第二节正项级数敛散性的判别
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
正项级数的敛散性判别法(二)
柯西根值判别法
定理2设乌为正项级数，极限= 2存在，则
71 ~OO
(1)^/1 < 1,级数收敛;
(2)若义> 1 (包括4 = 8)
级数发散;
⑶若义=1,
不能由此断定级数的敛散也
例4判别下列级数的敛散性
00
(2)
n=lnn
00
n
3n-l
(1) limVu^ =lim- = 0 < 1
由根值判别法，级数
”"+1
(n+l)"〉 1 n
解
lint—- Um
n-^oo ht8
= lim (n+l)n+2 n—8
=Um (—)n+2 =1
n-»oo \n+17 e
由比较判别法的极限形式,
级数2 00
n=l
m?l+l
^发散
：♦例3判别级数2二亨!（. 其中* ＞ 0）的敛散性
带, 解这是一个正项级数，Un
(2) lim\/u^=liTn
由根值判别法,
例5判断级数
的敛散性（。＞ 0）.
当0=1时，原级数为
,显然是发散的.
当 0 < a < 1时，Um
当 口 ＞ 1时，lim
故当a ＞。且a尹1时，原级数收敛.
例1判别下列级数的敛散性
°°1 n=l ST)!
(2) > \i00
解(1) lim un+l
n n—>00
(2) Um 由比值判别法, (3) lim
(n+1)!
(n+l)n+1 3nn\
(n+1)! 10n
无穷级数7-2
即部分和数列有界
un收敛. n 1
(2) 设 sn (n ) 且 un vn ,
则 n sn
不是有界数列 定理证毕.
vn发散. n 1
推论: 若
u
n 1
n 收敛(发散)
则 且v n kun ( n N )( kun v n ) ,
第二节 正项级数敛散性的判别
1.定义: 如果级数 un中各项均有un 0，
n 1
这种级数称为正项级数.
2.正项级数的特点: s1 s2 sn
部分和数列 { sn } 为单调增加数列.
定理7.1
正项级数收敛 部分和所成的数列 sn有界.
证明：由 un 0 (n 1, 2,) 可知
3 使用判别法的步骤
检查一般项是否收敛于零，应用比值判别法或根 值判别法，比较判别法的极限形式，比较判别法， 正项级数的部分和数列是否有界.
判别下列级数的敛散性
1 (n 1)! n 2 n (1) (a 0) (2) (3) sin n n 1 n 6 n 1 1 a n 1 n n 1 3
由比值判别法知，级数收敛 （3）所给级数是正项级数，由于极限
un1 n 1 2 (n 1) lim lim n1 sin n u n 3 6 n
n 2 n sin n 3 6
不存在，比值判别法失效。
n n 2 n 0 un n sin n 3 6 3
n 而对于级数 n 可以用比值判别法判断其敛散性 n 1 3
un1 即 un
(n N )
当 1时, 取 1 ,
使r 1,
正项级数敛散性地判别
一、 正项级数敛散性的判别设∑∞=1n n u 是正项级数，假设 0lim ≠∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 发散。
若0lim =∞→n n u ,那么∑∞=1n n u 可能收敛也可能发散。
可依照下面的思路判别其敛散性。
(1)若是通项n u 包括有n ！之类的因子，或关于n 的假设干因子连乘形式，那么用比值判别法，即ρ=+→∞n n n u u 1lim ，那么当1<ρ时∑∞=1n n u 收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是nn n u u 1lim +∞→不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n nv 应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用比值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，则∑∞=1n n u 发散。
(2)若是通项n u 包括有n 或关于n 的函数为指数的因子，那么用根值判别法，即ρ=∞→n lim n n u ，那么当1<ρ时∑∞=1n nu收敛，当1>ρ时∑∞=1n n u 发散。
若是n lim n n u →∞不易计算，或不存在，或存在为1，那么适当放大n u ,使得n n v u ≤，并对∑∞=1n n v 应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 收敛，那么∑∞=1n n u 收敛；或适当缩小n u ，使得0>≥n n v u ，并对应用根值判别法，若是∑∞=1n n v 发散，那么∑∞=1n n u 发散。
(3)当n u 不是以上情形时，寻觅∞→n 时n u 的等价无穷小，可利用等价无穷小的经常使用公式和麦克劳林展开式，取得)0(~>C nCu n α，第八讲 常数项级数敛散性的判别等价的通项，两级数应具有相同的敛散性。
因此当1>α时∑∞=1n n u 收敛；当1≤α时∑∞=1n nu发散。
正项级数敛散性的判别方法
正项级数敛散性的判别方法正项级数是指级数的所有项都是非负数的级数。
