特殊的平行四边形的证明
特殊平行四边形证明
特殊平行四边形证明设特殊平行四边形ABCD的两对边分别平行，其中AB与CD平行，BC与AD平行；设AB=CD，BC=AD。
我们要证明对角线AC和BD互相平分，并且AC=BD。
首先，我们可以通过观察发现，在特殊平行四边形ABCD中，角BAD和角CDA分别等于角BCD和角ADC，这是因为平行线AB与CD分别与平行线AD与BC交叉，形成了对应角。
因此，我们可以得出：角BAD=角CDA (1)角BCD=角ADC (2)A________BD--------C我们可以注意到四边形ABCD可以分成两个三角形：△AED和△BEC。
根据上述所得到的结论，我们知道角BAD等于角CDA，角BCD等于角ADC。
由于BD是BC的延长线，所以角BCD也等于角BCE。
根据三角形内角和定理，我们可以得到三角形△BEC中的角BEC等于角BCD+角BCE，即角BCD+角BCE=角BCD+角BCD=2角BCD同样地，我们可以得到△AED中的角AED等于角BAD+角AED，即角BAD+角AED=角BAD+角BAD=2角BAD根据题设条件，我们知道AB=CD，所以△AEB和△CED是等腰三角形，因此角AEB等于角BEA，角CED等于角CED。
通过观察我们可以发现，角AEB等于角BEA等于角BEC，角CED等于角CDE等于角BCE。
所以角AEB=角BEA=角BEC (3)角CED=角CDE=角BCE (4)现在，我们可以将(3)代入△BEC的等式中，得到：角BCD+角BEC=2角BCD=2角AEB同样地，将(4)代入△AED的等式中，得到：角BAD+角AED=2角BAD=2角CED由于以E点为顶点的两个角分别等于以B点和C点为顶点的两个角的两倍，所以根据角等于其对边所对的弧长，我们可以得出：∠BAE=∠BCE (5)∠CDE=∠CAE (6)由(5)、(6)两式可知，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CDE，根据等腰三角形的性质，我们可以得到AE=CE。
平行四边形四种证明方式
平行四边形的性质有很多种证明方式，下面列举了四种常见的证明方式：
1. 同底异边平行四边形性质证明：
性质：若平行四边形的一对对边分别平行，则该平行四边形是平行四边形。
证明：利用平行线的性质，通过对应角相等或同位角相等的方式证明。
2. 同位角平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的同位角相等。
证明：利用平行线的同位角性质，通过角对应或同位角相等的方式证明。
3. 对角线分割平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对角线互相等分，即平行四边形的一条对角线把它分成两个全等的三角形。
