化工计算方法-3-插值法
化工计算方法-3-插值法
xk 1 xk 由两点式可看出， L1(x) 是由两个线性函数 x x k 1 x xk 的线性组合得到的， lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k
线性插值多项式可写为 满足
l k ( xk ) 1 l k 1 ( x k ) 0
l ( x) y ( x
k k k 0 k 0 j 0 jk
n
n
n
x xj
k
xj
) yk
j , k 0, 1, , n
• 如果节点数有n+1个，称为 全节点插值 插值公式通过n+1个插值节点，是唯一确定的 拉格朗日n次插值 的几何意义 是否通过的点越多, 插值次数越高 越好? #
• 3.2 拉格朗日(Lagrange)插值 3.2.1 线性插值（2个节点）
•
线性插值——用直线方程 L1(x) 近 似列表函数式 f(x) 需要构造一个直线方程（线性插值 多项式）
温度 x
x0= 0 x1= 10 x2= 20
饱和蒸汽压 f(x)
y0=0.6082 y1= 1.2262 y2= 2.3346
xk-1 xk f(x) f(xk-1) f(xk) f(xk+2) L2(x)
x
9
3.2.3 n次插值
线性插值和插值基函数为 L1 ( x ) yk l k ( x ) yk 1l k 1 ( x )
x x k 1 x xk lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k
12
•用11点构造10次多项式插值的龙格现象
1 1 25 x 2
• 某些点插值结果误差很大，函数两端震荡加剧 • 在节点很多的场合，通常不宜采用高次插值 • 分段的低阶插值往往效果更好
插值计算法公式
插值计算法公式
插值计算法是一种数值分析方法，用于在给定数据点的情况下，通过插值计算来估计未知数据点的值。
插值计算法的公式如下：
f(x) = Σ[i=0,n] yi * Li(x)
其中，f(x)表示要估计的未知数据点的值，yi表示已知数据点的值，Li(x)表示拉格朗日插值多项式，n表示已知数据点的数量。
拉格朗日插值多项式的公式如下：
Li(x) = Π[j=0,n,j≠i] (x - xj) / (xi - xj)
其中，i表示当前正在计算的已知数据点的下标，j表示其他已知数据点的下标，xj表示其他已知数据点的横坐标，xi表示当前正在计算的已知数据点的横坐标。
插值计算法的应用非常广泛，例如在地图制作、气象预报、股票分析等领域都有着重要的应用。
在地图制作中，插值计算法可以用来估计未知地点的高度、温度等信息，从而制作出更加精确的地图。
在气象预报中，插值计算法可以用来估计未来某个时间点的气温、降雨量等信息，从而提高气象预报的准确性。
在股票分析中，插值计算法可以用来估计未来某个时间点的股票价格，从而帮助投资者做出更加明智的投资决策。
插值计算法是一种非常重要的数值分析方法，可以用来估计未知数据点的值，从而在各个领域中发挥着重要的作用。
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法数学系 信息与计算科学1班 李平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。
本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。
关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。
引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。
用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。
一．任意阶多项式插值：1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。
虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。
另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。
2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ）=011011()()()()()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()ni i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。
化工数值方法(0_绪论)
第一章 绪论
