甘肃省张掖市高台县第一中学2019-2020学年高一上学期期末模拟数学试题(解析版)

高台一中2019-2020学年上学期期末模拟试卷高一数学一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}1,1,3,5,7,9U =-，{1,5}A =，{}1,5,7B =-，则()U C A B =（ ）A. {}3,9B. {}1,5,7C. {}1,1,3,9-D. {}1,1,3,7,9-【答案】A 【解析】 【分析】根据集合并集的定义求出AB ，根据集体补集的定义求出()UC A B .【详解】因为{}1,5A =，{}1,5,7B =-，所以{}=1,1,5,7A B ⋃-，又因为集合{}1,1,3,5,7,9U =-，所以{}3(),9U C A B =，故本题选A.【点睛】本题考查了集合的并集、补集运算，掌握集合的并集、补集的定义是解题的关键. 2.过点(0,1)且与直线210x y -+=垂直的直线方程是（ ） A. 210x y +-= B. 210x y ++=C. 220x y -+=D. 210x y --=【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线垂直的性质求得所求直线的斜率等于-2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程，并化为一般式．【详解】∵直线210x y -+=的斜率等于12，故所求直线的斜率等于﹣2，再由所求直线过点（0，1），利用点斜式求得所求直线的方程为y ﹣12=-（x ﹣0），即2x +y -1=0， 故选A ．【点睛】本题主要考查两直线垂直性质，两直线垂直斜率之积等于﹣1，用点斜式求直线方程，属于基础题．3.空间的点M(1，0，2)与点N(﹣1，2，0)的距离为（）A. B. 3C. D. 4【答案】C【解析】解答：∵M(1,0,2)与点N(−1,2,0)，∴|MN=故选C.4.直线0x =的倾斜角是（）A. 45B. 60C. 90D. 不存在【答案】C【解析】依题意有：直线方程为x90.5.在△ABC中，AB＝4，BC＝3，∠ABC＝120°，若使△ABC绕直线BC旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 36πB. 28πC. 20πD. 12π【答案】D【解析】【分析】根据题意可知, 旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,然后根据圆锥的体积公式可求得答案.【详解】依题意可知,旋转体是一个大圆锥减去一个小圆锥,如图所示:所以sin 604OA AB =⋅==114222OB AB ==⨯=, 所以所形成的几何体的体积是221133OC OA OB OA ππ⋅⋅⋅-⋅⋅⋅115122121233πππ=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. 故选:D.【点睛】本题考查了两个圆锥的组合体,考查了圆锥的体积公式,本题属于基础题.6.已知正△ABC 的边长为2，那么用斜二测画法得到的△ABC 的直观图△A B C '''的面积为（ ）A. B.2C.2D.4【答案】D 【解析】解：∵侧二测画法中得到的直观图面积与原图形的面积之比为1由于原图为边长为a 的正三角形ABC ，则S △ABC 2故直观图的面积为24a ×4=2164a =，故选D 7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AD CD 的中点，则图中五棱锥1D ABCFE -的俯视图为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】根据题意，点1D 在底面的射影是D ，1BD ∴在底面的射影是1BD AD ，在底面的射影是AD ，1CD 在底面的射影是CD ，而EF 是被挡住的棱，应画出虚线； 故选C8.已知直线l 的倾斜角为23π，直线1l 经过(P -，(,0)Q m 两点，且直线l 与1l 垂直，则实数m 的值为（ ） A. -2 B. -3 C. -4 D. -5【答案】D 【解析】∵1·1l l k k ==-，∴5m =-，故选D ．9.若31log 2m =，0.17n -=，4log 25p =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >> C. p m n >>D. n p m >>【答案】B 【解析】 【分析】分别出,,m n p 的取值范围，由此比较出三者的大小. 【详解】()31log 1,02∈-,()0.170,1-∈ ，()42log 25log 52,3=∈ ，故p n m >> .故选B. 【点睛】本题考查指数、对数的运算，考查运算求解能力.属于基础题.10.在空间直角坐标系O xyz -中，四面体ABCD 各顶点坐标分别为()()2,2,1,2,2,1A B -，()()0,2,1,0,0,1C D ，则该四面体外接球的表面积是（ ）A. 16πB. 12πC.D. 6π【答案】B 【解析】 【分析】在空间坐标系里画出,,,A B C D 四个点，可以补成一个长方体，然后求出其外接球的半径，再求外接球的表面积.