二元函数分析性质的几何意义总结
二元函数连续性
lim
P→ P0
f (P) =
f ( P0 )
（ P 0 ∈定义区域）
例４ 求极限
lim (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2
( x, y)→(0,0)
解：函数f (x, y) = (1+ x + y) ⋅ ex2 + y2是二元初等函数， 定义域是R2 ,并且它在点（0,0）(∈ R2 )处连续,
=.
x→0 y→0
xy + 1 + 1
2
三、在有界闭区域上连续函数的性质
性质1 （有界性与最大值最小值定理）
如果函数f在有界闭区域D上连续，则f在 D上有界，且能取得最大值和最小值。
说明：性质1是说，若f(P)在有界闭区域D 上连续，则必定存在大于0的常数M，使得 对一切属于D的点P，有
f (P) ≤ M ,且存在P1、P2 ∈ D,使得 f (P1) = max{ f (P) P ∈ D}, f (P2 ) = min{ f (P) P ∈ D}.
它是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数
经过有限次四则运算和复合运算得到的。
如 = f ( x, y)
lnsin( xy) +
x x2
− +
y y2
等等
3、一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．
定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区 域．
注：在多元初等函数定义区域内的连续点处求 极限可用“代入法”。
2、连续性定义的另一种形式
设f (x, y)在P0 (x0 , y0)的全增量 ∆z = f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0),则
多元函数的概念
0
|
x2 y x2 y2
|
1 2
|
x(x2 y2 ) x2 y2
|
|
x 2
|
0
((x, y) (0,0))
x2 y
由夹逼定理， lim ( x, y)(0,0)
x2
y2
0.
10
在一元函数的极限中,x x0 的方式可以任意；同理, 在二元函数的极限中, P( x, y) P0 ( x0 , y0 ) 的方式更为 复杂,它要求 P 以任何方式趋于P0 时, f ( x, y) 均趋于 A.因此,假如 P 以不同的方式趋于P0 时, f ( x, y) 趋于不 同的极限,则说明 f ( x, y) 当 P P0 时无极限.
邻域内有定义,若
lim
( x, y)( x0 , y0 )
f (x, y)
f ( x0 , y0 )，
则称 z f ( x, y) 在( x0 , y0 ) 处连续.
一切二元初等函数在其定义域内都是连续的.
例如，函数 z 1 x2 y2 在 D {( x, y) | x2 y2 1}
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0)的连续性．
注意比较：
x2y
f
( x,
y)
x2
y2
,
x2 y2 0
0,
x2 y2 0
在(0,0) 处连续.(见例6)
15
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.
所以对多元初等函数来说, 可以用“代入法”求极
例2 在西方经济学中，著名的Cobb—Douglas
二元函数的极限与连续课件
极限的局部保号性质
局部保号性质是指如果一个函数在某一点的邻域内保持一定的符号，那么这个函 数在这一点附近的极限也保持相同的符号。具体来说，如果存在一个正数r和实 数a，使得对于所有满足|x - a| < r的x，有f(x, y) > 0，那么lim f(x, y) >= 0。
二元函数的极限与连续课件
目 录
• 二元函数的基本概念 • 二元函数的连续性 • 二元函数的极限性质 • 二元函数连续与极限的关系 • 二元函数连续性的应用
01
二元函数的基本概念
二元函数的定义
总结词
二元函数是定义在二维平面上的数学函数，通常表示为z = f(x, y)。
详细描述
二元函数是数学中一个重要的概念，它表示一个变量z与两个 变量x和y之间的依赖关系。这种关系通常用z = f(x, y)来表示 ，其中f是函数符号，x和y是自变量，z是因变量。
连续函数与极限的关系
要点一
总结词
连续函数在某点的极限值和在某区间的极限值都存在，且 等于该点的函数值或该区间内所有点的函数值的平均值。
要点二
详细描述
对于连续函数，其在某点的极限值和在某区间的极限值都 存在，并且这两个极限值之间有一定的关系。具体来说， 连续函数在某点的极限值等于该点的函数值，而其在某区 间的极限值等于该区间内所有点的函数值的平均值。这一 性质是判断一个函数是否连续的重要依据。
解释
这个定义描述了函数在某一点附近的局部行为，即当自变量靠近这一点时，函 数的值应该接近于该点的函数值。
二元函数在某点的连续性
判断方法
检查该点的四邻域内的函数值，即检查$f(x,y)$在点$(a,b)$处的极限值是否等于该点的 函数值。
