贝努利试验
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贝努利(Bernoulli)-模型
3 贝努利模型应用及实验操作过程
• (1)双方各出3人，n=3 P(系队胜)= P3 (2)+ P3 (3)= P3 (2 ≤X ≤ 3) = (0.4)2(0.6)+ (0.4)3=0.3520 • (2)双方各出5人， n=5 P(系队胜)= P5(3)+ P5(4)+P5(5)=P5 (3 ≤X ≤ 5)=0.3174 P( )= • (3)双方各出7人， n=7 P(系队胜)= P7(4)+ P7(5)+P7(6)+P7(7) =P7 (4 ≤X ≤ 7)=0. 2898 • 以上计算表明双方各出3人对系队有利。由于校队比系队 实力强又假定每队队员的水平平均， 即使校队个别队员出 现失误， 但场次越多其他队员越有机会扭转局面。
4 贝努利模型思考题
• 思考题1：用平台模型进行计算，当n较大而概率p较小时， 思考题1 计算机运行较慢，而且可能出现错误（溢出错误和舍入误 差）。这时我们应该怎么办？ • 解： 解：可以通过泊松分布 泊松分布来对二项分布进行检验 测试检验 检验。 发现很接近，n越大和P越小，近似程度越好。
4 贝努利模型思考题
5 思考题补充
• 假设每个飞机引擎在飞行中出故障的概率为1-p,而且各引 擎是否出故障是相互独立的,如果有至少50%的引擎能正常 运行,飞机能成功地飞行,问p至少为多大时，4引擎飞机比2 引擎飞机模型中，贝努利模型的表达式不准确写成Pn(k)，准确应 该为Pn{X=k}。且模型实验中缺少具体的实验建模过程。 • 原模型思考题1中，给出的用泊松分布X~B(n,p)检验贝努 利模型的方法是对的，但是参考检验数据不准确，一般当 n ≥100，p ≤0.1时，可以使用这种方法，并且泊松分布的 λ=np并不要求一定等于1，只要满足n、p的取值条件，就 可使用下式来检验。 P{X=m}= • 原模型中，思考题3的解答有误，修改内容如前。
贝努力概型
3 2
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2
下页Biblioteka 一、贝努里概型:重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
等价于 : ( p 1) (3 p 2) 0
2
所以 : p 2
3
例巴拿赫火柴盒问题）某数学家有两盒火柴， 每盒有ｎ根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取 一盒并从中任取一根。试求他首次摸到空盒时另 一个盒中还有ｒ根火柴的概率。 (1 r n)
解：假设两盒火柴分别为甲盒，乙盒。将拿火柴盒作为 一次试验，每次试验只有两个结果，或者拿到甲盒，或 者拿到乙盒，而且每次试验是相互独立的。所以本题是 贝努利概型。 假设他首次摸到的空盒为甲盒时。这时共用2n-r根火柴， 共拿火柴盒2n-r+1次。也就是做2n-r+1次试验，第2nr+1次拿的是甲盒，前2n-r次试验拿甲盒ｎ次，每次都从 甲盒中拿了一根火柴。
随机事件Ａ＝｛首次摸到空盒为甲盒时乙盒中还有ｒ根火柴｝， 随机事件Ｂ＝｛首次摸到空盒时另一盒中还有ｒ根火柴｝，则
P( A) C
n 2nr
1 n 1 nr 1 ( ) ( ) 2 2 2
同理，可得他首次摸到的空盒为乙盒时甲盒还有ｒ根火 柴的概率，所以：
P( B) 2C
n 2nr
1 n 1 nr 1 1 2 n r n ( ) ( ) C2 n r ( ) 2 2 2 2
下页Biblioteka 一、贝努里概型:重复地进行n次独立试验,各次试验条件相同.每次 试验成功的概率都是 p,失败的概率都是 q=1-p. 这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验， 简称贝努里试验或贝努里概型.