判断正项级数的敛散性的方法主要有以下几种：比较判别法、根式判别法、积分判别法、极限判别法和对数判别法。
一、比较判别法：1. 比较判别法之比较大法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≤bn，那么若∑bn收敛，则∑an也收敛；若∑bn发散，则∑an也发散。
2. 比较判别法之比较小法：如果对于正项级数∑an和∑bn，当n趋向于无穷大时有an≥bn，那么若∑bn发散，则∑an也发散；若∑bn收敛，则∑an也收敛。
二、根式判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得lim[(an)^1/n]=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，根式判别法无法确定级数的敛散性。
三、积分判别法：将正项级数∑an转化为函数f(x)的积分，即∫f(x)dx，如果对于函数f(x)，当x趋向于无穷大时有f(x)递减且连续，则1. 若∫f(x)dx收敛，则级数∑an也收敛；2. 若∫f(x)dx发散，则级数∑an也发散。
四、极限判别法：如果存在常数L>0，使得lim(n→∞)n*an=L，则1. 若L<1，则级数∑an收敛；2. 若L>1，则级数∑an发散；3.若L=1，极限判别法无法确定级数的敛散性。
五、对数判别法：设an≥0，如果存在正常数p使得limln(an)/ln(n)=a，则1. 若a<1，则级数∑an收敛；2. 若a>1，则级数∑an发散；3.若a=1，对数判别法无法确定级数的敛散性。
这些判别方法在实际应用中都有其适用范围和局限性，需要根据具体情况选择合适的方法进行判断。
同时，在判断级数的敛散性时，还可以结合其他定理和方法，如柯西收敛准则、阿贝尔定理、绝对收敛等进行综合分析。
正项级数敛散性判别
正项级数敛散性的判别刘兵军无穷级数是高等数学的重要内容，是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
正项级数在无穷级数中占据了较大的比重，其题型丰富且灵活。
本文给出了正项级数敛散性的各种判别方法，通过典型例题的讲解，使学员能以尽快掌握正项级数敛散性的判断问题。
一． 常数项级数的概念所谓无穷级数就是把无穷多个数按照一定的顺序加起来，所得的和式。
对于数列ΛΛ,,,,21n u u u ，由此数列构成的表达式 叫做无穷级数，简称级数，记为∑∞=1n n u ，即ΛΛ+++++=∑∞=n n nu u u u u 3211，(1)其中第n 项n u 叫做级数(1)的一般项。
级数(1)的前n 项的和构成的数列n n u u u s +++=Λ21，Λ,3,2,1=n(2)称为级数(1)的部分和数列。
根据部分和数列可得级数敛散性及和的定义。
定义如果级数(1)的部分和数列n s 有极限，即存在常数s ，使得=∞→n n s lim s ，则称级数(1)收敛，极限s 称为级数(1)的和；否则称级数(1)发散。
级数收敛的必要条件 如果级数(1)收敛，则其一般项n u 趋于零。
二． 正项级数敛散性的判别由正数和零构成的级数称为正项级数。
比较审敛法是判别正项级数敛散性的一种常用且非常有效的方法。
比较审敛法 如果正项级数∑∞=1n n v 收敛，且满足),3,2,1(Λ=≤n v u n n ，则∑∞=1n n u 收敛；如果正项级数∑∞=1n n v 发散，且满足),3,2,1(Λ=≥n v u n n ，则∑∞=1n n u 发散；比较审敛法只适用于正项级数敛散性的判别，而寻求合适的级数∑∞=1n n v 是解题的关键。
几何级数∑∞=-11n n aq 和p-级数∑∞=11n p n 常用来充当比较审敛法中的级数∑∞=1n n v 。
例１ 证明级数∑∞=+1221n n 是收敛的。
证 由于222n n >+，所以22121n n <+，而级数∑∞=121n n为p=2的p-级数且收敛，故由比较审敛法，级数∑∞=+1221n n 是收敛的。
7.2-1 正项级数敛散性的判别
n 1
n 1
Sn s 一般级数收敛 lim n
正项级数收敛 S n 有上界 单调有界数列有极限
1 p 在p >1 时收敛， p 1 时发散. 例1. 证明 n 1 n
证：p =1,原级数为调和级数，发散；
1 1 1 1 p < 1时 n p n , n p 的部分和大于 n 的部分和 n 1 n 1
2 n1 un1 [(n 1)! ] ( 2n)! lim 1 / 4 1 lim lim n 2( 2n 1) n u n ( n! ) 2 [ 2( n 1)]! n
x n 例5. 判别 n( ) ( x 0) 的敛散性 n 1 2 n n 1 x x 解： un n , un1 ( n 1) 2 2 un1 n 1 x lim lim x/2 n u n n 2 n 由0 x / 2 1 0 x 2, 此时原级数收敛
由 x / 2 1 x 2, 此时原级数发散 由 x / 2 1 x 2, 原级数为 n 发散
n 1
当 0< x< 2时，收敛 x n 综上 n( ) ( x 0) n 1 2 当 x 2 时，发散
2. 根值判别法 n u r lim n 定理：设 un 为正项级数，若 n 则 r <1 ,级数收敛；r > 1,级数发散；r =1,此法失效.
