第二讲正项级数收敛判别法(一)
第二节 正项级数及其收敛的判别法
∞ ∞
∑
∞
∑
∞
∑ vn 收敛,则 ∑ un 收敛; n =1
n =1
(3) 当 l = +∞ 时, 若
∑ v n 发散,则∑ un 发散;
n =1 n =1
∞
∞
判定下列级数的敛散性: 例 3 判定下列级数的敛散性:
∞
比值判别法的优点: 不必找参考级数. 比值判别法的优点 不必找参考级数.
两点注意: 两点注意
1.当 时比值判别法失效; 判别法失效 1. 当 ρ = 1时比值 判别 法失效 ;
1 例 级数∑ 发散, n =1 n
∞
级数 ∑
n =1
∞
n
(ρ = 1) 1 收敛 , 2
2.条件是充分的,而非必要. 2.条件是充分的,而非必要. 条件是充分的
∑v
n=1
∞
敛 散 n 收 (发 ).
比较判别法的不便: 须有参考级数. 比较判别法的不便 须有参考级数
举 例
例 1 证明级数
∑
n =1
∞
1 是发散的. 是发散的 n( n + 1)
证明
Q n( n + 1) < ( n + 1)2
1 , ∴ > n( n + 1) n + 1
1 而级数 ∑ 发散, n =1 n + 1 ∞ 1 ∴ 级数 ∑ 发散. n( n + 1) n =1
∞
1
例 2 讨论 P - 级数
1 1 1 1 的收敛性. 1 + p + p + p + L + p + L的收敛性. ( p > 0) 2 3 4 n 1 1 设 p ≤ 1, Q p ≥ , 则P − 级数发散 . 解 n n 设 p > 1, 由图可知
第二节正项级数及其敛散性判别法
第二节 正项级数及其敛散性判别法正项级数是数项级数中比较简单，但又很重要的一种类型．若级数∑∞=1n nu中各项均为非负，即u n ≥0(n =1，2，…)，则称该级数为正项级数．这时，由于u n =s n -s n -1， 因此有s n =s n -1＋u n ≥s n -1,即正项级数的部分和数列｛s n ｝是一个单调增加数列．我们知道，单调有界数列必有极限，根据这一准则，我们可以得到判定正项级数收敛性的一个充分必要条件．定理1 正项级数∑∞=1n nu收敛的充要条件是正项级数∑∞=1n nu的部分和数列｛s n ｝有界．例1 试判定正项级数∑∞=122sin n nnπ的敛散性． 解 由s n =21121121218141212sin 8sin 4sin 21264-⎪⎭⎫⎝⎛-=++++<++++n n nn πππ＜1, 即其部分和数列｛s n ｝有界，因此正项级数∑∞=1πn nn2sin 2收敛． 直接应用定理1来判定正项级数是否收敛，往往不太方便，但由定理1可以得到常用的正项级数的比较判别法．定理2 (比较判别法) 设有两个正项级数∑∞=1n nu和∑∞=1n nv，如果存在正整数N ，使当n＞N 时，u n ≤v n 成立，那么(1) 若级数∑∞=1n nv收敛，则级数∑∞=1n nu也收敛；(2) 若级数∑∞=1n nu发散，则级数∑∞=1n nv也发散．证 我们不妨只对结论(1)的情形加以证明. 设∑∞=1n nu的前n 项和为A n ，∑∞=1n nv的前n 项和为B n ,于是A n ≤B n ．因为∑∞=1n nv收敛，由定理1，就有常数M 存在，使得B n ≤M (n =1,2,3,…)成立．于是A n≤M (n =1,2,3,…)，即级数∑∞=1n nu的部分和数列有界，所以级数∑∞=1n nu收敛．证明结论(2)的方法与上面相同，读者不难自行完成． 推论1 (比较判别法的极限形式) 若正项级数∑∞=1n nu与∑∞=1n nv满足nnn v u ∞→l i m=ρ，则(1) 当0＜ρ＜+∞时，∑∞=1n nu与∑∞=1n nv具有相同的收敛性；(2) 当ρ=0时，若∑∞=1n nv收敛，则∑∞=1n nu亦收敛；(3) 当ρ=+∞时，若∑∞=1n nv发散，则∑∞=1n nu亦发散．证 (1) 由于nnn v u ∞→lim=ρ＞0，取ε=2ρ＞0，则存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-n n v u ＜2ρ即n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2ρρ＜u n ＜n v ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2ρρ．由比较判别法，知结论成立．结论(2)、结论(3)的证明类似，请读者自己完成．例2 判断级数∑∞=1n nn 31sin2的收敛性． 