圆周率的计算历程及意义

圆周率π的计算历程及意义李毫伟数学科学学院数学与应用数学学号:080412047指导老师:王众杰摘要: 圆周率π这个数,从有文字记载的历史开始,就引起了人们的兴趣.作为一个非常重要的常数,圆周率π最早是出于解决有关圆的计算问题.仅凭这一点,求出它的尽量准确的近似值,就是一个极其迫切的问题了.几千年来作为数学家们的奋斗目标,古今中外的数学家为此献出了自己的智慧和劳动.回顾历史,人类对π的认识过程,反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面.π的研究在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平.关键词: 圆周率; 几何法; 分析法; 程序1、实验时期通过实验对π值进行估算,这是计算π的第一个阶段.这种对π值的估算基本上都是以观察或实验为根据,是基于对一个圆的周长和直径的实际测量而得出来π=这个数据,最早见于有文字记载的基督教《圣经》的.在古代,实际上长期使用3中的章节,其上取圆周率π为3.这一段描述的事大约发生在公元前950年前后.其他如巴比伦、印度、中国等也长期使用3这个粗略而简单实用的数值.在我国刘徽之前“圆径一而周三”曾广泛流传.我国第一部《周髀算经》中,就记载有“圆周三径一”这一结论.在我国,木工师傅有两句从古流传下来的口诀:叫做:“周三径一,方五斜七,”意思是说,直径为1的圆,周长大约是3,边长为5的正方形,对角线之长约为7,这正反应了人们早期对π这两个无理数的粗略估计.东汉时期,官方还明文规定圆周率取3为计算圆的面积的标准,后人称之为古率.早期的人们还使用了其它的粗糙方法.如古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上,以数粒数与方形对比的方法取得数值.或用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此,得到圆周率π的稍好些的值.如古埃及人应用了约四千年的()≈2984 3.1605.在印度,公元前六世纪,曾取π≈10≈3.162.在我国东、西汉之交,新朝王莽令刘歆制造量的容器――律嘉量斛.刘歆在制造标准容器的过程中就需要用到圆周率π的值.为此,他大约也是通过做实验,得到一些关于圆周率π的并不划一的近似值.现在根据铭文推算,其计算值分别取为3.1547、3.1992、3.1498、3.2031比径一周三的古率已有所进步.人类的这种探索的结果,当主要估计圆田面积时,对当时没有太大影响,但以此来制造器皿或其他计算就不太合适了.2、几何法时期凭直观推测或实物度量,来计算π值的实验方法所得到的结果是相当粗略的.真正使圆周率π计算建立在科学的基础上,首先应归功于阿基米德.他是科学地研究这一常数的第一个人,是他首先提出了一种能够借助数学过程而不是通过测量的,能够把π精确到任意精度的方法.由此,开始了π计算的第二个计算阶段.图 1圆周长大于内接正四边形而小于外切正四边形,因此22＜π＜4.当然,这是一个差劲透顶的例子.据说阿基米德用到了正96边形才算出他的值域.阿基米德求圆周率π的更精确近似值的方法,体现在他的一篇论文《圆的测定》之中.在这一书中阿基米德第一次创造性地用上、下界来确定π的近似值,他用几何方法证明了“圆周长与圆直径之比小于()317+而大于()31071+”,他还提供了误差的估计.重要的是这种方法从理论上而言,能够求得圆周率π的更准确的值.阿波罗尼奥斯得到了3.1416π≈.到公元前150年左右,希腊天文学家托勒密得出301417π≈,377120π≈取得了自阿基米德以来的巨大进步.图 2割圆术,不断地利用勾股定理,来计算正n 边形的边长.在我国,首先是由数学家刘徽得出较精确的圆周率π.公元263年前后,刘徽提出著名的割圆术,得出 3.14π≈,通常称为“徽率”,他指出这是不足近似值.虽然他提出割圆术的时间比阿基米德晚一些,但其方法确有着较阿基米德方法更美妙之处.