于一些特殊正项级数敛散性的判别法
8.2正项级数敛散性的判别
∞
证 ： ≤1 级 发 ； >1 级 收 。 明 p 时 数 散 p 时 数 敛 ∞ 1 解: (1) p = 1时, 调和级数 ∑ 发散 . n =1 n ∞ ∞ 1 1 1 ( 2) p < 1时， ≤ p Q ∑ 发散，∴ ∑ 1 发散. 发散， p n n n =1 n n =1 n ( 3) p > 1时， 方向：证原级数 某一收敛级数 方向：证原级数<某一收敛级数 ∞ 1 1 1 1 1 1 1 ∑ np = 1 + 2p + 3p + 4p + 5p + 6p + 7p +L n =1 1 1 1 1 1 1 < 1 + ( p + p ) + ( p + p + p + p ) + L 几何级数 2 2 4 4 34 4 2 n ∞ 1 1 1 1 收敛！ < 1 + p −1 + p−1 + p −1 + L = ∑ p−1 收敛！ 2 n=0 2 2 2 +∞ 1 此 论 广 积 ∫ dx的 散 相 。 敛 性 同 ∴ 原级数收敛。 结 与 义 分 原级数收敛。 p 1 x
的敛散性。 例2.判定∑ 2 sin n的敛散性。 3 n =1 解: 由于当 x > 0时， < sin x < x 0 n π 2 n n π 故0 < 2 sin n < 2 n = π ( n = 1,2L) 3 3 n 3 ∞ 2 2 Q ∑ π 为公比是 的几何级数， 收敛 的几何级数， n =1 3 ∞3 π n ∴由比较判别法知 ∑ 2 sin n收敛。 收敛。 3 n =1
判断级数的敛散性的方法
判断级数的敛散性的方法要判断级数的敛散性，我们可以使用不同的方法和定理。
下面我将介绍一些常用的方法和定理。
1. 常比较法：常比较法是判断级数收敛性最常用的方法之一。
当我们需要确定一个级数是否收敛时，我们可以将它与一个已知收敛或发散的级数进行比较。
1.1. 比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若对于n＞N，总有a_n≤b_n，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。
1.2. 极限比较法：设a_n和b_n是两个正数列，若存在正数λ，使得对于足够大的n，总有0≤a_n / b_n ≤λ，则有以下结论：a) 若级数∑b_n收敛，则级数∑a_n也一定收敛；b) 若级数∑a_n发散，则级数∑b_n也一定发散。
使用比较法时，我们可以通过找到一个已知的收敛或发散的级数，将其与我们需要判断的级数进行比较。
根据比较的结果，我们可以得出结论。
2. 极限判别法：极限判别法是一种通过普遍公式或形式上的特殊处理，通过对级数的极限进行判断来判断级数的敛散性的方法。
2.1. 根值判别法：设a_n≥0，乘幂项是级数常见的形式之一，即∑a_n的n次方。
如果存在正数p 使得lim(n→∞)√n*a_n = a，则有以下结论：a) 若a < 1，则级数∑a_n收敛；b) 若a > 1，则级数∑a_n发散；c) 若a = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。
2.2. 比值判别法：设a_n≠0，存在lim(n→∞) a_n+1 / a_n = q，则有以下结论：a) 若q < 1，则级数∑a_n绝对收敛；b) 若q > 1，则级数∑a_n发散；c) 若q = 1，则极限判别法不能确定级数的敛散性。
2.3. 积分判别法：对于一些形式上类似于函数积分的级数，我们可以使用积分判别法来判断其敛散性。
设f(x)是一个连续正函数，自变量x在[a, ∞)上连续递减，则有以下结论：a) 若∫(a, ∞) f(x) dx收敛，则级数∑f(n)从n = a到∞收敛；b) 若∫(a, ∞) f(x) dx发散，则级数∑f(n)从n = a到∞发散。
正项级数敛散性判别法的讨论
根据柯西准则的否命题判定某些级数的发散性，这一点经常用到而且非常方便．
例1[1](P8)用柯西收敛准则的否命题证明调和级数的发散性．
证明略．
阿贝尔判别法和狄利克雷判别法是适用范围比较广泛的两种判别法．对于某一具体的数项级数，如果它是两个级数通项积的形式时，可以首先考虑这两种判别法．较之于定义与柯西收敛准则，其优越性就非常明显了．
证明(ⅰ)由已知条件得
存在 ，当 时，有
由于当 时， 级数是收敛的，故由比较原则得 收敛．
同理可证（ⅱ）成立．
定理7[10](P1)高斯判别法设 为正项级数，且存在某正整数 及常数 ,