解 由于0≤2n n 31sin ＜2n ·n 31=n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32，而级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛132n n 收敛，由比较判别法知∑∞=1n n n 31sin2收敛． 例3 讨论p -级数∑∞=1n pn1的敛散性．解 当p =1时，p -级数即为调和级数∑∞=1n n 1,它是发散的． 当p ＜1时，p n 1≥n 1＞0，由∑∞=1n n 1发散及比较判别法知，∑∞=1n p n1发散．当p ＞1时，由习题8-1的习题3知，正项级数加括号不影响其收敛性．现对级数从左至右依次按1，2，22， (2),…个项对p -级数加括号，得１＋⎪⎭⎫⎝⎛+p p 3121+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++p p p p 71615141+⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181 +…． 而⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 3121＜⎪⎭⎫ ⎝⎛+p p 2121=121-p ,⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 7141＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 4141 =2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 15181＜⎪⎭⎫ ⎝⎛++p p 8181 =181-p =3121⎪⎭⎫ ⎝⎛-p ，………………于是，p -级数加括号后的级数的每一项均小于以r =121-p （＜1)为公比的等比级数的相应项，而该等比级数收敛，故由比较判别法知，原级数∑∞=1n p n 1收敛． 综上所述，当p ＞1时，∑∞=1n p n 1收敛；当p ≤1时，∑∞=1n p n1发散．例4 判断级数∑∞=+1n n n )1(12的敛散性．解 因为231)1(1lim2n n n n +∞→=nn n n +∞→323lim =2111lim n n +∞→=1，而p -级数∑∞=1231n n收敛(p =23＞1)，故由推论1知∑∞=+1n n n )1(12收敛．例5 试证明正项级数∑∞=+++1n n nn 2512发散． 证 注意到2512+++n n n ＞28n n =n181⋅ (n =1,2,3,…)，因调和级数∑∞=1n n1是发散的，由比较判别法知，∑∞=+++1n n n n 2512发散．仔细分析例4与例5，我们就会发现，如果正项级数的通项u n 是分式，而其分子分母 都是n 的多项式(常数是零次多项式)，只要分母的最高次数高出分子的最高次数一次以上(不 包括一次)，该正项级数收敛，否则发散．利用比较判别法，把要判定的级数与等比级数比较，就可建立两个很有用的判别法．定理3 ［达朗贝尔(d ′Alembert)比值判别法］ 设有正项级数∑∞=1n nu，如果极限n n n u u 1lim+∞→=ρ，那么(1) 当ρ＜1时，级数收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，级数发散；(3) 当ρ=1时，级数可能收敛也可能发散． 证 (1) 由于nn n u u 1lim+∞→=ρ＜1，因此总可找到一个小正数ε0＞0，使得ρ+ε0=q ＜1．而对此给定的ε0，必有正整数N 存在，当n ≥N 时，有不等式ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＜ρ+ε0=q ． 这就是说，对于正项级数∑∞=1n nu，从第N 项开始有u N +1＜qu N ， u N +2＜qu N +1＜q 2u N ，…．因此正项级数u N +u N +1+u N +2+…=nn Nu∞=∑的各项(除第一项外)都小于正项级数u N +qu N +q 2u N +…=∑∞=1n Nu ·q n -1 的各对应项，而级数∑∞=1n Nuq n -1是公比的绝对值|q|＜1的等比级数，它是收敛的，于是由比较判别法可知，级数nn Nu∞=∑收敛，由上节性质1，知∑∞=1n nu也收敛．(2) 由于nn n u u 1lim +∞→=ρ＞1,可取ε0＞0，使得ρ-ε0＞1．对此ε0，存在N ＞0,当n ＞N 时，有ρ-+nn u u 1＜ε0 恒成立．