数项级数敛散性判别方法
(竞赛)级数-新
（2）证明：数列
xn
1
1 2
…
1 n
ln(1
n)
收敛；
（3）求
lim
n
1
ln n
1 1 … 2
1 n
解：（3）
1 1 … 1 ln(1 n) = k
2
n
1 1 … 1
2
n
ln n
1 1 … 1 ln(1 n) ln(1 n)
2
n
ln n
0 + lim ln(1 n) lim ln(1 x) 1
n1
仍收敛，且其和不变.
注: （1）若加括号后所得级数收敛，原级数不一定收敛.
级数收敛
加括号后所得级数收敛
（2）若加括号后所得级数发散，则原级数一定发散。
（3）正项级数收敛
加括号后所得级数收敛
性质4. （级数收敛的必要条件）
若级数
收敛， 则必有
二、几个最常见级数的敛散性
1. 等比级数
当
q
1
时收敛
，和为
(2) 当 l = 0
(3) 当 l =∞
定理4 . 比值判别法 [与根值判别法]
对正项级数
,若
lim un1 n un
,或Biblioteka lim nnun
,
则
(1) 当 1 时, 级数收敛 ;
(2) 当 1 或 时, 级数发散 .
(3) 当＝1 时,级数可能收敛也可能发散.
补充
定理5 . 正项积分判别法
an n1 sn2
的敛散性。
解：
an
n1 sn2
的前n 项之和 （注意： sn sn1 ）
Tn
a1 s12
数项级数敛散性判别方法
数项级数敛散性判别方法数项级数是由一系列项相加而得的无穷级数，其中每个项都是一个数字。
判定一个数项级数的敛散性是非常重要的，因为这决定了级数是否收敛（最终总和有一个有限的值）或者发散（最终总和无穷大）。
在数学中，有许多方法用于确定数项级数的敛散性。
下面将介绍一些常用的方法。
1.利用比较判别法：如果一个数项级数的项的绝对值可以比较为另一个已知的收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小，那么可以通过比较判别法来判断原数项级数的敛散性。
a)如果一个级数的项的绝对值总是大于一个收敛级数的项的绝对值的大小，那么原级数也发散。
b)如果一个级数的项的绝对值总是小于一个发散级数的项的绝对值的大小，那么原级数也收敛。
c)如果一个级数的项的绝对值与一个收敛级数或发散级数的项的绝对值的大小相同，那么原级数的敛散性不能确定。
2.利用比值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的比值，并观察这个比值的极限。
a) 如果比值极限小于1，即lim，A(n+1)/A(n)， < 1，那么级数A收敛。
b) 如果比值极限大于1，即lim，A(n+1)/A(n)， > 1，那么级数A发散。
c) 如果比值极限等于1，即lim，A(n+1)/A(n)， = 1，那么比值判别法无法确定级数A的敛散性。
3.利用根值判别法：给定一个数项级数A，可计算相邻两项的根值，并观察这个根值的极限。
a) 如果根值极限小于1，即lim√(，A(n)，) < 1，那么级数A收敛。
b) 如果根值极限大于1，即lim√(，A(n)，) > 1，那么级数A发散。
c) 如果根值极限等于1，即lim√(，A(n)，) = 1，那么根值判别法无法确定级数A的敛散性。
4.绝对收敛性和条件收敛性：如果一个级数的各项的绝对值所组成的级数收敛，那么称原级数是绝对收敛的。
否则称为条件收敛的。
5.交错级数的收敛判别法：交错级数是由正项和负项交替出现的级数。
a)如果交错级数的交错项（即正项和负项的绝对值所组成的级数）满足单调递减且趋于零，那么交错级数收敛。
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧
判别数项级数敛散性的一些方法和技巧要判断数项级数的敛散性，我们可以使用一些方法和技巧。
以下是一些常见的方法和技巧：1.非负项级数的比较判别法：-比较判别法：如果一个数项级数的绝对值项与一个已知级数的绝对值项相比，可以发现后者收敛，则前者也收敛；如果后者发散，则前者也发散。
-极限判别法：如果一个数项级数的绝对值项的极限为零，而另一个已知级数的绝对值项发散，则前者也发散；如果后者收敛，则前者也收敛。
-比值判别法：如果一个数项级数的绝对值项的比值极限存在且小于1，那么级数收敛；如果比值极限大于1，那么级数发散；如果比值极限等于1，判定不确定。