二元函数连续性与可导性的关系分析
二元函数连续性与可导性的关系分析连续性和可导性是微积分中常用的概念，用于描述函数在某一点的性质和表现。
本文将分析二元函数连续性和可导性之间的关系，并探讨它们在数学和实际问题中的重要性。
一、连续性与可导性的基本定义连续性是指函数在某一点的极限等于该点的函数值，即函数的图像在该点没有跳跃或断裂。
数学上，函数$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 连续的条件为：$$\lim_{(x,y) \to (a,b)} f(x,y) = f(a,b)$$可导性是指函数在某一点存在切线斜率，即函数在该点的导数存在。
数学上，函数$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 可导的条件是该点存在两个偏导数（即两个方向上的导数），并且偏导数的值相等，称为偏导数存在且相等，即$$\frac{\partial f}{\partial x}(a,b) = \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)$$二、连续函数的可导性在实数函数中，连续函数在其定义域内必定可导，但在二元函数中，并非所有连续函数都可导。
连续函数的可导性需要满足某些附加条件。
根据解析几何中的定义，$f(x,y)$ 在点$(a,b)$ 可导的充要条件是$f(x,y)$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)$ 和 $\frac{\partialf}{\partial y}(a,b)$ 存在且连续。
三、连续性与可导性的关系对于二元函数而言，连续性是可导性的充分条件，也就是说，函数在点$(a,b)$ 处连续，则可导。
然而，连续性并不一定是可导性的必要条件。
即使函数在点$(a,b)$ 连续，但如果偏导数的值在此处不相等，则函数在该点不可导。
四、连续性与可导性在实际问题中的应用连续性和可导性是微积分在实际问题中的重要应用，特别是在物理和工程领域。
在物理学中，连续性可以描述物理量的变化趋势，在时间和空间上的连续性有助于物理现象的建模和分析。
第一节 二元函数的基本概念
第一节 二元函数的基本概念教学目的：1 使学生了解平面点集的有关概念；2使学生了解二元函数概念；3 使学生了解二元函数的极限与连续性概念。
教学重点：二元函数的极限与连续性概念。
教学过程：一、平面点集由平面解析几何知道, 当在平面上引入了一个直角坐标系后, 平面上的点P 与有序二元实数组(x , y )之间就建立了一一对应. 于是, 我们常把有序实数组(x , y )与平面上的点P 视作是等同的. 这种建立了坐标系的平面称为坐标平面.二元的序实数组(x , y )的全体, 即R 2=R ⨯R ={(x , y )|x , y ∈R }就表示坐标平面. 坐标平面上具有某种性质P 的点的集合, 称为平面点集, 记作E ={(x , y )| (x , y )具有性质P }.例如, 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C ={(x , y )| x 2+y 2<r 2}.如果我们以点P 表示(x , y ), 以|OP |表示点P 到原点O 的距离, 那么集合C 可表成 C ={P | |OP |<r }.邻域:设P 0(x 0, y 0)是xOy 平面上的一个点, δ是某一正数. 与点P 0(x 0, y 0)距离小于δ的点P (x , y )的全体, 称为点P 0的δ邻域, 记为U (P 0, δ), 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U .邻域的几何意义: U (P 0, δ)表示xOy 平面上以点P 0(x 0, y 0)为中心、δ >0为半径的圆的内部的点P (x , y )的全体.点P 0的去心δ邻域, 记作) ,(0δP U, 即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U .注: 如果不需要强调邻域的半径δ, 则用U (P 0)表示点P 0的某个邻域, 点P 0的去心邻域记作)(0P U .点与点集之间的关系:任意一点P ∈R 2与任意一个点集E ⊂R 2之间必有以下三种关系中的一种:(1)内点: 如果存在点P 的某一邻域U (P ), 使得U (P )⊂E , 则称P 为E 的内点;(2)外点: 如果存在点P 的某个邻域U (P ), 使得U (P )⋂E =∅, 则称P 为E 的外点;(3)边界点: 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点, 也有不属于E 的点, 则称P 点为E 的边点.E 的边界点的全体, 称为E 的边界, 记作∂E .E 的内点必属于E ; E 的外点必定不属于E ; 而E 的边界点可能属于E , 也可能不属于E .聚点:如果对于任意给定的δ>0, 点P 的去心邻域),(δP U内总有E 中的点, 则称P 是E 的聚点.