得nn u u 1+＞ρ-ε0＞1 这就是说正项级数∑∞=1n nu从第N 项开始，后项总比前项大．这表明n n u ∞→lim ≠0，因此，由级数收敛的必要条件可知，正项级数∑∞=1n nu发散．(3) 当ρ=1时，正项级数∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．这个结论从p -级数就可以看出．事实上，若∑∞=1n nu为p -级数，则对于任意实数p ，有nn n u u 1lim+∞→=ppn n n 1)1(1lim +∞→=1, 但当p ≤1时，p -级数发散；p ＞1时，p -级数收敛．例6 试证明正项级数∑∞=1πn nn 3tan 2收敛．证 因为n n n u u 1lim +∞→=nn n n n 331tan 2tan 2lim 1ππ⋅⋅++∞→=32＜1，所以由比值判别法知，级数收敛．例7 讨论级数2!∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛1n n x n （x ＞0）的敛散性．解 因为nn n u u 1lim +∞→=n n n n x n n x n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→!1)!1(lim 1=ex n x nn =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim， 所以当x ＜e,即e x ＜1时，级数收敛；当x ＞e ，即ex＞1时，级数发散． 当x =e 时，虽然不能由比值判别法直接得出级数收敛或发散的结论，但是，由于数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 11是一个单调增加而有上界的数列，即nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11≤e (n =1,2,3,…)，因此对于任意有限的n ，有n n u u 1+=n n n n x ⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111e＞1． 于是可知，级数的后项总是大于前项，故n n u ∞→lim ≠0，所以级数发散．例7说明，虽然定理3对于p =1的情形，不能判定级数的敛散性，但若能确定在n n n u u 1lim+∞→=1的过程中，n n u u1+是从大于1的方向趋向于1，则也可判定级数是发散的．此外，凡是用比值判别法判定发散的级数，都必有n n u ∞→lim ≠0．定理4 ［柯西(Cauchy)根值判别法］ 设正项级数∑∞=1n nu满足n n n u ∞→lim =ρ，那么(1) 当ρ＜1时，∑∞=1n nu收敛；(2) 当ρ＞1(包括ρ=+∞)时，∑∞=1n nu发散；(3) 当ρ=1时，∑∞=1n nu可能收敛，也可能发散．它的证明与定理3的证明完全相仿，这里不重复了．但同样要注意的是，若ρ=1，则级数的敛散性仍需另找其他方法判定．例8 判别级数∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12的敛散性．解 因为n nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛+∞→12lim =12lim +∞→n n n =21＜1, 故级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12收敛．例9 判别级数∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛1n na x 的敛散性，其中x ,a 为正常数．解 因为n nn a x ⎪⎭⎫⎝⎛∞→lim =ax a x n =∞→lim ． 故当x ＞a 时，a x＞1，级数发散；当0＜x ＜a 时，ax ＜1，级数收敛；当x =a 时，一般项u n =1不趋于零，级数发散．习题9-21． 判定下列正项级数的收敛性： (1)∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2)∑∞=+1n n n 1; (3)∑∞=++1n n n n )2(2;(4)∑∞=+1n n n )5(12；(5)∑∞=+1n na )1(1(a ＞0); (6)∑∞=+1n nba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n 22 (a ＞0);(8)∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nnn 23； (10) ∑∞=1n nn n !;(11)∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12)∑∞=1n n n3； (13)∑∞=1n n n 22)!