一般数项级数的敛散性及其判别
级数敛散性判别方法的归纳
级数敛散性判别方法的归纳级数是数列之和的概念在数学中的推广。
级数的敛散性是数学中的一个重要问题，判别级数的敛散性常用的有几个方法，包括比较判别法、比值判别法和积分判别法。
下面我们将对这几种方法进行详细的归纳阐述。
一、比较判别法（包括比较判别法和比较判别法的极限形式）比较判别法的基本思想是用一个已知的级数和未知的级数进行比较，从而判断未知级数的敛散性。
1.比较判别法对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有a_n≤cb_n成立，那么：（1）若∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（2）若∑b_n发散，则∑a_n也发散。
2.比较判别法的极限形式对于正项级数∑a_n和∑b_n，如果存在正数c和N，使得当n>N时，有lim(a_n/b_n)=c成立，那么：（1）若0<c<∞，则∑b_n收敛或发散，则∑a_n也收敛或发散。
（2）若c=0，则∑b_n收敛，则∑a_n也收敛。
（3）若c=∞，则∑b_n发散，则∑a_n也发散。
比较判别法适用于一些特殊情况，如∑(1/n^p)的敛散性可以通过与调和级数∑(1/n)做比较来判断。
二、比值判别法比值判别法的基本思想是通过比较级数的相邻项之比的极限值，从而判断级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，计算lim(a_(n+1)/a_n)，若这个极限存在：（1）若0≤lim(a_(n+1)/a_n)<1，级数收敛；（2）若lim(a_(n+1)/a_n)>1或lim(a_(n+1)/a_n)=∞，级数发散；（3）若lim(a_(n+1)/a_n)=1，比值判别法无效，需使用其他方法。
比值判别法适用于一些具有指数函数的级数，如幂级数∑(x^n)的敛散性可以通过计算lim(x^(n+1)/x^n)，进而判断。
三、积分判别法积分判别法是通过将级数转化为函数积分的形式，从而判定级数的敛散性。
对于正项级数∑a_n，若存在函数f(x)，使得f(x)满足以下条件：（1）f(x)在区间[1,+∞)上连续非负递减；（2）级数∑a_n与函数积分∫f(x)dx存在以下关系：a_n=f(n)，则（a）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上收敛，则级数∑a_n也收敛；（b）若∫f(x)dx在区间[1,+∞)上发散，则级数∑a_n也发散。
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。
判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。
在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。
下面将介绍一些常用的方法。
1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。
a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。
b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。
c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。
2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。
a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。
b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。
c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。
3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。
a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。
b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。
c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。
4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。
否则称为条件收敛的。
5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。
a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