【详解】如图，在空间坐标系里画出,,,A B C D 四个点，可得BA AC ⊥,DC ⊥面ABC ,因此可以把四面体D ABC -补成一个长方体，其外接球的半径2R ==所以，外接球的表面积为2412R ππ=，故选B 项.【点睛】本题考查几何体的直观图画法，图形的判断，考查空间想象能力，对所画出的几何体进行补充成常见几何体求外接球半径，属于中档题.11.设函数11lg(2),2(),10,2x x x f x x -+->⎧⎪=⎨≤⎪⎩若()0f x b -=有三个不等实数根，则b 的范围是（ ） A. (1,10] B. 1(,10]10C. (1,)+∞D. (0,10]【答案】A 【解析】 【分析】把f （x ）﹣b=0有三个不等实数根转化为函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点，画出图形，数形结合得答案．【详解】作出函数f （x ）=()1122102x Ig x x x -⎧+-⎪⎨≤⎪⎩，＞，的图象如图，f （x ）﹣b=0有三个不等实数根，即函数y=f （x ）的图象与y=b 有3个不同交点， 由图可知，b 的取值范围是（1，10]． 故选A ．【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，是中档题．12.在实数的原有运算法则中，补充定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=，已知函数()()()[]()1222,2f x x x x x =⊕-⊕∈-，则满足()()13f m f m +≤的实数的取值范围是（ ）A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 12,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 21,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】当21x -≤≤时，()1224f x x x =⋅-⨯=-； 当12x <≤时，()23224f x x x x =⋅-⨯=-；所以()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩， 易知，()4f x x =-在[]2,1-单调递增，()34f x x =-在(]1,2单调递增，且21x -≤≤时，()max 3f x =-，12x <≤时，()min 3f x =-，则()f x 在[]22-,上单调递增， 所以()()13f m f m +≤得：21223213m m m m-≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得1223m ≤≤，故选C ．点睛：新定义的题关键是读懂题意，根据条件，得到()34,214,12x x f x x x --≤≤⎧=⎨-<≤⎩，通过单调性分析，得到()f x 在[]22-,上单调递增，解不等式()()13f m f m +≤，要符合定义域和单调性的双重要求，则21223213m m m m -≤+≤⎧⎪-≤≤⎨⎪+≤⎩，解得答案．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知点A （–3，0，–4），点A 关于原点的对称点为B ，则|AB |等于__________． 【答案】10 【解析】 【分析】首先求出点B ，再根据空间中两点间的距离公式即可求解.【详解】由点A （–3，0，–4），则点A 关于原点的对称点为()3,0,4B ，所以10AB ===故答案为：10【点睛】本题主要考查空间两点间的距离公式，需熟记距离公式，属于基础题.14.直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=平行，则两直线间的距离为______.【解析】 分析】直接利用两直线平行的充要条件的应用和平行线间的距离公式的应用求出结果． 【详解】解：直线260ax y ++=与直线2(1)10x a y a +-+-=平行， 则(1)20a a --=，即220a a --=， 解得2a =或1-．当2a =时，两直线重合， 故1a =-，两直线方程可化为：260x y --=与20x y-=所以两平行线间的距离d =【点睛】本题考查的知识要点：直线平行的充要条件的应用，两平行线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．15.设a c b <<，如果把函数()y f x =的图像被两条平行直线x a =，x b =所截得的曲线近似地看作一条线段，则下列关系式中，()f c 的最佳近似表示式是__________． ①()()()2f a f b f c +=②()f c =③()()()()()f b f a f c f a c a b a-=+--④()()()()()f b f a f c f a c a b a-=---【答案】③ 【解析】 【分析】利用三点共线列方程，整理．