（ⅰ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 收敛；
（ⅱ）若对一切 ，成立不等式
，
则级数 发散．
定理8设 是正项级数，且存在某正数 及常数 ，
则
，
而
（10）
由（2）式得
．（11）
由（4）式得
= ．（12）
其中
．（13）
由（2）（5）（6）（7）（8）（12）（13）式得
= ．（14）
由（6）（7）（8）（10）（11）（14）式得
．（15）
由于 故存在 ，当 时，有
．（16）
由（9）（15）（16）式一定存在 ，
当 ，有 即： ,
由于 收敛，由引理1， 收敛．
3结论
任何收敛的正项级数都存在比它收敛慢的正项级数；任何发散的正项级数都存在比它发散慢的正项级数．因此通过选择级数作为“比较标准”建立一个对一切正项级数都有效的收敛判别法或发散判别法是不可能的．例如可以考虑用 或其它级数作为比较对象建立起比以上判别法更优越的判别法．
以上几种具体的正项级数的判别法都是以比较原则为基础，选用不同收敛级数作为比较对象，得到不同的判别法．正项级数敛散性判别法的判别范围广泛与否，取决于它的比较对象的选取，比较对象的收敛速度越慢，它的使用范围越广．而正项收敛级数的收敛速度完全取决于这个无穷小的“阶”，即当 时它以什么样的速度趋近于零．
数项级数敛散性判别法
数项级数敛散性判别法数项级数是由一系列数值相加而得到的无穷级数。
在数学中，我们经常需要判断一个数项级数的敛散性，即判断它是否会无限逼近一个有限值（收敛）或者永远无法收敛（发散）。
下面将介绍一些常见的判断数项级数敛散性的方法。
1.正项级数判别法（比较判别法）：对于一个数项级数∑an，如果对于所有的n，都有an≥0，并且an+1≤an，那么我们可以使用正项级数判别法来判断敛散性。
即如果极限值lim(n→∞)an=0，则级数收敛；如果极限值lim(n→∞)an>0，则级数发散。
2.比值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)an+1/an=r，那么根据r的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
3.根值判别法：如果存在一个正数r，使得lim(n→∞)√(n)(an) = r，那么根据r 的大小，可以判断原级数的敛散性。
具体判别如下：-如果r<1，那么级数收敛；-如果r>1，那么级数发散；-如果r=1，判别不出来，需要使用其他方法进行判断。
4.绝对收敛与条件收敛：如果一个级数的各项都是正数，并且该级数收敛，那么称该级数是绝对收敛的。
如果一个级数是收敛的，但其对应的绝对值级数是发散的，则称该级数是条件收敛的。
5.莱布尼茨判别法：对于一个交替级数∑((-1)^(n+1)*bn)，如果满足以下条件，那么该级数收敛：- bn>0，即各项都是正数；- bn≥bn+1（递减趋势）；- lim(n→∞)bn=0。
6.积分判别法：如果能够找到一个函数f(x)，使得f(x)在[1,∞)上连续且单调递减，并且∑an与∫f(x)dx之间有关系，那么可以使用积分判别法来判断敛散性。
具体判别如下：- 如果∫f(x)dx收敛，那么∑an也收敛；- 如果∫f(x)dx发散，那么∑an也发散。
正项级数敛散性的判别法
2
⎠
正项级数的根值判别法有改进的形式， 如果 （3）lim
n n → +∞
a n ＜1， 则级数收敛； （4）lim n a n
n → +∞
＞1，则级数发散。 由此可以看到比值判别法与根值判别法有 一些相同的地方，而且它们之间有一定的联系。 因为，如果 lim
a n +1 按有限的或无穷的意义存 n → +∞ a n 在的，那么 lim n a n 也存在，如果比值判别法
∞
1 1 lim n a n = ， lim n a n = ， n → +∞ n → +∞ 2 3
则有 lim
n n → +∞
∑n
n =1
1
p
是比几何级数更精密 ”
a n = l 不存在， 根值判别法由于
∞ −n
(−1)n + 5 ⎞ 是发散的。 l 不存在而失效， 但是 ∑ ⎛ ⎜ ⎟
n =1
⎝
n→+∞
lim
a a an+1 1 = , lim n +1 = 27 , 则 有 lim n +1 = l 不 → +∞ n n → +∞ an an an 3
∑n
n =1
∞
1
3
是收敛的，此时 存在，但是
∑3
n =1
∞
n − ( −1) n
是发散级数。
a n +1 n3 = lim = 1 = l ，即比值判别 n → +∞ a n → +∞ (1 + n) 3 n lim
( −1)n −n n
学出版社,1984.
