中外《量子力学》教学活动材料中有关波函数的统计诠释论述的区别

中外《量子力学》教材中有关“波函数的统计诠释”论述的区别与思考张立彬1，张毅1，王娟萍1，潘玉松2（1.南开大学外国教材中心，天津，300071；2.南开大学泰达应用物理学院，天津，300457）内容摘要：量子力学理论作为近代物理学的重要基础理论之一，其发展对人类的影响产生极重要的作用.本文通过对四本国内外著名量子力学教材的介绍，具体就波函数的统计诠释这一基本概念的讲解展开分析，讨论了不同教材的讲解思路和教学讨论深广度的区别及特色，从而明确了国内外教材某些知识点的优势和侧重点.关键词：波函数；统计诠释；量子力学；国内外经典教材诞生于20世纪初的量子力学，使得物理学在近一百多年中取得了前所未有的进步.随着科技与社会日新月异的发展，作为近代物理学基础的量子力学对于科研的辅助也是与日俱增，已经延伸至化学、生物等领域的许多交叉学科当中，并且国内外著名大学都开设了量子力学课程.量子力学课程需要学生具备一定的数学分析、微分方程、线性代数等数学基础，这样才能够理解教材中建立在缜密物理逻辑基础上的精确数学描写.量子理论代表了迄今为止人类对物质世界的最深刻认识，无论是从深度还是广度来说都不是很容易掌握.它提出的新概念有悖于人们的物理直觉，需要学习者抛弃原有经典物理上的一些固有观点，从一个完全崭新的角度去理解这个世界的本质.可以说量子力学重建了人们从宏观到原子、亚原子尺度上对时间-空间问题、物质-能量问题的认识.尽管量子理论在实际应用中取得了成功，但其始终受到质疑.其中一个非常著名的就是与波函数统计诠释相关的EPR佯谬[1].依照经典物理观念，若我们不对体系进行任何干扰，就能确定地预言某个物理量的值时，那么必定存在着一个物理实在的要素对应于这个物理量.而量子力学理论不能提供上述对物理实在的完备描述，因此EPR佯谬质疑了量子力学的完备性：量子力学中无法完备地用波函数描述物理实在.此佯谬支持者认为，由波函数描述的系统的物理量具有确定的值，不论它是否被测量过，并且足够远处发生的事件不会影响对这些物理量的测量结果（定域实在论）.关于这个佯谬人们一度争论了很久，直到1964年Bell提出定域隐变量理论关于相收稿日期：修回日期：基金项目：教育部2012年研究项目《比较中外著名大学“四大力学”本科课程与主流教材，探索物理学国际化创新人才培养模式》（2012-28）资助.作者简介：张立彬（1964—），男，河北石家庄人，教育部南开大学外国教材中心副教授，主要从事中外高等教育教材评介与比较研究工作.关体系的关联度的判别方法（Bell 不等式）[2]，才有了转机.由于Bell 的发现，物理学家们逐渐认识到定域实在论与量子力学理论的矛盾是统计性的，增加了人们对于定域实在论的怀疑.后来的实验也表明，定域实在论不符合量子力学理论对可观测量的实验结果[3].上面的例子清楚地展示了人们在看待量子领域的问题时，是多么难以克服直观的经典思维之束缚.对于如何使量子力学能够更好地被更多学生所欣然接受这个棘手问题，相信不少的授课者都或多或少地思考过.基于上述考虑，同时为了改善高校的教育质量，更好地培养人才，我们在深入调研的基础上，专门选取了四本国内外著名量子力学教材，系统地比较与分析了各教材对于“波函数的统计诠释”这一基本量子力学概念的教授方式，从而明确各本教材的内容特点、侧重和不足.国内两本著名量子力学教材分别是：曾谨言的《量子力学》第四版[4]和苏汝铿的《量子力学》第二版[5]；国外两本著名量子力学教材分别是：David J.Griffiths 的《Introduction to Quantum Mechanics 》[6]和Robert Eisberg and Robert Resnick 的《Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles 》第二版[7].下面我们先将各个教材对“波函数的统计诠释”知识点的讲解思路及特色展开分析，然后再从教学讨论深广度、案例分析的角度对上面四本教材进一步进行解读，以对国内物理高等教育提供量子力学教学的方面的参考. 1 各教材对“波函数的统计诠释”知识点讲解思路的区别及特色宏观低速系统中，对单个质量为m 的物体，只要知道它在时刻t 的位置)(t r和它所受的外力F (r ,t )，我们便可以根据牛顿定律F=ma 预测此物体之后的行为（包括速度dtr d v =，动量v m p =，动能221mv T =等），又宏观力F (r ,t)产生于势场V (r ,t)，所以我们用“r V F dt r md ∂-∂==//22......