正项级数收敛性的判别方法
正项级数收敛的判别法 正项级数收敛性判别法的比较及其应用
正项级数收敛的判别法正项级数收敛性判别法的比较及其应用正项级数收敛性判别法的比较及其应用摘要：文章主要介绍了正项级数收敛的几种主要的求解方法，通过这九种方法相互进行比较，运用典型的正项级数的例题，从而增加解决正项级数的证明方法。
关键词：正项级数；收敛；典型；方法；比较Abstract: This paper mainly introduces the positive series convergence of several main methods of solving these nine methods, through comparing each other, using typical positive series, thereby increasing positive series methods of proof.Key words: positive series ; convergence; typical ; methods; compare一、引言数学分析作为数学专业的重要基础课程。
级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。
而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。
正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。
二、预备知识1、正项级数收敛的充要条件部分和数列{S n }有界，即存在某正数M ，对∀n ∈N ，有S n 2、几种不同的判别法(1)比较判别法设∑u n 和∑v n 是两个正项级数，如果存在某正数N ，对一切n>N都有u n ≤v nn =1n =1∞∞那么(i )若级数∑v n 收敛，则级数∑u n 也收敛；(ii )若级数∑u n 发散，则级数∑v n 也发散；n =1n =1n =1∞n =1∞∞∞比较判别法的极限形式：∞∞设∑u n 和∑v n 是两个正项级数。
正项级数的判别法
正项级数的判别法分布图示★正项级数 ★比较判别法★例1 ★例2 ★例3 ★例4 ★例5★比较判别法的极限形式★例6 ★例7 ★例8 ★例9 ★例10★比值判别法 ★例11 ★例12 ★例13 ★根值判别法 ★例14 ★例15 ★例16 ★内容小结 ★课堂练习 ★习题7-2内容要点一、正项级数收敛的充要条件是：它的部分和数列}{n s 有界. 以此为基础推出一系列级数收敛性的判别法：比较判别法；比较判别法的极限形式；推论（常用结论）比较判别法是判断正项级数收敛性的一个重要方法. 对一给定的正项级数，如果要用比较判别法来判别其收敛性，则首先要通过观察，找到另一个已知级数与其进行比较，并应用定理2进行判断. 只有知道一些重要级数的收敛性，并加以灵活应用，才能熟练掌握比较判别法. 至今为止，我们熟悉的重要的已知级数包括等比级数、调和级数以及-p 级数等. 要应用比较判别法来判别给定级数的收敛性，就必须给定级数的一般项与某一已知级数的一般项之间的不等式. 但有时直接建立这样的不等式相当困难，为应用方便，我们给出比较判别法的极限形式.使用比较判别法或其极限形式，需要找到一个已知级数作比较，这多少有些困难. 下面介绍的几个判别法，可以利用级数自身的特点，来判断级数的收敛性. 比值判别法（达朗贝尔判别法）：适合1+n u 与n u 有公因式且nn n u u 1lim +∞→ 存在或等于无穷大的情形.根值判别法（柯西判别法）：适合n u 中含有表达式的n 次幂，且ρ=∞→n n n u lim或等于∞+的情形.积分判别法：对于正项级数,1∑∞=n na ，如果}{na 可看作由一个在),1[+∞上单调减少函数)(x f 所产生, 即有).(n f a n = 则可用积分判别法来判定正项级数∑∞=1n n a 的敛散性.例题选讲比较判别法的应用例1（E01）讨论p —级数)0(131211>+++++p np p p 的收敛性. 解 1p ≤时，,11n np≥-∴p 级数发散. 1>p 时，由图可见,11⎰-<n n p p x dx n p p p n ns 131211++++=,111111111111121-+<⎪⎭⎫ ⎝⎛--+=+=+++<--⎰⎰⎰p n p x dx x dx x dx p n n n pp p即n s 有界，-∴p 级数收敛. 当1>p 时收敛 故-p 级数 . 当1≤p 时发散例2（E02）证明级数∑∞=+1)1(1n n n 是发散的.证)1(1+n n ,11+>n 而级数∑∞-+111n n 发散， ∴∑∞-+1)1(1n n n 发散.例3（E03）判别级数∑∞=+++122)2()1(12n n n n 的收敛性.解 运用比较判别法.因22)2()1(12+++n n n 22)2()1(22+++<n n n 3)1(2+<n ,23n < 而∑∞=131n n 是收敛的,所以原级数收敛.例4（E04）设n n n b c a ≤≤),,2,1( =n 且∑∞=1n na及∑∞=1n nb均收敛， 证明级数∑∞=1n nc收敛.