中国矿业大学计算力学复习概要
计算力学课堂教学课件第2章(1)
n j
I
0
nm
n
0
0
Pie 0
0
Pje
0 0 Pme
0
0
（2.2.51）
2n 1 9
m
9
e
i 3 j 10
Pie
PP22ii1
(i, j, m)
P ne P~e
e
P3e
P5 P6
10
ne
P GPe
e
对每一个单元 G P e 的作用是将单元载荷
k2 j
kij
k22n
ki2n
第 i 个结点位移方
向上施加的结点力
k j1
k j2
k ji
k jj
k
j2n
大小。
k2n1 k2n2 k2ni k2nj k2n2n
2n 192n
2. K 的性质（特点）
（1）对称性 K K
（2）奇异性 K 0
每行（或每列）的所元素之和等于零，
k33 0
0 0
k35 0
0 0
3 4
0
k52
k53
0
k55
0
5
0 0 0 0 0 0 6
15
563
k55 k56 k53 5
k 3 k65
k 66
k
63
6
k 35
k36
k33
3
66
1
①
2
②3
④
③
12 3 4 5 6
4
5
6
0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0
0
2
k~3
0 0
力学大学知识点总结
力学大学知识点总结1. 运动的描述力学研究的第一要素就是物体的运动。
在力学中，我们常常用一些描述手段来描述物体的运动，比如位移、速度、加速度等。
位移是描述物体在某一方向上的位置改变，速度是描述物体在单位时间内位移的大小，加速度是描述单位时间内速度的改变量。
2. 牛顿三定律牛顿的三大定律是力学研究的基础。
第一定律是惯性定律，它指出物体要保持匀速直线运动或静止状态，必须受到外力的作用。
第二定律是运动定律，它建立了力和加速度之间的关系，即F=ma。
第三定律是作用与反作用定律，它指出两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
3. 质点和刚体在力学中，我们常常将物体简化成质点和刚体来研究。
质点是没有大小和形状的物体，它只有质量和位置。
刚体是一个由很多质点组成的物体，在运动过程中，各个质点之间的相对位置不改变。
4. 动量和动量定理动量是描述物体运动状态的重要物理量，它等于物体的质量乘以速度。
动量定理说明了力的作用会改变物体的动量，它的表达式是F=dp/dt。
5. 力的合成和分解力的合成和分解是力学中的一个重要概念。
当一个物体受到多个力的作用时，我们可以将这些力合成为一个等效的力，也可以将一个力分解为多个分力。
6. 力的矩力的矩是描述力对物体产生转动效应的物理量。
它的大小等于力的大小与力臂的乘积，方向由右手定则确定。
力的矩可以改变物体的角动量，导致物体产生转动。
7. 动能和功动能是描述物体由于运动而具有的能量，它等于物体的质量乘以速度的平方再乘以1/2。
功是描述力和位移之间的关系，它等于力和位移的乘积。
8. 动力学动力学是研究物体受到力的作用而产生的运动状态的学科。
动力学的重要定律包括动能定理、功能定理和角动量定理等。
这些定理可以帮助我们更好地理解物体在受到力的作用下的运动规律。
9. 万有引力和牛顿定律牛顿的引力定律是力学中一个重要的定律，它描述了物体之间的引力与物体之间的质量和距离的平方成反比。
这个定律被应用到行星运动和天体运动的研究中，对于解释天体运动有着非常重要的意义。
中国矿业大学2019年研究生招生力学与土木工程学院初试自命题科目考试大纲
建立质点运动和刚体定轴转动的微分方程，求解有关的动力学两类基本问题。
运用动量定理、动量矩定理和动能定理求解简单的动力学问题。
应用达朗伯原理求解简单的动力学问题。
内力、截面法、应力、应变等基本概念。
低碳钢和铸铁的力学性能。
10.强度理论
四种常用强度理论，莫尔强度理论。
11.组合变形
斜弯曲，拉(压)与弯，偏心拉(压)，弯扭，拉（压）弯扭。截面核心的概念。
12.压杆稳定
欧拉公式，经验公式，临界应力总图。
13.动载荷
等加速直线运动，匀速转动，冲击。
14.交变应力
应力循环及其特征，材料的持久极限，影响持久极限的因素。
15.能量方法
一、考试目的与要求
《理论力学》是工程力学硕士研究生入学的初试科目。考试目的是选拔具有坚实的力学基础知识的优秀人才进入硕士阶段继续深造。要求考生能较为全面地掌握理论力学基本理论与基本方法，解决一些较为简单的工程实际问题，考察学生逻辑思维、抽象化、以及表达和计算能力。