n → +∞
级数敛散性的判别方法
级数敛散性的判别方法级数是数学中一个重要的概念，它在分析、微积分等领域有着广泛的应用。
在研究级数时，一个重要的问题就是判别级数的敛散性。
本文将介绍几种常见的判别方法，帮助读者更好地理解级数的敛散性。
首先，我们来看级数的敛散性定义。
对于一个级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果它的部分和数列${S_n}$收敛于某个值$S$，即$\lim_{n \to \infty}S_n=S$，那么我们称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$是收敛的，$S$称为级数的和。
如果${S_n}$发散，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$就是发散的。
接下来，我们将介绍几种判别级数敛散性的方法。
一、比较判别法。
比较判别法是判别级数敛散性常用的方法之一。
设$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$和$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$是两个级数，如果对于所有的$n$，都有$0 \leq a_n \leq b_n$，且$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$收敛，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也收敛；如果$\sum_{n=1}^{\infty}b_n$发散，那么$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$也发散。
二、比值判别法。
比值判别法是判别正项级数敛散性的一种方法。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，计算极限$\lim_{n \to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}$，如果这个极限存在且小于1，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$收敛；如果这个极限大于1或者不存在，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$发散；如果这个极限等于1，比值判别法不起作用，需要使用其他方法进行判别。
三、积分判别法。
积分判别法适用于正项级数。
对于正项级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$，如果函数$f(x)$在$[1, +\infty)$上连续、单调递减且非负，那么级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与积分$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$的敛散性是等价的，即$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$与$\int_{1}^{\infty}f(x)dx$同时收敛或者同时发散。
[理学]第二节正项级数敛散性的判别
![[理学]第二节正项级数敛散性的判别](https://img.taocdn.com/s3/m/0880fbfeb14e852458fb5778.png)
u 取特殊值 vn n (对 )
则 (1)当 0 c 时,
√ u 与 v
n 1 n n 1
目标: c1vn un c2vn
n
有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
1
1 2 且 n n 1
收敛, 故 n 2 n
1 n n
2
收敛.
1 例2 判断 p 级数 n p 的敛散性. n 1 1 1 1 解 当 p 1时 n p n 而 n 发散 n 1
1 故 n p发散. n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当 p 1时 1 p p p p p p p p (1) 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( p p ) ( p p p p ) ( p p p ) ( 2) 2 3 4 5 6 7 8 9 15
则 (1)当 0 c 时,
n 1 n n 1 n
目标: c1vn un
u 与 v 有相同的敛散性;
v n 收敛, un 也收敛; (2)当 c 0 时,若 n 1 n 1
v n 发散, un 也发散. (3)当 c 时,若 n 1 n 1
从而 故
un1 un
lim un 0
n
un 发散. 所以 n 1
un1 lim l 时 , 因 (2)当 n u n
故 对 M 1 0, 存在正整数 N , 当 n N 时, 有 即 故
正项级数敛散性的判别(2)
收敛
例7
n1 n1 n2 1
n1
lim
n
n2
1
1 1， n
发散
例8
1
n1 ln(1 n2 )
1
lim
n
ln(1
n2
)
1 n2
1，收敛
10
*例9
设常数
p
0
,试判别级数
n1
ln
np np
1
的敛散性.
解
lim
n
ln
n
p np
1
1 np
1
所以原级数当 p 1 时收敛，当 0 p 1 时发散.
从某项起,恒有un kvn ,(k 0) .
3
例1
判断级数
1
n1 sin 2n
的收敛性.
解
因为
0
s
in
1 2n
1 2n
,
而 1 收敛,
2n
n1
所以原级数收敛.
4
例2
讨论 p-级数
1 的收敛性(p 0 ).
np
n1
解
当
p 1 时,
1 np
1， n
y
而调和级数
1 发散,
n1 n
故原级数发散；
例10
(1 cos )
n1
n
解
lim(1 cos )
n
n
1 lim 1 ( )2
n2 n 2 n
1 2 n2 2 ,
收敛.