证明：利用三角形的全等条件，通过SAS、ASA等证明两个三角形全等。
4. 边角对应平行四边形性质证明：
性质：平行四边形的对应边成比例，对应角相等。
证明：利用对应角相等和平行线的性质，通过相似三角形的性质证明对应边成比例。
这些证明方式可以根据具体的平行四边形问题选择合适的方法。
在证明中，要善于利用平行线的性质和三角形的性质，灵活应用各种角关系和边关系。
特殊的平行四边形
A.1个B.2个C.3个D.4个
9.若梯形的上底边长为 ,中位线长为 ,则此梯形的下底长为
A. B. C. D.
10.如图，在梯形ABCD中，边AB与CD平行，对角线BD与边AD的长相等.若 ＝110°， °，那么 等于
A.80°B.90°C.100°D.110°
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
15.以线段 、 为梯形的两底，以 为一腰，则另一腰长d的范围是________；
A.30°B.45°C.60°D.135°
4.等腰梯形ABCD中， ，AC与BD交于O点，图中全等三角形有
A.两对B.四对C一对D.三对
5.在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AC，若∠D=110°，∠ACD=30°，则∠BAC等于
A.80°B.90°C.100°D.110°
6.等腰梯形中，下列判断正确的是
3、判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；
②对角线相等的平行四边形是矩形；
③有一个角是直角的平行四边形是矩形。
４、面积公式：S＝ab（a是一边的长，b是这边上的）
．
2如图，E为矩形ABCD的边CD上的一点，AB＝AE＝4，BC＝2，则∠BEC是（）
（A）15°（B）30°（C）60°（D）75°
3如图，周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为…（）
特殊平行四边形证明
特殊平行四边形证明
证明如下：
首先，我们假设有一个平行四边形ABCD，其中AB∥CD，并且AC与BD相交于O。
由于AB∥CD，所以有∠BAD=∠BCD（对应角）、∠ABD=∠ACD（同位角）。
又由于平行四边形的两组对角线互相平分，所以我们可以得到两个重要的等角关系：
∠BAO=∠DAO (1)
∠CAO=∠CDO (2)
然后，我们在平行四边形ABCD中作AO的垂线，垂足为O'，并且连接CO'和DO'。
由于AO是ABCD的对角线，根据垂心定理，AO是CO'与DO'的公共垂线。
所以CO'和DO'垂直于AO，即∠CO'O=∠DO'O=90°。
又根据(1)，∠BAO=∠DAO，我们可以得到三角形BAO和DAO是相似三角形。
同理可得三角形CAO和CDO是相似三角形。
由于相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：
OA/OD=BA/AD (3)
OA/OC=DA/CA (4)
QA:QD=QO:OA=QO:OD (5)
PA:PB=PO:OA=PO:OC (6)
其中，P和Q是AO的中点。
根据三角形的相似比例关系，我们可以进一步得到：OA/OD=OB/OC，并且DA/CA=DB/CB。
由于BA∥CD，所以根据平行四边形的内角性质，我们可以得到
∠ADB=∠BCA（同位角）。
综上所述，我们证明了平行四边形ABCD的对角线互相平分，并且有直角相等，即一个特殊平行四边形。
证毕。
特殊平行四边形的证明(讲义及答案)
特殊平行四边形的证明（讲义）➢知识点睛菱形已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定或定义．在求解时，具体选择哪一条性质与判定，往往需要结合题目给出的条件进行分析．➢精讲精练1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．DA EOB C F2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．A DFEB G C3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．O ED C BA4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由．FED CBA5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCB6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A7. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论． （2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCD E F NMOABC D8. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =12 cm ，AC =6 cm ，点E在线段BO 上从点B 以1 cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2 cm/s 的速度运动．