4．应用工具箱 MATLAB包含两部分内容：基本部分和各种
可选工具箱。基本部分有数百个内部函数。 工具箱分两大类：功能性和学科性工具箱。 功能性工具箱主要用来扩充其符号计算功能、
可视建模仿真功能及文字处理功能等。 学科性工具箱专业性比较强，如控制系统工
具箱、信号处理工具箱、神经网络工具箱、
第一章 绪论
最优化工具箱、金融工具箱等，这些工具箱 都是由该领域内学术水平很高的专家编写的 用户可以直接利用这些工具箱进行相关领域 的科学研究 MATLAB具备很强的开放性。除内部函数外， 所有MATLAB基本文件和各工具箱文件都是 可读可改的源文件，用户可通过对源文件的 修改或加入自己编码的文件去构成新的专用 工具箱。
第一章 绪论
3．图形功能 MATLAB 提供了两个层次的图形命令：一种
是对图形句柄进行的低级图形命令，另一种 是建立在低级图形命令之上的高级图形命令。 高级图形命令可轻易地绘制二维、三维图形， 并可进行图形和坐标的标识、坐标控制、图 形迭绘、视角和光照设计、色彩精细控制等。 利用MATLAB 图形句柄命令，可以随心所欲 地对图形进行各种操作，为用户在图形表现 方面开拓了一个广阔的空间。
第一章 绪论
现代化学及化工发展一个重要标志是模型化
首先根据过程中化学或物理实际现象及 真实过程的物理概念．经过适宜的假设和简 化建立过程的物理模型，然后再经过必要的 归纳和数学推导建立数学模型；最后应用数 学方法求解这些数学模型，再应用这些数学 解来定量地说明实际过程，从而达到定量分 析和预测实际过程的目的。
1.3 MATLAB的几个简单应用实例 求解线性方程组 AX＝B，其中
第一章 绪论
解 在MATLAB命令窗口输入命令： a=[l,1.5,2,9,7;0,3.6,0.5,-4,4;7,10, -3,22,33;3,7,8.5,21,6;3,8,0,90,-20] b=[3;-4;20;5;16]; x=a\b
surfer 3 插值方法
is the interpolated value for grid node "j"; Zi are the neighboring points; dij is the distance between the grid node "j" and the neighboring point "i";
中等数据量（250到1000数据点），线性内插三角 形法网格化很快，并生成很好代表原始数据特点的 网格。Kriging法和径向基本函数法较慢，也可以产 生高质量的网格。 大的数据量(>1000数据点)，最小曲率法最快，网格 足以代表原始数据特点。线性内插三角形法网格化 较慢，网格有足够的代表性。
以下的建议仅仅是一般的推荐
径向基本函数法类似Kriging法中的变异图。 在大多数情况下，多重二次曲面函数是最合 乎要求的。 R2参数是一个决定锐化或平滑的参数。 R2值愈大，山顶愈圆滑，等值线愈平滑。R2 合理的实验值是在一个平均样本间距和半个 平均样本间距之间。
最近临点法（ 最近临点法（Nearest Neighbor） ）
径向基本函数法 （Radial Basis Functions） ）
径向基本函数法是一种准确插值的方法。其 中的多重二次曲面法被许多人认为是最好的 方法。在插值生成一个网格结点时，这些函 数确定了使用数据点的最优权重组。 径向基本函数法的函数类型包括：
反比多重二次曲面法； 多重对数； 多重二次曲面法； 自然三次样条和薄板样条。
平滑插值用于并不十分依赖原始数据，只试 图了解Z值的总体变化趋势的情况。 平滑插值不会给任何原始数据点以权重1，即 使某网格结点正好位于原始数据点。
距离反比法 （Inverse Distance to a Power）
工程中的计算方法课件4 插值
4 插值插值在科学计算和工程技术中有广泛应用。
例如由实验得到一系列点x0, x1,…, x n及对应的值y0, y1,…, y n，要构造函数y = f (x)，使y i=f(x i)，这就是简单的插值问题。
插值核心问题是：插值函数的构造、插值函数的存在性、唯一性以及误差分析等。
图4.1 插值在CAD中的应用4.1 代数插值图4.2 插值一个基本的插值问题就是构造函数)(x f y =的近似表达式。
常用方法是构造n 次多项式)(x P n ，使i i n y x P =)(，n i ,,1,0 =。
作为)(x f 的近似表达式，称)(x P n 为)(x f 的插值函数，n x x x ,,,10 为插值节点。
以代数多项式作为工具来构造插值的方法叫做代数插值，代数插值的优点是基于多项式求值方便且连续可导的特性。
设n x x x <<< 10为插值节点，令n x b x a ==,0，称],[b a 为插值区间。
