数项级数敛散性判别法。(总结)
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳级数是数列之和的概念在数学中的推广。
级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。
下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。
一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。
1.比较判别法对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。
2.比较判别法的极限形式对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：（1）若0<c<∞，则∑b_n收敛或发散，则∑a_n也收敛或发散。
（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。
比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。
二、比值判别法比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。
比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。
三、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；（2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛；（b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。
判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。
在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。
下面将介绍一些常用的方法。
1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。
a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。
b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。
c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。
2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。
a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。
b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。
c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。
3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。
a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。
b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。
c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。
4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。
否则称为条件收敛的。
5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。
a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1华北水利水电大学课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）专业班级:水利港航39班成员组成:丁哲祥 1联系方式:数项级数敛散性判别法（总结）摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。
本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。
我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。
以便我们更好的掌握它。
关键词：数项级数敛散性判别方法总结Severalseriesgatheredofthecriterionscatteredmethod(summary)Abstract：Thesequenceseriesisoneofthemaincontentsinthemathematical analysis.Welearnthissemestertheseveralseriesgatheredofthecriterionhas manyscatteredmethod,thispaperfoldingaseriesoflogarithmscattereddiscr iminantmethodisanalyzedsum-up,gettheproblemsolvingmethod. Key?words:Severalseries;Gatheredscatteredsex;Identifyingmethod;analysissummary一. 数项级数的定义 ：数项级数的定义设{a n }是一个数列，则称表达式a 1+a 2+a 3+…a n +… 为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为∑∞=1n n a 或∑n a 称a n 为级数的通项或一般项。
下面举几个例子：（1）1+2+3+4+5+6+…+n+…=∑n ；（2）1- n n 1)1(413121--++-+ +…= ∑--nn 1)1(常见的数项级数正项级数：级数中所有项均大于等于零。
级数敛散性判别方法的归纳-级数的敛散性
级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。
关键词：级数；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。
无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=nu u u +++ 21②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。
若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。
研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。
定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。
由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。
二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。
当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。
比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。
例2：判别级数的敛散性。
解：因为由比值判别法知级数收敛。
2.3 根植判别法设为正项级数，若有，则当0≤r1，则发散。
当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。
根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。
常数项级数敛散性判别法总结
常数项级数敛散性判别法总结作者：李娜来源：《山东工业技术》2014年第24期摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。
由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。
关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。
无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。
在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。
主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。
1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称u1+u2+...+un+ (1)为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。
若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。
若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。
注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。
极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。
借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。
例如，由性质（1）和当|q|2 正项级数敛散性判别法若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。
正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。
正项级数有以下几种常用判别法：2.1 比较判别法设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。
比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
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证明：由假设 f (x) 为[1,) 上非负减函数，则对任何正数 A， f (x) 在
[1，A]上可积，从而有
n
f (n)
f (x)dx
n1
f (n 1) ， n 2,3,
依次相加，得
m
m
m
m1
f (n) f (x)dx f (n 1) f (n)
1
n2
n2
n1
若反常积分收敛，则对m ，有
P--级数
111 1p 2p 3p
1 np
1
n1 n p
在以下的判别中这几类级数将会有重要的运用
二、相关定理
定理一：如果
lim
n
an
0
，则可判断该级数一定不收敛。
-3-
定理二、等比级数判别法：
n1
ar
n 1
(a
0)
当 r 1时，级数收敛； （2）当 r 1时，级数发散
定理三、 p 级数判别法：
n 1
u
n
绝对
收敛；若级数 n1 un
收敛，而级数 n1
un
发散，则称级数
n 1
u
n
条件收敛．易
(1)n1 1
(1) n1 1
知 n1
n2 是绝对收敛级数，而 n1
n 是条件收敛级数．
定理八、 若 n1 un 收敛，则 n1 un 必收敛．
对于有些特殊级数，既不是正项级数也不是交错级数，可以通过
s in 2 n2
n
也收敛。
注：如果级数中不是所有的项都满足 vn un ，而是从有限项开始才满
足。也可以用比较法判断敛散性。因为改变级数的前有限项不改变级
数的敛散性。
例题 6、 证明级数
1 1 1 1
2! 3!
n!
收敛．
证
un
1 n!
1
2
1 3
n
0
满足
1 n!
