第二节正项级数敛散性的判别

1
1 2 且 n n 1

收敛, 故 n 2 n

1 n n
2
收敛.
1 例2 判断 p 级数 n p 的敛散性. n 1 1 1 1 解 当 p 1时 n p n 而 n 发散 n 1

1 故 n p发散. n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 p 1时 1 p p p p p p p p (1) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) ( 2) 2 3 4 5 6 7 8 9 15
则 (1)当 0 c 时,
n 1 n n 1 n
目标: c1vn un

u 与 v 有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
1 (5) n 1 ln( n 1)

(6)
2
n 1
n
sin

3
n
总结
比较判别法
(极限形式)
熟 记 定 理 内 容
掌 握 做 题 方 法
体 会 对 象 选 取
定理7.4 (达朗贝尔比值判别法)
设 u 是正项级数,如果
n 1 n
un1 lim l n u n
n 1 n
20
且n
n 1

1 n
收敛, 故
n 2

1 n1 ln n n1
收敛.
练习判断下列级数的敛散性.
1 (1) n 1 2n 3 n1 (3) n 1 n( n 2)

(2)
n
n 1

1 n 2
n
2 (4) n (3 n 1)5 n 1


例6 判断 级数 解
un1 lim n u n
( n 1)! n n n 1

的敛散性.
( n 2)! ( n 1) ( n 1) n 2 n n lim ( ) lim n ( n 1)! n n 1 n1 nn
1 lim ( ) 1 n 1 e 1 n
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1



例4 判断 级数
1 sin n
1 sin n n 1

的敛散性.
解
1 0 因 lim n 1
n
1 n 1 n

且
发散 发散.
1 故 sin n n 1
例5 判断 级数
从而 故

un1 un
lim un 0
n
un 发散. 所以 n 1
un1 lim l 时 , 因 (2)当 n u n
故 对 M 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即 故
un1 M 1 un
un1 un
lim un 0
(2) 条件 un vn 可改成 un cvn 例1
解

(n 1,2,3,) (n N c 0)
1 判断级数 2n 1 的敛散性. n 1
因 且 故

1 1 1 2n 1 2 n
1 n 1 n

发散
发散.
1 n 1 2n 1
例2 判断
1 p 级数 p n 1 n
uN 1 quN uN 2 quN 1 q 2 uN
uN 3 quN 2 q 3 uN
uN 4 quN 3 q 4 uN

quN q uN q uN
2 3
(1) (2)
uN 1 uN 2 uN 3
n 1
un 0 1 vn
un 1 1 vn
vn un vn
n 1
从而 v n 收敛时, un 也收敛.
定理7.3 (比较判别法的极限形式)
un 和 v n 都是正项级数,如果 设 n 1 n 1

un lim c n v n

un 1 3l 1 un1 1 l 1 l q 1 l 有 即 2 2 un 2 un
从而
un1 qun
n N
uN 1 quN uN 2 quN 1 q 2 uN
uN 3 quN 2 q 3 uN

uN 4 quN 3 q 4 uN
第二节 正项级数敛散性的判别
一.定义 如果 un 0(n 1,2,3,) 则称级数
u 为正项级数.
n 1 n
二.性质 部分和数列有界. 定理7.1 正项级数收敛 证 因 un 0 所以 Sn 单调递 增S 有界 lim S 从而 n n 存在 n 故命题成立.
u
n 1

n
Sn
un vn
(un 0)
第二节 正项级数敛散性的判别
主 题 比较判别法 比值判别法 根值判别法
√
定理7.3 (比较判别法的极限形式)
un 和 v n 都是正项级数,如果 设 n 1 n 1

1.证明极限 2.利用极限 证别的问题
un lim c n v n
n 1
n1 n1 sin n1 / n1 3 4 4 lim n n 4 n sin n / n 4 4
n 故 级数 3 sin4n n 1
n
3 n 1 n1 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) ( 3) 2 2 4 4 4 4 8 8 8