证 由,n n n b c a ≤≤得 ,),2,1(0 =-≤-≤n a b a c n n n n 由于∑∞=1n na与∑∞=1n nb都收敛,故)(1nn na b ∑∞=-是收敛的,从而由比较判别法知,正项级数)(1n n na c∑∞=-也收敛.再由∑∞=1n na与)(1n n na c-∑∞=的收敛性可推知: 级数∑∞=1n n c )]([1n n n na c a∑∞=-+=也收敛.例5 设⎰=40tan πxdx a nn ，证明级数∑∞=1n nna λ)0(>λ收敛. 证 由⎰=40tan πxdx a n n ⎰<402sec tan πxdx x n⎰=40tan tan πx xd n⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+41tan 11πx n n 11+=n n 1< 得.λλ+<<110n n a n 因为,11>+λ所以∑∞=+111n n λ收敛, 由比较判别法知∑∞=1n nn a λ收敛.比较判别法及其推论的应用例6（E05）判定下列级数的敛散性:(1) ;11ln 12∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n (2).cos 111∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n π解 )1(因⎪⎭⎫ ⎝⎛+211ln n ),(1~2∞→n n 故 n n u n 2lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2211ln lim n n n 221lim n n n ⋅=∞→1=根据极限判别法,知所给级数收敛.)2(因为 n n u n 2/3lim ∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=∞→n n u n n n πcos 11lim 2/322211lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=∞→n n n nn π,212π=根据极限判别法, 知所给级数收敛.比值判别法的应用例7 判别级数∑∞=++1)(n an nn a n 的敛散性. 解 记an nn n a n u ++=)(a n n n n n n a n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1,1a nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+= 采用比较法的极限形式,取,1an n v =因 nn n v u ∞→lim nn n a ⎪⎭⎫⎝⎛+=∞→1lim a e =,0≠ 所以原级数与级数∑∞=11n an具有相同的敛散性,从而知当1>a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 收敛; 当1≤a 时，级数∑∞=++1)(n an nn a n 发散.例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛-1sin n n n ππ的敛散性. 解 选取级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π作比较.由,613cos 1lim sinlim203=-=-→→x x x n x x x π可得3sinlim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→n n n n πππ.61=因级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛13n n π收敛,所以原级数也收敛.注: 从以上解答过程中可以看到极限中的某些等价无穷小在级数审敛讨论时十分有用的,事实上级数的收敛性取决于通项n u 趋向于零的“快慢”程度.根值判别法的应用例9（E06）判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-11ln 1n n n n的敛散性. 解 令)1ln()(x x x u +-=),0(0>>x .)(2x x v =由于2)1ln(limx x x x +-+∞→x x x 2111lim +-=+∞→)1(21lim x x +=+∞→,21=从而2111ln 1limn n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∞→211ln1lim nn n n n +-=∞→.21= 由级数∑∞=121n n 的收敛推知本题所给级数也收敛.例10 级数,11∑∞=n p n 当1>p 时收敛, 有人说, 因为,111>+n 故级数∑∞=+1111n nn 收敛. 你认为他的说法对吗?解 不对.