关于数项数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定1、问题的提出数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的.2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理2.1数项级数收敛的定义数项级数∑∞=1n nu收敛⇔数项级数∑∞=1n nu的部分和数列{}n S 收敛于S .这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{}n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少.2.2数项级数的性质（1）若级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv都收敛，则对任意常数c,d, 级数∑∞=+1)(n n ndv cu亦收敛，且∑∑∑∞=∞=∞=+=+111)(n n n n n n nv d u c dv cu;相反的，若级数∑∞=+1)(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞=1n n u 与∑∞=1n nv都收敛.注：特殊的，对于级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv，当两个级数都收敛时，∑∞=±1)(n n nv u必收敛；当其中一个收敛，另一个发散时，∑∞=±1)(n n nv u一定发散；当两个都发散时，∑∞=±1)(n n n v u 可能收敛也可能发散.例1 判定级数∑∞=+1)5131(n n n 与级数∑∞=+1)211(n n n 的敛散性.解：因为级数∑∞=131n n 与级数∑∞=151n n 收敛，故级数∑∞=+1)5131(n n n 收敛.因为级数∑∞=11n n 发散，级数∑∞=121n n 收敛，故级数∑∞=+1)211(n n n发散.（2）改变、增加或去掉级数的有限个项不会改变原级数的敛散性.（3）在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的敛散性，也不改变它的和.即收敛的级数在不改变各项顺序的情况下，对它的各项任意加括号后，得到的新级数还是收敛的；加括号后得到的新级数发散，那么原级数也是发散的.例2 判定级数++--+++1111121-1-21n n 的敛散性.解：先考察级数∑∞=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--11111n n n ，因为121111-=+--=n n n u n ，而级数∑∞=-112n n 发散，由于加括号后得到得新级数发散，则原级数发散. （4）级数收敛的必要条件 若级数∑∞=1n nu收敛，则0lim =∞→n n u .若0lim ≠∞→n n u ，则级数∑∞=1n nu发散.2.3判定定理2.3.1级数收敛的柯西准则级数∑∞=1n nu收敛⇔0>∀ε,*N N ∈∃,使得当m N >以及*N p ∈∀,都有ε<++++++p m m m u u u 21.例1 用柯西准则判别级数∑nn22sin 的敛散性. 证明：由于pm p m m m m m pm m m u u u ++++++++++++=+++22sin 22sin 22sin 221121mp m m pm m m 21212121212121<-=+++<++++ 因此，对于任意的0>ε.取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1log 2N 使得当N m >及任意的*∈N p ,由上式就有ε<++++++p m m m u u u 21成立，故由柯西准则可推出原级数收敛.2.3.2正项级数判别法（1）正项∑∞=1n nu收敛⇔它的部分和数列{}n S 有界.（2）比较判别法 如果∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是正项级数，若存在某整数N ，对一切N n >都有n n v u ≤(i)若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；（ii ）若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散.等比级数和P-级数的敛散性 ①等比级数∑∞=+++++=12n n naq aq aq a aq，当1<q 时，级数收敛；当1≥q 时，级数发散.②P-级数∑∞=11n p n ，当1≤p 时，发散；当1>p 时，收敛. 例2 判别级数()∑∞+114n n 的敛散性.解：因为()25441111nnn n n u n =∙<+=，而且P-级数∑∞251n收敛，由比较判别法知该级数收敛.（3）比较判别法的极限形式 如果∑∞=1n n u 和∑∞=1n n v 是正项级数)0(≠n v ，如果l v u nnn =∞→lim，则（i ）当+∞<<l 0时，∑∞=1n nu和∑∞=1n nv同时收敛或发散；（ii ）当0=l 时，∑∞=1n nv收敛时，∑∞=1n nu也收敛；（iii ）当+∞=l 时，∑∞=1n nv发散时，∑∞=1n nu也发散.例3 判别级数()()∑>-11a a n的敛散性.解：因为a aa t a n t na t t t t nn ln 1ln lim 1lim 111lim00==-=-→→∞→令,而正项级数∑n 1发散，由比较原则的极限形式知原级数发散. (4)比式判别法 如果∑∞=1n n u 为正项级数,且ρ=+nn u u 1， （i ）若10<<ρ，则∑∞=1n nu收敛；（ii ）若1≥ρ，∑∞=1n nu发散.