最多约数问题
七大数学世纪难题的内容
七大数学世纪难题的内容七大数学世纪难题，是影响数学发展的重大事件，它们构成了数学史上最复杂的挑战，也发展成了数学史上最有影响力的问题。
这些难题包括：泰勒猜想、布朗问题、演算P-NP问题、素数猜想、分治算法、Riemann假设和最大公约数问题。
接下来，本文将从以下几个方面详细介绍这些难题：定义、历史、研究进展和当前状况。
泰勒猜想是一个最著名的数学难题，它源于希腊数学家安东尼泰勒（Archimedes）。
他猜想所有自然数都可以用一系列完全平方数的和表示。
这个猜想问题一直没有被证明，直到19世纪，由英国数学家亚历山大拉斐尔泰勒（Alexander Lloyd）提出泰勒猜想的约束，即只有在某种特定的条件下才能够得出正确的答案。
布朗问题，也被称为“罗宾逊猜想”，源于美国数学家爱德华布朗（Edward Brown）。
他猜想现有的任何一种分流网络可以使得每一条连接节点的流量都相等。
但这个猜想未能得到证明，直到2008年，美国研究者唐尼鲍曼（Toni Boman）提出了另一种改进的分流网络算法，使得其可以有效解决现有的布朗问题。
演算P-NP问题，源自美国数学家斯蒂芬丹尼尔施瓦茨（Stephen Daniel Schwartz）和美国计算机科学家克雷格汉斯（Craig Hans）。
他们猜想某种特定的演算法可以被用来迅速解决复杂的动态规划问题，但他们没有找到一种有效解决问题的方法。
直到2010年，一组研究人员设计出了一种新的演算算法，能够在有限的时间内有效解决复杂的动态规划问题，证实了演算P-NP问题的猜想。
素数猜想，是一个数学难题，源于希腊数学家尤里凯撒（Euclidean）。
他猜想所有的大于一的正整数都可以表示为两个素数的和。
这个难题一直没有被证实，直到2003年，一组数学家使用量子计算机对其进行测试，他们的实验结果表明，即使在费米子假设（fermion conjecture）的情况下，这个猜想也可以被解决。
分治算法也是一个很有趣的数学难题，它源于英国数学家罗伯特普莱斯（Robert Piles）。
最多约数问题
最多约数问题答案解析与勘误分类：算法设计2013-01-17 16:22 234人阅读评论(0) 收藏举报剪枝最多约数问题递归算法问题描述：正整数x的约数是能整除x的正整数。
正整数x 的约数个数记为div(x)。
例如，1，2，5，10 都是正整数10 的约数，且div(10)=4。
设a 和b 是2 个正整数，a≤b，找出a和b之间约数个数最多的数x。
编程任务：对于给定的2个正整数a≤b，编程计算a 和b 之间约数个数最多的数。
数据输入：输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。
文件的第1 行有2 个正整数a和b。
结果输出:程序运行结束时，找到a 和b之间约数个数最多的那个数及最多约数个数。
测试数据：【只给出最多约数个数, time limit: 1s】问题分析下面的解析摘自网上一篇博客（来源/sarah_jieyu/article/details/6512030），标红部分是我自己添加上去的。
本题的要求是，求出一个给定区间内的含约数最多的整数。
首先明确一下如何求一个数的约数个数：若一个数N满足：N = A1N1 * A2N2 * A3N3* …… * Am Nm，则n的约数个数为(N1 + 1) (N2 + 1) (N3 + 1) …… (Nm + 1)。
这是可以用乘法原理证明的。
最浅显的算法是，枚举区间内的每个整数，统计它们的约数个数。
这个算法很容易实现，但是时间复杂度却相当高。
因为题目约定区间的最大宽度可以达到10^9的数量级，相当庞大。
因此，在极限规模时，时间是无法忍受的。
所以，我们需要尽量的优化时间。
分析一下枚举的过程就会发现，如果我们枚举到两个数n和m*n（m为一相对于n较大的质数），那么我们将重复计算n的约数两次。
据此，我们发现了枚举效率低的根本所在。
为了解决这一重复，我们可以选取另一种搜索方法——以质因子为对象进行深度搜索。
初始时，令number := 1，然后从最小的质数2开始枚举，枚举包含一个2、两个2……n 个2的情况……直至number * 2n大于区间的上限（max）。
小学奥数经典专题点拨：约数与倍数