前者-p 级数的p 是一常数与n 无关,而后者n11+与n 有关,事实上 n n nn /11lim11+∞→1)(lim -∞→=n n n 1=由级数∑∞=11n n 的发散性,可知级数∑∞=+1111n nn 也发散.例11（E07）判别下列级数的收敛性：(1) ∑∞=1!1n n ； (2)∑∞=110!n n n . 解 )1(n n u u 1+!/1)!1/(1n n +=11+=n ,0−−→−∞→n 故级数∑∞=1!1n n 收敛. )2(n n u u 1+!1010)!1(1n n n n ⋅+=+,∞−−→−∞→n 故级数∑∞=110!n nn 发散.例12（E08）判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1212n nn n 的敛散性.解 因为n nn )12(2+,22n n <而对于级数,212∑∞=n n n 由比值判别法,因 n n n u u 1lim +∞→21222)1(lim n n n n n ⋅+=+∞→2)11(21lim n n +=∞→21=,1< 所以级数∑∞=122n nn 收敛,从而原级数亦收敛.例13 判别级数)0(!1>∑∞=a na n n n n的收敛性.解 采用比较判别法,由于nn n u u 1lim +∞→!)1()!1(lim 11n a n n n a n n n n n ⋅⋅++=++∞→n n n a )/11(lim +=∞→,e a= 所以当e a <<0时，原级数收敛;当e a >时，原级数发散;当e a =时，比值法失效,但此时注意到:数列nn n x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=11严格单调增加,且,e n n<⎪⎭⎫⎝⎛+11 于是,11>=+nn n x eu u 即,n n u u >+1 故,e u u n =>1 由此得到,0lim ≠∞→n n u 所以当时原级数发散.例14(E09(2))判别级数2111n n n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛-的收敛性.解 一般项含有n 次方, 故可采用根值判别法. 因为n n n u ∞→lim n n n n 211lim ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→nn n ⎪⎭⎫⎝⎛-=∞→11lim e1=1< 故所求级数收敛.例15（E09(1)）判别级数∑∞=---1)1(2n n n的收敛性：解 因为n n n u ∞→lim nn n n n)(2lim ---∞→=nn n )1(12lim ---∞→=21=1< 由根值判别法知题设级数收敛.例16 判别级数∑∞=-+12)1(2n nn的收敛性. 解 因为n 21n n 2)1(2-+≤n23≤ 而,2121lim =∞→nn n ,2123lim =∞→n n nn n nn 2)1(2lim -+∞→21=1< 故原级数收敛.。
正项级数an收敛a2n收敛证明
正项级数an收敛a2n收敛证明全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：定义正项级数是指所有的项都为正数的数列的和，即a1 + a2 + a3 + ... + an + ...。
而当正项级数中的项满足an ≤ a2n的关系时，我们称其为a2n 收敛。
这篇文章将会详细介绍正项级数an 收敛到a2n 的证明过程。
证明正项级数an 收敛到a2n 的方法有很多种，其中一种较为常用且比较简单的方法是利用Cauchy 判别法。
根据Cauchy 判别法，对于正数序列{an} 来说，若存在正整数N，使得对一切n > N 都有a2n ≤ 2an，则级数{an} 是收敛的。
首先我们假设级数{an} 收敛到A，即a1 + a2 + a3 + ... + an + ... = A。
因为级数{an} 收敛到A，所以对于任意ε > 0，存在正整数N1，使得当n > N1 时，有我们将n 替换为2n，得到即根据初等数学知识，并根据级数的性质，我们可以得出a1 + a2 + ... + a2n ≤ a1 + a2 + ... + an + a2n + 1 + a2n + 2 + ...，结合以上不等式，我们可以得出a2n ≤ 2an。
我们可以证明正项级数{an} 收敛到a2n，证毕。
总结一下，我们通过使用Cauchy 判别法，证明了正项级数an 收敛到a2n 的结论。
在证明过程中，我们充分利用了正项级数的性质以及数学分析的基本知识。
这也再次验证了数学的严谨性和逻辑性，同时也加深了我们对正项级数及其性质的理解。
希望通过这篇文章的介绍，读者能够对正项级数an 收敛到a2n 的证明方法有更加深入的理解和掌握。
同时也希望能够引起读者对数学推理和证明方法的兴趣，从而不断提升自己的数学能力和思维能力。
第二篇示例：正项级数是指所有项都是正数的级数，即an > 0。
正项级数在数学中是一个重要的概念，研究其性质可以帮助我们了解级数的收敛性质。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法有以下几种：