【详解】设函数()y f x =的图像三点坐标为(,())a f a ，(),()b f b ，(,())c f c ，函数()y f x =的图像近似地看作一条线段，则()()()()f a f b f a f c a ba c--=--，整理得：()()()()()f b f a f c f a c a b a-=+--【点睛】本题考查了三点11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y 共线结论：13121213y y y y x x x x --=--16.若偶函数()y f x =,x ∈R ，满足(2)()f x f x +=-，且[]0,2x ∈时,1()12f x x =-，则方程8()log f x x =在[]10,10-内的根的个数为______________.【答案】8 【解析】函数()y f x =为偶函数，且满足()()()()2,422f x f x f x f x +=-∴+=++()()2f x f x =-+=，∴偶函数()y f x =为周期为4的函数，由[]0,2x ∈时，()112f x x =-，可作出函数()f x 在[]10,10-的图象，同时作出函数()8log f x x =在[]10,10-的图象，交点个数即为所求，数形结合可得交点个数为8，故答案为8.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算下列各式的值．11232071037(1)20.12)92748π--⎛⎫⎛⎫⋅++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 5555327(2). log 352log log 7log 1.8log 2log 33-+--⋅ 【答案】（1）910048； （2）1. 【解析】 【分析】(1)根据指数的公式即可计算;(2)根据对数的公式即可计算.【详解】11232071037(1)20.12)92748π--⎛⎫⎛⎫⋅++-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭112132251643754379310031009102748334848---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+=++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭555532555557(2).log 352log log 7log 1.8log 2log 3349log 35log log 7log 1.81949log 357 1.8191-+--⋅=-+--⎛⎫=÷⨯÷- ⎪⎝⎭=．【点睛】本题主要考查了对数，指数的相关运算，属于基础题.18.在正方体1111ABCD A B C D -中挖去一个圆锥，得到一个几何体M ，已知圆锥顶点为正方形ABCD 的中心，底面圆是正方形1111D C B A 的内切圆，若正方体的棱长为acm . (1)求挖去的圆锥的侧面积； (2)求几何体的体积. 【答案】(1)224a cm .(2)33112a cm π⎛⎫- ⎪⎝⎭.【解析】试题分析：（1）求出圆锥的底面半径r 和母线l ，利用公式侧面积为rl π即可； （2）正方体体积减去圆锥的体积即可.试题解析：（1）圆锥的底面半径，高为，母线，∴挖去的圆锥的侧面积为. （2）∵的体积为正方体体积减去圆锥的体积， ∴的体积为. 19.已知A ，B 两地相距24km ．甲车、乙车先后从A 地出发匀速驶向B 地．甲车从A 地到B 地需行驶25min ；乙车从A 地到B 地需行驶20min ．乙车比甲车晚出发2min ．（1）分别写出甲、乙两车所行路程关于甲车行驶时间的函数关系式；（2）甲、乙两车何时在途中相遇？相遇时距A 地多远？【答案】（1）g （x ）()0021.22222242225x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪<≤⎩，，，；（2）9.6km【解析】分析】（1）根据路程=速度⨯时间即可求得表达式.（2）根据题意两车相遇则两车走的路程相等，即0.96x =1.2（x –2），解方程即可.【详解】（1）设甲车行驶时间为x （min ），甲车、乙车所行路程分别为f （x ）（km ）、g （x ）（km ）． 则甲车所行路程关于行驶时间的函数为f （x ）2425=x =0.96x ，（0≤x ≤25）； 乙车所行路程关于甲车行驶时间函数关系式为g （x ）()0021.22222242225x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪<≤⎩，，，． （2）设甲、乙两车在甲车出发x （min ）时途中相遇，则2<x <22．于是0.96x =1.2（x –2），解得x =10，f （10）=9.6（km ）． 所以，甲、乙两车在甲车出发10min 时途中相遇，相遇时距甲地9.6km ．【点睛】本题主要考查了求分段函数解析式以及根据分段函数求值，考查了分类讨论的思想，属于中档题.【20.已知一圆经过点(3,1)A ，(1,3)B -,且它的圆心在直线320x y --=上.