例4判别级数()∑+nn 10!1的敛散性.解：因为()()+∞=+=+∙+=∞→+∞→+∞→102lim !11010!2lim lim 11n n n u u n n n n nn n ，所以由比式判别法知原级数发散.(5)比式判别法的极限形式 如果∑∞=1n n u 为正项级数，且ρ=+∞→nn n u u 1lim，则（i ）若1<ρ，则∑∞=1n nu收敛；（ii ）若1>ρ或+∞=ρ时，∑∞=1n nu发散.例5 判别级数∑∙nn n n !3的敛散性.解：因为()()13113lim !31!13lim lim 111>=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∙++=∞→++∞→+∞→e n n n n n u u n n n n n n n nn n ，所以由比式判别法的极限形式知原级数发散. （6）根式判别法 如果∑∞=1n nu为正项级数，（i ）如果1<≤ρn n u ，则∑∞=1n n u 收敛；（ii ）若1≥n n u ，则级数∑∞=1n nu发散.(7)根式判别法的极限形式 如果∑∞=1n nu为正项级数，还有ρ=∞→n n n u lim ，（i ）当1<ρ时，则∑∞=1n nu收敛；（ii ）当1>ρ时，则∑∞=1n nu发散.例6 判别级数∑⎪⎭⎫⎝⎛+nn n 12的敛散性.解：因为12112lim 12lim <=+=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→∞→n n n n n n nn ，所以由比式判别法极限形式知原级数收敛. (8)积分判别法 若)(x f 为),1[+∞上的非负减函数，那么正项级数∑)(n f 与反常积分⎰+∞1)(dx x f 同时收敛或同时发散.例7 判别级数∑+112n 的敛散性.解：设()112+=x x f ，则()x f 在),1[+∞上为非负单调递减函数，而⎰+∞=+1241πxdx 故由积分判别法知原级数收敛.(9)Raabe 判别法 设0>n u ， ,2,1,11=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+n u u n R n nn .(i)若存在1>q 及正整数N ,使得当N n ≥时有q R ≥n ，则级数∑∞=1n nu收敛；(ii ）若存在正整数N ,使得当N n ≥时有1≤n R ，则级数∑∞=1n nu发散.(10) Raabe 判别法的极限形式 设∑∞=1n nu是正项级数，且有r R n n =∞→lim ，（i ）若1>r ,则级数∑∞=1n nu收敛；（ii ）若1<r ,则级数∑∞=1n nu发散.例8 判别级数()()∑∞+⋅-121!!2!!12n n n 的敛散性. 解：容易验证，因为()∞→→n 1ρ这个级数用比式判别法和根式判别法都失效，这时可以用Raabe判别法.此时，()()()()()()∞→→++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+n n n n n n n n u u n R n n n 23125612232221221.由Raabe 判别法知原级数收敛.正项级数的判别方法有很多种，下面总结一下这几种方法的选择顺序:①若n n u ∞→lim 易于求的，考察n n u ∞→lim 的值：0lim ≠∞→n n u ，则依据级数收敛的必要条件，知级数发散；②若0lim =∞→n n u ，不能直接判断级数是收敛还是发散，此时用比式判别法或根式判别法，当1<ρ时，级数收敛；若1>ρ或+∞=ρ时，级数发散；③当1=ρ时，级数可能收敛也可能发散，此时用比较判别法，找出一个已知敛散性的级数与之比较，然后根据比较判别法或其极限形式判定级数的敛散性，当然，对于一些具体问题，我们应该根据其特点分析，找到更简便的判别方法.2.3.3一般项级数的判别方法（1）交错级数判别法Leibniz 判别法 若交错级数n n n u 11)1(+∞=-∑（0>n u ），满足下述两个条件：（i ）数列{}n u 单调递减；（ii ）0lim =∞→n n u ,则级数收敛.注：用Leibniz 判别法判定1+>n n u u 时，可以用以下几种方法：①比值法：考察是否有11>+n nu u ；②差值法：考察是否有01>-+n n u u ；③导数法：即建立一个连续可导的函数)(x f ，使),2,1()( ==n u n f n ，考察是否有0)(<'n f .例9 判定级数()∑∞=-+++-111ln )1(1)1(n n n n n 的敛散性.解：因为此级数为交错级数 ，设()()1ln 11+++=n n n u n ，易证()()01ln 11lim lim =+++=∞→∞→n n n u n n n ，下面判定1+>n n u u ，下面我们用导数的知识判定数列{}n u 单调递减.设()()1ln 11)(+++==n n n u n f n ，则()()()()()1ln 11ln 22++-+='='n n nn u n f n ，又设()()n n n g -+=1ln ，则()0111<-+='n n g ,()n g ∴单调递减，()()0g n g < ，()0<'∴n f ，()n f 单调递减，1+>n n u u ，由Leibniz 判别法，知原级数发散.