（1）若点E ，F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形，为什么？9. 如图所示，在等边三角形ABC 中，BC =8 cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1 cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2 cm/s 的速度运动，设运动时间 为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：四边形AFCE 是平行四边形； （2）填空：①当t 为_______s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为_______s 时，△ACE 的面积是△ACF 的面积的2倍．GF E DCB A10. 如图所示，在△ABC 中，分别以AB ，AC ，BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE ，等边△BCF ，连接DF ，EF ． （1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足____________条件时，以D ，A ，E ，F 为顶点的四边形不存在．FEDCBA11. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为_______________．D 1C 1B 1A 1DC BA【参考答案】➢精讲精练1.（1）证明略．提示：先证AB=AD=BC，再证四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD 是菱形．2.（1）证明略．提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．（2）证明略．提示：先证明四边形ABGD是平行四边形，再结合∠B=90°，进而可得四边形ABGD是矩形．3.（1）证明略．提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD 是正方形；理由略．4.（1）证明略．提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即证得四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．5.四边形ADCF是菱形，证明略．6.（1）证明略．提示：证明△ABE≌△ADF．（2）四边形AEMF是菱形，证明略．7.（1）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明略；（2）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．8.（1）当t=2 s时，四边形AECF是平行四边形；（2）当AB=时，四边形AECF是菱形．9.（1）证明略；（2）①8；②165或163．10.（1）证明略；（2）①150°；②AB=AC≠BC；③∠BAC=60°．11.平行四边形；互相垂直；相等；互相垂直且相等12.3。
课题：特殊平行四边形的有关证明教案
2016年6月18—19日“富源县老厂中学课堂教学联合调研”活动课题：特殊平行四边形的有关证明教案学校：富源县第六中学授课教师：叶志波教学目标1．熟悉几种特殊的平行四边形的性质和判定，识别它们之间的区别与联系，形成知识结构；2．运用几种特殊平行四边形的性质和判定解决问题．教学重点运用几种特殊平行四边形的性质和判定解决问题．教学难点识别几种特殊平行四边形的区别与联系，构建知识网络．教学方法“看—做—议—讲”结合法教学课时一课时教学工具多媒体、三角板等教学过程一、课题引入我们已经学习了特殊平行四边形的一些证明，要学好本部分内容的方法是：弄清楚平行四边形，矩形、菱形和正方形之间的联系和区别．今天，我们将对我们所学的知识进行复习整理．二、教师板书课题、引领学生解读学习目标请同学们先看一下我们本节课的学习目标．（教师板书课题），之后教师解读学习目标．三、学生自主完成导学案上的知识点梳理内容学生自主完成导学案上的知识点梳理内容，期间教师走进学生中间观察学生自学情况，适当的给予自学引导．四、知识梳理1．有一个角是直角的平行四边形是矩形．矩形的四个角都是直角，对角线相等且互相平分；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴．矩形的判定方法：（1）有三个角是直角的四边形； （2）是平行四边形且有一个角是直角； （3）对角线相等的平行四边形； （4）对角线相等且互相平分的四边形．2．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．菱形的四条边都相等，对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴．菱形的判定方法： （1）四条边都相等；（2）有一组邻边相等的平行四边形； （3）对角线互相垂直的平行四边形； （4）对角线互相垂直平分的四边形．3．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．