(1)”描述它的动力学过程.而到了微观领域，因为粒子的波粒二象性比宏观物体要明显许多，故而在量子力学中，微观系统的状态用波函数Ψ(r,t)来描写,其动力学过程由薛定谔方程“ψ+∂ψ∂⋅-=∂ψ∂V r m t i 2222 ......(2)”表示，不同于牛顿定律，此体系只能给出此物体之后的一系列统计状态而无法预测其未来的所有具体行为.波函数究竟是如何完整地表达粒子物理实在的，长久以来一直在困扰着初学者.要想深刻地理解它，还需从量子力学理论对波函数的统计诠释说起.那我们就来看看本文所选教材是如何向大家解释这个问题的.1.1曾谨言的《量子力学》第四版作者在第二章首先举例说明电子曾被认为是实体粒子，后来通过电子的狭缝干涉、衍射实验的图样讲述了电子同样具有波动特性，以实验结果图样说明电子呈现的波动性反映微观客体运动的统计规律，得出波函数Ψ(r ,t)是描述粒子的概率分布函数.与光学一样，衍射花样的强度分布便可用Ψ2(r ,t)描述，但此处它是用来刻画粒子出现在点r 附近概率大小的一个量而非经典含义所表示的光强.在数学上：a)引入概率统计观点，粒子在空间各点被发现的概率总和为1即错误!未找到引用源。

，然后举例说明波函数归一化的方法，进一步由概率密度原理推导出力学量平均值与算符.b)引入傅立叶分析内容举了两个理想化例子（动量完全确定的粒子和位置完全确定的粒子）直观地说明了动量与位置的测不准关系.在波函数统计诠释——概率波概念和数学解读做出之后，作者给出了统计诠释对波函数的几点要求，以满足统计诠释能赋予波函数确切的物理含义.1.2苏汝铿的《量子力学》第二版作者在第二章用了一节的内容来讲解波函数的统计诠释概念.一上来也是从电子入手介绍它不能仅仅被视为实物粒子，也不能完全看成一个三维空间连续分布的某种物质波包.随后在给出物理学家玻恩对波函数的统计诠释以后，作者根据此诠释得出了波函数性质相关的一系列推论，非常直截了当.在数学上，就如何理解波函数对微观粒子的描述问题，把重心落在借助色散关系的简单推导证明了粒子不能只具有波动特性，说明单纯认为波函数Ψ的波动诠释是不对的.1.3 David J. Griffiths的《Introduction to Quantum Mechanics》作者在第一章开篇介绍了薛定谔方程之后马上跟进玻恩对波函数的统计诠释，并辅之以图像示意.在数学上，此知识点的讲解没有繁琐多余的式子，思路明确，非常利于读者接受.然后循循善诱地说出这一统计诠释在一定程度上引入了某种不确定性：不同于经典体系的描述方程(1),即使我们知道了某个粒子的波函数,我们也无法依靠方程(2)完全准确地预知对该粒子进行一次探测而得到的粒子所处位置.并且提出了一个问题加以说明，使波函数在读者印象更加形象：假如我们用实验测定某粒子在位置C，那么此粒子在我们对它进行测量以前处在什么位置？对问题的回答有三种：a)定域实在论：粒子之前也处在C，不论是否对它进行测量（爱因斯坦认为如果这是事实，那么我们用式(2)无法准确预知其动力学行为，故而量子力学理论是不完备的，于是波函数并不能完整描述粒子行为需要加入其他变量，即学术界说的“隐变量”共同描述）.b)正统哥本哈根派论断：之前粒子位置不确定，是测量这个行为对波函数产生了作用，促使粒子在C位置被测到.c)不可知论：拒绝回答，因为本身就是无法确定.在逐一解读三个回答的基础之上，辅之以量子力学发展简史来告诉读者，回答b符合波函数的统计诠释，也最符合客观规律.至于为什么波函数统计诠释及其对应的回答b最符合客观规律书里没有马上说，因为对这个问题的理解需要初学者了解后面的物理知识才可以，所以作者在此设置了一个“悬念”引人入胜，增强了读者的兴趣,直到第三章第四节才给出最终的完整解答.这种编排形式十分新颖独特，不像国内传统教材拘泥于章节的独立性，环环相扣，就像一位老者向人讲故事一样娓娓道来，易于理解，可读性颇强.1.4 Robert Eisberg and Robert Resnick的《Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles》在讲波函数的统计诠释之前，在前两章先作好铺垫：19世纪末发展成熟的经典物理的成功，促使科学家思维局限在“能量的传输是通过粒子或者波动来实现”，因此他们引入粒子模型解释康普顿散射，引入波动理论解释X射线衍射.