（2）绝对收敛 若级数∑∞=1n nu各项绝对值组成的级数∑∞=1n nu收敛，则原级数绝对收敛.性质：绝对收敛的级数一定收敛.此定理的逆命题不成立，即：若∑∞=1n nu收敛，不能判定∑∞=1n nu也收敛.（3）Abel 判别法若{}n a 为单调有界数列，且级数∑nb收敛，则级数∑nn ba 收敛.例10 判定级数()()()∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2arctan 411ln 11n nnn n n 的收敛性.解：根据Leibniz 判别法知级数()∑∞=2ln 11-n nn 收敛.因为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+nn 11递增有界，故由Abel 判别法知级数()()∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-211ln 11n nnn n 收敛，又因{}n arctan 4-递减有界，再由Abel 判别法知原级数收敛.(4)Dirichlet 判别法若数列{}n a 单调递减，且0lim =∞→n n a ，又级数∑nb的部分和数列有界，则级数∑nn ba 收敛.例11 判定级数()πα2,0,sin 1∈∑∞=x nnxn ()0>α的敛散性. 解：由于当()π2,0∈x 时，有2sin 1sin 1x kx k ≤∑∞=，即∑∞=1sin n nx 的部分和数列有界，而数列()01>⎭⎬⎫⎩⎨⎧ααn 单调递减，且01lim =∞→αn n ，故由Dirichlet 判别法知，原级数收敛. 对于交错级数敛散性判定问题，应先判定其是否绝对收敛，即若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛;若不是绝对收敛，则根据Leibniz 判别法，Abel 判别法，Dirichlet 判别法判定其是否条件收敛.3、巧妙判别数项级数敛散性以上介绍了一些判别数项级数敛散性的基本方法，但是在实际的应用中往往需要多种方法结合，且有时还有一定的技巧性，下面结合一些实例列举一些常用的判别方法和技巧.3.1等价无穷小替换的方法判断级数敛散性应用定理：设∑∞=1n nu和∑∞=1n nv是两个正项级数，且当∞→n 时，n u 和n v 为等价的无穷小量，则∑∞=1n nu和∑∞=1n nv的敛散性保持一致.证明：由于当∞→n 时，n u 和n v 为等价的无穷小量，即01lim≠=∞→nnn v u ，由比较判别法的极限形式可知级数∑∞=1n nu和级数∑∞=1n nv同时收敛或同时发散.例1 判定级数()()()∑∞=+-⎪⎭⎫⎝⎛+1142411ln 1-n n n n n 的敛散性. 解：设()()()142411ln 1+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n u n n ，则()()()142411ln 1+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n u n n～()∞→=n n n n ,41412，而级数∑∞=1231n n 收敛，所以原级数绝对收敛. 3.2运用常用不等式判断级数的敛散性常用的不等式有：n n <ln ， ()x x <+1ln ， x e x+>1例2 判定级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-11ln 1n n n n 的敛散性. 解：此题我们可以利用不等式()x x <+1ln ， 有111111ln 11ln 11ln 1+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=+-=n n n n n n n n n n u n 因为级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1111n n n收敛，故原级数收敛. 3.3运用平均不等式()2221b a ab +≤判断级数敛散性 应用定理：若级数∑∞=12n na和级数∑∞=12n nb都收敛，则级数∑∞=1n nn ba 绝对收敛.证明：已知级数∑∞=12n na 和级数∑∞=12n nb 都收敛，根据级数收敛的性质，则级数()∑∞+2221nn b a 收敛，由于有不等式()2221n n n n b a b a +≤，再根据比较判别法，知级数∑∞=1n n n b a 收敛，所以级数∑∞=1n n n b a 绝对收敛.例3 设常数0>λ，级数∑∞=12n n a 收敛，判断级数()∑∞=+-121n n nn a λ的敛散性.解：因为级数∑∞=12n na 收敛，并且级数∑∞=+1211n n 也收敛，所以级数∑∞⎪⎭⎫ ⎝⎛++λ221n a n 收敛，又因为⎪⎭⎫⎝⎛++≤+=+λλλ22221211n a n a n a n nn ，由比较判别法可知，级数∑∞+λ2n a n 收敛，故原级数绝对收敛.3.4拉格朗日微分中值定理判断级数敛散性应用定理：设()x f 在()1,0内可导，且其导函数有界，则级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+12111n kn f k n f 绝对收敛.