几何证明--平行四边形

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知识点

一．正确理解定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．

（2”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD ABCD，读作“平行四边形ABCD”．

2．熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．

（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；

（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；

（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；

（5）面积：①S

=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．

3．学会判别方法

（1）平行四边形的判别方法

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形

（2）平行四边形的判别方法的选择

二、．几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一个角是直角，两者缺一不可．

（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等，两者缺一不可．

（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．

（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：（1）一组对边平行；（2）一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．

（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．

2．几种特殊四边形的有关性质

（1）矩形：（1）边：对边平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．

（2）菱形：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（3）正方形：（1）边：四条边都相等；（2）角：四角相等；（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．

（4）等腰梯形：（1）边：上下底不相等，两腰相等；（2）角：对角互补；（3）对角线：对角线相等；（4）对称性：是轴对称图形不是中心对称图形．

3．几种特殊四边形的判定方法

（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）四个角都相等

（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

（1）有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等．

（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．

（1）有一个角是直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线相等的菱形；

（4）对角线互相垂直的矩形．

（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形

（1）同一底两个底角相等的梯形；（2）对角线相等的梯形．

4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析

（1）识别矩形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．

（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．

（3）说明四边形ABCD的三个角是直角．

（2）识别菱形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．

（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．

（3）说明四边形ABCD的四条相等．

（3）识别正方形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．

（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．

（3）先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．

（4）先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．

（4）识别等腰梯形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．

（2）先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．

（3）先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．

5．几种特殊四边形的面积问题

（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．

（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S

菱形=1

2

ab

．

（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=

2

a；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=

2

1

2

a

．

（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=1

()

2

a b h

．