1. 比较判别法：如果对于正项级数∑a_n和正项级数∑b_n，有
a_n≤b_n对于所有的n成立，则若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也收敛；若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也发散。
2. 极限判别法：如果对于正项级数∑a_n，有
lim(n→∞)a_n/a_(n+1)=L，其中L为有限值，则当L<1时，级数∑a_n收敛；当L>1时，级数∑a_n发散；当L=1时，级数∑a_n可能收敛也可能发散。
3. 比值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)a_(n+1)/a_n=q，则级数∑a_n收敛；如果
lim(n→∞)a_(n+1)/a_n＞1，则级数∑a_n发散。
4. 根值判别法：如果对于正项级数∑a_n，存在正数q<1，使得lim(n→∞)√(a_n)=q，则级数∑a_n收敛；如果lim(n→∞)√(a_n)＞1，则级数∑a_n发散。
需要注意的是，这些判别法只对正项级数有效，即级数中的每一项都是非负的。
对于一般的级数，可以考虑正项级数的收敛性质来推导一般级数的收敛性。
关于正项级数收敛性判别法的几点说明
关于正项级数收敛性判别法的几点说明作者：邓小宇来源：《高教学刊》2016年第22期摘要：由于正项级数收敛性的判断方法较多，学生掌握起来比较困难。
因此，文章就正项级数收敛性判别的几种方法作几点简要的说明，帮助学生解决在做题过程中存在的一些问题。
关键词：正项级数；比较判别法；比较判别法的极限形式；比值判别法中图分类号：O13 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2016）22-0263-02Abstract： It is difficult for students to grasp so many convergence of positive series test. Therefore， this paper briefly introduces several methods of positive series of convergence criterion， to help students solve some problems that exist in the study.Keywords： series of positive terms； comparative judgment method； the limit form of comparative judgment method； the ratio test正项级数收敛性判别法是高等数学中无穷级数的一个重点和难点。
但是，由于正项级数收敛性的判断方法较多，判断正项级数收敛时，学生总是难以选择合适的方法进行判断。
因此，文章就正项级数常用的几种收敛性判断方法，做几点说明。
一、正项级数的比较判别法选择正项级数判别法时，应满足以下条件：1. 正项级数的通项应该容易放大或容易缩小。
2. 放大或缩小后的通项构成的正项级数应当是常见的调和级数、等比级数或P-级数，或者该级数的收敛性是比较容易判断的。
3. 放大后的通项构成的正项级数必须为收敛的正项级数，缩小后的通项构成的正项级数必须为发散的级数。
正项级数判别 法
正项级数判别法
正项级数是指数列 $a_n$ 项全是正数的级数，即
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$，其中 $a_n>0$。
对于这种级数，我们有一个非常有用的判别法，叫做正项级数判别法。
正项级数判别法的主要思想是通过比较级数的通项 $a_n$ 与一个已知的收敛级数的通项之间的大小关系，来判断所给级数是否收敛。
根据比较级数的大小关系，我们可以将正项级数分为以下三类。
一、大于等于已知收敛级数的通项
如果级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 的通项 $a_n$ 大于等于已知收敛级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$ 的通项 $b_n$，即 $a_n\geq b_n$，那么我们可以得到如下的结论：
右边这个级数显然也发散。
因此，如果 $a_n\leq b_n$，则
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$ 必发散。
三、属于柯西型级数
这个结论比较抽象，需要用到柯西收敛准则。
具体地说，如果对于任意一个正实数$\epsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $n\geq N$ 时，有：
$$|a_n-b_n|<\epsilon$$
正项级数判别法的应用非常广泛，尤其对于那些可以化为 $a_n=\dfrac{1}{n^p}$ 的级数，直接运用大小关系即可得出结论。
同时，正项级数判别法也可以用来求极限，提高我们解决问题的效率。