二、考试范围
静力学公理和物体的受力分析
837
材料力学A
《材料力学》，严圣平主编，科学出版社，2012；《材料力学》（第5版I、II），刘鸿文主编，高等教育出版社，2011。
一、考试目的与要求
《材料力学》是一门专业基础课，要求考生对工程设计中的强度、刚度和稳定性问题具有明确的基本概念，掌握必要的基础知识，具有比较熟练的计算能力、一定的分析能力和初步的实验能力。具备关于能量法及其应用的基础知识。
能量原理，杆件应变能计算，虚功原理，卡氏定理，莫尔定理，图形互乘法，功及位移互等定理。
大学力学核心概念总结归纳
大学力学核心概念总结归纳大学力学是力学的基础学科，涵盖了质点力学、刚体力学和流体力学等内容。
在学习大学力学时，我们需要掌握一些核心概念，这些概念是我们理解和应用力学原理的基础。
本文将对大学力学的核心概念进行总结归纳。
一、质点力学的核心概念1. 质点：质点是几乎没有大小的物体，可以看作是一个点。
质点力学研究的对象就是质点的运动规律和受力情况。
2. 受力：质点受到的作用力称为受力。
受力的特点包括大小、方向和作用点等。
3. 牛顿第一定律（惯性定律）：牛顿第一定律表明，物体如果没有受到外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
4. 牛顿第二定律（运动定律）：牛顿第二定律描述了力和物体运动状态之间的关系。
力等于物体的质量乘以加速度。
即 F=ma。
5. 牛顿第三定律（作用反作用定律）：牛顿第三定律说明，对于任何两个物体之间的相互作用力，作用于其中一个物体上的力与作用于另一个物体上的力大小相等、方向相反。
二、刚体力学的核心概念1. 刚体：刚体是一个具有形状稳定、内部各部分相对位置不变的物体。
刚体力学研究的对象是刚体的静力学和动力学问题。
2. 平衡：当刚体受到的合力和合力矩都等于零时，刚体处于平衡状态。
平衡可以分为平衡力学和平衡力矩两种情况。
3. 力矩：力矩是力对物体产生转动效果的量度，表示力作用在物体上的力臂和力的大小的乘积。
4. 转动惯量：转动惯量用于描述刚体对转动的惯性程度，它与刚体的质量分布和旋转轴的位置有关。
5. 角动量：角动量是描述物体旋转状态的物理量，与物体的转动惯量和角速度有关。
三、流体力学的核心概念1. 流体：流体是可以流动的物质，包括液体和气体。
流体力学研究的对象是流体的运动规律和受力情况。
2. 流速：流体的流速表示单位时间内流经单位截面的体积。
流速与流体密度和流量有关。
3. 压力：流体对容器内壁的作用力称为压力。
压力的大小与流体的密度、重力加速度和液体深度有关。
4. 流量：流量是单位时间内流体通过管道横截面的体积。
中国矿业大学计算力学复习概要
计算力学 复习概要第一章里兹法步骤：①由原问题建立变分原理，求得泛函Π(u)；②选取适当的试探函数，即设试解；③将试解代入泛函，求其一阶变分驻值（即使泛函的变分等于零）；④求其待定系数并代入试解。
有限单元法步骤：①划分单元，输入结点和单元信息；②单元分析：e e N K P 、、；③整体分析，1,en e e e e T ==∑K G K G 1ene e e T ==∑P G P 引入位移边界条件得到：=Ka P ；④求解方程得到解a ；⑤对位移a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变。
里兹法与有限元法的区别与联系：联系：有限元法是单元内的里兹法；区别：①应用区域不同，里兹法在整个研究与内设试解，有限元法需划分网格，在单元内设试解；②试解的形式不同，里兹法可以设各种形式的试解，而有限元法试解形式为多项式；③收敛性条件不同，里兹法的收敛条件是试探函数具有完备性和连续性；有限元法要求泛函具有完备性和协调性。
最小势能原理：第一步：写出泛函总位能表达式：第二步：写出其离散形式即单元位能泛函：即：第三步：识别矩阵：得到有限元形式：第四步：泛函取驻值得有限元方程：第二章三角形单元编号规则：典型三结点三角形结点编号为i、j、m，以逆时针方向编码为正向（顺时针编号则计算面积为负值）。
三角形单元的广义坐标为什么为6个：三个结点，每个结点有两个位移，广义坐标用6个结点位移表示。
位移模式为什么是线性的：线性的才能满足常应变条件。
形函数个数如何确定：几个结点就有几个形函数。
形函数的两个重要性质（P59）：①0-1特性；②规一性。