（1）求此圆的方程；（2）若点D 为所求圆上任意一点，且点(3,0)C ,求线段CD 的中点M 的轨迹方程.【答案】（1）（x ﹣2）2+（y ﹣4）2=10．（2）（x ﹣）2+（y ﹣2）2=【解析】【详解】试题分析：（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M 的坐标，利用中点得到点D 坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M 的轨迹方程试题解析：（1）由已知可设圆心N （a ，3a ﹣2），又由已知得|NA|=|NB|， 从而有，解得：a=2．于是圆N 的圆心N （2，4），半径所以，圆N 的方程为（x ﹣2）2+（y ﹣4）2=10． （2）设M （x ，y ），D （x 1，y 1），则由C （3，0）及M 为线段CD 的中点得：，解得：． 又点D 在圆N ：（x ﹣2）2+（y ﹣4）2=10上，所以有（2x ﹣3﹣2）2+（2y ﹣4）2=10，化简得：故所求的轨迹方程为21.如图，在直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，点P 是侧棱C 1C 的中点．（1）求证：AC 1∥平面PBD ；（2）求证：BD ⊥A 1P ．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，证出AC 1∥OP ，再由线面平行的判定定理即可证出.（2）首先由线面垂直的判定定理证出BD ⊥面AC 1，再由线面垂直的定义即可证出.【详解】（1）连接AC 交BD 于O 点，连接OP ，因为四边形ABCD 正方形，对角线AC 交BD 于点O ，所以O 点是AC 的中点，所以AO =OC ．又因为点P 是侧棱C 1C 的中点，所以CP =PC 1，在△ACC 1中，11C PAOOC PC ==，所以AC 1∥OP ，又因为OP ⊂面PBD ，AC 1⊄面PBD ，所以AC 1∥平面PBD ．（2）连接A 1C 1．因为ABCD –A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，所以侧棱C 1C 垂直于底面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以CC 1⊥BD ，因为底面ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，又AC ∩CC 1=C ，AC ⊂面AC 1，CC 1⊂面AC 1，所以BD ⊥面AC 1，又因为P ∈CC 1，CC 1⊂面ACC 1A 1，所以P ∈面ACC 1A 1，因为A 1∈面ACC 1A 1，所以A 1P ⊂面AC 1，所以BD ⊥A 1P ．是【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理，需熟记定理的内容，证明线面平行，先证“线线平行”，证明异面直线垂直，先证“线面垂直”,属于基础题.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，120BCD ∠=︒，侧面PAB ⊥底面ABCD ，90BAP ∠=︒，2AB AC PA ===.（1）求证：面PBD ⊥面PAC ；（2）过AC 的平面交PD 于点M ，若平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，求三棱锥M PAB -的体积.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据题意及各边和面的关系，可得PA BD ⊥和BD AC ⊥，因而BD ⊥面PAC ，又因为BD ⊂面PBD ，则面PAC ⊥面PBD ．（2）根据平面AMC 把四面体分成体积相等的两个部分可知，M 为PB 中点，根据各边可求得ABCD S ，进而求得P ABCD V -和M ABCD V -，由M PAB P ABCD M ABCD V V V ---=-可得解．【详解】（1）证明：因为90BAP ︒∠=，则PA AB ⊥，又侧面PAB ⊥底面ABCD ，面PAB ⋂面ABCD AB =，PA ⊂面PAB ，则PA ⊥面ABCD BD ⊂面ABCD ，则PA BD ⊥又因为120BCD ∠=，ABCD 为平行四边形，则60ABC ∠=，又AB AC =则ABC ∆为等边三角形，则ABCD 为菱形，则BD AC ⊥又PA AC A ⋂=，则BD ⊥面PAC ，BD ⊂面PBD ，则面PAC ⊥面PBD（2）由平面AMC 把四面体P ACD -分成体积相等的两部分，则M 为PB 中点由2AB AC ==，120BCD ︒∠=，得BD =由()I 知ABCD 为菱形，则122ABCD S =⨯=又由()I 知PA ⊥面ABCD ，则11233P ABCD ABCD V S PA -=⋅⋅=⋅=则111333M ABCD ABCD V S d -=⋅⋅=⋅=则M PAB P ABCD M ABCD V V V ---=-=【点睛】本题考查了空间几何体面面垂直的证明，不规则结构体体积的求法，属于中档题．。