设插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(，由插值条件n i y x P i i ,,1,0,)( ==，得到如下线性代数方程组：n i y a x a x a i n n i i 2,1,0,110==+++⋅该线性方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j jin nn nn nx x x x x x x x x x x D 0212110200)(111，D 为范得蒙行(Vandermonde)列式。
由于对于任何满足n i j ≤<≤0的j i ,，都有j i x x ≠，所以0≠D ，即该线性方程组有唯一解，故)(x P n 由n a a a ,,,10 唯一确定。
4.2 拉格朗日插值图4.3 线性插值与抛物线插值已知)(x f y =在给定节点10,x x 上的值为10,y y 。
线性插值就是构造一次多项式b ax x P +=)(1，使它满足条件001)(y x P =，111)(y x P =。
插值法计算方法举例
插值法计算方法举例插值法是一种数值逼近方法，用于在给定的一些数据点之间进行数值求解。
插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个插值函数，并利用该插值函数来估计未知数据点的函数值。
以下是一些常见的插值方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们想要在这两个数据点之间估计一个新的点的函数值。
线性插值方法假设这两个点之间的函数关系是线性的，即 y = f(x)= mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。
通过求解这两个点的斜率和截距，我们可以得到插值函数的表达式，从而计算出新点的函数值。
2.拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种经典的插值方法，它利用一个多项式函数来逼近已知数据点之间的关系。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值方法构建一个函数 L(x) 来逼近真实的函数f(x)。
L(x) 的表达式为 L(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + ... + yn* Ln(x)，其中 Li(x) 是拉格朗日插值基函数，定义为Li(x) = Π(j=1to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)。
通过求解 L(x) 的表达式，我们可以计算出任意新点的函数值。
3.牛顿插值：牛顿插值是另一种常用的插值方法，它是通过一个递推的过程来构建插值函数。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值方法定义一个差商表，然后根据该表构建一个递推的多项式函数来逼近真实的函数 f(x)。
差商表的计算使用了递归的方式，其中第 i 阶差商定义为 f[xi, xi+1, ..., xi+j] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+j] - f[xi, xi+1, ..., xi+j-1]) / (xi+j - xi)。
插值法计算过程
插值法计算过程
插值法是一种利用已知数据点来推测未知位置的方法。
下面是一个三点插值（线性插值）的计算过程的示例：
假设已知点为 (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3)，要计算在 x 点的插值结果 y。
1. 计算斜率：
m1 = (y2 - y1) / (x2 - x1)
m2 = (y3 - y2) / (x3 - x2)
斜率为两个点之间的纵坐标差除以横坐标差。
2. 计算插值结果：
如果x1 ≤ x < x2：
y = y1 + (x - x1) * m1
如果x2 ≤ x ≤ x3：
y = y2 + (x - x2) * m2
插值结果为已知点的纵坐标加上横坐标差乘以斜率。
通过以上计算过程，可以得到在给定的 x 值处的插值结果 y。
需要注意的是，插值法只能用于已知点之间的推测，对于超出已知点范围的插值结果可能不准确。
此外，还有其他更高阶的插值方法，如二次插值、三次样条插值等，可以提高插值结果的准确性。
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• 以直线方程作为插值多项式，即下 式中的 n=1