割圆术仅用内接正多边形就确定出了π的上、下界,比阿基米德用内接同时又用外切正多边形简捷得多.另外,有人认为在割圆术中刘徽提供了一种绝妙的精加工办法,以致于他将割到192边形的几个粗糙的近似值通过简单的加权平均,竟然获得具有4位有效数字的圆周率39271250 3.1416π≈≈.而这一结果,正如刘徽本人指出的,如果通过割圆计算得出这个结果,需要割到3072边形.这种精加工方法的效果是奇妙的.这一神奇的精加工技术是割圆术中最为精彩的部分,令人遗憾的是,由于人们缺乏对它的理解而被长期埋没了.大家熟悉的是祖冲之对π所做出的贡献.对此,《隋书·律历志》有如下记载:"宋末,南徐州从事祖冲之更开密法.以圆径一亿为丈,圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽,朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽,正数在盈朒二限之间.密率:圆径一百一十三,圆周三百五十五.约率,圆径七,周二十二."这一纪录指出,祖冲之关于圆周率的两大贡献.一是求得圆周率()3.1415926,3.1415927π∈,二是,得到π的两个近似分数即:约率为22;密率为355113.他算出的8位可靠数字,不但在当时是最精密的圆周率,而且从480年到1429年,祖率在世界数学史上领先了900多年.1912年,日本数学家三上义夫提议把355113π≈称为祖率.这一结果是如何获得的呢?追根溯源,正是基于对刘徽割圆术的继承和发展,祖冲之才能得到这一非凡的成果.因而当我们称颂祖冲之的功绩时,不要忘记他的成就的取得是因为他站在数学伟人刘徽的肩膀上的缘故.后人曾推算若要单纯地通过计算圆内接多边形边长的话,得到这一结果,需要算到圆内接正12288边形,才能得到这样精确度的值.祖冲之是否还使用了其它的巧妙办法来简化计算呢?这已经不得而知,因为记载其研究成果的著作《缀术》早已失传了.这在中国数学发展史上是一件令人痛惜的事.祖冲之的这一研究成果在国内外享有声誉:我国邮电部发行了祖冲之纪念邮票,且把紫金山天文台1964年11月9日发现的小行星命名为"祖冲之星".1959年,苏联宇宙火箭发现的月球环形山命名为"祖冲之山".巴黎“发现宫”科学博物馆的墙壁上著文介绍了祖冲之求得的圆周率π,莫斯科大学礼堂的走廊上镶嵌有祖冲之的大理石塑像.对于祖冲之的关于圆周率π的第二点贡献,即他选用两个简单的分数尤其是用密率来近似地表示π这一点,通常人们不会太注意.然而,实际上,后者在数学上有重要的意义.密率与π的近似程度很好,但形式上却很简单,并且很优美,只用到了1、3、5、.数学史家梁宗巨教授验证出:分母小于16604的一切分数中,没有比密率更接近π的分数.在国外,祖冲之死后一千多年,西方人才获得这一结果.可见,密率的提出是一件很不简单的事情.人们自然要追究他是采用什么办法得到这一结果的呢?他是用什么办法把圆周率π从小数表示的近似值化为近似分数的呢?这一问题历来为数学史家所关注.由于文献的失传,祖冲之的求法已不为人知.后人对此进行了各种猜测.让我们先看看国外历史上的工作,希望能够提供出一些信息.1573年,德国人奥托得出这一结果.他是用阿基米德成果722与托勒密的结果120377用类似于加成法“合成”的:()()113355712022377=--.1858年,荷兰人安托尼兹用阿基米德的方法先求得:333106377120π<<,用两者作为π的母近似值,分子、分母各取平均,通过加成法获得结果:()()()31517106120355113++=两个虽都得出了祖冲之密率,但使用方法都为偶合,无理由可言.在日本,十七世纪关孝和重要著作《括要算法》卷四中求圆周率π时创立零约术,其实质就是用加成法来求近似分数的方法.他以3、4作为母近似值,连续加成六次得到祖冲之约率,加成一百十二次得到密率.