为什么三角形单元为常应力（变）单元：三角形单元的位移模式是线性的，应变即位移的一阶导数，故在单元内应变是常数，所以三角形单元为常应变单元（或答[B]和[D]为常数）。
刚度系数的物理意义（P64）：单元刚度矩阵中每一个元素反映了单元刚度的大小，称为刚度系数。
元素的K ij物理意义：当单元的第j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需在单元第i个结点位移方向上施加的结点力大小。
计算力学第一章概论1
大跨结构新趋势
巴西尼迈耶当代艺术博物馆
一些新结构的启示-自然生长的力量
大跨结构新趋势
法国蓬皮杜现代艺术博物馆
一些新结构的启示-自然生长的力量
大跨结构新趋势
一些新结构的启示-自然生长的力量
日本北方生涯学习中心
一些新结构的启示-自然生长的力量
日 本 水 户 艺 术 馆
1.7 一些基本概念
结构离散（有限元建模）
中国药大新体育中心支座节点
工程用销轴铰接节点计算模型
1.6 有限元的一些应用
BMW曲轴的感应淬火 （Induction quenching of crankshafts at BMW，用 SysWeld软件完成）在曲轴表面获得压应力，可以提高曲轴的疲劳寿命。
1.6 有限元的一些应用
北京植物园展览温室的CAD模型和前两阶模态
1969 年 B.A.Szabo 和 G.C.Lee 指出可以用加权余量法特别是 Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。
1.5 有限单元法的形成与发展
我国的力学工作者为有限元方法的初 期发展做出了许多贡献，其中比较著名的 有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希 （余能原理），钱伟长（广义变分原理）， 胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单 元法理论）。遗憾的是，从 1966 年开始的 近十年期间，我国的研究工作受到阻碍。 有限元法不仅能应用于结构分析，还 能解决归结为场问题的工程问题，从二十 广义变分原理 世纪六十年代中期以来，有限元法得到了 胡海昌——鹫久津一郎方程 巨大的发展，为工程设计和优化提供了有 力的工具。 有限元法是一种数值计算方法。可广 泛应用于各种微分方程描述的场问题的求 解。
1.6 有限元的一些应用
中华世纪坛旋转圆坛主体钢结构的有限元模型
中国矿业大学工程测试技术复习总结
第一章 测试技术的理论基础1、标定（率定）曲线：表示静态（或动态）方程的图形，是反映测试系统输入x 和输出y之间关系的曲线。
稳定性：仪器示值的稳定性有两种指标，一是时间上的稳定性，它是由于仪器中随机性变动、周期性变动、漂移等引起的示值变化，以稳定度表示；二是环境影响，是指仪器外部环境和工作条件变化所引起的示值不稳定性，以各种影响系数表示。
灵敏度xy ，则测试系统的灵敏度为 S = （系统特性曲线的斜率）线性度（直线度）：标定曲线（试验确定的实际工作曲线）与理想曲线（常用参考理想直线）的接近程度。
分辨率（灵敏阀）：系统能够测量出的被测量的最小变化值。
回程误差：相同测试条件下和全量程范围A 内，在输入由小增大和由大减小到行程中，同一输入量所得到的两个输出值的最大偏差与满量程A 的百分比。
漂移：输入量不变，输出量随时间变化零点漂移：零输入条件下的漂移传递特性：是指测试系统输入与输出对应关系的性能。
负载效应：大多数测量元件总要从被测对象中吸收一些能量，从而改变被测量的数值，这种效应称为负载效应。
2、测试系统的组成、各部分的作用及性能指标。
答：1）测试系统的组成及作用：①传感器：感测物理量并转换为电量,又称为“一次仪表”；②中间转换装置：接受传感器输出的电信号，通过硬件电路或软件进行信号转换、处理；③显示记录装置：显示测量结果，提供给观察者或自动控制装置。
力学测试系统的组成及作用：①荷载系统：使被测对象处于一定的受力状态下，使被测对象有关的力学量之间的联系充分显露出来，以便进行有效测量。
②测量系统：由传感器、信号变换和测量电路组成。
将被测非电量转换成便于放大、记录的电量。
③信号处理系统：将测量系统的输出信号进一步进行处理以排除干扰。
④显示记录系统：将对被测对象所测得的有用信号及其变化过程显示或记录下来。