(2；(14) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn 3sin 2;(16) ∑∞=1πn nn n 2cos 32． 2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n nnx ;(2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．。
正项级数收敛的判别方法
正项级数收敛的判别方法正项级数是指级数中每一项都是非负数的级数。
在数学中，我们常常关注正项级数的收敛性，即该级数的和是否有界。
为了判别正项级数的收敛性，有以下几个方法。
1.比较法比较法是最常用的判别正项级数收敛性的方法之一、比较法分为两种情况：-若存在一个已知的发散级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≤b_n，则可以得出该正项级数也是发散的。
-若存在一个已知的收敛级数∑a_n和该正项级数∑b_n满足对于所有n，有a_n≥b_n，则可以得出该正项级数也是收敛的。
2.极限比值法（达朗贝尔判别法）极限比值法是另一种判别正项级数收敛性的重要方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其相邻两项的比值a_(n+1)/a_n的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限比值法无法确定级数的收敛性。
3.极限根值法（柯西判别法）极限根值法和极限比值法类似，也是一种判别正项级数收敛性的方法。
对于正项级数∑a_n，首先计算其每一项的根值(a_n)^(1/n)的极限值：-若该极限值小于1，则说明该级数收敛；-若该极限值大于1，则说明该级数发散；-若该极限值等于1，则极限根值法无法确定级数的收敛性。
4.积分判别法积分判别法可以用来判别一类特殊的正项级数的收敛性。
对于形如∑(f(n)) 的级数，其中 f(n) 是一个递减的连续函数，则将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较：-若积分收敛，则级数同样收敛；-若积分发散，则级数同样发散；-若无法确定积分的收敛性，则积分判别法无法确定级数的收敛性。
5.积分判别法的特殊应用（比较法的延伸）积分判别法的特殊应用是一种将比较法与积分判别法结合使用的方法。
当我们需要比较一个难以处理的正项级数∑a_n 时，可以利用积分判别法找到一个相对简单的函数 f(x)，使得将其与对应的积分∫(f(x)dx) 进行比较时能够确定级数的收敛性。
第2节正项级数敛散性的判别
n1
2 3
n
,
由等比级数的敛散性可知：原级数收敛.
例3
1
讨论 P 级数 n1 n p
( p > 0 ) 的敛散性.
解
当 p＝1时,
P
级数为调和级数:
1 n1 n
,
它是发散的.
当 0 < p < 1 时,
有
0
1 n
1 np
,
由比较判别法, P 级数此时是发散的.
故 p 1时, P 级数是发散的.
综上所述:
当 p > 1 时, P 级数收敛. 当 p 1 时, P 级数发散.
4.比较判别法的极限形式
设和为两个正项级数, 且 vn 0 (n 1, 2,;
或从某一项 N0 开始).
若
lim un n vn
,
则
(1) 0 时, un 与 vn 具有相同的敛散性.
n1
n1
(2) 0 时, vn 收敛 un 收敛.
综上所述,当 0 < x < a 时, 原级数收敛; 当 x a 时, 原级数发散.
n
an 1 a2n
lim a n n 1 a2n
a 1,
1 n
当a
1时,
lim n
n
an 1 a2n
lim
n
n
a
1
1 a
2n
1 a
1,
故 a 0 且 a 1时, 原级数收敛.
例8
判别
n1
x a
n
的敛散性.
(
x
>
0,
a
>
0
为常数)
解
第二节正项级数及其收敛法
(2) S(x) 在(--R,R)内可导,且
S(x) ( an xn ) (an xn ) nan xn1
n0
n0
n0
即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数
收敛半径不变.