x3= 30 x4= 40
x5= 50 x6= 60 x7= 70
y3= 4.2474 y4= 7.3766
y5= 12.34 y6= 19.923 y7= 31.164
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
饱和蒸汽 压f(x) y0=0.6087 y1= 1.2262 y2= 2.3346 y3= 4.2474 y4= 7.3766 y5= 12.34 y6= 19.923 y7= 31.164
3
• Pn(x）称为函数 f(x) 的插值多项式 • 点 x0, x1, … xn 叫做插值节点 • [a，b]为插值区间。 插值方式： • 全节点插值——用全部节点构造插 值多项式（通过全部节点） • 分段插值——只用部分节点构造插 值多项式（只通过部分节点） 本节讨论 一元n 次拉格朗日插值(n +1个点) • 线性插值（2个节点） • 抛物线插值（3个节点） ＃
l k 1 ( x ) 必定含有因子 ( x x k ) , ( x xk 1 )
k 1
k 1
l k 1 ( x k ) 0
l k 1 ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x ) A( x xk )( x xk 1 ) 1 A( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 ) 由 l k 1 ( x k 1 ) 1 1 ( x xk )( x xk 1 ) A l k 1 ( x ) ( x k 1 x k )( x k 1 xk 1 ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
•
什么叫插值？
水的物理性质
温度
oC
饱和蒸汽压
kN/m2 0.6082 1.2262
0 10
20
30 40
2.3346
4.2474 7.3766
50
60 70
12.34
19.923 31.164
插 值 法 • 如何查水在27oC、32.7oC 的饱和蒸汽压和焓? •函数关系：函数值和自变量的 焓 关系以表格给出，称列表函数 kJ/kg • 列表函数的特点： 0 ① 自变量与函数值一一对应； 42.04 ② 函数值有很可靠的精确度； 83.90 ③ 自变量与函数间的解析表达 125.69 式可能不清楚，或者解析表达 167.51 式非常复杂不便于计算（如为 209.30 无穷级数等）； 251.12 ④ 没有直接给出未列出点的函 292.99 数值，不便于进行微分和积分 以及计算机计算。 ＃ 1 3
jk
拉格朗日插 值公式
将插值基函数组合可得拉格朗日n次插值多项式 n n n x xj Ln ( x ) l k ( x ) yk ( ) yk j , k 0, 1, , n k 0 k 0 j 0 xk x j
jk
11
3.2.3 n次插值
Ln ( x )
L1 ( x ) yk l k ( x ) yk 1l k 1 ( x )
也是线性插值多项式 线性组合系数
l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 1
• 满足以上条件的 lk(x) 和 lk+1(x) 称为线性基本插值多项式 或线性插值基函数，插值多项式可用插值基函数的线性组合 5 构成。 #
温度 x
插 值 法 饱和蒸汽压 f(x)
• 代数插值问题描述（怎样进行插值） • 列表函数例
x0= 0
x1= 10 x2= 20 x3= 30
0.6087
1.2262 2.3346 4.2474
a x0 x1 x2 xn b
已知函数 f (x) 在各点(x0 , x1 …)上的值
y0 , y1 , y2 yn
设函数
y f ( x) 在区间上连续
x4= 40
x5= 50
7.3766
12.34
目的：运用计算机方便地求解函数值 和进行微积分等计算
思路：寻找列表函数的近似解析表达 式 (不知道 f(x) 的函数表达形式)
x6= 60
19.923
x7= 70 31.164 方法：建立一个次数不超过n的代数多项式 P(x) 来近似 f(x)
插值基函数满足 lk (xk) =1, lk (xk+1) =0 lk+1 (xk) =0, lk (xk+1) =0
抛物线插值和插值基函数为
L2 ( x ) yk 1l k 1 ( x ) yk l k ( x ) yk 1l k 1 ( x )
( x xk )( x xk 1 ) l k 1 ( x ) ( xk 1 xk )( xk 1 xk 1 )
f(xk) f(xk-1)
L1(x)
f(xk+2)
L2 ( x )
xk-1
xk
xk+1