A A A A
1 2 k
k n k A p ( 1 p ) k 1 n
即事件A在指定的k次试验中出现，且在其余的(n-k)次试验 中不出现的概率为 pk (1-p) n-k。而这种指定方式共有Cnk 种，且
07二项分布
2、当p值趋于0.5时，分布趋于对称，如图4—10所示；
3、对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。
此外，在n较大，np、nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。
三、二项分布的概率计算及应用条件
【例4.9】纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。
容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：
1、P(x=k)=Pn(k) (k=0,1,…，n)
2、二项分布的概率之和等于1，即
3、 (4-15)
4、 (4-16)
5、 （m1<m2）(4-17)
二项分布由n和p两个参数决定：
1、当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如图4—9所示；
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n枚种蛋的出雏数、n头病畜治疗后的治愈数、n尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。
在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生Байду номын сангаас(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下 种：
二项分布定义如下：
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有
= k=0,1,2…，n
其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布(binomialdistribution),记为x～B(n,p)。
显然，二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)。
3、对于固定的n及p，当k增加时，Pn(k)先随之增加并达到其极大值，以后又下降。
此外，在n较大，np、nq较接近时，二项分布接近于正态分布；当n→∞时，二项分布的极限分布是正态分布。
三、二项分布的概率计算及应用条件
【例4.9】纯种白猪与纯种黑猪杂交，根据孟德尔遗传理论，子二代中白猪与黑猪的比率为3∶1。求窝产仔10头，有7头白猪的概率。
容易验证，二项分布具有概率分布的一切性质，即：
1、P(x=k)=Pn(k) (k=0,1,…，n)
2、二项分布的概率之和等于1，即
3、 (4-15)
4、 (4-16)
5、 （m1<m2）(4-17)
二项分布由n和p两个参数决定：
1、当p值较小且n不大时，分布是偏倚的。但随着n的增大，分布逐渐趋于对称，如图4—9所示；
在生物学研究中，我们经常碰到的一类离散型随机变量，如入孵n枚种蛋的出雏数、n头病畜治疗后的治愈数、n尾鱼苗的成活数等，可用贝努利试验来概括。
在n重贝努利试验中，事件A可能发生0，1，2，…，n次，现在我们来求事件A恰好发生Байду номын сангаас(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。
先取n=4，k=2来讨论。在4次试验中，事件A发生2次的方式有以下 种：
二项分布定义如下：
设随机变量x所有可能取的值为零和正整数：0,1,2,…，n，且有
= k=0,1,2…，n
其中p＞0，q＞0，p+q=1，则称随机变量x服从参数为n和p的二项分布(binomialdistribution),记为x～B(n,p)。
显然，二项分布是一种离散型随机变量的概率分布。参数n称为离散参数，只能取正整数；p是连续参数，它能取0与1之间的任何数值(q由p确定，故不是另一个独立参数)。
第四章 常见概率分布之二项分布和波松分布
样本均数和方差S2计算结果如下：
x =Σfk/n
=(120×0+62×1
+15×2+2×3+1×4)/200
=0.51
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s2
fk 2 ( fk ) 2 / n
n 1 2 2 2 2 2 2 (120 0 62 1 15 2 2 3 1 4 102 ) / 200 200 1
即得各项按波松分布的理论窝数。 波松分布与
相应的频率分布列于表4—7中。
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表4—4 畸形仔猪数的波松分布
将实际计算得的频率与根据λ=0.51的泊 松分布计算的概率相比较 ，发现畸形仔猪的频 率分布与 λ=0.51 的 波松分布是吻合得很好 的 。这进一步说明了畸形仔猪数是服从波松分 布的。