证明：因为()x f 在()1,0内可导，且其导函数有界，所以存在0>M ，对于一切()1,0∈x ，都有()M x f ≤',于是由拉格朗日中值定理得()()()()211221211111k n k n k k M k n k n f kn f k n f ++-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ξ，由于级数()()∑∞=++1211n k n k n 收敛，所以级数∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+12111n kn f k n f 绝对收敛. 例4 判定级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+111s 101sin n n in n 的敛散性. 解：设函数()x x f 1sin=，则()x xx f 1cos 12⋅-='，知()x f '有界，令1,1021==k k ，由于满足上述定理条件，故级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-+111s 101sin n n in n 收敛. 3.5对数判别法判断级数敛散性应用定理：若级数∑∞=1n n u 为正项级数，若有0>α，使得当0n n ≥时，α+≥1ln 1lnn u n，则级数∑∞=1n nu 收敛，若有0n n ≥时，1ln 1ln≤n u n，则级数∑∞=1n n u 发散. 证明：如果0n n ≥时，不等式α+≥1ln 1lnn u n 成立，则有α+≥11n u n .由于级数∑∞=+111n nα收敛，所以由比较判别法知级数∑∞=1n n u 收敛.同理可证，当不等式1ln 1ln≤n u n成立时，则级数∑∞=1n n u 发散. 例5 判定级数()∑∞=>1ln 12n n na a 的敛散性.解：由于a nn n a n n n a n u nn n ln ln 2ln ln ln ln 2ln ln 2ln ln 1ln ln -=∙-==， 由洛必达法则可知：+∞=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛-∞←+∞→+∞→a xa x x a n n n n n ln 11lim 2ln ln ln lim 2ln ln ln 2ln lim所以，对0>α，存在0n ，使得当0n n ≥时，α+≥-1ln ln 2ln a nn，因而根据以上定理原级数发散.3.6 泰勒展开式判断级数的敛散性例6 判别级数∑∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n n e 的敛散性.解：因为⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫⎝⎛+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22121111ln 11n o n n n n n nn e e e e n e u ～⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+--n o ne 12111 ～()∞→n n e2.由于级数∑∞=12n ne 发散，所以原级数发散. 3.7拆项法判断级数的敛散性将级数的一般项运用等价变形、三角基本公式、有理化等方法拆成几项之差也是判别级数收敛的一种常用方法.例7 判别级数()∑∞=-122sin sin n n n n αα的敛散性. 解：因为()()n sin -sin sin sin 2222ααααn n n n n =-，而且()2221sin n n n ≤α，由于级数∑∞=121n n收敛，根据比较判别法知级数()∑∞=122sin n n n α收敛；而且∑∞=1sin n n α，当παk =时，该级数收敛；当παk ≠时，该级数发散.由此可知，当παk =时，原级数收敛；当παk ≠时，原级数发散.3.8 Gauss 判别法判断级数的敛散性若() ,2,10=>n a n ，且⎪⎭⎫⎝⎛++=++εμλ111n O n a a n n ，0>ε，则级数∑∞=1n n a 当1>λ时收敛；当1<λ时发散；而当1=λ时，对1>μ收敛，对1≤μ发散.例8 判别级数()()∑∞=>>-++1)0,0(1!11n qq p nn n p p p 的敛散性. 解：对于这个级数来说，⎪⎭⎫⎝⎛++-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+211111111111n O n p q n n p n n n p n a a q q n n ， 所以它在p q >时收敛，在p q ≤时发散.3.9运用函数判定数项级数的敛散性以前讨论的方法判定级数敛散性都与数列极限紧密联系，这种方法利用函数来研究数项级数.给出了利用函数的导数和极限判别数项级数敛散性的的方法.