2.收敛级数的性质：-绝对收敛和条件收敛：如果一个数项级数的绝对值级数收敛，那么原级数也收敛；如果绝对值级数发散，但原级数收敛，则称为条件收敛。
-级数的加减法和乘法：只要两个级数中有一个收敛，那么它们的和、差和乘积也收敛。
3.交错级数的收敛性：-莱布尼茨判别法：对于一个交错级数，如果该级数的绝对值项递减趋于零，则级数收敛；如果绝对值项不满足这个条件，则级数发散。
4.幂级数的收敛性：- 幂级数的收敛半径：对于一个幂级数∑an(x-a)^n，可以通过求其收敛半径来判断其在收敛范围内是否收敛。
收敛半径可以使用根值判别法或比值判别法进行计算。
5.特殊级数的敛散性：-调和级数：调和级数∑1/n发散，但调和级数∑1/n^p，其中p>1，收敛。
- 几何级数：几何级数∑ar^n，在，r，<1时收敛，否则发散。
6.柯西收敛准则：-柯西收敛准则：一个数项级数收敛当且仅当对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n>N时，级数的部分和之差的绝对值小于ε。
7.级数的整体性质：-典型例子：级数的敛散性常常可以通过和或平方根的形式来判断。
例如，级数∑1/n^2收敛，而级数∑1/n发散。
通过以上这些方法和技巧，我们可以判断数项级数的敛散性并进行求和计算。
但需要注意的是，并非所有的数项级数都可以通过这些方法和技巧来判断其敛散性，有些级数可能需要更复杂的方法来求解。
级数的收敛、求和与展开
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4.狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 （Dirichlet 判别法） 判别法）
k→∞
级数∑akbk
k =1
∞
若序列 ak }单调且lim ak = 0, 又级数∑bk {
k =1
∞
的部分和有界， 即存在常数 M>0 使
| ∑bk |≤ M, n =1,2,L
k =1 n
则级数∑akbk收敛 .
∑
= x 2 e x − x(e x − 1)
∴
∞
x ∑ n! n =1
∞
n
(n - 1)2 n 1 ∞ (n − 1)2 n +1 1 ∞ (n − 1) x n +1 = ∑ = ∑ | x = 2 = e 2 + 1. ∑ n! 2 n =1 n! 2 n =1 n! n =1
xn 例10 求 级数∑ 的和函数, 其中 x < 1. 1 n( n + 1) ∞ ∞ x n +1 xn xS(x) = ∑ 解 S(x) = 1 n ( n + 1) 1 n( n + 1)
第十章 习题课 级数的收敛、 级数的收敛、求和与展开
一、数项级数敛散性的判别法 二、求幂级数收敛域的方法 三、幂级数和函数的求法 四、函数的幂级数和付式级数 展开法
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求和 展开
(在收敛域内进行) 时为数项级数; 时为幂级数;
(an , bn 为傅氏系数) 时, 为傅立叶级数.
2
x = 2
2
x 当 <1, 即− 2 < x < 2 时 级数收敛; ， 2
任意项级数的敛散性判别
一、任意项级数、交错级数的定义
定义 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数.
若 un是正项级数, 则 un收敛 其部分和数列Sn有界.
n1
n1
若 un是任意项级数, 则 un收敛 其部分和数列Sn有界.？
n1
n1
(1)n1 11 11 11
n1
0
Sn 1
n为偶数 n为奇数
Sn有界, 但 (1)n1发散.
n1
定义 正、负项相间的级数称为交错级数.
(1)n1un u1 u2 u3 u4 (其中un 0)
n1
(1)nun u1 u2 u3 u4
n1
二、莱布尼兹判别法（交错级数）
莱布尼兹判别法 若交错级数 (1)n1un满足 :
n1
(1) u1 u2 u3 un un1
n）
1 ln(1
n）
1
1
n
且
1
发散，所以
(1)n1 发散.
n1 1 n
n1 ln(1 n）
考查
(1)n1
n1 ln(1 n）
1
1
un ln(1 n） ln(2 n) un1
lim
n
1 ln(1
n）
0
n1
(1)n1 收敛，且为条件收敛 ln(1 n）
.