7
x
二次插值（三点插值或抛物线插值） 如何求满足条件的二次插值基函数，分析一次插值基函数 x x k 1 x xk •要满足条件 lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k l (x ) 1
l k 1 ( x k 1 ) 1 l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k ) 0 l k ( x k ) 1 y l k 1 ( x k 1 ) 0 l k ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 0 l k 1 ( x k ) 0 l k 1 ( x k 1 ) 1
( x xk 1 )( x xk ) l k 1 ( x ) ( xk 1 xk 1 )( xk 1 xk )
l k ( x k 1 ) 0 lk ( xk ) 1 l k ( xk 1 ) 0
10
3.2.3 n次插值
用 n+1 个 插值节点，构造一个n 次插值多项式 Pn (x) 使通过所有 n+1 个插值节点，即满足 Pn ( x j ) y j (j = 0， 1,…,n) 所以此时的插值基函数应该满足 1 i k lk ( xi ) ( i , k 0, 1, 2, , n) 0 i k 用类似的推导方法，可求得n次插值基函数为 n x xj lk ( x ) ( ) j , k 0, 1, 2, , n j 0 xk x j
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
2
插 值 法 •用代数多项式P(x)近似列表函数 y 条件：满足 Pn(xi)=yi (i=0,1,…n)
Pn ( x ) a0 a1 x a2 x 2 an x n
温度 x x0 = 0 x1= 10 x2= 20 x3= 30 x4= 40 x5= 50 x6= 60 x7= 70
线性插值图示
L1 ( xk ) y( xk )
y
L1 ( xk L1(x)
温度 x x0= 0
x1= 10 x2= 20 x3= 30 x4= 40 x5= 50 x6= 60 x7= 70
饱和蒸汽压 f(x) y0=0.6082
y1= 1.2262 y2= 2.3346 y3= 4.2474 y4= 7.3766 y5= 12.34 y6= 19.923 y7= 31.164
• 3.2 拉格朗日(Lagrange)插值 3.2.1 线性插值（2个节点）
•
线性插值——用直线方程 L1(x) 近 似列表函数式 f(x) 需要构造一个直线方程（线性插值 多项式）
温度 x
x0= 0 x1= 10 x2= 20
饱和蒸汽压 f(x)
y0=0.6082 y1= 1.2262 y2= 2.3346
xk 1 xk 由两点式可看出， L1(x) 是由两个线性函数 x x k 1 x xk 的线性组合得到的， lk ( x ) , l k 1 ( x ) x k x k 1 x k 1 x k
线性插值多项式可写为 满足
l k ( xk ) 1 l k 1 ( x k ) 0
l ( x) y ( x
k k k 0 k 0 j 0 jk
n
n
n
x xj
k
xj
) yk
j , k 0, 1, , n
• 如果节点数有n+1个，称为 全节点插值 插值公式通过n+1个插值节点，是唯一确定的 拉格朗日n次插值 的几何意义 是否通过的点越多, 插值次数越高 越好? #
f(xk)
f(x)
xk
xk+1
x
• 几何意义：用给定两点的直线 y=L1(x) 近似替代 f (x)。 ＃
6
3.2.2
二次插值（三点插值或抛物线插值）
二次插值是用已知的3个插值节点，构造一个二次函数L2(x) 并使函数通过三个插值节点 ( x k 1 , y k 1 ) ( x k , y k ) ( x k 1 , y k 1 ) 构造方法：用插值基函数进行线性组合。 但此时因是三个插值节点，插值基函数应该是二次函数。 插值基函数在节点处应满足条件：
12
•用11点构造10次多项式插值的龙格现象
1 1 25 x 2
• 某些点插值结果误差很大，函数两端震荡加剧 • 在节点很多的场合，通常不宜采用高次插值 • 分段的低阶插值往往效果更好
13
例题 3-1 已知函数表 x 0· 1 0· 2 0· 3 0· 4 f（x） 0· 0998 0· 1987 0· 2955 0· 3894 分别用线性插值、2次插值和3次插值求f(x)在x = 0.25处的值。 解（1）分段线性插值 选取最接近插值点0.25的两个插值节点，求f(x)在x=0.25处 的值。 由于简单，可以直接计算。选取的两个插值节点如下