应用定理1 若级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 收敛，则()0lim 0=→x f x证明：已知级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11n n f 收敛，有级数收敛的必要条件得01lim =⎪⎭⎫⎝⎛∞→n f x ，因而()01l i m l i m 0=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→→n f x f n x . 例9 判别级数∑∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11cos 1n n n e n π的敛散性. 解：由于11lim 1lim 01=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-→∞→x e e n xx nn ，又由于 2cos lim 0π→x 不存在，所以⎪⎭⎫⎝⎛∞→n f x 1lim 不存在，由定理1的逆否命题可知，级数不收敛. 应用定理2 如果()x f x '→0lim 存在，∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛，则()0lim 0='→x f x .应用定理3 如果函数在0=x 存在二阶导数，且()()000='=f f ，则∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛. 应用定理4 如果()x f x ''→0lim 存在，而且()()0lim lim 0='=→→x f x f x x ，则∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛. 证明：首先作辅助函数 ⎩⎨⎧≠==0)(00)(x x f x x G考察()x G ，有()00=G ()()()0lim lim 000='=='→→x f xx f G x x()()()()()x f xx f x G x G G x x x ''=='-'=''→→→000lim lim 0lim0 由于已知()x f x ''→0lim 存在，即()00=''G 存在，对()x G 满足定理3条件，所以∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛11n n f 绝对收敛.例10 判别级数2111112∑∞=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+n n nn a a a 的敛散性.解：不妨设()212⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=-x x x a a a x f ，则()()()3212ln 2--+='-xx x a a a a x f()()()4223211692146ln 2-+-+-+-=''--xx x x x x aa a a a a x f求极限得()0lim 0=→x f x应用洛必达法则，得()()03242722ln 8lim 3220=+-+-+='--→x x x xx x x x a a a a a a a a x f ()()a aa a a a a a a a x f x x x x x x x x x x x 2234223200ln 4248164932149681ln lim lim =-+--+-+=''--→→ 所以()x f x ''→0lim 存在，根据定理4知级数2111112∑∞=-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--+n n nn a a a 绝对收敛.从以上分析和各例子可以看出，判定数项级数敛散性方法众多，我们应深刻体会各个定义、性质、定理的条件及结论，同时也要善于观察和总结，正确且灵活地使用各定理.。
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
8.2数项级数敛散性判定(一)
(上界)
正项级数 un收敛
它的部分和数列 Sn有界.
n1
否则,
若数列
Sn
无界, 则
lim
n
Sn
,
从而
正项级数 un发散, 记为 un .
n1
n1
二、正项级数的敛散性判别法
正项级数敛散性的判别法较多， 只介绍几个最基本、
最常用的判别法。
定理(比较判别法1) 设 un和 vn均为正项级数，
且 un
vn(n
1, 2,
),
n1
n1
(1)若 vn 收敛,则 un 收敛； （大敛则小敛）
n1
n1
(2)若 un 发散，则 vn 发散. （小散则大散）
证明
n1
(1) 设 Sn
n
n1
uk , Tn
n
vk , un vn ,
且 Sn u1
第二节
数项级数 敛散性判别法
一、比较判别法
第七章 无穷级数
二、比值判别法
三、根值判别法
四、绝对收敛与条件收敛
复习
（一）数项级数的基本概念
un u1 u2 u3 un
n1
前n项部分和Sn u1 u2 un , 部分和数列 Sn
（二）级数的基本性质
23
n
1 (1)n1
1 01 0
均为正项级数
...