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【例4.14】 为监测饮用水的污染情况， 现 检验某社区每毫升饮用水中细菌数 ， 共得400 个记录如下：
0 1 p( x 1) C15 0.2 0 0.815 C15 0.210.814 0.1671
由计算可知 ， 注射 A 疫苗无效的概率为 0.0352，比B疫苗无效的概率0.1671小得多。 因此，可以认为A疫苗是有效的，但不能认为B 疫苗也是有效的。
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【例4.11】 仔猪黄痢病在常规治疗下死亡率 为20％，求5 头病猪治疗后死亡头数各可能值相 应的概率。 设5头病猪中死亡头数为x，则x服从二项分
作中，当 λ≥20时就可以用正态分布来近 似地处理波松分布的问题。
二、波松分布的概率计算
波松分布的概率计算，依赖于参数 λ的确定， 只要参数λ确定了 ，把k=0，1，2，… 代入 (4-23)式即可求得各项的概率。 但是在大多数 服从波松分布的实例中，分布参数λ往往是未知 的，只能从所观察的随机样本中计算出相应的样 本平均数作为 λ 的 估计值，将其代替(4-23) 式中的λ，计算出 k = 0，1，2，… 时的各项 概率。
伯努利试验特征
伯努利试验特征伯努利试验，又称二元抉择试验，是概率统计学上的一种实验方式，可以用来研究多种科学和社会问题。
这种试验方式在1700年代由英国科学家威廉伯努利（William Bernoulli）提出，因此得名。
伯努利试验具有以下几个特征：首先，伯努利试验具有明确的研究内容和研究目的，可以明确实验的结果。
其次，伯努利试验需要双方当事人，比如说实验者和受实验者，双方都知道试验是可重复的，实验结果也可以进行统计分析。
再者，伯努利试验需要严格控制所有的外部因素，确保实验结果的准确性。
此外，伯努利试验也要考虑结果的可靠性，并考虑到观察者带来的偏差影响。
最后，伯努利试验需要记录实验结果，使实验结果更加可靠有效。
伯努利试验的应用非常广泛，在心理学、社会学、经济学等众多领域，都有广泛应用。
在心理学研究中，伯努利试验可以用来研究人们在抉择当中的行为规律，从而帮助我们了解人类行为的本质特点。
此外，在社会科学研究中，伯努利试验可以帮助研究者探索不同文化背景下，人们对抉择和社会现象的反应。
由于这种实验方式可以模拟真实的社会场景和人们的抉择，因此，这种方式在社会学研究中的应用量非常大。
此外，在经济学研究中，伯努利试验也有着重要的应用，它可以帮助我们探索不同的经济环境下，投资者的抉择行为和投资结果的关系。
总之，伯努利试验是一种重要的统计实验方式，具有很多特点，并在心理学、社会学、经济学等众多领域，都有广泛应用。
尽管如此，伯努利试验也存在若干限制，比如实验量的大小可能会影响实验结果的准确性，必须慎重对待。
因此，伯努利试验作为一种重要的实验方式，在不同的研究领域，都有着广泛的应用，但同时也有一些关键性的局限性，需要谨慎鉴别。
3 事件的独立性与贝努力试验
(4) 每次试验中 P( A) p, P( A) 1 p
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
在n重贝努里试验中，我们主要研究事件A
恰好出现k次的概率Pn(k) 设事件Bk“在n重贝努里试验中事件A恰好发 生了k次”， 其中 0 k n 由于 n 次试验是相互独立的，所以事件A在 指定的 k 次试验中发生，而在其余(nk）次试
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 。
0 0.09 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14
0.458。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
例1.24 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性. 如图所示, 设有 4 个独立 工作的元件 1, 2, 3, 4 按先串联再并联的方式联结 ( 称为串并联系统 ) , 设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1, 2, 3, 4 ) . 试求系统的可靠性。
P ( A) P ( B )。 从而 A 与 B 相互独立 。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
两个结论
若事件 1. A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立。
2. 若 n 个事件 A1 , A2 , , An ( n 2)相互独 立, 则将 A1 , A2 , , An 中任意多个事件换成它们 的对立事件, 所得的 n 个事件仍相互独立。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
在n重贝努里试验中，我们主要研究事件A
恰好出现k次的概率Pn(k) 设事件Bk“在n重贝努里试验中事件A恰好发 生了k次”， 其中 0 k n 由于 n 次试验是相互独立的，所以事件A在 指定的 k 次试验中发生，而在其余(nk）次试
