第八讲(教师讲义),四边形(1)

第八讲（教师讲义） 四边形（1）
一、学习目标：
1．知道四边形的相关概念；掌握四边形的内角和定理及外角和定理
2.理解平行四边形的概念及表示，掌握平行四边形的性质与判断；两平行线的距离
二、知识梳理：
1、 四边形的相关概念
在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形．四边形用表示它的各顶点的字母来表示．
注意：
①四边形共有两条对角线．
②连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法．
三角形具有稳定性能够，四边形具有不稳定性。

2、四边形的内角和定理及外角和定理
四边形内角和定理：四边形的内角和等于 360．
四边形外角和定理：四边形的外角和等于 360．
注意：1）四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角；
2）四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角；
3）四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角．
推论：1）多边形内角和定理：n 边形的内角和等于 180)2(⋅-n ．
2）多边形外角和定理：任意多边形的外角和等于 360．
3）n 边形共有2
)3(-n n 条对角线． 3、平行四边形
1）平行四边形的概念
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
平行四边形用符号“ ”表示．平行四边形ABCD 记作 ABCD ．读作：平行四边形ABCD ．
2) 平行四边形的性质
(1)平行四边形的邻角互补，对角相等．
(2)平行四边形的对边平行且相等．
(3)夹在两条平行线间的平行线段相等．
(4)平行四边形的对角线互相平分．
(5)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分四边形的面积．
3) 平行四边形的判定
(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
(3)定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(4)定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
(5)定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4)两条平行线的距离
两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离． 平行线间的距离处处相等．
注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．
(2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变．
(3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置．
5) 平行四边形的面积:平行四边形S =底边长×高=ah (a 是平行四边形任何一边长，h 必须是a 边与其对边的距离)．
三、精讲精练：
例1．1、若n 边形的内角和与外角和之比为9：2，则该多边形为_______边形．
2、一个四边形的内角中，钝角最多有（ ）
A ．一个
B ．两个
C ．三个
D ．四个
3、一个多边形的外角不可能都等于（ ）
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
例1答案．1.11 2．C 3．C
例2、如图，已知四边形ABCD 和四边形AEFD 都是平行四边形，求证：四边形BCFE•是平行四边形．
例3.如图，在□ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F .那么OE 与OF 是否相等？为什么？
四、堂后测：
一、选择题
1.在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）
A.1∶2∶3∶4
B.1∶2∶2∶1
C.1∶1∶2∶2
D.2∶1∶2∶1
2.平行四边行的两条对角线把它分成全等三角形的对数是（ ）
A.2
B.4
C.6
D.8
3.在□ABCD 中，∠A 、∠B 的度数之比为5∶4，则∠C 等于（ ）
A.60°
B.80°
C.100°
D.120°
4.□ABCD 的周长为36 cm ，AB =
75BC ，则较长边的长为（ ） A.15 cm B.7.5 cm C.21 cm D.10.5 cm
5.如图，□ABCD中，EF过对角线的交点O，AB=4，AD=3，OF=1.3，则四边形BCEF的周长为（）
A.8.3
B.9.6
C.12.6
D.13.6
6．如图，在 ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH交于点O，则图中平行四边形的个数是（）A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
(第1题) (第3题)
7.下列能判定一个四边形为平行四边形的条件是（）
A．一组对边平行，另一组对边相等 B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补 D．一组对角相等，另一组对角互补
8．如图，•已知AD•∥BC，•要使四边形ABCD•为平行四边形，•需要添加的条件是_______．（只需填写一个）
二、填空题
9.已知□ABCD中，∠B=70°，则∠A=______，∠C=______，∠D=______.
10.在□ABCD中，AB=3，BC=4，则□ABCD的周长等于_______.
11.平行四边形的周长等于56 cm，两邻边长的比为3∶1，那么这个平行四边形较长的边长为_______.
12.在□ABCD中，∠A+∠C=270°，则∠B=______，∠C=______.
13.和直线l距离为8 cm的直线有______条.
三、解答题
15.如图，在□ABCD中，AB=AC，若□ABCD的周长为38 cm，△ABC的周长比□ABCD的周长少10 cm，求□ABCD的一组邻边的长.
15.如图，在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，MN是过O点的直线，交BC于M，交AD于N，BM=2，AN=2.8，求BC和AD的长.
16．如图，已知 ABCD，分别延长BC，DA至点E，F，如果∠E=∠F.
求证：四边形FBED是平行四边形．
17．有一个四边形的四边长分别是a，b，c，d，且有a2+b2+c2+d2=2（ac+bd）.
求证：此四边形是平行四边形．
堂后测答案：一、1.D 2.B 3.C 4.D 5.B 6．C 7．C 8．AD=BC等
二、9.110°110°70°10.14 11.21 cm 12.45°135°13.2 14. 9 cm,10 cm
15.BC=AD=4.8 16．提示：先证△ABF≌△CDE得AF=CE，∴FD=BE．又∵FD∥BE，•∴四边形FBED•是平行四边形•
17．∵a2+b2+c2+d2=2（ac+bd），∴a2-2ac+c2+b2-2bd+d2=0，∴（a-c）2+（b-d）2=0，∴a-c=0，b-d=0，∴a=c，b=d，∴此四边形是平行四边形
五、回家作业：
1．在下面的格点图中，以格点为顶点，你能画出多少个平行四边形？
2．如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，点F在BC 的延长线上，且∠CDF=∠A，求证：四边形DECF是平行四边形．
3．如图，分别延长▱ABCD的边BA、DC到点E、H，使得AE=AB，CH=CD，连接EH，分别交AD、BC于点F、G．
求证：△AEF≌△CHG．
4．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD，等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．
第一题图
5.阅读材料：多边形边上或内部的一层与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，
如图（一）给出了四边形的具体的分割方法，•分别将四边形分割成了2个，3个，4个小三角形．请你按照上述方法将图（二）1-3中的六边形进行分割，并写出得到的小三角形的个数，试把这一结论推广至n边形．
1．解：3个，如图
2．证明：∵DE⊥AC，∠ACB=90°，∴DE∥FC．又∵∠CDF=∠A，AD=DC，∠ADE=∠ACF=90°，∴△ADE≌△DCF．∴DE=FC．∴四边形DECF是平行四边形．
3．证明：在▱ABCD中，AB∥CD，AB=CD，∴∠E=∠H，∠EAF=∠D，∵AD∥BC，∴∠EAF=∠
HCG，∵AE=AB，CH=CD，∴AE=CH，∴△AEF≌△CHG（ASA）．
4．证明：（1）∵Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC，又△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF=30°∴AE=2AF，且AB=2AF，∴AF=CB，而∠ACB=∠AFE=90°∴△AFE≌△BCA，∴AC=EF；（2）由（1）知道AC=EF，而△ACD是等边三角形，∴∠DAC=60°∴EF=AC=AD，且AD⊥AB，而EF⊥AB，∴EF∥AD，∴四边形ADFE是平行四边形．
5、（1）从一个顶点出发，连接其它顶点（4个）
（2）从一条边上取一点连接其它顶点（5个）
（3）从一条对角线上取一点连接各顶点（6个），
n边形分别为（n-2）个，（n-1）个，n个。