最新2015中考培优班学案(第3讲分式及其运算考点集训)

分式及其运算
（一）：【知识梳理】
1．分式有关概念
（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。

对于一个分式来说：
①当____________时分式有意义。

②当____________时分式没有意义。

③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。

（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。

（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。

将一个分式约分的
主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。

（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通
分。

通分的关键是确定几个分式的___________ 。

（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。

2．分式性质：
（1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．即：
(0)A A M A M M B B M B M
⨯÷==≠⨯÷其中 （2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。

即：
a a a a
b b b b
--==-=--- 3.分式的运算： 注意：为运算简便，运用分式 的基本性质及分式的符号法 则： ①若分式的分子与分母的各项 系数是分数或小数时，一般要化为整数。

②若分式的分子与分母的最高次项系数是负数时，一般要化为正数。

（1）分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减， ，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减，先 ，化为 的分式，然后再按 进行计算 （2）分式的乘除法法则：分式乘以分式，用_________做积的分子，___________做积的分母，公式：_________________________；分式除以分式，把除式的分子、分母__________后，与被除式相乘，公式： ；
（3）分式乘方是____________________，公式_________________。

4．分式的混合运算顺序，先 ，再算 ，最后算 ，有括号先算括号内。

5．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简，再代人字母的值求值．
二：【经典考题剖析】
1. 已知分式25,45
x x x ---当x ≠______时，分式有意 义；当x=______时，分式的值为0． 2. 若分式221
x x x --+的值为0，则x 的值为（ ） ()n n a b a b c c a c ad bc d bd a c ac d bd a c a d ad d b c bc a a n b ⎧±⎧±=⎪⎪⎪⎪⎨±⎪⎪±=⎪⎪⎩⎪⎧⎪⋅=⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪÷=⋅=⎪⎪⎩⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n 同分母c 加减异分母b 乘b 分式运算乘除除b 乘方()为整数b
A ．x=－1或x=2
B 、x=0
C ．x=2
D ．x=－1
3.（1） 先化简，再求值：2
31()11x x x x x x ---+，其中2x =.
（2）先将221
(1)1x x
x x -⋅++化简，然后请你自选一个合理的x 值，求原式的值。

（3）已知0346x y z ==≠，求x y
z
x y z +--+的值
三：【当堂训练】
一、选择题
1．(2013·成都)要使分式5
x －1有意义，则x 的取值范围是( )
A ．x ≠1
B ．x >1
C ．x <1
D ．x ≠－1
2．(2013·南京)计算a 3·(1a )2
的结果是( )
A ．a
B ．a 5
C ．a 6
D ．a 9
3．下列运算正确的是( )
A.y －x －y ＝－y x －y
B.2x ＋y 3x ＋y ＝2
3
C.x 2＋y 2
x ＋y ＝x ＋y D.y －x x 2－y 2＝－1
x ＋y
4．计算：(a b －b a )÷a －b
a ＝( )
A.a ＋b b
B.a －b b
C.a －b a
D.a
＋b a
5．对于非零的两个实数a ，b ，规定a ⊕b ＝1
b －1
a .若1⊕(x ＋1)＝1，则x 的值为(
) A.32 B ．1 C ．－12 D.12
6．(2013·杭州)如图，设k ＝甲图中阴影部分面积
乙图中阴影部分面积(a ＞b ＞0)，则有( )
A ．k ＞2
B ．1＜k ＜2 C.12＜k ＜1 D ．0＜k ＜12
二、填空题
7．(2014·昆明)当x ＝__ __时，分式
1x －10无意义． 8．若代数式2x －1
－1的值为0，则x ＝__ __． 9．当x ＝－12时，y ＝1，分式x －y xy －1
的值为__ __． 10．(2014·襄阳)计算：a 2
－1a 2＋2a ÷a －1a
＝__ __． 11．有一大捆粗细均匀的钢筋，现要确定其长度，先称出这捆钢筋的总质量为m 千克，再从中截出5米长的钢筋，称出它的质量为n 千克，那么这捆钢筋的总长度为__ __米．
12．若分式1x 2－2x ＋m 无论x 取何值都有意义，则m 的取值范围是__ _． 三、解答题
13．(2014·珠海)化简：
（1）()241222a a a a -÷-⨯+-； （2）2
22
x x x ---；
（3）2214122x x x x x x
++⎛⎫+-÷ ⎪--⎝⎭ (4)(a 2＋3a)÷a 2－9a －3.
14．(2014·玉林)先化简，再求值：
2x x 2
－1－1x －1，其中x ＝2－1.
15．已知x ＝2015，求分式(x －6x －9x )÷(1－3x
)的值．
16．从三个代数式：①a 2－2ab ＋b 2，②3a －3b ，③a 2－b 2中任意选择两个代数式构造成分式，然后进
行化简，并求当a ＝6，b ＝3时该分式的值．
17．已知M ＝2xy x 2－y 2，N ＝x 2＋y 2
x 2－y 2，用“＋”或“－”连结M ，N ，有三种不同的形式：M ＋N ，M －N ，N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y ＝5∶2.
18、阅读下面题目的计算过程： 232
11x x x ---+＝()()()
()()213
1111x x x x x x ---+-+- ①
＝()()321x x --- ②
＝322x x --+ ③
＝1x -- ④
（1）上面计算过程从哪一步开始出现错误，请写出该步的代号 。

（2）错误原因是 。

（3）本题的正确结论是 。

19．先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．
1
1×2＝1－12，1
2×3＝12－13，13×4＝13－14，….
(1)计算：1
1×2＋1
2×3＋1
3×4＋1
4×5＋1
5×6＝__56__；
(2)探究1
1×2＋1
2×3＋1
3×4＋…＋1
n （n ＋1）＝__n
n ＋1__；(用含n 的式子表示)
(3)若11×3＋13×5＋15×7＋…＋1（2n －1）（2n ＋1）的值为17
35，求n 的值．。