约数与倍数【约数问题】例1 用1155个同样大小的正方形拼成一个长方形，有______种不同的拼法。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：不论拼成怎样的长方形，它们的面积都是1155。
而长方形的面积等于长乘以宽。
所以，只要将1155分成两个整数的积，看看有多少种方法。
一般来说，约数都是成对地出现。
1155的约数共有16个。
16÷2=8（对）。
所以，有8种不同的拼法。
例2 说明：360这个数的约数有多少个？这些约数之和是多少？（全国第三届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：将360分解质因数，得360=2×2×2×3×3×5=23×32×5。
所以，360的约数个数是：（3+1）×（2+1）×（1+1）=24（个）这24个约数的和是：例3 一个数是5个2，3个3，2个5，1个7的连乘积。
这个数当然有许多约数是两位数，这些两位的约数中，最大的是几？（全国第一届“华杯赛”决赛第一试试题）讲析：这个数是2×2×2×2×2×3×3×3×5×5×7。
把两位数从99、98、……开始，逐一进行分解：99=3×3×11； 98=2×7×7；97是质数； 96=2×2×2×2×2×3。
发现，96是上面数的约数。
所以，两位数的约数中，最大的是96。
例4 有8个不同约数的自然数中，最小的一个是______。
（北京市第一届“迎春杯”小学数学竞赛试题）讲析：一个自然数N，当分解质因数为：因为8=1×8=2×4=2×2×2，所以，所求自然数分解质因数，可能为：27，或23×3，或2×3×5，……不难得出，最小的一个是24。
约数与最大公约数
约数与最大公约数数学是一门严谨而又富有创造力的学科，它贯穿于我们日常生活的方方面面。
而作为初中数学的一部分，约数与最大公约数是我们必须掌握的重要概念。
本文将从实际问题出发，通过举例、分析和说明，详细介绍约数与最大公约数的概念、性质和应用。
一、约数的概念与性质约数是指能够整除某个数的数，例如，数5的约数有1和5，数12的约数有1、2、3、4、6和12。
我们可以发现，一个数的约数可以是1，也可以是它本身，同时还可以是介于1和它本身之间的其他数。
因此，约数有无穷多个。
约数有一些重要的性质。
首先，任何一个数都是它本身的约数。
其次，如果一个数是另一个数的约数，那么这个数的约数也是另一个数的约数。
例如，数6是数12的约数，而数3是数6的约数，那么数3也是数12的约数。
最后，如果一个数是另一个数的约数，那么这个数的倍数也是另一个数的约数。
例如，数2是数4的约数，那么数4的倍数6也是数4的约数。
二、最大公约数的概念与求解方法最大公约数是指两个或多个数共有的约数中最大的一个。
例如，数12和数18的最大公约数是6，因为6是12和18的公约数，并且没有比6更大的公约数。
求解最大公约数有多种方法，其中最常用的方法是质因数分解法。
质因数分解法是将一个数分解成质数的乘积，然后找出两个或多个数的公共质因数，并将这些质因数相乘得到最大公约数。
例如，数12的质因数分解是2 × 2 × 3，数18的质因数分解是2 × 3 × 3，它们的最大公约数是2 × 3 = 6。
除了质因数分解法，还可以使用欧几里得算法求解最大公约数。
欧几里得算法的基本思想是，两个数的最大公约数等于其中较小数与两数相除的余数的最大公约数。
例如，数12和数18，我们可以先计算12 ÷ 18，得到余数12，然后计算18 ÷12，得到余数6，再计算12 ÷ 6，得到余数0。
当余数为0时，最后一次相除的被除数就是最大公约数，即6。
数字的约数应用题
数字的约数应用题在数学中，约数是指一个数能够被另一个数整除，且整除后没有余数。
求解约数问题在实际生活中有许多应用，比如数学领域中的因数分解，以及在商业、工程和计算机科学等领域中的应用。
本文将通过几个应用题来探讨数字的约数在实际问题中的应用。
1. 问题一：小明想知道他的年龄有哪些可能性。
已知小明的年龄是48，他希望将年龄分解成两个不同的正整数的乘积。
请问有哪些年龄的可能性？解析：根据问题描述，我们需要找出48的正整数约数，并将其分解成两个不同的正整数的乘积。
首先，找出48的约数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48。