当作者在第三章图文并茂地介绍物理史上印证德布罗意猜想的电子衍射实验装置和实验结果后，得出物质世界能量传输现象必须将波粒二象性结合起来解释，并引述了历史上爱因斯坦经典观念下的做出的“概率解释”和玻恩提出的物质波“统计诠释”，俨然一部生动的物理史.由于成书时间在八十年代，虽然因Bell的发现，不可知论已被否定，但是那时物理界并未能完全证实爱因斯坦和玻恩谁对谁错，故而作者只是在讲述时将二者观点同时摆出来供大家比照.此书前面侧重于通过物理史的发展来启发读者的思路，出于编排目的，作者将波函数的统计诠释的数学解读放在了第五章，与薛定谔量子力学理论结合着说明.书中在第五章第三小节用了四个典型例题三幅插图，配合着玻恩当年对统计诠释的原文表述，阐释了数学上波函数的复合结构、概率密度、归一化以及量子力学统计预期等概念，对波函数的统计诠释进行了全面而详尽的解读.针对这方面内容的理解，只需要读者具备初等微积分知识即可，比较易于接受.2 教学讨论深广度的区别及特色总体上看，国内的教材编写得中规中矩、各有侧重，而国外教材风格的个性化则更加明显.国内教材喜爱以数学推导为线索将一些知识点引出，编者多长年从事基础研究，对于读者所具备的功底要求较高.国外教材的编写在上述基础上或多或少加入了编者自身的喜好并结合了自身科研经历的体悟，内容上更平易近人，不同的教材思路迥异.编者有时会站在自身研究领域的高度上对某些内容作深入浅出的解析，同时在避免繁琐推导，削弱读者兴趣方面，比国内教材做得更好一些.开始部分偏重概念的解读，读者透彻理解以后才进入数学推导世界.下面我们简要地看一看各个教材对波函数统计诠释的教学讨论深广度.2.1曾谨言的《量子力学》第四版曾谨言的量子力学，第二章讲解波函数的统计诠释时，在介绍完位置在三维空间的概率分布之后，即刻又比较说明了动量分布概率.这样突如其来地运用傅立叶变换这一数学知识，低年级和非数理专业的学生非常容易产生困惑：位置坐标空间怎么就一下子变成了动量空间，傅立叶变换的意义是什么诸如此类.不过按照这个数学思路，接下来对于力学量的平均值与算符的引入这个知识点的衔接以及后面的矩阵力学做了很好的铺垫.整套书的最初目的是为了解题，收集了各种量子力学难题，对数学物理方法的能力要求较高，讲解附带练习题目紧贴书中知识点，章后习题比较侧重数学证明.读者会时不时的遇上诸如球谐函数、合流超几何函数等麻烦的数学，难度略大，故而被国内诸多学校设为考研参考书.整体上来说，特点是概念解释透彻，逻辑体系严密，但证明略显繁琐，公式迭代稍多，对于应用工程类专业的学生意义不大，而比较适合物理、化学等基础学科专业的学生研读.2.2苏汝铿的《量子力学》第二版 苏汝铿的量子力学将物理基本概念与数学表述分开讲解，书中开篇章节基本是介绍概念，其中也包括了波函数的统计诠释的陈述，其重点放在运用量子力学已经建立的理论本身，再加以数学推导解决物理问题，故而对于波函数统计诠释的讲解比较简练，在拿出了玻恩统计诠释后直接列出一系列经数学证明的推论.苏汝铿的教材风格与侧重点不同于曾谨言的《量子力学》第四版，知识点配套例题相对简洁精要，不过习题配置略显单薄.但此书试图通过章节后的习题练习来加深对概念的理解，当然有的题目难度偏大，有的本身就是学术论文，读者倒是可以借此开拓下视野，或进一步寻找钻研的课题.2.3 David J. Griffiths 的《Introduction to Quantum Mechanics 》David J. Griffiths 的量子力学讲述波函数统计诠释时借助一个问题的三种回答引入了历史上对量子力学的广泛讨论，后面又设想一个理想的自由落体准连续拍照实验作为例题，深入浅出地将统计诠释用我们能够理解的宏观假想做出形象的描述.不同于曾谨言的教材的顺序，此书对于波函数统计诠释相关的动量分布概率放在了后面的1.6节中，介绍不确定原理时以人抖动长绳的例子而间接地提出来.这样作为读者就容易悟到：动量的统计平均<P >不能是2(,)|()r t P r dr ，而应该是()dr i r ∂ψ∂<r >=2|(,)|r r t dr +∞-∞ψ⎰）的原因.该书结合物理客观事实用分步微积分的推导方式达到了同样的效果，避开了数学上的傅立叶变换.Griffiths 的教材每个知识点都附有新颖的例题和习题思考，这不仅仅为了知识的讲授，而是能让读者真正从具体问题中体会到一些精髓的东西.