n1
2
一、正项级数及其敛散性
由正项级数的定义,可得正项级数的性质
性质 如果正项级数 un的部分和为 Sn , 则 n1
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
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据定理 3.3， 且有
n
∑v
n
n
′ 和 ∑ wn 收敛。由上述⑴所证，有 ∑ v ′ n < +∞ ， ∑ wn < +∞ ，
n n n n n
∑ v = ∑ v ′ ， ∑ w ∑ u = ∑ w′ ， ⇒ ∑ u = ∑ u ′ 。
回答是肯定的。条件收敛的级数有个一般的结果，这是下面
由该定理可见，绝对收敛级数满足加法交换律。是否只有绝对收敛级数才满 足加法交换律呢 ? 的 Riemann 定理。 定理 3.5(Riemann) 若级数 ∑ u n 条件收敛，则对任意实数 s ( 甚至是
n =1
∞
收敛，由比较判别法知，级数 ∑ ( u n + u n ) 收敛，再由收敛级数的线性性知，级
n =1
∞
数 ∑ u n 收敛。
n =1
∞
判定任意项级数 ∑ u n 的敛散性的方法如下：
n =1
∞
⑴
首先考察 ∑ u n 是否收敛，若收敛，则 ∑ u n 收敛，其次若 ∑ u n 不收
n =1 n =1 n =1
∞
(− 1)n−1 条件收敛。说明
n
2
收敛 ⇒ /
绝对收敛与收敛的关系
1233
定理 3.2 (绝对收敛与收敛的关系)
∑ u n < +∞ ，
n =1
∞
⇒
∑u
n =1
∞
n
收敛。
证 1
已知正项级数
∑u
n =1
∞
n
收 敛 ， 根 据 级 数 的 Cauchy 收 敛 准 则 ，
∀ε > 0, ∃N ∈ N + , ∀n > N , ∀p ∈ N + ，有 u n +1 + u n + 2 + … u n + p < ε 。从而，有
⇒
lim S n = S ，即级数 ∑ (−1) n +1 u n 收敛。
n→∞ n =1
∞
1232
由证明数列 { S 2 n } 有界性可见， 0 ≤ ∑ ( − 1 ) n +1 u n ≤ u1 。余和
n =1
∞
k = n +1
∑ (−1)
∞
k +1
u k 亦为
Leibniz 型级数， ⇒ 余和 rn 与 u n +1 项同号，且估计式为
Cantor 闭区间套定理知，存在唯一的一个数 S，使
m →∞
lim S 2 m −1 = lim S 2 m = S 。
m→∞
∞
故数列 {S n } 收敛，即级数 ∑ (−1) n +1 u n 收敛。其它如前证。
n =1
例3.1 判别级数 ∑ ( − 1 ) n
n =1
∞
xn n
( x > 0) 的敛散性。
控制。于是， ∑ u n < +∞ ， ⇒
∑ u′
n
< +∞ ，且和相等。
n
⑵ 对于一般的 u n ，∑ u n =
∑v
− ∑ wn ，⇒n n n
′ 和 ∑ wn ′ 分别是正项级数 ∑ v n 和 ∑ wn 的更序，由 ∑ | u n | < +∞ ， 正项级数 ∑ v n
u n +1 + u n + 2 + … u n + p ≤ u n +1 + u n + 2 + … u n + p < ε 。 即级数 ∑ u n 收敛。
n =1
∞
证 2 注意到 u n = ( u n + u n ) − u n ， 因为 0 ≤ u n + u n ≤ 2 u n ， 而级数 ∑ u n
即交换其项之后的新级数，其和却是
1 A 。由此可见，收敛级数不满足交换 2
律。这是有限和与无限和（收敛级数）的区别之一。
′ 是 ∑ u n 的一个更序。若 ∑ | u n | < +∞ ，则 ∑ | u ′ 定理 3.4 设 ∑ u n n | < +∞ ， ′ = ∑ un 。 且 ∑ un
证
⑴
′ 和 ∑ u n 是正项级数，且它们的部分和可以互相 若 u n ≥ 0 ，则 ∑ u n
∞
绝对收敛级数的可重排性
已知有限和的计算满足结合律、交换律和分配律。收敛级数是无限和，那么 收敛级数的运算是否也满足结合律、 交换律与分配律？定理 1.3 已回答收敛级数 满足结合律。一般来说，收敛级数不满足交换律与分配律。 例如，已知交错级数 ∑
n =1
∞
(− 1)n−1 收敛，设其和为 A ，即
⇒
S 2 n 单调上升；又 S 2 n = u1 − (u 2 − u 3 ) − " − (u 2 n − 2 − u 2 n −1 ) − u 2 n ≤ u1 ，即数列
{ S 2 n } 有界。由单调有界原理，数列 { S 2 n } 收敛。
设 S 2 n → S , (n → ∞) 。 S 2 n +1 = S 2 n + u 2 n +1 → S , (n → ∞) 。
∞
∞
∞
∞
敛，再用其它方法考察 ∑ u n 的敛散性；
n =1
⑵
因 ∑ u n 为正项级数，其敛散性可以用正项级数的判敛法判定；
n =1
∞ ∞ ∞
∞
⑶ 一般如果 ∑ | un | 发散，推不出级数 ∑ un 一定发散；但是如果 ∑ | un | 的
n =1 n =1 n =1
发散性是用根值法或比值法确定的，此时可以由 ∑ | un | 发散推出 ∑ un 发散；例
为调和级数 ∑
∑ (−1)
n =1
∞
n −1
2n − 1 为条件收敛。 n2
3.3
绝对收敛级数的性质 1 变正项级数 对级数 ∑ u n ，令
n =1
∞
vn =
| u n | +u n ⎧u n , u n > 0 , =⎨ 2 ⎩ 0 , un ≤ 0 .