可推广到任意阶导数
(3) S(x)在(--R,R)内可积,且
x
S(x)dx
0
x
[
0
an xn ]dx
幂级数 各项都是幂函数的函数项级数
一般形式:
a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n (1)
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
收敛,x0 收敛点
发散, x0发散点
函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域
3.和函数： 在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，
因此其和是x的函数，称为和函数
S(x) un(x)
4.余项:
n1
rn (x) S(x) Sn (x)
前n项的部分和
在收敛域内才有意义,且
lim
n
rn
(
x)
0
二. 幂级数及其收敛性
注：用比值或根值审敛法判定的非绝对收敛级 数一定发散。
三、小结
正项级数
任意项级数
1. 若 Sn S ,则级数收敛;
审 2. 当 n , un 0, 则级数发散;
敛 3. 按基本性质;
4. 充要条件
法 5. 比较法
6. 比值法 7. 根值法
4. 绝对收敛 5. 交错级数 (莱布尼茨定理)
正项级数的判敛方法
nn
n nn
∵ lim n
1 sin n
2
2 n 1 ，且 2 发散，∴原级数发散。
n1 n
n
1 n2 ln
（2）∵ lim 3 n 1 n lim
3n
ln(1 2 )
n 2，
n
1
n 3 n 1
1
而 n1
4
n3
1 收敛， 4
n3
n
∴原级数收敛。
ln n
(3) n1 n
（4） ln n 3 n n1 2
若 un与 vn 同阶，则 un 与 vn 同敛散。
n1
n1
若 un是比 vn 高阶的无穷小，则 vn 收敛 un 收敛；
n1
n1
若 un是比 vn 低阶的无穷小，则 vn 发散 un 发散。
n1
n1
定理2.3 （比值判别法 达朗贝尔判别法）
设 an
n1
为正项级数，且 an
0(
n
解（3）∵ lim un1 lim 3n 2 3 1 ，∴原级数收敛。
u n n
n 4n 1 4
（4）∵ lim n n
un
lim n
n
( an )n n1
lim
n
an n1
a，
∴当 a 1 时，级数收敛；当a 1 时，级数发散；
当 a 1时，根值判别法失效。
但∵
lim
n
un
lim( n )n n n 1
x
2x x
∴ f ( x) ln x 在 (e2 , ) 内单调减少， x
例 7 说明，虽然定理 3 对于 1 的情形，不能判定级
数的敛散性，但若能确定在 lim un1 1 的过程中， un1
第十章 无穷级数2正项级数的收敛判别法
(1) 当 0 h 时,若 vn收敛,则 un收敛;
n1
n1
(2) 当 0 h 时,若 vn发散,则 un发散.
n1
n1
例3
讨论下列级数的收敛性:
(1)
2n 1
;
n1 (n 1)(n 2)(n 3)
(2) sin 1 ;
n1
n
(3) (1 cos ), (0 ).
在a, A 上可积,若极限 lim A f ( x)dx 存在,则称函数 A a
f
(x)
在a,
上的无穷积分 a
f
( x)dx 收敛.并将上
述极限值定义为无穷积分的值,即
A
f ( x)dx lim f ( x)dx
a
A a
若无极限,则称无穷积分发散.
定理 6 (积分判别法)
设 un为正项级数.若存在一个单调下降的非负 n1
数学分析II
第十章 无穷级数
§2 正项级数的收敛判别法
生物数学教研室
定义: 当 un 0 (n 1,2,) 时, un称正项级数. n1
<注>: 正项级数的部分和序列Sn是单调递增的.
命题: 正项级数 un收敛 其部分和序列有上界. n1
1. 比较判别法
定理 1 ( 比较判别法 )
设两正项级数 un与 vn的一般项满足
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当
p 1 时,由比较判别法
1 n(ln n) p
1 (n nln n
3),
级数
n2
1 n(ln n)
p
发散.