由聚点的定义可知, 点集E 的聚点P 本身, 可以属于E , 也可能不属于E . 例如, 设平面点集E ={(x , y )|1<x 2+y 2≤2}.满足1<x 2+y 2<2的一切点(x , y )都是E 的内点; 满足x 2+y 2=1的一切点(x , y )都是E 的边界点, 它们都不属于E ; 满足x 2+y 2=2的一切点(x , y )也是E 的边界点, 它们都属于E ; 点集E 以及它的界边∂E 上的一切点都是E 的聚点.开集: 如果点集E 的点都是内点, 则称E 为开集.闭集: 如果点集的余集E c 为开集, 则称E 为闭集.开集的例子: E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}.闭集的例子: E ={(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.集合{(x , y )|1<x 2+y 2≤2}既非开集, 也非闭集.连通性: 如果点集E 内任何两点, 都可用折线连结起来, 且该折线上的点都属于E , 则称E 为连通集.区域(或开区域): 连通的开集称为区域或开区域. 例如E ={(x , y )|1<x 2+y 2<2}. 闭区域: 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域. 例如E = {(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}.有界集: 对于平面点集E , 如果存在某一正数r , 使得E ⊂U (O , r ),其中O 是坐标原点, 则称E 为有界点集.无界集: 一个集合如果不是有界集, 就称这集合为无界集.例如, 集合{(x , y )|1≤x 2+y 2≤2}是有界闭区域; 集合{(x , y )| x +y >1}是无界开区域; 集合{(x , y )| x +y ≥1}是无界闭区域.二、二元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V =πr 2h .这里, 当r 、h 在集合{(r , h ) | r >0, h >0}内取定一对值(r , h )时, V 对应的值就随之确定. 例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系VRT p =, 其中R 为常数. 这里, 当V 、T 在集合{(V ,T ) | V >0, T >0}内取定一对值(V , T )时, p 的对应值就随之确定.例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻, 由电学知道, 它们之间具有关系 2121R R R R R +=. 这里, 当R 1、R 2在集合{( R 1, R 2) | R 1>0, R 2>0}内取定一对值( R 1 , R 2)时, R 的对应值就随之确定.定义1 设D 是R 2的一个非空子集, 称映射f : D →R 为定义在D 上的二元函数, 通常记为z =f (x , y ), (x , y )∈D (或z =f (P ), P ∈D )其中点集D 称为该函数的定义域, x , y 称为自变量, z 称为因变量.上述定义中, 与自变量x 、y 的一对值(x , y )相对应的因变量z 的值, 也称为f 在点(x , y )处的函数值, 记作f (x , y ), 即z =f (x , y ).值域: f (D )={z | z =f (x , y ), (x , y )∈D }.函数的其它符号: z =z (x , y ), z =g (x , y )等.关于函数定义域的约定: 在一般地讨论用算式表达的多元函数u =f (x )时, 就以使这个算式有意义的变元x 的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域. 因而, 对这类函数, 它的定义域不再特别标出. 例如,函数z =ln(x +y )的定义域为{(x , y )|x +y >0}(无界开区域);函数z =arcsin(x 2+y 2)的定义域为{(x , y )|x 2+y 2≤1}(有界闭区域).二元函数的图形: 点集{(x , y , z )|z =f (x , y ), (x , y )∈D }称为二元函数z =f (x , y )的图形, 二元函数的图形是一张曲面.例如 z =ax +by +c 是一张平面, 而函数z =x 2+y 2的图形是旋转抛物面.三.、 二元函数的极限与一元函数的极限概念类似, 如果在P (x , y )→P 0(x 0, y 0)的过程中, 对应的函数值f (x , y )无限接近于一个确定的常数A , 则称A 是函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限. 