解2.考查
(1)n
(2)
lim
n
un
0
则 (1)n1un收敛,且它的和s u1 .
n1
证 un1 un 0, S2n (u1 u2 ) (u3 u4 ) (u2n1 u2n )
即数列 {S2n }是单调增加的 ,
又S2n u1 (u2 u3 )
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
关于数项级数敛散性的判定
关于数项级数敛散性的判定摘要：就数项级数敛散性的判定进行了深入细致的分析、探究与总结，重点论述了正项级数及一般项级数的敛散性判别方法，提出了数项级数敛散性判定的一般步骤，以及判定过程中需要注意的一些问题。
使得对数项级数敛散性的知识有了更深的认识，提高了解题能力。
关键词：数项级数；正项级数；交错级数；一般项级数；敛散性 引言：无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，是研究“ 无穷项相加” 的理论 ，它是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。
如今，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的有力工具，而应用的前提是级数收敛，所以其收敛性的判别就显得十分重要，判断级数敛散的理论和方法很多，本文的根本目的是对数项级数敛散性的判定进行深入的研究与总结。
1.预备知识： 1.1级数的定义及性质定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式......21++++n u u u称为数项级数。
其中n u 称为该数项级数的通项。
数项级数的前n 项之和记为：∑=+++==nk n k n u u u u S 121...。
称为数项级数第n 个部分和。
定义2：若数项级数的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞→lim ），则称数项级数收敛。
若{}n S 是发散数列，则称数项级数发散。
即：n n S ∞→lim 不存在或为∞。
性质：（1）级数收敛的柯西准则：级数收敛的充要条件：0>∀ε，0>∃N ,使得当N m >以及对任意正整数P ，都有 ε<++++++p m m m u u u (21)推论：级数收敛的必要条件：若级数收敛，则0lim =∞→n n u 。
（2）设有两收敛级数n u s ∑=，n v ∑=σ，则其和与差)(n n v u ±∑也收敛，并且σ±=±∑s v un n)(。
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧
判别数项级数敛散性的常用方法与技巧判断数项级数的敛散性是数学分析中的一个重要问题。
对于数项级数a₁+a₂+a₃+⋯，判断它的敛散性可以使用多种方法和技巧。
以下是判别数项级数敛散性的常用方法和技巧：1.部分和序列法（也称柯西收敛准则）：数项级数收敛的必要条件是它的部分和序列收敛。
即，如果部分和序列Sₙ=a₁+a₂+⋯+aₙ收敛，则数项级数也收敛。
这个方法常用于证明一些级数的发散。
2.比较判别法：将待判别的级数与已知级数进行比较，从而确定待判别级数的敛散性。
-比较判别法一：如果对于所有n，都有0≤bₙ≤aₙ，且∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
如果∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
-比较判别法二：如果对于所有n，都有aₙ≤bₙ≥0，且∑aₙ发散，则∑bₙ也发散。
如果∑aₙ收敛，则∑bₙ也收敛。
比较判别法常见的应用有比较无穷大级数、比较一致收敛级数和比较正项级数等。
3. 极限判别法（拉阿贝尔判别法）：对于正项级数(非负数列构成的级数)，如果存在极限lim(n→∞)(aₙ/aₙ₊₁)，则：-若极限存在且大于1，则级数发散；-若极限存在且小于1，则级数绝对收敛；-若极限等于1，则不能确定级数的敛散性。
极限判别法适用于有常数项的级数以及指数函数和幂函数构成的级数。
4. 积分判别法：对于正项级数∑aₙ，如果存在连续函数f(x)，满足aₙ = f(n)且f(x)在x≥1上单调递减，则∑aₙ和∫f(x)dx同敛散。
即，级数与积分的敛散性相同。