1 2 n1
，而
( 1 ) n1
m
m
Sm
f (n) f (1) f (x)dx f (1)
1
1
n1
f (x)dx
。
于是，知 级数 f (n) 收敛。
反之，若级数 f (n) 收敛，则对任意正整数 m( 1) ，有
m
m1
1 f (x)dx Sm1 f (n)
n1
f (n) S
。
又因 f (x) 为[1,) 上非负减函数，故对任何 A 1，有
1 ( p 0) n1 n p
(1)当 0 p 1时，级数发散 (2)当 p 1时，级数收敛
注：调和级数是特出的 p 级数，这时 p=1。
定理四、设 un 与 vn 是两个正项级数，若
当 un vn 且级数 vn 收敛时，级数 un 也收敛；
当 vn un 且级数 vn 发散时，级数 un 也发散；
关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。
英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series, we all know which
way to go. But wait until all of the methods after completing their studies are given topics, everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible. But for one series, using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect, but if the hanging has chosen the wrong way, may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong. So we need to sum up to determine the convergence and divergence, and to understand their characteristics, in order to make better use of them.
定理五、（极限形式）若 un
为正项级数，且 lim
u n 1 un
q
则
(1)当 q 1时，级数 un 也收敛； (2)当 q 1时，或 q 时，级数 un 发散；
注：当 q 1时，）比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，
因为它可能是收敛的，也可能是发散的.例如，级数
1 n2
与
1 n
，它
lim un1 1
华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结）
课 程 名 称： 专 业 班 级： 成员组成 联 系 方 式：
高等数学（下）
2012 年 5 月 18 日
-1-
摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家
都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题 目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭 每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断 敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的 效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后， 得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方 法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。
n1
2
1 n
1
的敛散性．
解
因为
0
1 2n 1
1 2n
n
，而
1 2n
1 2
1
，所以
n1
1 2n
收敛．再根据比较
判别法，原级数
n1
2
1 n
1
收敛．
注：本题是比较法和根植法的联合应用，所以有时应用单一的方法无
法解决某些问题时，可以应用多种方法，逐步达到简化的目的。
例题 10、
设 an
0
，且
lim
n
an
取绝对值，转换为正项级数后，再利用定理八，进行判断。
以下介绍一种通过积分判断的方法。此方法的特点是利用非负函数的
-5-
单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散
性。
定理九 设 f (x) 为[1,) 上非负减函数，则正项级数 f (n) 与反常
积分 1 f (x)dx 同时收敛或同时发散。
-8-
别法来解题。由于
sin 1
lim n 1
n 1 n
，根据比较原则，及调和级数
1 n
发
散，所以级数
sin
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 n
也发散.
注：这是比较法的极限形势。是比较法的更深度的运用。
例题 8、
1
判断正项级数 n1 n sin 3n
的敛散性．
1
1
lim
u n 1
lim
(n 1) sin 3n1
lim ( n 1 3n1 )
u n n
n
n sin 1
n n
1
解 因为
3n
3n
1 lim n 1 1 1
3 n n 3 ，所以该级数收敛．
注：本题是比值法的应用，从中可以看出，比值法是通过比值的方法
消去某些因子，以达到简化运算的目的。所以运用比值法时，应注意
观察通过比值能否消去某些项，能否达到简化的目的。
例题 9、
判断级数
们的比式极限都是 n un
但
1 n2
是收敛的，而
1 n
是发散的.
注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构
造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的
级数有所了解。例如：调和级数，等比级数，p 级数。比较法虽然简
单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。以下介绍一种方法用于自
A
0 1 f (x)dx Sn S ,
故知，反常积分 1 f (x)dx 收敛。
n A n 1。
同理可证它们同时发散。
三、以下给出例题做具体分析
例题
1、判断级数
n 1
n 100 n
1
是否收敛
n
1
lim
0
解： n 100n 1 100 ，所以此级数发散。
-6-
1
但是当
lim
n
un
0 时，不能判断该级数是否收敛。例如
n1
n
。因此
lim
n
un
0
只是一个必要条件，而非充分条件。
例题 2、 k 0 ,且 n1 an2 收敛,证明 n1 (1)n
an
n2 k 绝对收敛?
(此题正是利用了比较法,轻松地证明了此题.)
解：
an n2 k
1 2
(an 2
n2
1
k
)
又
n1
an 2
、
n1
1 n2
k
收敛,则
n1
例题
4
、断调和级数
∞
n1
1 n
1
1 2
1 3
…
1 n
…