其学生对这种按部就班的笨办法作了改进,提出从相邻的不足、过剩近似值就近加成的办法,（实际上就是我们前面已经提到的加成法）这样从3、4出发,六次加成到约率,第七次出现825,就近与其紧邻的722加成,得1547,依次类推,只要加成23次就得到密率.钱宗琮在《中国算学史》中提出祖冲之采用了前面提到的由何承天首创的“调日法”或称加权加成法.他设想了祖冲之求密率的过程:以徽率15750,约率22为母近似值,并计算加成权数9x =,于是()()1572295079355113+⨯+⨯=,一举得到密率.钱先生说:“冲之在承天后,用其术以造密率,亦意中事耳.”另一种推测是:使用连分数法.由于求两个自然数的最大公约数的更相减损术远在《九章算术》成书时代已流行,所以借助这一工具求近似分数应该是比较自然的.于是有人提出祖冲之可能是在求得盈二数之后,再使用这个工具,将3.14159265表示成连分数,得到其渐近分数:3,722,106336,113355,32650102573… 最后,取精度很高但分子分母都较小的355113作为圆周率的近似值.英国李约瑟博士持这一观点.他在《中国科学技术史》卷三第19章几何编中论祖冲之的密率说:"密率的分数是一个连分数渐分数,因此是一个非凡的成就."我们再回过头来看一下国外所取得的成果:印度的阿耶哈达于450年得到 3.1416π≈.1424年,中亚西亚地区的天文学家、数学家卡西著圆周论,计算了805306368内接与外切正多边形的周长,求出 3.14159265358979325π≈.有十位有效数字,这是国外第一次打破祖冲之的记录.16世纪的法国数学家韦达利用阿基米德的方法计算π近似值,用 6×216正边形,推算出精确到9位小数的π值.他所采用的仍然是阿基米德的方法,但韦达却拥有比阿基米德更先进的工具:十进位制.17世纪初,鲁道夫用了几乎一生的时间钻研这个问题.他也将新的十进制与早期的阿基米德方法结合起来,但他不是从正六边形开始并将其边数翻番的,他是从正方形开始的,一直推导出了有262条边的正多边形,约4610000000000000000边形！这样,算出小数35位.为了记念他的这一非凡成果,在德国圆周率π被称为“鲁道夫数”.但是,用几何方法求其值,计算量很大,这样算下去,穷数学家一生也改进不了多少.到鲁道夫可以说已经登峰造极了,古典方法已引导数学家们走得很远,再向前推进,必须在方法上有所突破.17世纪出现了数学分析,这锐利的工具使得许多初等数学束手无策的问题迎刃而解.π的计算历史也随之进入了一个新的阶段.3、分析法时期这一时期人们开始摆脱求多边形周长的繁难计算,利用无穷级数或无穷连乘积来算π.这时期是对π的理性认识和精确表示.1579年,韦达给出:22π=这一不寻常的公式是π的最早分析表达式.甚至在今天,这个公式的优美也会令我们赞叹不已.它表明仅仅借助数字2,通过一系列的加、乘、除和开平方就可算出π的值.接着有多种表达式出现.如英国的约翰·沃利斯1650年给出:2244668821334577π⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 英国的罗尔德·布隆克尔1650年给出: ++++=25232114222π苏格兰的詹姆斯·格雷里奇于1671年给出: +-+-+-=1119171513114π 这是π的第一个精确表达式.可是,用它来计算π费时费力,要将π精确到两位数就要计算几百项.微积分的另一创始人牛顿,找到公式:3579111124432527292π⎛⎫=+---- ⎪⋅⋅⋅⋅⎝⎭利用这个公式,牛顿仅发表了15位数字,实在不好意思.后来,他对友人说:我不好意思告诉你,由于那时无事可干.18世纪,数学家欧拉,发现了π的新的表达式:， ++++=222241312116π.4131******** ++++=π 这两个公式看上去非常简洁而完美,但是利用它们计算π并不十分有效. 