积分判别法适用于正项级数，特别适用于有幂函数构成的级数。
5.序列收敛法：将待判别级数的项化为序列的形式，然后判断这个序列是否收敛。
如果序列收敛，则级数收敛；如果序列发散或趋于正无穷，则级数发散。
序列收敛法适用于特定结构的级数，如差分级数。
以上是常用的判别数项级数敛散性的方法和技巧。
在具体问题中，可以结合使用不同的方法确定级数的敛散性。
需要注意的是，判别数项级数敛散性的方法与技巧是基于数学分析中的定理和推理的，需要熟练掌握并灵活运用。
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大学
课题 : 数项级数敛散性判别方法（总结）
专业班级:水利港航39班
成员组成:丁哲祥 201203901
联系方式:
2012.05.23
数项级数敛散性判别法（总结）
摘要：数项级数是逼近理论中的重要内容之一，也是高等数学的重要组成部分。
本章我们先介绍数项级数的一些基本性质和收敛判别方法然后讨论函数的幂级数展开和三角级数展开。
我们这学期学习过的数项级数敛散性判别法有许多，本文对数项级数敛散性的判别方法进行了分析归纳总结，得到的解题方法。
以便我们更好的掌握它。
关键词：数项级数敛散性判别方法总结
Several series gathered
of the criterion scattered method (summary) Abstract：The sequence series is one of the main contents in the mathematical analysis. We learn this semester the several series gathered of the criterio n has many scattered method, this paper folding a series of logarithm scat tered discriminant method is analyzed sum-up, get the problem solving m ethod.
Key words: Several series; Gathered scattered sex; Identifying method; a nalysis summary
一. 数项级数的定义 ：
● 数项级数的定义
设{a n }是一个数列，则称表达式
a 1+a 2+a 3+…a n +… 为（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记为∑∞
=1n n a 或∑n a 称a n 为级数的通项或一般项。
下面举几个例子：
（1）1+2+3+4+5+6+…+n+…=∑n ；
（2）1- n n 1)1(413121--++-+Λ+…= ∑--n
n 1)1(
● 常见的数项级数
正项级数：级数中所有项均大于等于零。
交错级数：级数中的项正负相间的级数。
调和级数：形如∑=+++++n
n
113
12
11ΛΛ的级数。
等比级数：形如a+aq+aq 2+aq 3+…+aq n +…= ∑n aq （a ≠0）的级数。
P 级数：形如∑=+++p
p p p p n
n
113
12
11
1ΛΛ（p 是实数）。
二．数项级数是否收敛的判别定理及性质：
定理一.考察级数∑n a 前n 项的和 S n =a 1+a 2+a 3+…+a n =∑i a ，
则称s n 为级数的前n 项部分和，｛s n ｝为级数的部分和数列。
所以，若级数∑n a 的部分和数列｛s n ｝收敛，即极限n n s ∞→lim
存在，则称级数∑n a 收敛，此时称极限n n s ∞
→lim 为级数∑n a 的和，记为 a 1+a 2+a 3+…+a n +…=s 或∑n a =s
反之，若级数的部分和数列发散，则级数发散。
定理二.（级数收敛的必要条件）如果级数∑∞
=1n a n 收敛，则他的一般项
收敛于零。
推理：如果级数∑∞
=1n a n 不收敛于零，则级数发散。
性质1.设级数∑n a ，∑n b 分别收敛于s 和t ，k 是一常数，则 （1）级数∑n ka 也收敛，且其和为ks 。
（2）级数∑∑±n n b a 也收敛，且其和为s ±t 。
性质2.在级数中添加，删除或修改有限项，不改变函数的敛散性。
定理三.一切调和级数都是发散的 定理四.等比级数收敛的条件 等比级数（几何级数）
∑