对于习题分类对待的这一点，我们确实做得不如人家，需要向国外学习.此书习题分类明确可供不同基础的学生选择，由易到难共四种：从不标星的问题直至标有三颗星.在保证读者概念清晰以及具备相当的练习基础上再去认真对待抽象的理论，最后再谈应用.习题对学生的训练比较全面，有提出运用编程软件辅助完成的题目，还有解题后评论探讨这类开放性的要求.整体来说，分析和证明概念清晰，方法巧妙，是一部出色的入门教材.2.4 Robert Eisberg and Robert Resnick的《Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles》Eisberg 和Resnick的量子力学在概念的讲解上来说，比苏汝铿教材要细致.教材第五章对比了麦克斯韦方程中的实数解（电场E），来说明兼有实部与虚部的波函数与经典概率统计中的实数概率间的区别，剖析得非常细致，将近代经典电磁理论与概率统计从物理（客观实际）与数学（方程的解）的高度上进行审视，旁征博引，最后引出玻恩对薛定谔波动力学中波函数的统计诠释，并辅佐以多于其他三本书的例子和坐标图像进行说明，读者确实能够透彻理解相关概念.教材对知识的讲解循序渐进，题目的难度适中，本身数学推导所占比例不如上述教材多，但其例题、习题数量很大，目的就是帮助读者更好地理解数学符号的意义和正确使用，通过各类问题更好地从多种角度来描述物理概念，让读者对客观物理世界的理解变得非常透彻.另外，该书的附录篇幅很长，共118页，超过全书篇幅的八分之一.附录不仅仅涉及了一些必要的数学基础知识，还非常详细地介绍了很多量子力学相关的物理概念以及一些理论推导并附以练习题目.应该说,此书所涵盖的内容是相当全面的，而且编写时在引导读者对概念的理解上下了不少功夫，非常适合给本科生打下坚实的物理基础.3 启示与思考人们在量子世界的领域观察到了许多奇特的物理现象，其物质运动和相互作用的规律有悖于人们日常直观物理经验.正是近几代人在试图解答上述疑问的过程中，发展了量子力学理论，尤其是波函数这个对物质状态的统计表述，引领了人类物理观念的飞跃.可以说，量子力学理论是目前人类对物质世界的最深刻的认识，它同时也是许多基础和应用学科科研领域的工作者不可或缺的知识，因此在科研人才培养的摇篮——高校中，打下量子理论的坚实基础尤为重要.而在大学中的学习，仅凭有限的课上时间是远远不够的，更多的还需要课余时间的自学，这样书本教材便充当了最好的老师.好的教材与参考书就是学生攻克难关，掌握知识的利器，所以教材的编写与参考书的选取直接影响了人才培养的质量.调研期间我们对这四本教材在国内外部分名校所使用的情况做了一个统计，见表1.表1 四本国内外著名量子力学教材被使用情况调查Tab.1 The adoption investigation of four domestic and foreign famous quantum mechanics从编写习惯的角度说，国内教材偏重数学这个传统其实非常好，能够在严密的数理推演中培养学生的理性思维意识.但单从波函数的统计诠释这个知识点上看，国内教材在清晰地阐明概念方面下的功夫仍不够到位，可能会使学生产生很多疑问，加之国内课堂教学注重做题能力的锻炼，对于实际创新性科研工作的帮助比较有限.读者就算能理解波函数的数学性质与运算规则，但也不能保证不会产生对于其统计诠释和对微观粒子描述的理解困难，对于问题的产生还是从本质上解释清楚的好.理解上出现偏差比如无法摆脱日常经验和经典物理思维的束缚，就会对科研工作产生阻碍，前面EPR佯谬的例子表明，就连量子力学的重要奠基人之一的爱因斯坦也曾是波函数的统计诠释论断坚定质疑者.国外教材不论是在理论分析还是在实验描述中，总是注重读者对概念的理解.上面两本国外教材很少涉及过深的数学，证明的过程更为简单易懂，尽可能地把基本概念阐述清楚，所以他们的教材对低年级学生也同样适用，读者覆盖面更广.其实国内的两本教材作为理论功底扎实的基础学科专业学生的教学已经很完善了，美中不足的是在导论方面做得不如国外同类教材，书中一下子提出的若干概念与初学者脑中物理图景高度上的落差容易使一些工科学生产生疑惑，不利于兴趣的培养.并且国内的量子力学课程教学往往在大三才开始，自然没有太多课时将基础认真打牢，赶课时般的讲授大量知识，正是弊端之所在.