1699年,亚伯拉罕·夏普利用詹姆斯公式求得π的71位小数.1706年,梅钦建立了一个重要的公式,现以他的名字命名:114arctan arctan 45239π=- 利用分析中的级数展开,他算到了小数后100位.1719年,法国的代·拉尼将π准确到112位.1767年,德国的兰伯特证明了π是无理数,1794年,法国的勒让德证明了2π是无理数.1844年,达塞利用公式:111arctan arctan arctan 4258π=++得到了π的200位小数.德国的卢瑟福于1853年将π准确到了400位小数.德国的林德曼于1882年证明了π绝不是任何整数系代数方程的根,即π是超越数,从而得证了不可化圆为方,解决了这个2000多年的难题.这是人类对π的认识的重大突破.美国的菲格森于1873年将π准确到了710位小数.1947年,佛格森和小伦奇两人共同发表了808位小数的π.这是人工计算π的最记录.19世纪以后,类似的公式不断涌现,π的位数也迅速增长.1873年,谢克斯利用梅钦的一系列方法,级数公式将π算到小数后707位.为了得到这项空前的纪录,他花费了二十年的时间.他死后,人们将这凝聚着他毕生心血的数值,铭刻在他的墓碑上,以颂扬他顽强的意志和坚韧不拔的毅力.于是在他的墓碑上留下了他一生心血的结晶:π的小数点后707位数值.这一惊人的结果成为此后74年的标准.此后半个世纪,人们对他的计算结果深信不疑,或者说即便怀疑也没有办法来检查它是否正确.以致于在1937年巴黎博览会发现馆的天井里,依然显赫地刻着他求出的π值.又过了若干年,数学家弗格森对他的计算结果产生了怀疑,其疑问的著基于如下猜想:在π的数值中,尽管各数字排列没有规律可循,但是各数码出现的机会应该相同.当他对谢克斯的结果进行统计时,发现各数字出现次数过于参差不齐.于是怀疑有误.他使用了当时所能找到的最先进的计算工具,从1944年5月到1945年5月,算了整整一年.1946年,弗格森发现第528位是错的（应为4,误为5）.谢克斯的值中足足有一百多位全都报了销,这把可怜的谢克斯和他的十五年浪费了的光阴全部一笔勾销了对此,有人曾嘲笑他说:数学史在记录了诸如阿基米德、费马等人作之余,也将会挤出那么一、二行的篇幅来记述1873年前谢克斯曾把π计算到小数707位这件事.这样,他也许会觉得自己的生命没有虚度.如果确实是这样的话,他的目的达到了.人们对这些在地球的各个角落里作出不懈努力的人感到不可理解,这可能是正常的.但是,对此做出的嘲笑却是过于残忍了.人的能力是不同的,我们无法要求每个人都成为费马、高斯那样的人物.但成为不了伟大的数学家,并不意味着我们就不能为这个社会做出自己有限的贡献.人各有其长,作为一个精力充沛的计算者,谢克斯愿意献出一生的大部分时光从事这项工作而无报酬,并最终为世上的知识宝库添了一小块砖加了一个块瓦.对此我们不应为他的不懈努力而感染并从中得到一些启发与教育吗?4、计算机时期1946年世界第一台计算机ENIAC制造成功,标志着人类历史入了电脑时代.电脑的出现导致了计算方面的根本革命.1949年,ENIAC根据梅钦公式计算到2035（一说是2037）位小数,包括准备和整理时间在内仅用了70小时.计算机的发展一日千里,其记录也就被频频打破.19世纪初,印度数学家拉马努金发现了更有效的计算π的公式:()()().396!263901103!49801221044∑∞=+=k k k k k π 这个公式以四次方高速度逼近π的真值.每计算一项可增加8位准确数字.1985年1985年有人利用该公式获得了π的一千七百万位有效数字.1959年,法国的裘努埃利用IBM704算π,准确到16167位小数.1961年,美国的伦奇和香克斯于1961年利用IBM7097算π,准确到100265位小数.法国的吉劳于1966年利用STRETCH 计算机计算π,准确到250000位小数. 