n aq （a ≠0）的敛散性：
当q <1时，级数收敛，当q ≧1时级数发散。
定理五.正向数列∑∞
=1n n a 收敛的充要条件是他的部分和数列｛s n ｝有界。
定理六.对于p 级数∑=+++p
p p p p n
n
113
12
11
1ΛΛ（p 是实数）
（1）当p>1时，级数收敛 （2）当p ≦1时，级数发散 定理七.设∑n a 与∑n b 是两个正项级数，若
若级数∑n b 收敛时，且a n ≦b n （n=1，2，3，…），级数∑n a 也收敛；
当级数∑n b 发散时，且a n ≧b n （n=1，2，3，…），级数∑n a 也发散。
定理八、（极限形式） 设∑n a 和∑n b 为两个正项级数，
● 若n
n
n b a ∞→lim =c ，且c ≠0，则两个级数具有相同的敛散性。
● n n
n b a ∞→lim =∞，则有级数∑n b 发散可推出级数∑n a 发散。
● n
n
n b a ∞→lim
=0，则有级数∑n b 收敛可推出级数 ∑n a 收敛 。
定理九. 交错积数的收敛判别法（莱布尼兹定理）：
设交错级数n n n a ∑∞
=--11)1(（a n >0），如果a n 满足条件
（1）数列｛a n ｝为单调减少数列， （2）数列｛a n ｝的极限值趋于0. 定理十.绝对收敛与条件收敛
1.对于数项级数∑n a ，如果由∑n a 的各项加绝对值所构成的正项级数
∑∞
=1
n n
a
收敛，则称级数∑n a 绝对收敛；如果级数∑n a 收敛，而级数∑∞
=1
n n
a 发散，则称级数∑n a 条件收敛。
对于正项级数而言，收敛就是绝对收敛，但应注意，对于非正项级数，收敛，绝对收敛，条件收敛就是不
同的概念。
例如，级数∑--n n 1)1(是条件收敛，而级数∑--21
)1(n
n 是绝对收敛。
所以，如果级数∑n a 绝对收敛，则级数∑n a 收敛。
2.（比值判别法） 已知级数∑n a , (1).若l a a n
n n =+∞
→1
lim
<1，则级数绝对收敛，从而收敛；
(2)若l a a n n n =+∞→1lim >1或l a a
n
n n =+∞→1lim =∞，则级数发散； (3)若l a a n
n n =+∞→1
lim
=1，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法判别其敛散性。
例如，级数∑--n n 1)1(是条件收敛，而级数∑--21
)1(n
n 是绝对收敛。
注：对于定理四和定理五当判断一个级数的敛散性时，需要构造一个级数，这个构造的过程就要求我们对一些常用的有特殊性质的级数有所了解。
例如：调和级数，等比级数，p 级数。
比较法虽然简单，但是需要构造新级数，所以比较麻烦。
以下介绍一种方法用于自身比较。
3.（根值判别法） 已知级数∑n a ,
（1）若l a n n n =∞→lim <1，则级数绝对收敛，从而收敛； （2）若l a n n n =∞→lim >1或l a n n n =∞
→lim =∞，则级数发散； （3）l a n n n =∞
→lim =1，则级数可能收敛也可能发散，需用其他方法判别其敛散性。
例如，级数∑--n n 1)1(是条件收敛，而级数∑--21
)1(n
n 是绝对收敛。
三．研究及其成果（以例题分析）
例题二. 判断调和级数的敛散性
例题三.讨论p级数的敛散性
例题四.交错级数的推广
例题五.比较判别法的应用
例题六.关于正项级数敛散性判定的一类方法的推广
例.
数项级数敛散性判别方法
四、总结：在以上的例题中，可以看出，每一个题，可能有多
种方法处理。
但是总有一种比较适合且简便的方法。
而且不同的方法有不同的适用范围。
在某些领域可能有着特别方便的应用，但是在另一些领域内可能毫无用处。
所以我们需要选择合适的方法。
对于有些题目，可能需要多种方法共同处理。
对于正项级数首先观察其通项是否趣于零，如果通项不趣于零，则级数发散。
如果通项趣于零，可根据级数通项的特点，考虑用比较审敛法、比值审敛法或根值审敛法。
如果不是正项级数，可以通过加绝对值使其变为正项级数定理。
五.参考文献：《高等数学》（下册）第三版上海交大，集美大学编万方数据第22卷第一期2006年2月《关于正项级数敛散性判定的一类方法》（周玉霞）
万方数据第28卷第3期2012年6月《一道数学竞赛题的相关问题》（苏化明，禹春福）
六.分工情况
全过程由丁哲祥单独完成
11。