正方形的四个角都是直角，四条边都相等，两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；既是轴对称图形，又是中心对称图形，有四条对称轴．正方形的判定方法： （1）邻边相等的矩形； （2）有一角是直角的菱形． 五、探究点分析设计意图：在判定矩形、菱形或正方形时，要明确是在“四边形”还是在“平行四边形”的基础之上来求证的．要熟悉各判定定理的联系和区别，解题时要认真审题，通过对已知条件的分析、综合，最后确定用哪一种判定方法．探究一：矩形的有关证明【探究1】(2014·枣庄)如图，四边形ABCD 的对角线BD AC ,交于点O ，已知O 是AC 的中点，BE DF CF AE //,=． （Ⅰ）求证：DOF BOE ∆≅∆； （Ⅱ）若AC OD 21=，求证四边形ABCD 是矩形． 设计意图：探究一要求学生掌握有关矩形证明的相关概念，平行四边形与矩形的联系，在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形O BAD C的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)则可判定为矩形．探究二：菱形的有关证明【探究2】(2014·厦门)如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥，垂足为M ，DC AN ⊥，垂足为N ，若AN AM =，求证：四边形ABCD 是菱形．设计意图：探究二要求学生掌握有关菱形证明的相关概念，平行四边形与菱形的联系，在平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，需有四边相等则可判定为菱形．探究三：正方形形的有关证明【探究3】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接DG BE ,． 求证：DG BE =．设计意图：探究三要求学生掌握有关正方形证明的相关性质，能运用正方形的相关性质解决问题．同时还要掌握菱形、矩形与正方形的联系，正方形的判定可简记为：菱形＋矩形＝正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）．六、课堂练习1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直2．在矩形ABCD 中，对角线BD AC ,相交于点O ，若︒=∠60AOB ，10=AC ，则AB = ． (第2题) （第3题）3．已知菱形的两对角线长分别为 6cm 和 8 cm ，则菱形的面积为_________2cm ；周长为__________cm ． 【自助训练】(2014·扬州)如图，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，先把ABC ∆绕点B 顺时针旋转90°至DBE ∆后，再把ABC ∆沿射线平移至FEG ∆，FG DE ,相交于点H ． （Ⅰ）判断线段FG DE ,的位置关系，并说明理由；（Ⅱ）连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．七、课堂小结本节课你学到了什么知识？八、课后作业整理导学案，认真梳理知识点，没有完成自助练习的同学完成自助练习．板书设计左黑板右黑板特殊平行四边形的有关证明1．矩形的性质与判定2．菱形的性质与判定3．正方形的性质与判定学生展示区课后反思课题：特殊平行四边形的有关证明学案一．学习目标1．理解平行四边形、菱形、矩形、正方形的概念，并了解它们之间的联系；2．掌握菱形、矩形、正方形的性质和判定，并能熟练运用相关知识解决问题．二．知识梳理矩形、菱形、正方形的性质、判定矩形菱形正方形性质边角对角线判定1．定义：有一个角是的平行四边形是矩形；2．有三个内角是的四边形是矩形；3．对角线的平行四边形是矩形；1．定义：一组邻边的平行四边形是菱形；2．都相等的四边形是菱形；3．对角线的平行四边形是菱形；1．定义：有一个角是，且有一组相等的平行四边形叫做正方形；2．的矩形是正方形，的菱形是正方OB ADC 三．合作探究探究一：矩形的有关证明【探究1】(2014·枣庄)如图，四边形ABCD 的对角线BD AC ,交于点O ，已知O 是AC 的中点，BE DF CF AE //,=． （Ⅰ）求证：DOF BOE ∆≅∆； （Ⅱ）若AC OD 21=，求证四边形ABCD 是矩形． 规律方法总结： 探究二：菱形的有关证明【探究2】(2014·厦门)如图，在平行四边形ABCD 中，BC AM ⊥，垂足为M ，DC AN ⊥，垂足为N ，若AN AM =，求证：四边形ABCD 是菱形．规律方法总结： 探究三：正方形形的有关证明【探究3】如图，正方形ABCD 的边CD 在正方形ECGF 的边CE 上，连接DG BE ,． 求证：DG BE =．规律方法总结：四．反馈练习1．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（ ）A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．对角线平分一组对角D ．对角线互相垂直2．在矩形ABCD 中，对角线BD AC ,相交于点O ，若︒=∠60AOB ，10=AC ，则AB = ．