则当 p > 1时广义p-级数收敛； p 1 时广义p-级数发散.
上述结论的证明有待于下次课的比较判别法 例10. 下列级数的敛散性如何？
1 1) n1 n( n 1)
8.2 正项级数敛散性的判别
1. n1
un
S
lim
n
Sn
S
un发散 {Sn }发散
n1
a
2. aqn1
1
q
n1
发散
q 1 q 1
1发散
n1 n
3.级数的性质，尤其是： n1
un收敛
lim
n
un
0
同号级数
正项级数
(un 0)
数项级数
负项级数 (un 0)
任意项级数
un与 (un )有相同敛散性
n1
n1
§8.2 正项级数
(2)解：lim n
n
un
lim n
n
1 3n
( n 1)n2 n
lim 1 ( n 1)n n 3 n
1 lim (1
n 3
1 )n n
e 1, 3
所以
n1
1 3n
(
n
n
1
)n2
收敛.
nn1
(3) n1 (n 1)n2
析：lim n n
un
lim n n
nn1 (n 1)n2
n1
n1
n1
n
n
证明： (1) Sn ui vi vn S
i 1
i 1
n1
即{Sn }有上界，由定理8.1可知 un收敛.
n1
由（1）
(2) 反证：假设 vn收敛 un收敛. 矛盾！
n1
n1
思路：先猜敛散再选择放大还是缩小
例1.判定
n1
1 n2n
的敛散性.
解：un
1 n2n
xn 发散.
n1 n
n1 n
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一.定义 如果 un 0(n 1,2,3,) 则称级数
u 为正项级数.
n 1 n
二.性质 部分和数列有界. 定理7.1 正项级数收敛 证 因 un 0 所以 Sn 单调递 增S 有界 lim S 从而 n n 存在 n 故命题成立.
1 (5) n 1 ln( n 1)
(6)
2
n 1
n
sin
3
n
总结
比较判别法
(极限形式)
熟 记 定 理 内 容
掌 握 做 题 方 法
体 会 对 象 选 取
定理7.4 (达朗贝尔比值判别法)
设 u 是正项级数,如果
n 1 n
un1 lim l n u n
n 1 n
u
n 1
n
Sn
un vn
(un 0)
第二节 正项级数敛散性的判别
主 题 比较判别法 比值判别法 根值判别法
√
定理7.3 (比较判别法的极限形式)
un 和 v n 都是正项级数,如果 设 n 1 n 1
1.证明极限 2.利用极限 证别的问题
un lim c n v n
un 和 v n 都是正项级数,如果 设 n 1 n 1
un lim c n v n
则 (1)当 0 c 时,
u 与 v 有相同的敛散性;
n 1 n n 1 n
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
n 2
Байду номын сангаас
1 n1 ln n n1
的敛散性.
