小学思维数学：换元法-带答案解析
奇妙的换元法(1)
奇妙的换元法一、引入所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，把整个式子的一部分看作一个量，然后用一个字母去代替它，从而简化复杂式子的结构，使问题易于解决。
今天这一讲我们着重学习换元法的应用。
二、例题选讲例1． 把1)1(2)(2-++-+n m n m 分解因式分析：在原式中，重复出现了m+n ，不妨把m+n 看成u解：设m+n = u1)1(2)(2-++-+n m n m= 1)1(22-+-u u 换元= 322--u u= )1)(3(+-u u 回代= )1)(3(++-+n m n m*此例通过换元使原多项式的形式简洁了，分解容易了。
因而，在因式分解中，换元法有较为普遍的应用。
例2．分解因式 8)43)(33(22-++-+x x x x分析：此式展开后是n 的四次多项式，若将其展开，一定复杂。
根据本题特征，可设 y x x =+32。
通过换元，将x 的四次多项式转化为y 的二次多项式，化繁为简，变难为易。
解：设y x x =+32，则原式 = 8)4)(3(-+-y y 换元= 202-+y y= )5)(4(+-y y = )53)(43(22++-+x x x x 回代= )53)(4)(1(2+++-x x x x*本题除了可设y x x =+32换元以外，还有其它的换元方法（可设y x x =-+332或y x x =++432均可）例3． 分解因式2)1()2)(2-+-+-+xy y x xy y x （ 分析：直接分解因式较困难，观察所给式子，发现式子中只有x+ y 和xy ，若将x+ y 和xy 换元成a 和b ，则原式可以化为2)1()2)(2-+--b a b a （的形式，分解因式后再将a 、b 用x+ y 与xy 代入即可。
解：设x+ y = a ，xy = b 则原式 = 2)1()2)(2-+--b a b a （= 1242222--++--b b b ab a a= 1)22()2(22++-++-b a b ab a= 1)(2)(2+---b a b a= 2)1(--b a = 2)1(--+xy y x= 2)]1()1([y y x --- = 2)]1)(1[(y x --= 22)1()1(--y x*从本题特征看，把x+ y 、xy 各看作一个整体换元可使问题简化，事实上本题解法较多，同 学们可以自己在课后加以研究。
小学奥数教程-换元法.教师版 (10) 全国通用(含答案)
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，例题精讲教学目标换元法1-3-5.换元法.题库教师版page 1 of原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
数学方法之换元法篇
数学方法之换元法篇通过换元法可以把未知问题化为已知问题，把抽象问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过问题化为具体问题，把较复杂的问题化为简单问题. 通过换元可以清楚的认识问题的实质，迅速寻找和选择解决问题的途径的方法. 根据数式的特点常见的换元法有：（1）整体换元；（2）平均数换元法；（3）比值换元法；（4）三角代换法；（5）不等量换元法；（6）根式换元法；（7）倒数换元法；（8）相反数换元法；（9）坐标换元法等等.一、整体换元例1：求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值.解析：设••t x x •y x x t .21cos sin ),22(cos sin 2-=∙≤≤-+=则 •t t t y .1)1(212122-+=+-=故 当.221,2max +==••y •t 时 二、三角换元例2：求函数25x x y -+=的值域.解析：令••••x ],2,2[,sin 5ππθθ-∈= ).4sin(10cos 5sin 5|cos |5sin 5πθθθθθ+=+=+∙=y 则 因为22πθπ≤≤-，所以 .4344ππθπ≤+≤- 所以1)4sin(22≤+≤-πθ，得10)4sin(105≤+≤-πθ 所以函数的值域为[10,5•-]. 三、平均数换元法例3：已知正数.425)1)(1(:,1,≥++=+y y x x •••y x y x •求证满足 证明：由题意可知x ，y 的平均数为21，令x =21+θ，y =21-θ（-21<θ<21）, 则.41162523)1)(1()1)(1(22422θθθ-++=++=++xy y x y y x x 显然分子的值大于等于1625， 分母的值大于0小于等于41，从而得证.四、比值换元例4：已知x ，y ，z 满足x -1=3221-=+z y ，试问实数x ，y ，z 为何值时，x 2+y 2+z 2达到最小值？ 