定义2设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε总存在正数δ, 使得当),(),(0δP U D y x P ⋂∈时, 都有|f (P )-A |=|f (x , y )-A |<ε成立, 则称常数A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为A y x f y x y x =→),(lim ),(),(00, 或f (x , y )→A ((x , y )→(x 0, y 0)),也记作A P f P P =→)(lim 0或f (P )→A (P →P 0).上述定义的极限也称为二重极限.例4. 设22221sin )(),(yx y x y x f ++=, 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x . 证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-, 可见∀ε >0, 取εδ=, 则当δ<-+-<22)0()0(0y x ,即),(),(δO U D y x P ⋂∈时, 总有|f (x , y )-0|<ε,因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x .必须注意:(1)二重极限存在, 是指P 以任何方式趋于P 0时, 函数都无限接近于A .(2)如果当P 以两种不同方式趋于P 0时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.讨论:函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)有无极限？提示: 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时,00lim )0 ,(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ; 当点P (x , y )沿y 轴趋于点(0, 0)时,00lim ) ,0(lim ),(lim 00)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f . 当点P (x , y )沿直线y =kx 有22222022 )0,0(),(1lim lim k kx k x kx y x xy x kxy y x +=+=+→=→. 因此, 函数f (x , y )在(0, 0)处无极限.极限概念的推广: 多元函数的极限.多元函数的极限运算法则: 与一元函数的情况类似.例5 求x xy y x )sin(lim )2,0(),(→. 解: y xy xy x xy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim )2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim →→⋅==1⨯2=2.四、二元函数的连续性定义3 设二元函数f (P )=f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D . 如果),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)连续.如果函数f (x , y )在D 的每一点都连续, 那么就称函数f (x , y )在D 上连续, 或者称f (x , y )是D 上的连续函数.二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数f (P )上去.例6设f (x ,y )=sin x , 证明f (x , y )是R 2上的连续函数.证 设P 0(x 0, y 0)∈ R 2. ∀ε>0, 由于sin x 在x 0处连续, 故∃δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有 |sin x -sin x 0|<ε.以上述δ作P 0的δ邻域U (P 0, δ), 则当P (x , y )∈U (P 0, δ)时, 显然|f (x , y )-f (x 0, y 0)|=|sin x -sin x 0|<ε,即f (x , y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0) 连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.证 对于任意的P 0(x 0, y 0)∈R 2. 因为),(sin sin lim ),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→,所以函数f (x ,y )=sin x 在点P 0(x 0, y 0)连续. 由P 0的任意性知, sin x 作为x , y 的二元函数在R 2上连续.类似的讨论可知, 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时, 它们在各自的定义域内都是连续的.定义4设函数f (x , y )的定义域为D , P 0(x 0, y 0)是D 的聚点. 