数项级数敛散性判别法。(总结)

身比较。
-4-
定理六、（极限形式）若 un
为正项级数，且
lim
n
n
un
1则
(1)当 l 1时，级数收敛
(2)当 l 1时，级数发散
注：当 l 1时，根式不能对级数的敛散性作出判断例如，
级数
1 n2
与
1 n
，二者都有
lim n
n
un
1，但
1 n2
是收敛的，而
1 n
是
发散的.但
1 n2
是收敛的，而
例题
4
、断调和级数
∞
n1
1 n
1
1 2
1 3
…
1 n
…
的敛散性。
解
因为
∞
n1
1 n
1
1 2
1 3
…
1 n
…
可
以
按
如
下
加
括
号
，
得
，
级
数
(1 1) (1 1) (1 1 1 1) (1 1 1 1 1 1 1 1 ) .... 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
们的比式极限都是 n un
但
1 n2
是收敛的，而
1 n
是发散的.
注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构
造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的
级数有所了解。例如：调和级数，等比级数，p 级数。比较法虽然简
单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自
u n n
n
n sin 1
n n
1
解 因为
3n
3n
1 lim n 1 1 1
3 n n 3 ，所以该级数收敛．
注：本题是比值法的应用，从中可以看出，比值法是通过比值的方法
消去某些因子，以达到简化运算的目的。所以运用比值法时，应注意
观察通过比值能否消去某些项，能否达到简化的目的。
例题 9、
判断级数
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结）
课 程 名 称： 专 业 班 级： 成员组成 联 系 方 式：
高等数学（下）
2012 年 5 月 18 日
-1-
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家
都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题 目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭 每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断 敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的 效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后， 得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方 法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。
而上述加括号后的级数的各项大于级数
1 (1 1) (1 1 1 1) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ....... 2 4 4 8 8 8 8 16 16 16 16 16 16 16 16 1 1 1 ....
222
-7-
的对应项，又后一级数
∞
n1
an
n2 k 收敛,
(1)n
an
故 n1
n2 k 绝对收敛.
例题 3、
判别级数
n1
(
1 n
ln
n
1) n
的敛散性.
解：利用不等式 ln x x
有 un
1 n
ln
n 1 n
1 n
ln
n n 1
1 n
1 n 1
(1 1 )
(1 ln n 1)
因为 n1 n n 1 收敛,故 n1 n n 收敛.
Key words:A number of series, convergence and divergence of judgment.
引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通
过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般 思维过程。
-2-
以下介绍相关定义及定理
一、常数项级数的概念 定义：无穷多常数项累加求和
A
0 1 f (x)dx Sn S ,
故知，反常积分 1 f (x)dx 收敛。
n A n 1。
同理可证它们同时发散。
三、以下给出例题做具体分析
例题
1、判断级数
n 1
n 100 n
1
是否收敛
n
1
lim
0
解： n 100n 1 100 ，所以此级数发散。
-6-
1
但是当
lim
n
un
0 时，不能判断该级数是否收敛。例如
证明：由假设 f (x) 为[1,) 上非负减函数，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
s in 2 n2
n
也收敛。
注：如果级数中不是所有的项都满足 vn un ，而是从有限项开始才满
足。也可以用比较法判断敛散性。因为改变级数的前有限项不改变级
数的敛散性。
例题 6、 证明级数
1 1 1 1
2! 3!
n!
收敛．
证
un
1 n!
1
2
1 3
n
0
满足
1 n!
1 2 n1
，而
( 1 ) n1
an a1 a2 a3 a4 ...............
常见的几类重要的常数项级数 正项级数：级数中所有项均大于等于零。 交错级数：级数中的项正负相间的级数。 等比级数
a aq aq2 aq3 ....... aqn ...... aqn
调和级数
1 1 1 1
23
n
1
n1 n
取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断。
以下介绍一种通过积分判断的方法。此方法的特点是利用非负函数的
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单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散
性。
定理九 设 f (x) 为[1,) 上非负减函数，则正项级数 f (n) 与反常
积分 1 f (x)dx 同时收敛或同时发散。
注：根植法对于处理通项中罕有 n 次方的级数时，有着特别方便的应
用。
1 1 1 (1)n1 1
例题 11、 判断级数 2! 3!
n! 的敛散性.
解
因为（1） un
1 n!