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
4.三事件相互独立的概念
定义 设 A, B , C 是三个事件, 如果满足等式 P ( AB ) P ( A) P ( B ), P ( BC ) P ( B ) P (C ), P ( AC ) P ( A) P (C ), P ( ABC ) P ( A) P ( B ) P (C ), 则称事件 A, B , C 相互独立 。
0 0.09 0.2 0.36 0.6 0.41 1 0.14
0.458。
第四章 n维向量 第一章 随机事件及其概率
例1.24 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性. 如图所示, 设有 4 个独立 工作的元件 1, 2, 3, 4 按先串联再并联的方式联结 ( 称为串并联系统 ) , 设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1, 2, 3, 4 ) . 试求系统的可靠性。
P ( A) P ( B )。 从而 A 与 B 相互独立 。
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两个结论
若事件 1. A1 , A2 , , An (n 2) 相互独立 , 则其中任意 k (2 k n)个事件也是相互独立。
2. 若 n 个事件 A1 , A2 , , An ( n 2)相互独 立, 则将 A1 , A2 , , An 中任意多个事件换成它们 的对立事件, 所得的 n 个事件仍相互独立。
伯努利试验
数学软件课程设计
伯努利试验的求解 与应用
精选完整ppt课件
1
伯努利生平
丹尼尔伯努利 ，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利 家族中最杰出的一位。受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他 在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到 圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中 的里卡提方程。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。 1727年，20岁的欧拉(后人将他与阿基米德、艾萨克·牛顿、高斯 并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。
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3
பைடு நூலகம்
伯努利试验应用条件：多为计算独立重复试验中， 事件恰好发生的概率
伯努利试验公式：①如果在1次试验中某事件发生的概 率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发 生k次的概率记作Pn(k)，则C（n，k）p的K次方（1-P） 的n-K次方
有关伯努利试验的求解 : 在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： ( 1 )事件A在第K次试验中首次“发生”的概率； ( 2 )n次试验中事件A恰有K次“发生”的概率；
精选完整ppt课件
11
学习小结:
1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率为
Pn(k)
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1
伯努利生平
丹尼尔伯努利 ，1700年2月8日生于荷兰格罗宁根。著名的伯努利 家族中最杰出的一位。受父兄影响，一直很喜欢数学。1724年，他 在威尼斯旅途中发表《数学练习》，引起学术界关注，并被邀请到 圣彼得堡科学院工作。同年，他还用变量分离法解决了微分方程中 的里卡提方程。1725年，25岁的丹尼尔受聘为圣彼得堡的数学教授。 1727年，20岁的欧拉(后人将他与阿基米德、艾萨克·牛顿、高斯 并列为数学史上的“四杰”)，到圣彼得堡成为丹尼尔的助手。
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伯努利试验应用条件：多为计算独立重复试验中， 事件恰好发生的概率
伯努利试验公式：①如果在1次试验中某事件发生的概 率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发 生k次的概率记作Pn(k)，则C（n，k）p的K次方（1-P） 的n-K次方
有关伯努利试验的求解 : 在n重伯努利试验中主要考察两类事件的概率： ( 1 )事件A在第K次试验中首次“发生”的概率； ( 2 )n次试验中事件A恰有K次“发生”的概率；
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1．独立重复试验模型要从三方面考虑 第一：每次试验是在同 新疆 王新敞 奎屯
