2018届高考数学理科二轮总复习高考23题逐题特训1-矩阵与变换 含解析 精品

高考附加题加分练
1.矩阵与变换
1．已知矩阵M ＝⎣⎢
⎡⎦⎥⎤a 1b 0，点A (1,0)在矩阵M 对应的变换作用下变为A ′(1,2)，求矩阵M 的
逆矩阵M －1. 解 ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤12， ∴a ＝1，b ＝2.
∴M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 12 0，∴M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0
121 －12. 2．(2017·江苏徐州一中检测)已知曲线C ：y 2＝12x ，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1 00 －2对应的变换作用下得到曲线C 1，C 1在矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0
11 0对应的变换作用下得到曲线C 2，求曲线C 2的方程．
解 设A ＝NM ，则A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －2＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0 －21 0， 设P (x ′，y ′)是曲线C 上任一点，在两次变换下，在曲线C 2上对应的点为P (x ，y )，
则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－2y ′ x ′， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2y ′，y ＝x ′，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝y ，y ′＝－12x .
又点P (x ′，y ′)在曲线C ：y 2＝12
x 上， ∴⎝⎛⎭⎫－12x 2＝12
y ，即x 2＝2y . 3．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 22 x 的一个特征值为3，求M 的另一个特征值及其对应的一个特征向量．
解 矩阵M 的特征多项式为
f (λ)＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤λ－1 －2－2 λ－x ＝(λ－1)(λ－x )－4. 因为λ1＝3是方程f (λ)＝0的一根，所以x ＝1.
由(λ－1)(λ－1)－4＝0，得λ2＝－1.
设λ2＝－1对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤x y ， 则⎩⎪⎨⎪⎧
－2x －2y ＝0，－2x －2y ＝0，得x ＝－y . 令x ＝1，则y ＝－1，所以矩阵M 的另一个特征值为－1，对应的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤ 1－1. 4．(2017·江苏江阴中学质检)若点A (2,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α
cos α对应变换的作用下得到的点为B (－2,2)，求矩阵M 的逆矩阵．
解 M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2
2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 2，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos α－2sin α2sin α＋2cos α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－2 2，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ cos α－sin α＝－1，sin α＋cos α＝1，
解得⎩⎪⎨⎪⎧ cos α＝0，sin α＝1.所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
－11 0.
由M －1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0
0 1，得M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤
1－1 0.。