如果函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0)不连续, 则称P 0(x 0, y 0)为函数f (x , y )的间断点.例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000 ),(222222y x y x y x xy y x f ,其定义域D =R 2, O (0, 0)是D 的聚点. f (x , y )当(x , y )→(0, 0)时的极限不存在, 所以点O (0, 0)是该函数的一个间断点.又如, 函数11sin 22-+=y x z , 其定义域为D ={(x , y )|x 2+y 2≠1}, 圆周C ={(x , y )|x 2+y 2=1}上的点都是D 的聚点, 而f (x , y )在C 上没有定义, 当然f (x , y )在C 上各点都不连续, 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点.注: 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点.可以证明, 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数; 连续函数的商在分母不为零处仍连续; 多元连续函数的复合函数也是连续函数.多元初等函数: 与一元初等函数类似, 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数, 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的.例如2221y y x x +-+, sin(x +y ), 222z y x e ++都是多元初等函数. 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的. 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域.由多元连续函数的连续性, 如果要求多元连续函数f (P )在点P 0处的极限, 而该点又在此函数的定义区域内, 则)()(lim 00P f P f p p =→. 例7 求xy y x y x +→)2,1(),(lim. 解: 函数xyy x y x f +=),(是初等函数, 它的定义域为 D ={(x , y )|x ≠0, y ≠0}.P 0(1, 2)为D 的内点, 故存在P 0的某一邻域U (P 0)⊂D , 而任何邻域都是区域, 所以U (P 0)是f (x , y )的一个定义区域, 因此23)2,1(),(lim )2,1(),(==→f y x f y x . 一般地, 求)(lim 0P f P P →时, 如果f (P )是初等函数, 且P 0是f (P )的定义域的内点, 则f (P )在点P 0处连续, 于是)()(lim 00P f P f P P =→. 例8 求xyxy y x 11lim )0 ,0(),(-+→. 解: )11()11)(11(lim 11lim )0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x .二元连续函数的性质:性质1 (有界性与最大值最小值定理)在有界闭区域D 上的二元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.性质1就是说, 若f (P )在有界闭区域D 上连续, 则必定存在常数M >0, 使得对一切P ∈D , 有|f (P )|≤M ; 且存在P 1、P 2∈D , 使得f (P 1)=max{f (P )|P ∈D }, f (P 2)=min{f (P )|P ∈D },性质2 (介值定理) 在有界闭区域D 上的二元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.。
函数几何知识点总结
函数几何知识点总结一、函数的几何意义函数的几何意义是指函数在几何中的表现和应用。
在几何中，函数可以被用来描述和分析各种图形和曲线的形态、性质和特点。
函数的几何意义通常是通过函数的图像来展现的。
1.1 函数的图像函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表现形式，通过绘制函数的图像，我们可以直观地看到函数的性质和特点。
对于一元函数f(x)，其图像是由一组点(x, f(x))构成的集合，这些点表示了函数在定义域上的取值情况。
函数的图像可以帮助我们直观地理解函数的变化规律和特点，例如函数的增减性、奇偶性、周期性、极限性等。
通过函数的图像，我们可以了解函数的几何特性，以及函数与其他图形之间的关系。
1.2 函数的几何性质在几何中，函数的几何性质是指函数在平面几何中的几何特点和规律。
通过函数的图像和几何分析，我们可以得到函数的一些重要几何性质，如函数的极值、拐点、渐近线、对称轴等。
函数的极值是指函数在定义域内取得的最大值和最小值，函数的极值可以通过函数的导数和二阶导数进行求解。