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
总结正项级数判别法的原理
总结正项级数判别法的原理1.引言在学习数学中，我们经常会遇到各种各样的级数。
其中正项级数是一种比较特殊的级数，它是由一串正数相加而成的级数。
正项级数判别法是判断正项级数是否收敛的一种方法。
本篇文章将详细介绍正项级数判别法的原理及其应用。
2.原理正项级数判别法是在判断正项级数收敛的时候使用的一种方法。
正项级数指的是级数的各个项都是正数。
在判断正项级数是否收敛的时候，我们需要用到一个非常重要的原理：比较原理。
比较原理是正项级数判别法的核心原理。
以下是比较原理的两种形式：-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} b_n$也收敛；-若级数$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，且对于所有$n\in N^+$，都满足$0\le b_n\le a_n$，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$也发散。
比较原理的第一个形式说明了一个结论：“如果一个级数收敛，那么它的任何小于等于它的级数也收敛”。
这个结论非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来代替意义相同但更复杂的级数。
比较原理的第二个形式则说明了另一个结论：“如果一个级数发散，那么所有大于等于它的级数都发散”。
这个结论同样非常重要，因为它让我们可以用更容易处理的级数来判断一个级数是否发散。
在使用比较原理判断正项级数的收敛性时，我们需要找到一个小于等于该级数的级数，并且我们知道这个小于等于级数的级数是收敛的或者发散的。
如果这个小于等于级数的级数是收敛的，那么原级数也一定收敛；如果这个小于等于级数的级数是发散的，那么原级数也一定发散。
以上就是正项级数判别法的核心原理：比较原理。
接下来，我们将探讨在实际运用中如何找到一个小于等于该级数的级数，并且如何判断这个小于等于级数的级数是收敛的还是发散的。
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收敛．
非凡的结果！
第12讲 正项级数收敛性判别方法——正项级数收敛的充要条件
定理2（比较判别法的不等式形式）设 数，且 (1) 当级数 (2) 当级数 例3 证明：当 ，则有 收敛时，级数 发散时，级数 时，p-级数
和
均为正项级
也收敛； 也发散． 发散.
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法
n 1
a
n 1
n
收敛； 柯西判别法
（2）当 q 1 时，级数 an 发散．
2 (1) n 例6 判断级数 的收敛性. n 5 n 1
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比值判别法与根值判别法
例2 设级数
和
收敛，级数
的通项满足：
证明级数
也收敛．
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法
定理3（比较判别法的极限形式）设 且 （1）当 （2）当 （3）当 ，则 时，级数 时，如果级数 时，如果级数 和
和
均为正项级数，
有相同的敛散性； 收敛； 发散 .
收敛，那么 发散，那么
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法
1 n2 1 ． 例3 判断级数 n 2 的敛散性 . n 1 2 2n 1
n 1 例4 设 k 为正整数，讨论级数 k 的敛散性． n 1 n 2
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比较判别法
定理4（比值判别法）设 an 为正项级数，且
n 1
，
则有
（1）当 0 q 1 时，级数
第12讲 正项级数收敛性判别方法——主要内容
若
，则称级数
为正项级数 为正项级数，则该 有界，即存在不依赖
定理1（正项级数收敛的充要条件）
收敛.
第12讲 正项级数收敛性判别方法——正项级数收敛的充要条件
例２ 设 p >1 为常数，则级数 p-级数
n 1
a
n 1
n
收敛； 达朗贝尔判别法
（2）当 q 1 时，级数 an 发散．
例5 利用比值判别法判断下列级数的敛散性 ．
第12讲 正项级数收敛性判别方法——比值判别法与根值判别法
定理5（根值判别法）设 an 为正项级数，且
n 1
，
则有
（1）当 0 q 1 时，级数
雅各布 ∙ 伯努利与约翰 ∙ 伯努利关于级数的研究 （1）证明调和级数 （2）证明 发散 的和小于2
雅各布 ∙ 伯努利：“如果谁能解决并告知这个迄今为止 我们还无能为力的问题，我们将不胜感谢。” 约翰 ∙ 伯努利的学生莱昂哈德 ∙ 欧拉解决了上述问题
第12讲 正项级数收敛性判别方法——问题引入
正项级数收敛的充要条件 比较判别法 比值判别法与根值判别法