交错级数敛散性判定20110414
高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法
专题二十基础知识定理1（交错级数的莱布尼兹定理）若交错级数∑∞=-1)1(n n nu （Λ,3,2,1=n ）满足：（1）1+≥n n u u （Λ,3,2,1=n ） （2）0lim =∞→n n u则∑∞=-1)1(n n nu 收敛，且11)1(u u n n n ≤-∑∞=。
注：交错级数∑∞=-1)1(n n nu 收敛要求数列}{n u 单调递减且趋向于零。
对于任意项级数∑∞=1n nu，引入绝对值级数的概念：级数∑∞=1||n nu称为∑∞=1n n u 的绝对值级数。
定理2若级数∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n n u 亦收敛。
由定理2知收敛级数∑∞=1n nu分为两种：（1）条件收敛：要求∑∞=1n nu收敛，∑∞=1||n nu发散。
（2）绝对收敛：要求∑∞=1||n nu。
总结：判定级数∑∞=1n nu的敛散性，可按如下步骤进行：（1）首先讨论n n u ∞→lim 。
若n n u ∞→lim 不存在或0lim ≠∞→n n u ，级数∑∞=1n nu发散；若0lim =∞→n n u ，转入第二步。
（2）其次讨论∑∞=1||n nu的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。
若∑∞=1||n n u 收敛，则∑∞=1n nu绝对收敛；若∑∞=1||n nu发散，转入第三步。
（3）最后讨论∑∞=1n nu的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。
若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu条件收敛；若∑∞=1n nu发散，当然∑∞=1n nu发散。
例题1. 设α为常数，判定级数∑∞=-12]1sin [n nn na 的敛散性。
解：∑∑∑∞=∞=∞=-=-112121sin ]1sin [n n n n n na n n na 由于221|sin |n n na ≤，∑∞=121n n 收敛，由比较判别法知级数∑∞=12sin n n na 收敛（绝对收敛），而∑∑∞=∞==121111n n nn为一发散的p 级数，故∑∞=-12]1sin [n nn na 发散。
交错级数敛散性判定20110414
x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级数.
定理 1 若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ ∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用： 定理的作用： 任意项级数 正项级数
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
交错级数及其判别法
加强交叉学科的合作研究
鼓励数学与其他学科的交叉合作研究， 共同探索交错级数在解决实际问题中 的应用。
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交错级数的项必须满足单调递减的条件，即每一项都小于或等于前一项。
交错级数收敛的充分条件
当交错级数的公比q满足$|q| < 1$时，级数收敛。
交错级数收敛的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明交错级数的每一项 都小于或等于前一项，从而证明级数收 敛。
VS
比较判别法
将交错级数与已知收敛的等比级数进行比 较，利用等比级数的性质判断交错级数的 收敛性。
在工程中的应用
01
02
03
信号处理
在信号处理中，交错级数 被用来分析和处理各种信 号，如音频、图像等。
控制系统
在控制系统中，交错级数 被用来描述和设计各种控 制算法和系统。
工程优化
在工程优化中，交错级数 被用来求解各种优化问题， 如结构优化、路径规划等。
05
交错级数的扩展与展望
交错级数的扩展研究
交错级数收敛的实例
莱布尼茨级数
$1 - frac{1}{3} + frac{1}{5} - frac{1}{7} + cdots$是一个典型的交错级数，它满足单调 递减的条件且公比$q = -frac{2}{3}$满足$|q| < 1$，因此该级数收敛。
调和级数
$1 + frac{1}{2} + frac{1}{3} + frac{1}{4} + cdots$是一个非交错的调和级数，不满足 单调递减的条件，因此该级数发散。
交错级数及判别法
交错级数定义 莱布尼兹判别法 应用
1.交错级数定义
正、负项相间的级数称为交错级数.
u1 − u2 + u3 + + (−1)n−1 un +
(1)
或
− u1 + u2 − u3 + + (−1)n un +
(2)
(其中un 0)
下面观察级数(1)部分和数列 sn ,
sn
s1 s3 s
un
=
1 n
− un+1 =
1 n
−
1 n+1
=
1 n(n + 1)
0
11 un = n n + 1 = un+1,
lim 1 = 0 n→ n
所以 un 单调递减且极限为零,
由莱布尼兹定理知原级数收敛.
