD＝AG＝4，∵AT⊥GD，∴TG＝TD＝1，∴AT＝＝，∵EF∥DG，∴∠GHF＝∠AGT，∵∠F＝∠ATG＝90°，∴△GFH∽△ATG，∴＝，∴＝，∴GH＝．（2）①如图3中，设AD交PC于O．∵△AGD≌△CED，∴∠DAG＝∠DCE，∵∠DCE+∠COD＝90°，∠COD＝∠AOP，∴∠AOP+∠DAG＝90°，∴∠APO＝90°，∴CP⊥AG．②∵∠CPA＝90°，AC是定值，∴当∠ACP最小时，PC的值最大，∴当DE⊥PC时，∠ACP的值最小，此时PC的值最大，此时点F与P重合（如图4中），∵∠CED＝90°，CD＝4，DE＝2，∴EC＝＝＝2，∵EF＝DE＝2，∴CP＝CE+EF＝2+2，∴PC的最大值为2+2．26．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．（1）求抛物线和直线BC的表达式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求的最大值；②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝ax2+bx+3得：，解得，∴抛物线的表达式，y＝﹣x2+2x+3，∴点C坐标为（0，3），把B（3，0），C（0，3）代入y＝kx+n得：，解得，∴直的表达式：y＝﹣x+3．（2）①∵PA交直线BC于点，∴设点D的坐标为（m，﹣m+3），设直线PA的表达式为y＝k1x+b1，∴，解得，∴直线PA的表达式，y＝x+，∴x+＝﹣x2+2x+3，整理得，（x﹣）（x+1）＝0解得x＝或﹣1（不合题意，舍去），∴点D的横坐标为m，点P的横坐标，分别过点D、P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图1中：∴DM∥PN，OM＝m，ON＝，OA＝1，∴＝＝＝＝＝，设＝t，则t＝整理得，（t+1）m2+（2t﹣3）m+t＝0，∵△≥0，∴（2t﹣3）2﹣4t（t+1）≥0，解得t≤∴有最大值，最大值为．②存在，理由如下：过点F作FG⊥OB于G，如图2中，∵y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣1，∴OE＝1，∵B（3，0），C（0，3）∵OC＝OB＝3，∠OCB＝90°，∴△OCB是等腰直角三角形，∵∠EFB＝90°，BE＝OB﹣OE＝2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴EG＝GB＝EG＝1，∴点F的坐标为（2，1），当EF为边时，∵EFPQ为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥y轴，∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，当x＝2时，y＝﹣22+2×2+3＝3，∴点P的坐标为（2，3），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，2）；当EF为对角线时，如图3中，∵PEQF为平行四边形，∴QE＝PF，QE∥PF∥轴，同理求得：点P的坐标为（2，），∴QE＝PF＝3﹣1＝2，点Q的坐标为（1，﹣2）；综上，点P的标为（2，3），点Q的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；。
2020年湖南省郴州中考数学试卷附答案解析版
对称轴 l 上的一个动点，是否存在以点 E ，F ，P ，Q 为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，求出点 P ， Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
（1）如图 2，在旋转过程中， ①判断 △AGD 与 △CED 是否全等，并说明理由；
数学试卷 第 7 页（共 8 页）
数学试卷 第 8 页（共 8 页）
连接 DE ， DF ， BE ， BF .
求证：四边形 BEDF 是菱形.
数学试卷 第 4 页（共 8 页）
毕业学校_____________ 姓名________________ 准考证号________________ ________________ _____________
------------- ------------------ ------------------ ------------------ ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ---------------
绝密★启用前
在
2020 年湖南省郴州市初中学业水平考试
数学
此 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并
认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；
2.选择题部分请按题号用 2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；
卷
3.非选择题部分答无效；
4.在草稿纸、试题卷上答题无效；
5.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
上
6.答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回。
本试卷共 8 页，有三道大题，共 26 小题，满分为 130 分，考试时间 120 分钟.