函数的拐点是指函数图像上的点，其切线在该点处有一个拐点，即函数的导数的变化率发生突变的点。
函数的渐近线是指函数图像在无限远处的一个趋势线，通过渐近线可以描述函数的趋势和变化规律。
函数的对称轴是指函数图像上存在的一条对称轴线，函数关于对称轴线呈现对称性。
1.3 几何图形的方程函数可以用来描述和分析各种几何图形的形态和性质，例如直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等。
在几何中，通过函数的方程我们可以得到各种几何图形的数学描述，例如直线的方程可以用一元一次函数来表示，圆的方程可以用二元二次函数来表示。
通过函数的方程，我们可以分析几何图形的各种性质和特点，例如直线的斜率和截距、圆的半径和圆心、椭圆的焦点和长轴、双曲线的渐近线和焦点等。
函数的方程在几何中有着广泛的应用，可以帮助我们更好地理解几何图形的形态和性质。
二、函数的性质函数的性质是函数在数学中的一些重要特点和规律，这些性质包括增减性、奇偶性、周期性、单调性、最值和极值等。
8-1 多元函数的基本概念
lim f(x,y) 不存在
微积分八①
18/22-31
x y 例3 证明 lim 6 2 不存在． x 0 x y y 0
证
3
y kx3 , 令
3
x 3 kx3 3 k x y lim 当(x,y)沿任何曲线 y kx 趋于(0,0)时，有： , lim 6 2 2 x 0 x 6 k 2 x 6 1 k x 0 x y 3
微 积
分
电 子 教 案
Conception of functions of several variables
一、二元函数及其定义域 二、二元函数的几何意义
三、二元函数的极限与连续
3/22-31
1、平面区域: xy平面上几条曲线围成的平面一部 分或整个平面 围成区域的曲线称为区域边界. y 分为开区域、闭区域、半开区域。 或有界区域、无界区域。 o 2 2 例如 {( x, y ) | 1 x y 4}. y
25/22-31
1.1、二元函数的改变量
设z f ( x, y), ( x, y) D ( x0 , y0 ) D
x y (3) x由 x0改 变 到 0 x , y由 y0改 变 到 0 y, 则z f ( x0 x, y0 y ) f ( x0 , y0 ) 称为f ( x, y )在( x0 , y0 )处 的 全 增 量 .
13/22-31
二元函数 z f ( x, y )的几何意义即二元函数的图形.
二元函数的图形通常是三维空间的一张曲面.
微积分八①
14/22-31
例如, z sin xy 图形如右图.
多元函数的概念二元函数的极限和连续性
多于一个自变量的函数统称为多元函数
同一元函数一样，定义域和对应规律是二元函数定义 的两要素。对于以算式表示的二元函数 z f ( x , y ) 其定义域就是使式子有意义的自变量的变化范围 一组概念： 1.区域：全部xy坐标平面或由曲线所围成的部分平面 常用字母D表示 2.边界：围成区域的曲线称为该区域的边界 3.开区域：不包括边界的区域 4.闭区域：连同边界在内的区域
1
二、教学计划
1、课时安排 多元函数的概念 偏导数 二元函数的极限和连续性 2课时 2课时
全微分
多元复合函数与隐函数的微分法 偏导数的应用 复习以及习题课
2课时
2课时 2课时 2课时
2
三、本章的教学目标
基本要求
1.掌握多元函数基本概念，会表示定义域，了解二 元极限、连续
2.深刻理解二元函数偏导数，能熟练求出一阶和高 阶偏导数， 3.掌握全微分概念
lim f ( x , y ) A
17
二元函数的极限
说明 （1）定义中 P P0 的方式可能是多种多样的，方 向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限 存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和 任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。—— 这是产生本质差异的根本原因。
15
二元函数的几何意义
例如，x 2 y 2 z 2 a 2 表示 的曲面为球心在原点，半径 为a的球面（见右图）
o
y
z
而z a 2 x 2 y 2 表示 的为上半球面 z a 2 x 2 y 2 表示 的是下半球面
x
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二元函数分析性质的几何意
义总结
-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
二元函数极限的几何意义
二元函数连续的几何意义
二元函数可偏导与连续问题
可微的几何意义
要使得有切面，则要求在曲面的相应点处，所有通过这一点的曲线在该点处都有唯一的不与xoy平面垂直的切线，由于这些切线都与切点处的法线垂直，因此这些切线都在一张平面上，这张平面就是曲面在该点处的切平面。
全微分的几何意义
可微与可导的关系
可微要求在某个邻域内连续光滑，所以可微必然在该邻域内连续，也必然在该邻域内可导
总结。