例2
判断级数
n=2
(−1)n n − ln n
的敛散性.
分析：
un
=
1 n − ln n
怎样判断单调性？
解 设 f ( x) = x − ln x, x 2, 则有 f ( x) = 1− 1 ， 当x 2时，f ( x) 0, x
所以 f ( x) 单调增加，故 1 单调减少，
f (x)
从而
un
=
1 n − ln n
单调递减.
1
1
lim ln x = lim x = 0
s2n = u1 − u2 + u3 − u4 + + u2n−1 − u2n
= (u1 − u2 ) + (u3 − u4 ) + + (u2n−1 − u2n )
浅谈交错级数敛散性的判定
浅谈交错级数敛散性的判定
交错级数是一种特殊的无穷级数。
在交错级数中，每一项的符号需要交替出现。
即正负交替，或者负正交替。
例如，交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-
1)^n\frac{1}{n}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-
\frac{1}{4}+\cdots$$
交错级数的判定方法分为三种：莱布尼茨判别法、比较判别法和积分判别法。
1.莱布尼茨判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果该级数满足以下两个条件，则级数收敛：
（1）$a_n>0$；
（2）$a_n$单调递减，即$a_n>a_{n+1}$。
这个判别法不适用于非交错级数。
2.比较判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$
如果$|a_{n+1}|<|a_n|$，则级数收敛。
如果$|a_{n+1}|\geq|a_n|$，则级数发散。
3.积分判别法
对于一个交错级数$$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^na_n$$ 如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$收敛，则级数收敛。
如果$\int_{1}^{\infty}|a(x)|dx$发散，则级数发散。
交错级数敛散性判别法
00
:例7判断级数勺敛散性，若收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛?
解lim un+l
n—8 un
=lim
MT8
xn+1 n n+1 xn
=|x|
|X| < 1时，级数〉绝对收敛;
ixi > 1时，级数2 :发散；
V^00 vn X =1时，级数〉，发散；
V^00 vn
=T时，级数）土条件收敛.
X
^n=l n
定理若交错级数2：二(一1)”—侦如，un > 0, (n = L 2,…)满足
(1)"孔 2 Un+dO = 1, 2,…)；
(2) limun = 0.
71—00
贝U级数U攵敛， 旦其禾口s三 , 其余项I—兀| < 以兀+■•
证明取交错交错级数前2m项之和
Szm = “1 — “2 + “3 — “4 +----!" u2m-l _ u2m —("1 一 “2)+(“3 一 “4)----!■ (u2m-l 一 u2m)
(2)当I > 1 (或I = oo)时，级数竺u兀发散;
(3)当I =丄时，级数、言旨“兀的敛散性不能判别.
♦ 例5判断级数2：］苧*］敛散性.
P > 1时，级数5 绝对收敛； »n=l n
00 ( 一 1
0<p< 1时，级数〉 条件收敛; 厶」71 = 1 n
P < 0时，级数发散
（_1）"一12
moo lUTOO
综上所述，UmSn = S,级数收敛，且S V ”1. n—>oo
余项|R兀 I = Un + 1 — (Un+2 — U兀+3)—…< Un+r.