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பைடு நூலகம்
24．设 a，b 是任意两个实数，规定 a 与 b 之间的一种运算“⊕”为： a⊕
b=
，
例如： 1⊕（﹣ 3） = =﹣ 3，（﹣ 3）⊕ 2=（﹣ 3）﹣ 2=﹣5，
（ x2+1）⊕（ x﹣ 1） =
（因为 x2+1＞0）
参照上面材料，解答下列问题： （ 1）2⊕4= ，（﹣ 2）⊕ 4= ； （ 2）若 x＞ ，且满足（ 2x﹣1）⊕（ 4x2﹣1） =（﹣ 4）⊕（ 1﹣ 4x），求 x 的值． 25．如图 1，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 A（﹣ 1，0）， B（ 4， 0）两点，与 y 轴相交于点 C，连结 BC，点 P 为抛物线上一动点，过点 P 作 x 轴的垂线 l ，交直线 BC于点 G，交 x 轴于点 E． （ 1）求抛物线的表达式； （ 2）当 P 位于 y 轴右边的抛物线上运动时，过点 C 作 CF⊥直线 l ，F 为垂足，当点 P 运动到何处时，以 P，C，F 为顶点的三角形与△ OBC相似？并求出此时点 P 的坐标； （ 3）如图 2，当点 P 在位于直线 BC上方的抛物线上运动时，连结 PC，PB，请问△ PBC 的面积 S 能否取得最大值？若能，请求出最大面积 S，并求出此时点 P的坐标，若不 能，请说明理由．
满落下帷幕，参观人数约 32 万人次，交易总额达 17.6 亿元人民币， 32000 用科学记数
法表示为（ ） A．32× 104 B．3.2 ×104 C．3.2 ×105 D． 0.32 × 106
3．下列运算正确的是（
）
A．3a+2b=5ab
B．a2×a3=a6 C．（ a﹣b）2=a2﹣b2 D． a3÷a2=a
4．下列生态环保标志中，是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
5．在郴州市中小学“创园林城市，创卫生城市，创文明城市”演讲比赛中， 5 位评委
给靓靓同学的评分如下： 9.0 ，9.2 ，9.2 ，9.1 ， 9.5 ，则这 5 个数据的平均数和众数分
别是（ ）
A．9.1 ，9.2 B ．9.2 ，9.2 C ．9.2 ，9.3 D ． 9.3 ，9.2
（ 1）设每千克水果降价 x 元，平均每天盈利 y 元，试写出 y 关于 x 的函数表达式；
（ 2）若要平均每天盈利 960 元，则每千克应降价多少元？
22．小宇在学习解直角三角形的知识后，萌生了测量他家对面位于同一水平面的楼房
高度的想法，他站在自家 C 处测得对面楼房底端 B 的俯角为 45°，测得对面楼房顶端
三、解答题（共 10 小题，满分 82 分） 17．计算：（ ）0+（﹣ 1） ﹣ 2016 | ﹣ |+ 2sin60 °．
18．解不等式组
．
19．如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 y2= （x＞0）的图象交于点 M，作 MN ⊥ x 轴， N 为垂足，且 ON=1 （ 1）在第一象限内，当 x 取何值时， y1＞y2？（根据图象直接写出结果） （ 2）求反比例函数的表达式．
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（ 1）这次调查共走访市民
人，∠α＝ 度．
（ 2）请补全条形统计图．
（ 3）结合上面的调查统计结果，请你对郴州市今后的文明城市创建工作提出好的建
议．
21．某商店原来平均每天可销售某种水果 200 千克，每千克可盈利 6 元，为减少库
存，经市场调查，如果这种水果每千克降价 1 元，则每天可所多售出 20 千克．
为．
15．如图是一次射击训练中甲、乙两人的 10 次射击成绩的分布情况，则射击成绩的方 差较小的是 （填“甲”或“乙”）．
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16．观察下列等式： 31=3， 32=9，33=27，34=81， 35=243， 36=729，…，试猜想， 32016 的 个位数字是 ．
20．在中央文明办对 2015 年全国文明城市测评中，郴州市在全省五个全国文明城市提 名城市中排名第一，成绩的取得主要得力于领导高度重视、整改措施有效、市民积极 参与及市民文明素质进一步提高．郴州市某中学数学课外兴趣小组随机走访了部分市 民，对 A（领导高度重视）、 B（整改措施有效）、 C（市民积极参与）、 D（市民文明 素质进一步提高）四个类别进行满意度调查（只勾选最满意的一项），并将调查结果 制作了如下两幅不完整的统计图．
6．下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（
）
A．
B．
C．
D．
7．当 b＜ 0 时，一次函数 y=x+b 的图象大致是（
）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在正方形 ABCD中，△ ABE和△ CDF为直角三角形，∠ AEB=∠CFD=9°0 ， AE=CF=，5 BE=DF=1，2 则 EF 的长是（ ）
湖 南 省 郴 州 市 2016 年中考数学试卷( 解析
版)
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2016 年湖南省郴州市中考数学试卷
一、选择题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分） 1． 2016 的倒数是（ ）
A．
B．﹣
C．2016
D．﹣ 2016
2．2016 年 5 月 23 日，为期 5 天的第四届中国（湖南）国际矿物宝石博览会在郴州圆
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A．7 B．8 C．7
D．7
二、填空题（共 8 小题，每小题 3 分，满分 24 分）
9．计算：﹣ 1+ = ． 10．因式分解： m2n﹣6mn+9n= ．
11．二次根式
中， a 的取值范围是
．
12．如图，直线 AB，CD被直线 AE所截， AB∥CD，∠ A=110°，则∠ 1=
A 的仰角为 30°，并量得两栋楼房间的距离为 9 米，请你用小宇测得的数据求出对面
楼房 AB的高度．（结果保留到整数，参考数据：
≈1.4 ， ≈1.7 ）
23．如图， OA，OD是⊙ O半径，过 A 作⊙ O的切线，交∠ AOD的平分线于点 C，连接 CD，延长 AO交⊙ O于点 E，交 CD的延长线于点 B （ 1）求证：直线 CD是⊙ O的切线； （ 2）如果 D 点是 BC的中点，⊙ O的半径为 3cm，求 的长度（结果保留 π）
度．
13．同时掷两枚均匀的硬币，则两枚都出现反面朝上的概率是
．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC的顶点坐标分别为 O（ 0，0）， A（ 2，
0）， B（2，1）， C（ 0， 1），以坐标原点 O为位似中心，将矩形 OABC放大为原图形
的 2 倍，记所得矩形为 OA1B1C1， B 为对应点为 B1，且 B1 在 OB的延长线上，则 B1 的坐标