∞
∞
wn =
| u n | −u n ⎧− u n , u n < 0 , =⎨ 2 ⎩ 0 , un ≥ 0 .
n =1
n =1
∞
n =1
由 u n = v n − wn ， wn = v n − u n 以及 而 | u n |= v n + wn ， ⇒ 3
∞
∑v
n =1
∞
n
< +∞ 和 ∑ u n 收敛， ⇒
∑w
n =1
∞
n
< +∞ 。
∑ u n < +∞ ，与 ∑ u n 条件收敛矛盾。
n =1 n =1
n
n −1
(− 1) 1 1 1 1 1 A = 1− + − + − +"+ n 2 3 4 5 6
交替排列，即
+"。
如果将其项作如下交换：按此级数原有的正项与负项的顺序，一项正两项负
1−
1 1 1 1 1 1 1 1 − + − − + − − +"。 2 4 3 6 8 5 10 12
假设此级数收敛，作如下的结合：
⎛ 1⎞ 1 ⎛1 1⎞ 1 ⎛1 1 ⎞ 1 ⎜1 − ⎟ − + ⎜ − ⎟ − + ⎜ − ⎟ − + " ⎝ 2 ⎠ 4 ⎝ 3 6 ⎠ 8 ⎝ 5 10 ⎠ 12
=
1 1 1 1 1 1 − + − + − +" 2 4 6 8 10 12
1236
1⎛ 1 1 1 1 1 ⎞ 1 = ⎜1 − + − + − + " ⎟ = A 。 2⎝ 2 3 4 5 6 ⎠ 2
例3.3 证明级数 ∑ (−1) n −1
n =1
2n − 1 为条件收敛。 n2
∞
解
∞
首先，由 Leibniz 交错级数判敛法知级数 ∑ (−1) n −1
n =1
2n − 1 是收敛的；级 n2
数 ∑ (−1) n −1
n =1
∞ n 1 2n − 1 2n − 1 2n − 1 n + (n − 1) = 为正项级数，而 2 = > 2 = ，因 ∑ 2 2 2 n n n n n n n =1 ∞ 1 2n − 1 是 发 散 的 ， 所 以 级 数 ∑ (−1) n −1 是发散的，因此， n2 n =1 n n =1 ∞
n =1
∞
2
交错级数的 Leibniz 定理 Leibniz 型级数必收敛， 且余和的符号与余和首项
定理 3.1(Leibniz 判别法) 相同，并有 证1
| rn | ≤ u n +1 。
S 2 ( n +1) = (u1 − u 2 ) + (u 3 − u 4 ) + " + (u 2 n −1 − u 2 n ) + (u 2 n +1 − u 2 n + 2 ) ≥ (u1 − u 2 ) + (u 3 − u 4 ) + " + (u 2 n −1 − u 2 n ) = S 2 n ，
则有 ⑴
∑ vn 和 ∑ wn 均为正项级数，且有 0 ≤ vn ≤ | u n | 和 0 ≤ wn ≤ | u n | ；
n =1