然后，将这些约数进行两两组合，得出所有可能的年龄：(1, 48), (2, 24), (3, 16), (4, 12), (6, 8)。
因此，小明的年龄有5种可能性。
2. 问题二：一个长方形花坛占据了一片空地，其长度和宽度分别为24米和16米。
现在需要在花坛周围修建一条固定宽度的人行道。
如果人行道的宽度是2米，那么需要多少长度的栏杆用来围住整个花坛？解析：为了计算栏杆的长度，我们需要计算花坛外部的周长。
首先，计算花坛的周长：2 × (24 + 16) = 80米。
然后，计算人行道的周长：2× (24 + 2 × 2) + 2 × (16 + 2 × 2) = 2 × (52) = 104米。
最后，计算栏杆的长度：104米 - 80米 = 24米。
因此，需要24米的栏杆来围住整个花坛。
3. 问题三：某个国家的货币有5分、10分、25分和50分四种面额的硬币。
现在小明需要支付75分，他希望用尽量少的硬币来支付。
请问他最少需要多少个硬币？解析：为了找出最少需要的硬币数量，我们可以反过来思考。
首先，我们尽量使用面额最大的硬币。
75分可以使用3个50分硬币来支付（150分）。
剩下的需要支付25分，可以使用1个25分硬币来支付（175分）。
数学总结最大公约数的应用题
数学总结最大公约数的应用题在数学中，最大公约数是指两个或多个整数中能够整除它们的最大正整数。
最大公约数具有很多应用，可以用来解决各种实际问题。
本文将从不同角度介绍最大公约数的应用。
一、最大公约数在分数化简中的应用在数学中，我们经常需要对分数进行化简操作，而最大公约数正是用来化简分数的强力工具。
例如，对于分数3/9，我们可以找到其最大公约数为3，然后将分子和分母分别除以最大公约数，得到1/3，这就是分数3/9的最简形式。
同样的方法也可以应用于更复杂的分数化简问题。
二、最大公约数在比例问题中的应用比例问题是数学中常见的实际应用问题，而最大公约数在比例问题的解决过程中发挥着重要作用。
考虑一个简单的例子：甲乙两人按比例分配了一些货物，已知甲分得的货物数量是乙的2倍，而他们共同分得的货物数量是60个，我们需要求甲和乙各自分得的货物数量。
我们可以利用最大公约数的概念解决此类问题。
设乙分得的货物数量为x 个，则甲分得的货物数量为2x个，根据题意可得2x + x = 60，化简得到3x = 60，最后解得x=20，代入可得甲分得的货物数量为40个，乙分得的货物数量为20个。
三、最大公约数在时间、速度问题中的应用最大公约数也可以应用于时间和速度相关问题的求解。
例如，假设一辆火车从A地出发，速度为每小时60公里，同时一辆汽车从B地出发，速度为每小时75公里，两者相距300公里。
我们需要求出两辆车相遇需要多长时间。
解决这类问题时，我们可利用最大公约数来对车辆的速度进行化简。
两车相遇的条件是它们行驶的路程相等，即时间相等。
设两车相遇的时间为t小时，则火车行驶的距离为60t公里，汽车行驶的距离为75t公里。
根据题意可得60t + 75t = 300，进一步化简得135t = 300，最后解得t ≈ 2.22小时。
四、最大公约数在图形分割问题中的应用最大公约数还可以应用于图形分割问题的求解过程中。
例如，考虑一个正方形地毯需要被切割成尽可能多的小正方形地毯，且每个小正方形地毯的边长都是整数。
求最大公约数的方法
求最大公约数的方法最大公约数，简称最大公因数，是指两个或多个整数共有约数中最大的一个。
在数学中，求最大公约数是一个常见的问题，它在数论、代数等领域都有着重要的应用。
下面我们将介绍几种常见的求最大公约数的方法。
1. 辗转相除法。
辗转相除法，又称欧几里德算法，是一种求最大公约数的有效方法。
它的原理是利用两个整数的除法运算，不断地用较小的数去除较大的数，然后用余数替换原来的除数，直到余数为0为止。
最后的除数就是这两个整数的最大公约数。
例如，我们要求出36和48的最大公约数。
首先用48除以36，得到商1余数12，然后用36除以12，得到商3余数0。
因此，36和48的最大公约数为12。
2. 穷举法。
穷举法是一种直观的求最大公约数的方法。
它的原理是列举出两个整数的所有约数，然后找出它们的公共约数中最大的一个。
以24和36为例，首先列举出24的约数，1，2，3，4，6，8，12，24；然后列举出36的约数，1，2，3，4，6，9，12，18，36。