2 ln(1 ) n1
解
1 n1 ln n1 n1 n li mn ln 因 lim n n 1 n1
1
n nn
2 n n 1 n l iml n ( 1 ) limln( ) n n1 n n1
(c )vn un (c )vn
定理7.3 (比较判别法的极限形式)
un 和 v n 都是正项级数,如果 设 n 1 n 1
un lim c n v n
则 (1)当 0 c 时,
n 1 n n 1 n
目标: un c1vn
n
用比值法判定级 数发散,则一定有
lim un 0
n
所以 un 发散.
n 1
(3)当 l 1 时, 此法失效. 例
1 n 1 n
发散,
1 2 n n 1
收敛
un1 lim n u n un1 lim n u n
1 n n 1 lim 1 lim n n n 1 1 n 1 n2 ( n 1) 2 1 lim lim 2 n ( n 1) n 1 n2
un lim c 0 c 证 (1)当 时, 因 n v n c 故 对 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 2
有 即 亦
n 1
un c c 2 vn
c 3c c un c c c 2 2 2 vn 2 c 3c v n un vn 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) ( 3) 2 2 4 4 4 4 8 8 8
1
1 2
p 1
1 4
p 1
1 8
p 1
(4)
(4)收敛 (3)收敛 (2)收敛 (1)收敛.
1
1 2 且 n n 1
收敛, 故 n 2 n
1 n n
2
收敛.
1 例2 判断 p 级数 n p 的敛散性. n 1 1 1 1 解 当 p 1时 n p n 而 n 发散 n 1
1 故 n p发散. n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 p 1时 1 p p p p p p p p (1) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) ( 2) 2 3 4 5 6 7 8 9 15
的敛散性.
1 p n n 1
收敛
p1
发散
p1
例3 判断级数 解 因
1 1 2 n n n
1 n n n 1
及
n 2
1 n n n
2
的敛散性.
( n 2)
1 故 nn n 1
1 且 n2 n 1
收敛,
收敛.
解
因
2 1 1 2 n n n 2 n n n( n 1) n n n 2
un 1 3l 1 un1 1 l 1 l q 1 l 有 即 2 2 un 2 un
从而
un1 qun
n N
uN 1 quN uN 2 quN 1 q 2 uN
uN 3 quN 2 q 3 uN
uN 4 quN 3 q 4 uN
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
例4 判断 级数
1 sin n
1 sin n n 1
的敛散性.
解
1 0 因 lim n 1
n
1 n 1 n
且
发散 发散.
1 故 sin n n 1
例5 判断 级数
u 与 v 有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
√
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
un lim 0 c 0 时, 因 n v n (2)当
故 对 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即 亦
u 取特殊值 vn n (对 )
则 (1)当 0 c 时,
√ u 与 v
n 1 n n 1
目标: c1vn un c2vn
n
有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
则 (1)当 0 c 时,
n 1 n n 1 n
目标: c1vn un
u 与 v 有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
则 (1)当 l 1 时, u 收敛; (2)当 l 1 或 l 时, u 发散;
n 1 n
(3)当 l 1 时, 此法失效.
un1 lim l l 1 (1) 当 时 , 因 n u 证 n 1 l 0,存在正整数 N , 当 n N 时, 故 对 2
证 设 u 、 v 的第 n 次部分和分别为 S n、 S n
n 1 n n 1 n
因 un vn (n 1, 2, 3, )
n 1 n
所以 Sn
n 1
Sn
n
v 收敛 S n 有上界 Sn 有上界 u 收敛.
(1)大头收敛小头收敛,小头发散大头发散.
√
un (3)当 c 时, 因 lim n v n
故 对 M 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即
un M 1 vn
un v n
从而 v n 发散时, un 也发散.
n 1 n 1
定理7.3 (比较判别法的极限形式)
因(1)收敛, 故(2)收敛, 从而原级数收敛.
un1 l (2)当 l 1 时, 因 lim n u n l 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 故 对 2
l 1 l 1 un1 3l 1 un 1 l 1q 有 即 2 2 un 2 un
从而 故
un1 un
lim un 0
n
un 发散. 所以 n 1
un1 lim l 时 , 因 (2)当 n u n
故 对 M 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即 故
un1 M 1 un
un1 un
lim un 0
uN 1 quN uN 2 quN 1 q 2 uN
uN 3 quN 2 q 3 uN
uN 4 quN 3 q 4 uN
quN q uN q uN
2 3
(1) (2)
uN 1 uN 2 uN 3
n 1
从而 un 与 v n 有相同的敛散性.
分析
un c (1)当 0 c 时, 因 lim n v n
故 对 0, 存在正整数 N , 当 n N 时,
有
即 亦
un c vn
un c c vn
c1vn un c2vn