当 p 1 时,
A 2
1 x(ln x) p
正项级数收敛性的判别方法
正项级数收敛性的判别方法正项级数是指级数的每一项都是非负数的级数。
1.比较判别法：比较判别法是通过与已知收敛（或发散）的级数进行比较，判断待定级数的收敛性。
具体有以下两种情况：a.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≤c*b_n，那么只要∑b_n收敛，∑a_n也收敛；b.若存在一个已知的正项级数∑a_n和正数c，使得对于所有的n，有a_n≥c*b_n，那么只要∑b_n发散，∑a_n也发散。
2.比值判别法：比值判别法是通过计算级数的项之间的比值的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_{n+1})/a_n的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
3.根值判别法：根值判别法是通过计算级数的项的根的极限，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：计算序列c_n=(a_n)^{1/n}的极限lim_{n→∞}c_n。
根据c_n的不同取值范围，可以得出以下结论：a. 若lim_{n→∞}c_n < 1，那么级数∑a_n绝对收敛；b. 若lim_{n→∞}c_n > 1，那么级数∑a_n发散；c. 若lim_{n→∞}c_n = 1，那么该判别法不确定。
4.积分判别法：积分判别法是将级数中的每一项转化为一个函数f(x)，然后通过计算该函数在区间[a,∞)上的不定积分，来判断级数的收敛性。
具体步骤如下：a.将级数的每一项a_n转化为函数f(x)在区间[a,∞)上的函数表达式；b. 计算函数f(x)在区间[a, ∞)上的不定积分∫f(x)dx；c. 若不定积分∫f(x)dx收敛，那么级数∑a_n收敛；d. 若不定积分∫f(x)dx发散，那么级数∑a_n发散。
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(n N )
(1) 当0 < l <∞时,
同时收敛或同时发散 ;
由定理 2 可知
n 1
vn
(2) 当l = 0时,
若 vn 收敛 ,
n 1
由定理2 知
(3) 当l = ∞时,
即
u n vn
由定理2可知, 若 vn 发散 ,
n 1
是两个正项级数,
(1) 当 0 ≤ l <∞ 时, (2) 当 0＜l ≤∞时 ， 则 则
n
n
2
n 1 n 1 2
(n 1)
n 1 n n
n 1 n 1
2
1 而 收敛。 n
n 1 2
3 2
故原级数收敛。
x ( 2) 0 u dx 1 x
n 1 n 0 2
1 n 0
2 1 xdx ( ) 3 n
而
2 1 ( ) 3 n
n 1
1 1 1 n n p 1 1 1 p 1 p 1 (k 1) (n 1) k 1 k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
n
注1：调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.注 若存在 N Z , 对一切 n N ,
1 n 2 n
1
1
, 1
发散．
例10. 判别级数敛散性
#2014022308
1 (1) (n 1) ln ( n 1)
n 1 2
（A）收敛
（B）发散
#2014022309
1 1 (2) sin ln n n
n2
（A）收敛
（B）发散
n的最高次数，则
( a )若 (b)若
p q 1 p q 1
,则 ,则
收敛。
发散。
1 例6. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1
#2014021903
（A）收敛
（B）发散
1 例6. 判别级数 sin 的敛散性 . n n 1 1 1 解: lim n sin lim n 1 n n n n
Hale Waihona Puke 3 2收敛。故原级数收敛。
a an 与 例5 若 a 0, a 收敛，则 n 1 n
2
n
n
n 1
n
n 1
收敛。
证明： (1) an 0 an 收敛， lim n n 1
1, N Z , n N , 有 a 1 0 n
0 a 1
则 n N ，有
1 1 1 S 1 1! 2! (n 1)!
n
1 1 11 2 2
1 1 ( ) 2 1 1 1 2
n 1
n2
1 3 3 2
n2
故 S 有界. 则
n
1 收敛. n!
n 0
由有界判别法出发不仅能判断级数敛散性还可以给出 新的判别方法。 2. 比较判别法及其极限形式 定理2 (比较审敛法) 设 且存在 则有 (1) 若强级数 收敛 , 则弱级数 也收敛 ; 也发散 . 对一切 有
n 1 p
对于
取 则
而
n 1
n 1
1 n ln n
1 3
p
5 6
5 6
lim n u
n n
1 n
5 6
发散，故原级数发散。
ln n (1) ,当 1时发散 ,当 1时收敛； n2 n
注意到
1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛 散性的级数；
sin 1 n ～
1 n
1 根据比较审敛法的极限形式知 sin 发散 . n n 1
#2014021904
例7. 判别级数 ln 1 2 的敛散性. n n 1
（A）收敛 （B）发散
1
1 1 的敛散性 . ln 1 例7. 判别级数 ln(1 2 ) ～ n 2 2 n n n 1 1 2 1 2 解: lim n ln 1 2 lim n 2 1 n n n n 1 收敛 . 根据比较审敛法的极限形式知 ln 1 2 n n 1
n
则级数
与广义积分 f ( x)dx
1
有相同敛散性．
y
1
2
3
4
5
n
n 1
x
例9. 讨论级数
解: 设
的敛散性 .