最后找出它们的公共约数，1，2，3，4，6，12，其中最大的是12，因此24和36的最大公约数为12。
3. 质因数分解法。
质因数分解法是一种基于质因数分解的求最大公约数的方法。
它的原理是将两个整数分别进行质因数分解，然后找出它们共有的质因数，再将这些质因数相乘即可得到它们的最大公约数。
以60和84为例，首先将它们分别进行质因数分解，60=2^235，84=2^237。
然后找出它们共有的质因数，2^2和3，再将它们相乘得到12，因此60和84的最大公约数为12。
4. 更相减损术。
更相减损术是一种古老的求最大公约数的方法。
它的原理是用较大的数减去较小的数，然后用得到的差替换原来的较大数，如此循环直到两数相等为止。
最后的相等数就是这两个整数的最大公约数。
以126和84为例，首先用较大的数126减去较小的数84，得到42，然后用84减去42得到42，最后42减去42得到0。
数的整除性与最大公约数知识点总结
数的整除性与最大公约数知识点总结在数学中，数的整除性与最大公约数是一个重要的概念。
了解和掌握这些知识点对于学习和解决数学问题至关重要。
本文将对数的整除性和最大公约数进行总结和讲解。
一、数的整除性数的整除性是指一个数能够被另一个数整除。
在数学中，我们常用符号“|”来表示整除。
例如，如果一个整数 a 能够被一个整数 b 整除，我们可以写作 a | b。
下面是数的整除性的一些基本性质：1. 如果 a | b 且 b | c，则 a | c。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的和、差、积和商。
2. 如果 a | b 且 a | c，则 a | (xb + yc)。
这意味着如果一个数能整除另外两个数，那么它也能整除这两个数的任意整数线性组合。
3. 如果 a | b，则 -a | b。
这意味着如果一个数能整除另一个数，那么它的负数也能整除同样的数。
4. 0 | a，其中 a 是任意整数。
这意味着 0 能整除任意整数。
但要注意，0 不能被任何数整除，因为除以 0 是没有意义的。
二、最大公约数最大公约数，简称为最大公因数，是指两个或者多个数中最大的能够同时整除这些数的正整数。
最大公约数有多种求解方法，下面简单介绍两种常用的方法：1. 穷举法：列举出两个数的所有因数，然后找出它们的公共因数中的最大值。
这种方法适用于较小的数。
例如，求解 24 和 36 的最大公约数，列举它们的因数如下：24 的因数为 1、2、3、4、6、8、12、24；36 的因数为 1、2、3、4、6、9、12、18、36。
我们发现它们的公共因数有 1、2、3、4、6 和 12，其中最大的是12，因此最大公约数是 12。
2. 辗转相除法：辗转相除法是一种快速求解最大公约数的方法。
它的基本思想是利用两个数的除法运算，将较大数除以较小数，然后再将余数除以除数，一直重复这个过程，直到余数为 0。
最后一个非零余数即为最大公约数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
问题描述：正整数x的约数是能整除x的正整数。
正整数x 的约数个数记为div(x)。
例如，1，2，5，10 都是正整数10 的约数，且div(10)=4。
设a 和b 是2 个正整数，a≤b，找出a和b之间约数个数最多的数x。
编程任务：对于给定的2个正整数a≤b，编程计算a 和b 之间约数个数最多的数。
数据输入：输入数据由文件名为input.txt的文本文件提供。
文件的第1 行有2 个正整数a和b。
结果输出:程序运行结束时，找到a 和b之间约数个数最多的那个数及最多约数个数。
测试数据：【只给出最多约数个数, time limit: 1s】[1, 36] 9[1000000, 2000000] 288[999998999, 999999999] 1024[1, 1000000000] 1344[999999999, 1000000000] 56[100, 1000000000] 1344———————————————————————————————————————————————————法一：主要就是查找一个整数的约数个数的效率问题，首先想到的是1-√x遍历。
逐个判断。
但是效率太低。