国外的量子力学教学则几乎涵盖三、四年的课程，低年级就已开设导论课了，而量子力学本身体系庞大，分支众多，这样由浅入深、由易入难的分层次教学符合了量子力学体系本身.改善国内一些现有高校教学存在的少许不足是相当必要的，实现起来其实并不是非常困难.比如，我们可以借鉴引用国外优秀量子力学导论教材，在低年级尝试开导论课程等.在充分考虑学生群体的不同以及兴趣爱好的基础上，制定具有针对性的分层次课程计划和灵活多样的人才培养方案，让学生有更多的选择空间，有更多的时间和自由来涉足他们感兴趣的领域.大四也可适当讲授一些高等量子力学内容，给那些即将进入研究生阶段的学生打打基础，以帮助他们尽快过渡到科研工作的状态.参考文献：[1] A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen. Can Quantum-Mechanical Description of PhysicalReality Be Considered Complete. Phys. Rev., 1935, 47: 777.[2] S. J. Bell. On the einstein-podolsky-rosen paradox. Physics, 1964, 1: 195.[3] J. W. Pan, D. Bouwmeester, M. Daniell, et al. Experimental test of quantumnonlocality in three-photon Greenberger–Horne–Zeilinger entanglement. Nature, 2000, 403: 515.[4] 曾谨言. “量子力学”[M]. 第四版. 北京: 科学出版社, 2007.[5] 苏汝铿. “量子力学”[M]. 第二版. 北京: 高等教育出版社, 2002.[6] David J. Griffiths. “Introduction to Quantum Mechanics”[M]. 北京: 机械工业出版社, 2006.[7] Robert Eisberg and Robert Resnick. “Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids,Nuclei, and Particles”[M]. Second Edition. UM: Wiley, 1985.The Comparison and Thoughts of the discourses “statistical interpretation of wave function”in Chinese and foreign “QuantumMechanics”TextbooksZHANG Li-bin1, ZHANG Yi1, WANG Juan-ping1，PAN Yu-song 2(1.Center of foreign teaching material, NanKai University, TianJin,300071; 2.TEDAApplied Physics School, Nankai University, Tianjin 300457) Abstract: As one of the most important foundation in modern physics, quantum theory has had a deep impression on human beings. This paper concentrates on its basic concept “statistical interpretation of wave function”and analyzes the train of thought and discussion depth and width of four Chinese and foreign quantum mechanics textbooks, so as to clearly understand teaching focuses and advantages of each book.Key Words: wave function; statistical interpretation; quantum mechanics; classical Chinese and foreign textbooks.。