2）五大性能指标： 精度:测值与真值接近程度稳定性：时间、环境量程：测量范围分辨率：检测到被测量最小变化值传递特性：输入输出对应关系的性能3、线性（时不变）系统及其主要特性。
计算力学概论_CSM
© 2011 Guoxin Cao, MAE/PKU
12
2. Introduction to Variational Principle
3.函数接近度的概念
零阶接近度: y = y(x)-y1(x)—很小，但y = y(x)-y1(x) —不一定很小 一阶接近度: y = y(x)-y1(x)—很小，而且y = y(x)-y1(x) —很小 k阶接近度: y = y(x)-y1(x)，…, y(k) = y(k) (x)- y1 (k) (x) —都很小 可以通过Lagrange极小量来表征k阶接近度： 0： y = y(x)-y1(x) = (x)， y = y(x)-y1(x) = (x),…, y(k) = y(k) (x)- y1 (k) (x) = (k)(x)
计算力学概论
Course No. 08611510
Department of
Mechanics & Engineering Science
College of Engineering, Peking University,
Beijing 100871, China
曹国鑫
GUOXIN CAO
© 2011 Guoxin Cao, MAE/PKU
计算力学的优势： 能够研究多种复杂力学问题（无法得到解析解），给出各种数值结果；通过图像显 示力学过程，能多次重复进行数值模拟，比实验省时省钱。 不仅能从事结构分析：包括外载荷下结构的应力、变形、频率、极限承载能力等， 还可以进行结构优化设计——形成计算力学的一个重要分支，在一定约束条件下， 综合各种因素进行结构优化设计，例如寻求最经济、最轻或刚度最大的设计方案。 更加真实可靠的反映设计，减少假设，而且使解决问题的速度大大加快。 计算力学在应用中也提出了不少理论问题，如稳定性分析、误差估计、收敛性等， 吸引许多数学家去研究，从而推动了数值分析理论的发展。 计算力学的弱点：
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计算力学 复习概要第一章里兹法步骤：①由原问题建立变分原理，求得泛函Π(u)；②选取适当的试探函数，即设试解；③将试解代入泛函，求其一阶变分驻值（即使泛函的变分等于零）；④求其待定系数并代入试解。
有限单元法步骤：①划分单元，输入结点和单元信息；②单元分析：e e N K P 、、；③整体分析，1,en e e e e T ==∑K G K G 1ene e e T ==∑P G P 引入位移边界条件得到：=Ka P ；④求解方程得到解a ；⑤对位移a 结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变。
里兹法与有限元法的区别与联系：联系：有限元法是单元内的里兹法；区别：①应用区域不同，里兹法在整个研究与内设试解，有限元法需划分网格，在单元内设试解；②试解的形式不同，里兹法可以设各种形式的试解，而有限元法试解形式为多项式；③收敛性条件不同，里兹法的收敛条件是试探函数具有完备性和连续性；有限元法要求泛函具有完备性和协调性。
最小势能原理：第一步：写出泛函总位能表达式：第二步：写出其离散形式即单元位能泛函：即：第三步：识别矩阵：得到有限元形式：第四步：泛函取驻值得有限元方程：第二章三角形单元编号规则：典型三结点三角形结点编号为i、j、m，以逆时针方向编码为正向（顺时针编号则计算面积为负值）。
三角形单元的广义坐标为什么为6个：三个结点，每个结点有两个位移，广义坐标用6个结点位移表示。
位移模式为什么是线性的：线性的才能满足常应变条件。
形函数个数如何确定：几个结点就有几个形函数。
形函数的两个重要性质（P59）：①0-1特性；②规一性。
为什么三角形单元为常应力（变）单元：三角形单元的位移模式是线性的，应变即位移的一阶导数，故在单元内应变是常数，所以三角形单元为常应变单元（或答[B]和[D]为常数）。
刚度系数的物理意义（P64）：单元刚度矩阵中每一个元素反映了单元刚度的大小，称为刚度系数。
元素的K ij物理意义：当单元的第j个结点位移为单位位移而其他结点位移为零时，需在单元第i个结点位移方向上施加的结点力大小。
单元刚度大，则使结点产生单位位移所需施加的结点力就大。