怎么判断级数敛散性
怎么判断级数敛散性先判断这是正项级数还是交错级数一、判定正项级数的敛散性1.先看当n趋向于无穷大时,级数的通项是否趋向于零（如果不易看出,可跳过这一步）.若不趋于零,则级数发散；若趋于零,则2.再看级数是否为几何级数或p级数,因为这两种级数的敛散性是已知的,如果不是几何级数或p级数,则3.用比值判别法或根值判别法进行判别,如果两判别法均失效,则4.再用比较判别法或其极限形式进行判别,用比较判别法判别,一般应根据通项特点猜测其敛散性,然后再找出作为比较的级数,常用来作为比较的级数主要有几何级数和p级数等.二、判定交错级数的敛散性1.利用莱布尼茨判别法进行分析判定.2.利用绝对级数与原级数之间的关系进行判定.3.一般情况下,若级数发散,级数未必发散；但是如果用比值法或根值法判别出绝对级数发散,则级数必发散.4.有时可把级数通项拆分成两个,利用“收敛+发散=发散”“收敛+收敛=收敛”判定.三、求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域1.若级数幂次是按x的自然数顺序递增,则其收敛半径由或求出,进而可以写出收敛区间,再考虑区间端点处数项级数的敛散性可得幂级数的收敛域.2.对于缺项幂级数或x的函数的幂级数,可根据比值判别法求收敛半径,也可作代换,换成t的幂级数,再求收敛半径.四、求幂级数的和函数与数项级数的和1.求幂级数的和函数主要先通过幂级数的代数运算、逐项微分、逐项积分等性质将其化为几何级数的形式,再求和.2.求数项级数的和,可利用定义求出部分和,再求极限；或转化为幂级数的和函数在某点的函数值.五、将函数展开为傅里叶级数将函数展开为傅里叶级数时需根据已有公式求出傅里叶系数,这时可根据函数的奇偶性简化系数的计算,然后再根据收敛性定理写出函数与其傅里叶级数之间的关系.。
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x 故函数 单调递减 , ∴ un > un+1 , x −1 n 又 lim un = lim = 0. 原级数收敛. 原级数收敛 n→ ∞ n→ ∞ n − 1
EX
(-1)n ( 2) ∑ s (s > 0) n =1 n ( −1)n 特别 : ∑ n n =1
( 3) (-1)n ( n 2 − 1) ∑
判别下列级数是否收敛?如果是收敛的, 一、判别下列级数是否收敛?如果是收敛的,是绝对收 敛还是条件收敛? 敛还是条件收敛? ∞ n −1 n 1、 ∑ ( −1) ； n −1 3 n =1 1 1 1 1 2、 − + − + L； ln 2 ln 3 ln 4 ln 5 ∞ ( −1) n 3、 ∑ . n = 2 n − ln n 存在,证明: 二、若 lim n un 存在,证明:级数 ∑ un 收敛 .
( p > 0)
p > 1时， 绝对收敛； 0 < p ≤ 1时， 发散， 但级数是交错级数， 由莱布尼兹定理知级数条件收敛；
EX:判断下列级数的敛散性 判断下列级数的敛散性
(-a)n (1) ∑ s n =1 n (2) ( 3)
∞
(a > 0, s > 0) 1 n − ln n
∑ (-1) n =1
n =1 ∞
∞
∞
二、绝对收敛与条件收敛
定义: 定义: 正项和负项任意出现的级数称为 任意项级数.
定理 1 若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
定理 1
若
∑u
n=1
∞
n
收敛, 收敛,则
收敛. ∑u 收敛.
n=1 n
∞
1 证明 令 v n = ( un + un ) ( n = 1,2,L), 2 ∞ 显然 v n ≥ 0, 且 v n ≤ un , ∴ ∑ v n收敛 ,
三、小结
正 项 级 数
1. 若 Sn → S ,则级数收敛; 则级数收敛
任意项级数
审 敛 法
2. 当 n → ∞ , un → 0, 则级数发散; 3.按基本性质 按基本性质; 按基本性质 4.充要条件 充要条件 5.比较审敛法 6.比值法 比值法 7.根值法 根值法 4.绝对收敛 绝对收敛 5.交错级数 交错级数 (莱布尼茨定理 莱布尼茨定理) 莱布尼茨定理
故由定理知原级数绝对收敛. 故由定理知原级数绝对收敛
∞
例3
1 ( − 1) 判别级数 ∑ np n =1
n
∞
( p > 0)
的敛散性， 的敛散性，
如果收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛？ 如果收敛，判断是绝对收敛还是条件收敛？
解
∞ 1 1 n ∑ (−1) n p = ∑ n p n =1 n =1 ∞
n =1
∞
lim
n →∞
u n +1 =l un
则当 l < 1时 ， 级数绝对收敛 l > 1时 ， 级数发散
；
。
n! 例4 判别级数∑ (-1) n的敛散性 n n =1
n
∞
例5 判别级数 ∑
n=0
∞
xn 的敛散性 n!