11
例11
1 n1 3n n
lim
n
3n
1
n
1 3n
1，
而 1 收敛, 所以原级数收敛. 3n n1
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级数是高等数学教学中的一个重要内容,而正项级数又是级数的重要组成部分,判别正项级数敛散性的方法很多,文章主要讨论了正项别方法,使级数敛散性的判别变得更为简单.
4.期刊论文 刘羽 正项级数敛散性的判别法研究 -网络财富2009,""(23)
下载时间：2010年8月11日
6.期刊论文 李晓康 正项级数敛散性的一个判别法则 -汉中师范学院学报2004,22(6)
利用正项级数的基本定理、比较判别法及p-级数的敛散性,给出了正项级数敛散性的一个判别法则,并给出了实例.
7.期刊论文 贾达明.范新华 正项级数敛散性的一种简易判别法 -昌吉学院学报2002,""(3)
本文讨论正项级数敛散性的判别方法,在柯西积分判别法的基础上,运用积分判别法来证明一系列定理,得到关于正项级数敛散性的一些简易判别法 ,并用此法来解决一些相关问题.
2.期刊论文 阎家灏 正项级数敛散性的一种审敛法 -兰州工业高等专科学校学报2004,11(4)
判定正项级数敛散性有多种方法,D'Alembert判别法(或称比值审敛法)是其中比较适用的判别方法.基于D'Alembert判别法,利用正项级数部分和数列 有界必收敛的原理,论证了两个定理,得到了适用判别正项级数的项是单调递减的这类正项级数敛散性的一种精细审敛法.
判定级数的敛散性是级数的首要问题,在研究其它短数的敛散性时,常常归结为研究正项级数的敛散性.人们已经创造了很多判定正项级数敛散性的方 法,其中,比较审敛法适应于一切正项级数.然而,恰当的比较对象要实际寻找出来很难.本文给出了一种简单而有效的审敛方法,这种方法不仅可以替代用 比较审敛法判定一些级数的敛散性,还可以帮助我们猜想一个级数的敛散性,因而给我们再用其它方法判定一个级数的敛散性提供正确的思路.
对于正项级数敛散性判定,当比式判别法失效时,给出一种新方法.该方法在判别某些正项级数敛散时比拉贝判别法更方便.
10.期刊论文 周玉霞 关于正项级数敛散性判定的一类方法 -大学数学2006,22(1)
判定正项级数∑∞n=1an的敛散性,当达朗贝尔或柯西判别法失败后,可用本文提供的方法判定敛散性.
本文链接：/Periodical_zgkjxx200901012.aspx 授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：0efdd4c0-043a-446b-9b85-9dcf00b006fc
级数是研究函数的一个重要工具,正项级数的敛散性判别是级数中非常重要的内容之一.本文结合自己对级数教学的总结,通过典型实例来对正项级数 敛散性的判别法进行初浅的研究.
5.期刊论文 范锡良.FAN Xi-liang 关于正项级数敛散性的一个注记 -常熟理工学院学报2008,22(4)
对正项级数∑∞n=1an的敛散性作了一些讨论,得到了一个判定正项级数敛散性的新方法.通过例证,可以说明此方法是达朗贝尔或拉贝判别法的推广.
若帅“螂上）一．则
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ｏ（ｅ时．ｔ项级数乞“班散１
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级数敛散性的判别法
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！；：；；冀篙擎；！鬻：：筹
万方数据
关于一些特殊正项级数敛散性的判别法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
冯江浪 成都理工大学,610059
中国科技信息 CHINA SCIENCE AND TECHNOLOGY INFORMATION 2009，""(1) 0次
参考文献(3条) 1.B.Ⅱ.吉米多维奇 数学分析习题集题解 1983 2.华东师范大学数学系 数学分析 1991
3.杨钟玄 对推广Raabe判别法再讨论[期刊论文]-大学数学 2007(02)
相似文献(10条)
1.期刊论文 李智军 判定正项级数敛散性的一种简便方法 -科技资讯2008,""(29)
例２：州别Ｅ￡。的敛赦性
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一ｃｊ脚；：ｒ一锶譬：等ｉ半警社，，
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8.期刊论文 孙仁平 正项级数的敛散性的P级数判别 -世界华商经济年鉴·高校教育研究2008,""(13)
文献给出了正项级数收敛与发散的几种判别方法,在此基础上,作为补充利用p级数∑1/np给出判断正项级数敛散性的其它几种方法.
9.期刊论文 钱伟懿.QIAN Wei-yi 正项级数敛散性一种判别方法 -渤海大学学报（自然科学版）2008,29(2)
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