法国的吉劳于1967年利用CDC6600计算机计算π,准确到500000位小数. 1973年,法国的吉劳就把圆周率π算到了小数点后100万位,并将结果印成一本二百页厚的书,可谓世界上最枯燥无味的书了.1981年,日本的鹿角理三吉和久仲山利用FACOMM-200计算机,使用公式:11132arctan4arctan 16arctan 10239515π=-- 算得π的2000038位小数. 1986年,美国的贝利在Cray-2巨型计算机上用28小时算出π,准确到29360000位小数.1986年,日本的廉正蒲田利用NECSX-2巨型计算机计算π,准确到134217700位小数.1989年突破10亿位大关,人们并不以此为满足.1994年,日本人利用类似的公()()()()()∑∞=++-=023********!!354514013433591409!61121k k k k k k k π生产出π的40亿位数字,每计算一项可以增加14位准确数字.1995年超过64亿位.20世纪九十年代,数学家还发明了关于π的"水龙头"算法.在原先计算出数字的基础上,利用递推方法算出相继的数字,可以在已有基础上接着往下算,不必从头开始.更有意义的是,计算机专家们利用计算机发现了非常漂亮非常有效的公式:⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-+-+=∑∞=6815814821841610k k k k k k π 他们利用这个公式获得了出人意外的结果:在十六进制中,π的第n 位数字可以单独算出,而不必先求得n 位之前的数字.例如,他无需计算100亿位以前的数字,便可告诉你第100亿位的数字是什么.奇妙之极.1999年《文摘报》报道,日本东京大学教授金田康正已求到2061.5843亿位的小数值.如果将这些数字打印在A4大小的复印纸上,令每页印2万位数字,那么,这些纸摞起来将高达五六百米.来自最新的报道:金田康正利用一台超级计算机,计算出圆周率π小数点后一兆二千四百一十一亿位数,改写了他本人两年前创造的纪录.据悉,金田教授与日立制作所的员工合作,利用目前计算能力居世界第二十六位的超级计算机,使用新的计算方法,耗时四百多个小时,才计算出新的数位,比他一九九九年九月计算出的小数点后二千六百一十一位提高了六倍.圆周率π小数点后第一兆位数是二,第一兆二千四百一十一亿位数为五.如果一秒钟读一位数,大约四万年后才能读完.不过,现在打破记录,不管推进到多少位,也不会令人感到特别的惊奇了.实际上,把π的数值算得过分精确,应用意义并不大.现代科技领域使用π的值,有十几位已经足够.如果用鲁道夫的35位小数的π值计算一个能把太阳系包围起来的圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一.我们还可以引美国天文学家西蒙·纽克姆的话来说明这种计算的实用价值:“十位小数就足以使地球周界准确到一英寸以内,三十位小数便能使整个可见宇宙的四周准确到连最强大的显微镜都不能分辨的一个量.”那么为什么数学家们还象登山运动员那样,奋力向上攀登,一直求下去而不是停止对π的探索呢?为什么其小数值有如此的魅力呢?这其中大概免不了有人类的好奇心与领先于人的心态作怪,但除此之外,还有许多其它更重要的原因:1、它现在可以被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能,特别是运算速度与计算过程的稳定性.这对计算机本身的改进至关重要.就在几年前,当Intel 公司推出奔腾（Pentium ）时,发现它有一点小问题,这问题正是通过运行π的计算而找到的.这正是超高精度的π计算直到今天仍然有重要意义的原因之一.2、计算的方法和思路可以引发新的概念和思想.虽然计算机的计算速度超出任何人的想象,但毕竟还需要由数学家去编制程序,指导计算机正确运算.实际上,确切地说,当我们把π的计算历史划分出一个电子计算机时期时,这并非意味着计算方法上的改进,而只是计算工具有了一个大飞跃而已.因而如何改进计算技术,研究出更好的计算公式,使公式收敛得更快、能极快地达到较大的精确度仍是数学家们面对的一个重要课题.在这方面,本世纪印度天才数学家拉马努金得出了一些很好的结果.他发现了许多能够迅速而精确地计算π近似值的公式.