n! 可得结论:lim n =0, n →∞ n
xn lim =0 n →∞ n !
rn = un+1 − un+ 2 + L,
满足收敛的两个条件, 满足收敛的两个条件, ∴ rn ≤ un+1 . 定理证毕. 定理证毕
( −1) n 的收敛性. 例 1 判别级数 ∑ 的收敛性. n−1 n= 2
n
∞
解
x − (1 + x ) )′ = Q( < 0 ( x ≥ 2) 2 x −1 2 x ( x − 1)
n =1 n =1 n =1
∞
∞
∞
注 :若
∑
∞
n =1
u n 发散 , 则
∑
∞
n =1
u n 未必发散
。
例2
sin n 的收敛性. 判别级数 ∑ 2 的收敛性. n =1 n
∞ sin n 1 1 Q 2 ≤ 2 , 而 ∑ 2 收敛 , n=1 n n n
∞
解
sin n ∴ ∑ 2 收敛 , n n=1
2 n → +∞ n =1 ∞
b 3n 证明: = 0. 三、证明: lim n n → ∞ n! a
Hale Waihona Puke 习题答案一、 绝对收敛； 1、绝对收敛； 条件收敛； 2、条件收敛； 条件收敛. 3、条件收敛.
≤ u1
n→ ∞
数列s2n是有界的,
Q lim u2 n+1 = 0,
n→ ∞
∴ lim s2 n = s ≤ u1 .
n→ ∞ n→ ∞
∴ lim s2 n+1 = lim ( s2 n + u2 n+1 ) = s ,
∴ 级数收敛于和 s, 且s ≤ u1 .
余项 rn = ± ( un+1 − un+ 2 + L),
n→∞
则级数收敛, 则级数收敛,且其和 s ≤ u1,其余项 rn的绝对值
rn ≤ un+1.
证明
Q s2 n
Q un−1 − un ≥ 0, = ( u1 − u2 ) + ( u3 − u4 ) + L + ( u2 n−1 − u2 n )
数列 s2n是单调增加的, 又 s2 n = u1 − ( u2 − u3 ) − L − ( u2 n− 2 − u2 n−1 ) − u2 n
∞ n =1 ∞
∞
n -1
(-1)n ( n + 1 − n ) ∑
1 (4) ∑ sin(nπ + ) lnn n=2
注 : 若∑ un 发散 , 则 ∑ un 未必发散
n =1 n =1
∞
∞
但若用比值判别法判定 ∑ un 发散时 , 则∑ un 发散
n =1 n =1
∞
∞
定理
如果任意项级数 ∑ u n ,满足条件
任意项级数及其审敛法
一、交错级数及其审敛法
定义: 正、负项相间的级数称为交错级数. 负项相间的级数称为交错级数. 交错级数
∞ ∞
∑ ( −1) n =1
n −1
un或∑ ( −1) un (其中un > 0)
n n =1
如果交错级数满足条件: 莱布尼茨定理 如果交错级数满足条件:
);(ⅱ (ⅰ) un ≥ un+1 (n = 1,2,3,L ;(ⅱ) limun = 0,
又 Q ∑ un = ∑ ( 2v n − un ),
n =1 n =1
∞
∞
∴ ∑ un 收敛 收敛.
n =1
n =1 ∞
定理的作用： 定理的作用： 任意项级数 正项级数
定义: 收敛, 绝对收敛; 定义:若 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为绝对收敛;
n =1
n =1
∞
∞
发散, 收敛, 条件收敛. 若 ∑ un 发散,而 ∑ un 收敛, 则称 ∑ un 为条件收敛.