[cpp]view plain copyprint?1.#include <iostream>2.#include <fstream>3.#include <ctime>4.#include <cmath>ing namespace std;6.7.ifstream fin("input.txt");8.ofstream fout("output.txt");9.10.clock_t start,finish;11.double total_time;12.13.int div(int n)14.{15.int num = 0;16.for (int i = 1; i < sqrt((float)n); i++)17. {18.if (n%i == 0)19. {20. num += 2;21. }22.23. }24.25.if (n == (int)sqrt((float)n)*(int)sqrt((float)n))26. {27. num ++;28. }29.return num;30.}31.32.int caculateMaxdiv(int a, int b)33.{34.int maxNum = 0;35.for (int i = a;i <= b;i++ )36. {37.if ( maxNum < div(i))38. {39. maxNum = div(i);40. }41. }42.return maxNum;43.}44.45.int main()46.{47. start = clock();48.int a,b;49. fin>>a>>b;50. fout<<caculateMaxdiv(a,b)<<endl;51. finish = clock();52.53. total_time = (double)(finish - start)/CLOCKS_PER_SEC;54. fout<<total_time<<" s"<<endl;55.return 0;56.}法二：思想：设正整数x的质因子分解为x＝p1^N1 × p2^N2 ×……pi^Ni则div（x）＝(N1＋1)(N2＋1)……(Ni＋1)[cpp]view plain copyprint?1.#include<iostream>ing namespace std;3.#define max Max4.const long MAXP = 100000;5.long prim[MAXP];6.long max, numb, PCOUNT; //max存放最多约数个数，numb存放约数个数最多的数7.void primes(); //用筛选法产生质数存于prim数组中8.void search(long from, long tot, long num, long low, long up);9.int main()10.{11. primes();12.long l, u;13. cin >> l >> u;14.if ((l == 1) && (u == 1))15. {16. max = 1;17. numb = 1;18. }19.else20. {21. max = 2;22. numb = l;23. search(1, 1, 1, l, u);24. }25. cout << max << endl << numb << endl;26. system("pause");27.return 0;28.}29.30.void primes()31.{32.bool get[MAXP+1];33.long i;34.for (i = 2; i <= MAXP; i++)35. get[i] = true;36.for (i = 2; i <= MAXP; i++)37.if (get[i])38. {39.long j = i + i;40.while (j <= MAXP)41. {42. get[j] = false;43. j += i;44. }45. }46.long ii, j;47.for (ii = 2, j = 0; ii <= MAXP; ii++)48.if (get[ii]) prim[++j] = ii;49. PCOUNT = j;50.