他的见解开通了更有效地计算π近似值的思路.现在计算机计算π值的公式就是由他得到的.不过,我希望大家能够明白π的故事讲述的是人类的胜利,而不是机器的胜利.3、还有一个关于π的计算的问题是:我们能否无限地继续算下去?答案是:不行！根据朱达偌夫斯基的估计,我们最多算7710位.虽然,现在我们离这一极限还相差很远很远,但这毕竟是一个界限.为了不受这一界限的约束,就需要从计算理论上有新的突破.前面我们所提到的计算,不管用什么公式都必须从头算起,一旦前面的某一位出错,后面的数值完全没有意义.还记得令人遗憾的谢克斯吗?他就是历史上最惨痛的教训.4、于是,有人想能否计算时不从头开始,而是从半截开始呢?这一根本性的想法就是寻找并行算法公式.1996年,圆周率的并行算法公式终于找到,但这是一个16进位的公式,这样很容易得出的1000亿位的数值,只不过是16进位的.是否有10进位的并行计算公式,仍是未来数学的一大难题.5、作为一个无穷数列,数学家感兴趣的把π展开到上亿位,能够提供充足的数据来验证人们所提出的某些理论问题,可以发现许多迷人的性质.如,在π的十进制展开中,10个数字,哪些比较稀,哪些比较密?π的数字展开中某些数字出现的频率会比另一些高吗?或许它们并非完全随意?这样的想法并非是无聊之举.只有那些思想敏锐的人才会问这种貌似简单,许多人司空见惯但却不屑发问的问题.6、数学家弗格森最早有过这种猜想:在π的数值式中各数码出现的概率相同.正是他的这个猜想为发现和纠正向谢克斯计算π值的错误立下了汗马功劳.然而,猜想并不等于现实.弗格森想验证它,却无能为力.后人也想验证它,也是苦于已知的π值的位数太少.甚至当位数太少时,人们有理由对猜想的正确性做出怀疑.如,数字0的出现机会在开始时就非常少.前50位中只有1个0,第一次出现在32位上.可是,这种现象随着数据的增多,很快就改变了:100位以内有8个0;200位以内有19个0;…1000万位以内有999,440个0;……60亿位以内有599,963,005个0,几乎占1／10.其他数字又如何呢?结果显示,每一个都差不多是1／10,有的多一点,有的少一点.虽然有些偏差,但都在1／10000之内.7、人们还想知道:π的数字展开真的没有一定的模式吗?我们希望能够在十进制展开式中通过研究数字的统计分布,寻找任何可能的模型——如果存在这种模型的话,迄今为止尚未发现有这种模型.同时我们还想了解:π的展开式中含有无穷的样式变化吗?或者说,是否任何形式的数字排列都会出现呢?著名数学家希尔伯特在没有发表的笔记本中曾提出下面的问题:π的十进展开中是否有10个9连在一起?以现在算到的60亿位数字来看,已经出现:连续6个9连在一起.希尔伯特的问题答案似乎应该是肯定的,看来任何数字的排列都应该出现,只是什么时候出现而已.但这还需要更多π的数位的计算才能提供切实的证据.8、在这方面,还有如下的统计结果:在60亿数字中已出现连在一起的8个8;9个7;10个6;小数点后第710150位与3204765位开始,均连续出现了7个3;小数点52638位起连续出现了14142135这八个数字,这恰是的前八位;小数点后第2747956位起,出现了有趣的数列876543210,遗憾的是前面缺个9;还有更有趣的数列123456789也出现了.在众多的数学与计算机专家求π的过程中,发现了一些很有启发性的现象,例如314159数字段重复过6次,但从未见到过0123456789数字段的出现.20世纪90年代有报道说,国外有人把圆周率π的值算到了小数点之后十亿多位.但近来,这方面的报道比较沉寂.既然早已证明π是一个超越数了,想在其小数展开中发现什么规律性,必然是要落空的.也有人想在π序列中寻找素数,这件事由来已久,人们一眼就可看出3与31都是素数,但后来有一个很长的时间间隔,这桩工作似乎停滞不前了.后来经过人们的艰苦试除,终于肯定314159这个很不寻常的六位数也是一个素数.然而,几乎到此为止,人们再也不能前进半步了.工作停滞下来,足足有十个世。