为什么刚度矩阵是奇异的（P65）：考虑刚度矩阵的对称性，刚度矩阵的每一行（列）元素和为零；另外，单元可发生刚体位移并处于平衡。
综上，3结点三角形单元6*6阶刚度矩阵只有3行（列）是独立的，因而刚度矩阵是奇异的。
单元刚度矩阵有哪些性质（P65）：①对称性；②奇异性；③主元恒正；④平面图形相似性（弹性矩阵D、厚度t相同的矩阵，单元刚度矩阵相同）；⑤结点编号对应性（局部结点编号与整体结点编号对应）。
求等效结点载荷:图示6节点三角形单元的1-4-2边上作用有均布侧压力q ，单元厚度为t ，求单元的等效节点载荷。
st1:利用面积坐标求出6结点三角形单元的插值函数。
各结点的面积坐标()321L L L ，，为：1（1,0,0） 2（0,1，0） 3（0,0,1） 4（21,21，0） 5（0，21，21） 6（21，0，21）各边的方程为:1-4-2：03=L ；2-5-3：01=L ；3-6-1：02=L 5-6：123=L ；6-4：121=L ；4-5：122=L 用划线法求得插值函数为：)12(111-=L L N )12(222-=L L N)12(333-=L L N 2144L L N =3254L L N =1364L L N =st2:求单元等效结点载荷q q x =0=y q补充：面积坐标积分公式l b a b a ds L L bj la i 1!!0++=⎰ 则：qlt l l qt ds L ds L qt qtdsL L tds q N P l lll x x 61)!101(!0!1)!102(!0!222)12(00121101011=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++⨯⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==⎰⎰⎰⎰ 同理得到：qlt P x 612= 0653===x x x P P P qlt P x 324= 而0=y q ，故0=iy P 。
所以，等效结点载荷为：Teqlt P 112000003200061061⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡= 总刚度矩阵的集成：具体写出刚度矩阵e K ][ 中的哪些元素对总体刚度矩阵[K]中的下列行和列有贡献（1）59行61列；（2）38行39列；（3）59行59列；（4）37行37列。
解：编号为i 的结点对第2i-1和第2i 行（列）有贡献。
则单元刚度矩阵中的行（列）编号与总刚矩阵行（列）编号有下表中的对应关系：由此可以看出：以上四个位置分别对应于：11332735,,,K K K K 。
总刚矩阵的性质：①对称性；②奇异性；③主元恒正；④带状稀疏性 产生带状稀疏性的原因：①只有建立联系的结点对应的位置才不为零；②结点编号具有连续性，相邻结点号码差别不大。
结点编号方法：从短边起沿一个方向编号； 求半带宽和存储量：乘大数法引入边界条件（P74）： 答：设：j ja a =，则令1010,==αα其中，jj jj K K ，即：111211211212222222122212222222j n jnj j jj j n j jj j n n njn n n n k k k k a P k k k k a P k k k k a k a k k k k a P αα⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪=⎢⎥⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎩⎭⎩⎭⎣⎦ 修改后的第j 个方程为112222j j jj j j n n jj jk a k a k a k a k a αα+++++=由于 得：jj j jj jk a k a αα≈所以j ja a ≈对于多个给定位移()12,,,l j c c c =时，则按序将每个给定位移都作上述修正，得到全部进行修正后的K 和P ，然后解方程即可得到包括给定位移在内的全部结点位移值。
0 ()ijjjk i j k α≈≠ ()jj ij k k i j α>>≠PPT 式2.5.5必考题（即矩形单元插值函数）： 建立局部坐标如图：各点、各边在局部坐标下的坐标或公式为： 1（1,1） 2（-1,1） 3（-1，-1） 4（1，-1） 0-12-1=η：0-14-1=ξ：013-2=+ξ：014-3=+η：求解1N 需划线：2-3,3-4，得：)1)(1(1ηξ++=k N ，将1点代入得：41=k 。