}51.52.void search(long from, long tot, long num, long low, long up)53.{54.if (num >= 1)55.if ( (tot > max) || ((tot == max) && (num < numb)) )56. {57. max = tot;58. numb = num;59. }60.if ((low == up) && (low > num)) search(from, tot*2, num*low, 1, 1);61.for (long i = from; i <=PCOUNT; i++)62. {63.if (prim[i] > up) return;64.else65. {66.long j = prim[i], x = low - 1, y = up, n = num, t = tot, m =1;67.while (true)68. {69. m++;70. t += tot;71. x /= j;72. y /= j;73.if (x == y) break;74. n *= j;75. search(i+1, t, n, x+1, y);76. }77. m = 1 << m;78.if (tot < max / m) return;79. }80. }81.}针对此方法的解析如下（源自网络）：本题的要求是，求出一个给定区间内的含约数最多的整数。
首先明确一下如何求一个数的约数个数：若一个数N满足：N = A1N1 * A2N2 *A3N3* …… * Am Nm，则n的约数个数为(N1 + 1) (N2 + 1) (N3 + 1) …… (Nm + 1)。
这是可以用乘法原理证明的。
最浅显的算法是，枚举区间内的每个整数，统计它们的约数个数。
这个算法很容易实现，但是时间复杂度却相当高。
因为题目约定区间的最大宽度可以达到10^9的数量级，相当庞大。
因此，在极限规模时，时间是无法忍受的。
所以，我们需要尽量的优化时间。
分析一下枚举的过程就会发现，如果我们枚举到两个数n和m*n（m为一相对于n较大的质数），那么我们将重复计算n的约数两次。
据此，我们发现了枚举效率低的根本所在。
为了解决这一重复，我们可以选取另一种搜索方法——以质因子为对象进行深度搜索。
初始时，令number := 1，然后从最小的质数2开始枚举，枚举包含一个2、两个2……n个2的情况……直至number * 2n大于区间的上限（max）。
对于每种“2^k的情况”，令number := number * 2n，再枚举3的情况，然后，枚举5的情况、7的情况……方法相同。
整个过程是一个深度搜索的过程。
当number大于等于区间下限（min）时，我们就找到了一个区间内的数，根据前面介绍的方法，可以得到它的约数个数。
所有的区间内的数的约数个数的最大值就是我们要求的目标。
为什么这种深度搜索可以减少常规枚举过程中的重复问题呢？请看下面的一个例子设给定的区间为[6,30],6,18,30为区间内的数，按照常规枚举方法，计算18,30，的时候分别计算了因子6的约数个数，重复计算2次。
如果使用上述所说的深度搜索方法，求这3个数的因数个数的路径有一条公共部分，2*3，这一部分只计算了一次，求18只需再乘个3，求30只需再乘个5，相对于常规枚举减少了两次计算2*3的时间。
但这种深度搜索也有问题，就是number有可能是无用的，下面的分析便是对这种深搜方法进行无用数据剪枝。
值得注意的是，我们枚举过程中得到的number可能无用的，即无论用number去乘以多少，都无法得到区间内的数。
这样的number如果继续枚举下去，无疑会大大降低效率。
那么，能否通过简单的判断，将其剪去呢？答案是可以的。
很容易证明，如果(min –1) div number < max div number，则区间内存在可以被number整除的数。
因为，如果区间[min, max]内存在可以被number整除的数，也即是从min到max中至少有一个数能被number整除，那么区间[min – 1, max]内的数被number除得的商肯定不止一种，所以(min – 1) div number必然小于max div number。
反过来，如果(min-1)div number=max div number,则[min,max]内不存在可以被number整除的数。