(第2题) （第3题） 3．已知菱形的两对角线长分别为 6cm 和 8cm ，则菱形的面积为_________2cm ；周长为__________cm ． 【自助训练】(2014·扬州)如图，已知ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，先把ABC ∆绕点B 顺时针旋转90°至DBE ∆后，再把ABC ∆沿射线平移至FEG ∆，FG DE ,相交于点H ．（Ⅰ）判断线段FG DE ,的位置关系，并说明理由； （Ⅱ）连接CG ，求证：四边形CBEG 是正方形．4．对角线 且 的四边形是矩形．4．对角线 且 的四边形是菱形．形； 3．两条对角线互相 平分且 的四边形是正方形．。
平行四边形的性质与证明
平行四边形的性质与证明平行四边形是几何学中的一类特殊四边形，具有一些独特的性质和特点。
本文将详细介绍平行四边形的性质，并给出对应的证明过程。
一、定义平行四边形是指有四条边都是平行的四边形。
常用符号来表示平行四边形，如ABCD。
二、性质1. 对角线性质平行四边形的对角线互相平分。
即对角线AC和BD平分彼此。
证明：设ABCD为平行四边形。
连接AC和BD，交于点O。
要证明对角线AC和BD平分彼此，即证明AO=OC和BO=OD。
首先，根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。
所以，三角形AOB与三角形COD是全等三角形。
因此，三角形AOB和三角形COD的对应边长相等，即AO=OC，BO=OD。
证毕。
2. 邻边性质平行四边形的邻边互补，即相邻两边的内角和为180度。
证明：设ABCD为平行四边形。
根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。
根据内错角的性质，我们可以得到∠A+∠D=180度和∠B+∠C=180度。
这表明相邻两边的内角和为180度。
3. 同底角性质平行四边形的同底角相等，即平行四边形相对的两个内角相等。
证明：设ABCD为平行四边形。
我们需要证明∠A=∠C和∠B=∠D。
由平行四边形的定义可知AB∥CD。
因此，∠A和∠C是平行线与截线的内错角，所以∠A=∠C。
同理，根据平行四边形的定义，我们知道AD∥BC。
因此，∠B和∠D是平行线与截线的内错角，所以∠B=∠D。
综上所述，平行四边形的同底角相等。
证毕。
4. 副对角线性质平行四边形的副对角线相等，即AC=BD。
证明：设ABCD为平行四边形。
连接AC和BD，交于点O。
我们需要证明AC=BD。
首先，根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD和AD∥BC。
所以，三角形AOB与三角形COD是全等三角形。
因此，三角形AOB和三角形COD的对应边长相等，即AO=OC，BO=OD。
又由对角线性质可知，AC和BD平分彼此，即AO=OC和BO=OD。
证明平行四边形的方法
证明平行四边形的方法
平行四边形是一种特殊的四边形，它有着独特的性质和特点。
在几何学中，我们常常需要证明一个四边形是平行四边形，下面我将介绍几种证明平行四边形的方法。
1. 直角边相等法。
如果一个四边形的两条相对边相等，并且对角线互相垂直，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为直角边相等的四边形是矩形，而矩形是特殊的平行四边形。
2. 对角线互相平分法。
如果一个四边形的对角线互相平分，并且相交于一点，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为对角线互相平分的四边形是菱形，而菱形是特殊的平行四边形。
3. 同位角相等法。
如果一个四边形的两组对应角相等，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为同位角相等的四边形是平行四边形。
4. 同位角和内错角互补法。
如果一个四边形的两组对应角互补，那么这个四边形就是平行四边形。
这是因为同位角和内错角互补的四边形是平行四边形。
5. 对边平行法。
如果一个四边形的对边平行，那么这个四边形就是平行四边形。
这是平行四边形的定义。
以上是几种证明平行四边形的方法，通过这些方法我们可以轻松地证明一个四边形是平行四边形。
在实际问题中，我们经常需要利用这些方法来解决各种几何问题，因此熟练掌握这些方法对我们的学习和工作都是非常有益的。
希望大家能够认真学习并灵活运用这些方法，提高自己的几何学能力。
平行四边形的证明
平行四边形的证明
平行四边形是由四条相互平行的线段组成的一种多边形，它的特性使它在几何中变得非常重要。
下面将对其进行证明。
根据定义，平行四边形是由四条相互平行的线段组成的，因此我们必须证明四个线段都是平行的。
要做到这一点，首先我们需要确定的是，四边形的每个顶点之间的距离都是相等的。
例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么AB=BC=CD=DA。
接下来，我们要证明的是，四边形的每个边都是平行的。
为了做到这一点，首先我们需要证明的是，四边形的每个内角都是相等的。
例如，如果ABCD是一个平行四边形，那么∠A=∠B=∠C=∠D。
现在，我们来证明四条线段是平行的。