当 x 2 时， f ( x) 是正值递减函数， 且
记
1 Y f ( x)d x dx x(ln x)
n n n 2 2
1 Y f ( x)d x dx x(ln x)
第一节（2） 常数项级数的审敛法
一、正项级数及其审敛法
二、交错级数及其审敛法
第四章
三、绝对收敛与条件收敛
一、正项级数及其审敛法
若 un 0 , 则称 u n 为正项级数 .
n 1
注意到： 1.部分和数列单调递增 2.单调有界数列存在极限
1. 有界判别法
定理 1. 正项级数
有界 . 证: “ ” 若
1 特别取 vn p , 对正项级数 un , 可得如下结论 : n un 发散 0l p lim n u l p 1, 0 l un 收敛
n n
注
1. 若 un ~ vn , (n )， 则 2. 设
n 1
vn
同敛散。
p, q
分别为通项 u n 的分母，分子关于
定理3. (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
un 满足 lim l , 则有 n vn
(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞
un lim l, n vn
证: 据极限定义,
( l ) vn u n ( l ) vn
p
4 3
1 lim ( p ) x 3
x
p
1 3
1 lim ( p ) x 3
x
p
1 3
讨论：（1）若
p
1 3
p
极限为0， 此时只能判断收敛性，
而
n 1
1 1 ( p )发散，矛盾。 n 3
（2）若
p
1 3
极限为正无穷， 此时只能判断发散性，
1 1 而 ( p 1)发散，可取 p 1判断。 n 3
1 1 1 例2. 讨论 p 级数1 p p (常数 p > 0) p 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p 1, 因为对一切
1 n
1 而调和级数 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n 1 n
发散 .
2) 若 p 1,
1 y p x
1 矩形的面积 曲线y p 下的面积 x
n
a a
2 n
2
n
a 收敛。
2 n 1 n
a 1 1 1 a 而 与 (a ) (2)0 都收敛， 2 n n n a 收敛。 n
n
n
n 1
n
n 1
2
n
n 1
用比较法关键
1：找到不等式 2：找到可比的已知敛散性级数 为了应用上方便，给出下面比较法的极限形式
2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。
常用比值法与根值法判断 u 0 速度。
n
3. 积分审敛法
－－－－广义积分敛散性与无穷级数敛散性联系
适用：通项单调减少！
定理3. 积分审敛法 设通项 u n 满足 u1 u2 un 0 若存在单调减函数 f ( x) ( x 1) ，使 f (n) u
例4 判别敛散性
x ( 2) dx 1 x
n 1 1 n 0 2
#2014021902
（A）收敛
（B）发散
例4 判别敛散性 n (1) (n 1)
n 1 n 1 2
n 1 2
x ( 2) dx 1 x
n 1 1 n 0 2
(1) 0 u 证：
是两个正项级数,
(常数 k > 0 ),
(2) 若弱级数
发散 , 则强级数
证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切
都有
分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
(1) 若强级数
因此对一切
收敛, 则有 有
由定理 1 可知, 弱级数
也收敛 .
(2) 若弱级数
因此
发散, 则有 这说明强级数
1
例8. 判别级数
解：
n 1
1 n ln n
p n 1 3
1 3
的敛散性.
n lim n u lim n lim ln n n ln n
p n n n
1
p
1 3
1 ( p )x x 3 lim lim 1 ln x x
p 1 3 x x
收敛
部分和序列
收敛 , ∴部分和数列 收敛 , 从而
故有界. 单调递增, 也收敛.
“
又已知
”
有界, 故
发散
S
n
(n )
1 1 1 1 例1. 证明：正项级数 n! 1 1! 2! n! 收敛.