1
1 2
p 1

1 4
p 1

1 8
p 1

(4)
(4)收敛 (3)收敛 (2)收敛 (1)收敛.
n 1
从而 un 与 v n 有相同的敛散性.
分析
un c (1)当 0 c 时, 因 lim n v n
故 对 0, 存在正整数 N , 当 n N 时,
有
即 亦
un c vn
un c c vn
c1vn un c2vn
n

用比值法判定级 数发散,则一定有
lim un 0
n
所以 un 发散.
n 1
(3)当 l 1 时, 此法失效. 例
1 n 1 n

发散,
1 2 n n 1

收敛
un1 lim n u n un1 lim n u n
1 n n 1 lim 1 lim n n n 1 1 n 1 n2 ( n 1) 2 1 lim lim 2 n ( n 1) n 1 n2
则 (1)当 l 1 时, u 收敛; (2)当 l 1 或 l 时, u 发散;
n 1 n
(3)当 l 1 时, 此法失效.
un1 lim l l 1 (1) 当 时 , 因 n u 证 n 1 l 0,存在正整数 N , 当 n N 时, 故 对 2
(c )vn un (c )vn
定理7.3 (比较判别法的极限形式)
un 和 v n 都是正项级数,如果 设 n 1 n 1

un lim c n v n

则 (1)当 0 c 时,
n 1 n n 1 n
目标: un c1vn
n
1
故 级数
( n 1)! n n n 1

收敛.
例7 判断 级数
un1 解 lim n u n
n 3 sin n 4 n 1
n

的敛散性.
n1 n1 sin n 1 3 sin n1 4 4 lim 3 lim n n n n n sin n 3 sin n 4 4
定理7.2 (比较判别法的不等式形式)
设 u 和 v 都是正项级数,如果
n 1 n n 1 n
un vn
n 1 n
(n 1,2,3,)
n 1 n
则 (1)当 v 收敛时, u 也收敛; (2)当 u 发散时, v 也发散.
n 1 n n 1 n
因(1)收敛, 故(2)收敛, 从而原级数收敛.
un1 l (2)当 l 1 时, 因 lim n u n l 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 故 对 2
l 1 l 1 un1 3l 1 un 1 l 1q 有 即 2 2 un 2 un

u 取特殊值 vn n (对 )
则 (1)当 0 c 时,
√ u 与 v
n 1 n n 1
目标: c1vn un c2vn

n
有相同的敛散性;


v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1

u 与 v 有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1

√
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1


un lim 0 c 0 时, 因 n v n (2)当
故 对 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即 亦
un 和 v n 都是正项级数,如果 设 n 1 n 1

un lim c n v n

则 (1)当 0 c 时,
u 与 v 有相同的敛散性;
n 1 n n 1 n

v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
证 设 u 、 v 的第 n 次部分和分别为 S n、 S n
n 1 n n 1 n


因 un vn (n 1, 2, 3, )
n 1 n
所以 Sn
n 1
Sn
n
v 收敛 S n 有上界 Sn 有上界 u 收敛.
(1)大头收敛小头收敛,小头发散大头发散.
un lim c 0 c 证 (1)当 时, 因 n v n c 故 对 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 2
有 即 亦
n 1
un c c 2 vn
c 3c c un c c c 2 2 2 vn 2 c 3c v n un vn 2 2
n 2
源自文库

1 n1 ln n n1
的敛散性.
2 ln(1 ) n1
解
1 n1 ln n1 n1 n li mn ln 因 lim n n 1 n1
1
n nn
2 n n 1 n l iml n ( 1 ) limln( ) n n1 n n1

的敛散性.
1 p n n 1


收敛
p1
发散
p1
例3 判断级数 解 因
1 1 2 n n n

1 n n n 1

及
n 2

1 n n n
2
的敛散性.
( n 2)
1 故 nn n 1

1 且 n2 n 1
收敛,
收敛.
解
因
2 1 1 2 n n n 2 n n n( n 1) n n n 2


√
un (3)当 c 时, 因 lim n v n
故 对 M 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即

un M 1 vn
un v n

从而 v n 发散时, un 也发散.
n 1 n 1
定理7.3 (比较判别法的极限形式)