这可以通过反证法来证明。
即，假设AB不是平行的，那么AB和CD之间存在一个内角，记作θ。
根据上面的结论，
∠A=∠B=∠C=∠D，因此θ=∠A=∠B。
但是，根据三角形的外角定理，∠A+∠B+θ=180°，因此θ=180°-2*∠A。
由于∠A=∠B，所以θ=180°-2*∠A=180°-2*∠B，这和之前的结论θ=∠A=∠B矛盾，因此AB不可能不平行。
同样，我们可以用同样的方法证明BC、CD和DA都是平行的。
因此，我们已经证明了ABCD是一个平行四边形。
总之，平行四边形的证明包括以下几个步骤：首先证明四边形的每个顶点之间的距离都是相等的；然后证明四边形的每个内角都是相等的；最后利用反证法证明四条线段是平行的。
证明平行四边形的性质
证明平行四边形的性质平行四边形是一种特殊的四边形，拥有一些独特的性质。
在本文中，我们将证明平行四边形的一些关键性质，并通过合适的证明格式来展示。
性质一：对角线互相平分设ABCD为平行四边形，连接AC和BD分别为其对角线。
我们需要证明对角线AC和BD互相平分。
证明：首先，通过平行四边形的定义，我们知道AB∥CD以及AD∥BC。
以AD为基线构建等腰三角形，即在AD上作AE=ED；以BC为基线构建等腰三角形，即在BC上作BF=FC。
根据等腰三角形的性质，我们可以得出∠AED=∠EDF以及∠DCB=∠DBC。
由AD∥BC可知∠DBC与∠ADC为同位角，同理∠BAC与∠BDC为同位角。
因此，∠BAC=∠BDC。
既然∠AED=∠DFC，且∠BAC=∠BDC，那么根据割线定理，我们可以得出对角线AC和BD互相平分。
性质二：对边平行设ABCD为平行四边形，我们需要证明其对边AB和CD平行。
证明：根据平行四边形的定义，我们知道AB∥CD以及AD∥BC。
在三角形ABC和BCD中，我们可以利用转角相等来证明边AB和CD平行。
因为AD∥BC，所以∠ABC=∠BCD。
同理，在三角形ABD和ADC中，我们可以利用转角相等来证明边AB和CD平行。
因为AD∥BC，所以∠ABD=∠ACD。
因为∠ABC=∠BCD以及∠ABD=∠ACD，根据转角相等定理，我们可以得知边AB和CD是平行的。
性质三：对边长度相等设ABCD为平行四边形，我们需要证明其对边AB和CD的长度相等。
证明：根据平行四边形的定义，我们已知AB∥CD以及AD∥BC。
在三角形ABD和ADC中，我们可以利用边对应相等来证明边AB 和CD的长度相等。
因为AD∥BC，所以AB=CD。
同理，在三角形ABC和BCD中，我们可以利用边对应相等来证明边AB和CD的长度相等。
因为AB∥CD，所以BC=AD。
因为AB=CD以及BC=AD，根据边对应相等定理，我们可以得知对边AB和CD的长度是相等的。
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特殊的平行四边形的证明
--矩形(复习课)教学设计
知识清单
一．矩形的性质：
四个角相等（都是90。
）
对角线相等
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
二．矩形的判定：
1、“平行四边形”+“一个角为直角”=“矩形”
2、“平行四边形” +“对角线相等”=“矩形”
3、“四边形”+“三个角是直角”=“矩形”
练习题：
1、下列性质中，矩形具备而一般平行四边形不具备的是( )
A.内角和为360°
B.对边平行且相等
C.对角线相等
D.对角相等
2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC的长是( )
A.2
B.4
C.2
D.4
3、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OB．
(1)求证：四边形ABCD是矩形；
(2)若AD=4，∠AOD=60°，求AB的长．
4、如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E是AB上一点，将矩形ABCD沿CE折叠后，点B落
在AD边的F点上，求DF和AE的值。
5、在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AD=DF，求证：AF平分∠BAD
6、（变式一）在平行四边形ABCD，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF. （1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若AF平分∠BAD，求证：DF=BC
7、（变式二）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
(1)求证：OE =OF；
(2)若CE =12，CF =5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
8、如图所示，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A-B-C-D以4cm/s的速度移动，点Q 从C开始沿CD边以1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t(s)．当t= 时，四边形APQD也为矩形.。