样条件下进行 第二：各次试验中的事件是相互独立的 第三，每次
新疆
新疆
王新敞
王新敞
奎屯
奎屯
试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生 新疆 王新敞 奎屯 2．如果 1 次试验中事件 A 发生的概率是 p ，那么 n 次独立重
复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率为
Pn(k)
仿真条件下贝努利试验的匹配概率估计方法
时 图像是 异源 图像 ， 了解 决 异 源 图像 相 似 度 低 的 为 问题 ， 多前视 红 外景 象 匹配 算 法 是基 于 图像 特 征 很 的。这一 特点 决定 了 匹配概 率估计 时不 能仅 依靠 灰
度相 关程 度 ；
有 ｎ 次 正确 匹 配 ， Ｘ＝ ∑ ＝ ， 则 即为 单 帧 图
ｃｏｍ
收 稿 日期 ：０ １ ６ １ ２ １－ —３ ０
２Ｏ １
激 光 与 红 外
第４ ２卷
的分析 中可 以看 出 ， 用 的前 视 红 外 景 象 匹 配末 制 实 导 并不 是在 整个序 列上 运行 匹 配算 法 。前 视红 外景 象 匹配 的 以下三个 特点 决定 了必 须探 索新 的匹配概 率估 计 方法 ：
“ Ｉ＝ Ｉ ， ０
像正 确 匹配 的频率 ， 一方 面 ， ＝ ａ Ｐ， 用 另 喏 ｉ ＝ 采 ｐ 矩估 计法 对参 数 Ｐ进 行估计 ， 有 ： 则
＾
一
ｎ，
ｎ
Ｐ＝ Ｘ ＝
（ ） 视红 外景 象 匹配 实 时 图像 形 成 一组 距 目 ３前 标 由远及 近 的序列 ， 匹配 过 程 中可 以 利用 帧 间信 在 息， 而下 视可 见光 景 象 匹配 更 强 调 单 帧 实 时 图像 与
仿 真 条 件 下 贝努 利 试 验 的 匹配 概 率 估 计 方 法
王 鹏 孙继 银 王 薇。 ， ，
（ ． 二炮 兵工程 学院 ， １第 陕西 西安 ７ ０ ２ ； ． １０ ５ ２ 二炮驻七零 四所代 表室 ， 京 １０ ７ ） 北 ００ ６
摘
要： 前视 红 外景象 匹配算 法性 能评 价是 一个 亟待 解 决 的 问题 。主 要研 究 了匹配 概 率这 一
度相 关程 度 ；
有 ｎ 次 正确 匹 配 ， Ｘ＝ ∑ ＝ ， 则 即为 单 帧 图
ｃｏｍ
收 稿 日期 ：０ １ ６ １ ２ １－ —３ ０
２Ｏ １
激 光 与 红 外
第４ ２卷
的分析 中可 以看 出 ， 用 的前 视 红 外 景 象 匹 配末 制 实 导 并不 是在 整个序 列上 运行 匹 配算 法 。前 视红 外景 象 匹配 的 以下三个 特点 决定 了必 须探 索新 的匹配概 率估 计 方法 ：
“ Ｉ＝ Ｉ ， ０
像正 确 匹配 的频率 ， 一方 面 ， ＝ ａ Ｐ， 用 另 喏 ｉ ＝ 采 ｐ 矩估 计法 对参 数 Ｐ进 行估计 ， 有 ： 则
＾
一
ｎ，
ｎ
Ｐ＝ Ｘ ＝
（ ） 视红 外景 象 匹配 实 时 图像 形 成 一组 距 目 ３前 标 由远及 近 的序列 ， 匹配 过 程 中可 以 利用 帧 间信 在 息， 而下 视可 见光 景 象 匹配 更 强 调 单 帧 实 时 图像 与
仿 真 条 件 下 贝努 利 试 验 的 匹配 概 率 估 计 方 法
王 鹏 孙继 银 王 薇。 ， ，
（ ． 二炮 兵工程 学院 ， １第 陕西 西安 ７ ０ ２ ； ． １０ ５ ２ 二炮驻七零 四所代 表室 ， 京 １０ ７ ） 北 ００ ６
摘
要： 前视 红 外景象 匹配算 法性 能评 价是 一个 亟待 解 决 的 问题 。主 要研 究 了匹配 概 率这 一
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贝努利试验
如果一个试验中只关心某个事件Ａ是否发生，那么称这个试验为贝努利试验，相应的数学模型称为贝努利模型．
对随机实验中某事件是否发生，试验的可能结果只有两个，这种只有两个可能结果的实验称为贝努利试验。
重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变，“独立”的意思是指是指各次试验的结果是相互独立的，这种试验所对应的数学模型成为贝努利概型。
有时为了突出实验次数n，也称为ｎ重贝努利试验。
在n重贝努利试验中，事件A发生的次数ξ是一个随机变量，它可以取0、1、2……n 共n+1个可能值。
关于贝努利试验，有如下的重要定理。
对于贝努利概型，事件A在n次试验中发生ｋ次的概率为Pn（k）＝Cnkpkqn-k（0≤k≤n）(公式1)
事件A至多出现m次的概率是m P｛0≤ξ≤ｍ｝＝∑Cnkpkqn-k (公式2)
K=0事件A出现次数不小于ｌ不大于m的概率是m P｛l≤ξ≤ｍ｝＝∑ Cnkpkqn-k(公式3)
K=l贝努利分布的期望E(ξ)＝np (公式4)
给定出现A的几率为p，用上面的公式就可以计算出试验次数为n时的几率。
当n为偶数时，计算公式为n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝∑ Cnkpkqn-k (公式5)
K=n/2当n为奇数时，计算公式为n P｛n/2+1≤ξ≤n｝＝∑ Cnkpkqn-k(公式6)
K=n/2+1其中K=n/2+1取整数。