则有：)1)(1(411ηξ++=N)1)(-1(412ηξ+=N)-1)(-1(413ηξ=N)-1)(1(414ηξ+=N二次单元面积坐标（写形函数、特殊点面积坐标、求等效结点载荷） 第三章一维二维拉格朗日形函数： 一维xy 坐标：()ji j nij j i x x x x x N --∏=≠=,1一维0-1坐标（其中，ξ值在0-1间线性插值确定）()ji jni j j i N ξξξξξ--∏=≠=,1三角形单元采用面积坐标，四边形单元采用0-1坐标，划线法得结果。
Serendipity 单元形函数：第四章：等参元的概念和优点：等参变换是对单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换，采用等参变换的单元称之为等参数单元。
优点:对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序。
等参单元的收敛性：等参单元的插值函数与母单元相同，母单元收敛故等参单元收敛。
计算二维情形下的雅各比矩阵并证其为常数： 对于二维平行四边形有，''''''441131241122''''''443331241144(,)(,)i i i i i i i i x y N N N N N N x y x y x y J x y N N N N N N x y x y ξξξξξξξηηηηηηη⎡⎤⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑（7.1）等参变换下取，'i iN N =，而在自然坐标下不妨设该平行四边形的四边的方程分别为：①0a b ηξ-+=②0c η-=③0a b ηξ--=④0c η+= 从而知道：11()()N k a b c ηξη=--+；22()()N k a b c ηξη=-++；33()()N k a b c ηξη=-+- 44()()N k a b c ηξη=---。
其中，114k ac =-，214k ac =，314k ac =-，414k ac =解得四个节点的坐标，一并代入方程7.1得：J 的四个元素均为常数，故有4节点平行四边形二维单元的雅可比矩阵是常数矩阵。
等参变换的条件及|J|=0的条件：等参变换的条件为雅各比行列式不为零，其为零的情况为：0||=ξd 或0||=ηd 或0),sin(=ηξd d 。
积分点个数的选取：对于空间8节点（线性）六面体单元：(,)i N ξη∝1,,,,,,,x y z xy yz zx xyzT B DB 221,,,,,x xy xz x y ∝=J 常数所以2m =因而积分点数为：222⨯⨯矩阵对于空间20节点（二次）六面体单元：(,)i N ξη∝2223332222221,,,,,,,,,,,,,,,,,,,x y z x y z x y z xy yz zx x y xy x z xz y z yz xyzT B DB 41,,,,,x xy xz x ∝11.52m n +≥==J 常数所以4m =因而积分点数为：333⨯⨯矩阵。
第九章：轴力杆单元的刚度矩阵：2结点：()()ξξ+=-=121,12121N N ，则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=1111l EA K e3结点：()()121-11-213221+===ξξξξξN N N ，，，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=148-1-8-1621214l EA K e4结点：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=46-266-126-12-26-46612-612l EA K e 第十三章：动力学有限元与静力学有限元的区别和联系：相同：①网格是相同的；②形函数是一样的；③几何方程、应力应变关系相同；④刚度系数矩阵一样。
不同：①动力学问题的位移、应力应变均与时间有关；②动力学问题包含质量矩阵和阻尼矩阵，即有限元方程不同；③动力学问题将偏微分方程化为了常微分方程；静力学问题将偏微分方程化为了线性方程；④动力学问题方程求解更复杂，时间更长。