1 (n 1)!
u n 1
(n 1,2,) ；
（2）
lim
n
u
n
a
，试判断级数
( x )n n1 an
(x 0)
的敛
散性．
-9-
0 ( x )n ,
解 因为 an
n ( x )n x
lim x x lim 1 x
an
an ，而 n an
a n n
a ；所以，根据
根值判别法有
（1）当 x a 时，级数收敛；
（2）当 x a 时，级数发散；
（3）当 x a 时，级数可能收敛也可能发散．
-8-
别法来解题。由于
sin 1
lim n 1
n 1 n
，根据比较原则，及调和级数
1 n
发
散，所以级数
sin
1 n
也发散.
注：这是比较法的极限形势。是比较法的更深度的运用。
例题 8、
1
判断正项级数 n1 n sin 3n
的敛散性．
1
1
lim
u n 1
lim
(n 1) sin 3n1
lim ( n 1 3n1 )
1 n
是发散的.
定理七、 若交错级数 n1 (1)n1un 满足：
（1） un un1 (n 1, 2, ) ；
（2）
lim
n
un
0．
则交错级数收敛
绝对收敛与条件收敛
对于一般项级数 u1 u2 un , 其各项为任意实数，若级数
un
n 1
各项的绝对值所构成的正项级数
n1
u
n
收敛，则称级数
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、 若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
定理五、（极限形式）若 un
为正项级数，且 lim
u n 1 un
q
则
(1)当 q 1时，级数 un 也收敛； (2)当 q 1时，或 q 时，级数 un 发散；
注：当 q 1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，
因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数
1 n2
与
1 n
，它
lim un1 1
n1
n
。因此
lim
n
un
ห้องสมุดไป่ตู้
0
只是一个必要条件，而非充分条件。
例题 2、 k 0 ,且 n1 an2 收敛,证明 n1 (1)n
an
n2 k 绝对收敛?
(此题正是利用了比较法,轻松地证明了此题.)
解：
an n2 k
1 2
(an 2
n2
1
k
)
又
n1
an 2
、
n1
1 n2
k
收敛,则
n1
n1
2
1 n
1
的敛散性．
解
因为
0
1 2n 1
1 2n
n
，而
1 2n
1 2
1
，所以
n1
1 2n
收敛．再根据比较
判别法，原级数
n1
2
1 n
1
收敛．
注：本题是比较法和根植法的联合应用，所以有时应用单一的方法无
法解决某些问题时，可以应用多种方法，逐步达到简化的目的。
例题 10、
设 an
0
，且
lim
n
an
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.
n1 2 是 等 比 级 数
(q
1 2
1)
，由比较判别法可知，级数
n 1
1 n!
收敛．
本题应用比较法虽然可以解决，但是比较繁琐。以下用比值法解该题。
lim an1 lim 1 0
解法二、因 n an n n ，所以判断该级数收敛。
例题 7、
判别级数
sin
1 n
的敛散性
解：它不是等比级数也不是 p 级数，也无法用比式判别法和根式判
P--级数
111 1p 2p 3p
1 np
1
n1 n p
在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用
二、相关定理
定理一：如果
lim
n
an
0
，则可判断该级数一定不收敛。
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定理二、等比级数判别法：
n1
ar
n 1
(a
0)
当 r 1时，级数收敛； （2）当 r 1时，级数发散
定理三、 p 级数判别法：
1 2
是发散的，所以原调和级数
∞
n1
1 n
是发散的。
注:在级数敛散性判断时，对于某些一般项处理起来比较困难时，可
以通过合并或拆分来使一般项变得方便处理。
sin2 n
例题 5、判断级数 n1 n2 是否收敛
sin2
解：因 n2
n
1 n2
，且
n1
1 n2
为
p=2
时的
p
级数，此级数收敛。所以
n1
m
m
Sm
f (n) f (1) f (x)dx f (1)
1
1
n1
f (x)dx
。
于是，知 级数 f (n) 收敛。
反之，若级数 f (n) 收敛，则对任意正整数 m( 1) ，有
m
m1
1 f (x)dx Sm1 f (n)
n1
f (n) S
。
又因 f (x) 为[1,) 上非负减函数，故对任何 A 1，有
1 ( p 0) n1 n p
(1)当 0 p 1时，级数发散 (2)当 p 1时，级数收敛
注：调和级数是特出的 p 级数，这时 p=1。
定理四、设 un 与 vn 是两个正项级数，若
当 un vn 且级数 vn 收敛时，级数 un 也收敛；
当 vn un 且级数 vn 发散时，级数 un 也发散；