解析：由比例可以设t z y x =-=+=-322111，则 222z y x ++22)12()1(-++=t t +.61014)23(22++=+t t t 当145-=t 时，即149=x ，712-=y ，222,1413z y ••x z ++=时达到最小值. 五、根式换元例5：求函数y =2x +x 21-的值域.解析：设t =x 21-≥0，则x =212t -，f (t )=)0(21212≥++-t t t ，由二次函数的图象可以知f (t )≤1，所以原函数的值域是(].1,•••∞- 六、不等量换元例6：求证：47)1(1131211122322<++++++n n . 证明：对通项公式进行变形)1111(21)1)(1(111122+--∙=+-=-<k k k k k k . 令k =2，3，…n ，n +1，则47)2111211(211)1(1131211122322<+-+-++<++++++n n n n .。
小学奥数精讲 换元法
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】计算：1111111111 (1)()(1)()2424624624 ++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a+++=，111246b++=，则：原式11 ()()66a b a b=-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b=-11166=⨯=【答案】1 6【巩固】11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 +++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a=++，则原式化简为：1111(1555a a a a+(+)(+)-+)=【答案】1 5【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a++=；739458358947b+=，原式378378207207a b a b⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b=-⨯=⨯=【答案】9例题精讲教学目标换元法【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
换元法专题含答案
的斜率为 ， 是坐标原点． （1）求 的方程； （2）设过点 的直线 与 相交于 ， 两点，当
的面积最大时，求直线 的方程．
14. 已知椭圆 t
t 的离心率为 ，左焦点 到点 区 的距离为 t．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于不同的两点 ， ，则
内切圆的面积是否存
在最大值?若存在，求出这个最大值及此时直线 的方程；若不存在，请说明理由．
t
区． t
在 t区 t 上恒成立，
即：
t
t 在 t区 t 上恒成立，令
，则
log ．
第 15页（共 38 页）来自 QQ 群高中数学解题研究会 339444963
t
t
t
t
t
在
区t 时恒成立，所以
t
因为 t，所以 t
，所以 t
所以 t
，
t
，
min
，
所以
，
t min
所以
．
5. （1） 因为
，
所以 sin sin⸷，
16. 已知椭圆 ㌱： t
t 的左右焦点和短轴的两个端点构成边长为 的正方形．
（1）求椭圆 ㌱ 的方程；
（2）过点 区t 的直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ，⸷ 两点，且点
别为 ， ，当
取最大值时，求直线 的方程．
区 ，记直线 ， ⸷ 的斜率分
第 5页（共 38 页）来自 QQ 群高中数学解题研究会 339444963
（1）求椭圆 ㌱ 的方程； （2）设过点 的动直线 与椭圆 ㌱ 相交于 ， 两点，当
程．
的面积最大时，求直线 的方
29. 已知函数 （1）若函数 （2）若
换元求解的技巧
换元求解的技巧换元求解是一种常用于解决复杂微积分问题的技巧。
它通过引入新的自变量来简化原始方程，并将其转化为更易求解的形式。
在本文中，我将介绍一些常见的换元求解技巧及其应用。
一、代数换元法1. 简单代数换元法简单代数换元法是将问题中的某个自变量用一个新的变量表示，从而简化方程的形式。
例1：已知函数 f(x) = 2x + 3，求 f(a + b)。
解：令u = a + b，那么a + b = u，代入方程中得f(u) = 2u + 3。
2. 三角代数换元法三角代数换元法是将三角函数中的角度用一个新的角度表示，从而简化方程的形式。
例2：已知函数 f(x) = sin(2x) + cos(2x)，求 f(π/6)。
解：令u = 2x，那么2x = u，代入函数中得f(u) = sin(u) + cos(u)。
由于要求 f(π/6)，所以把 u = 2x = π/3 代入函数中得到 f(π/6) = sin(π/3) + cos(π/3)。
二、三角换元法三角换元法是将一个复杂的三角函数用一个较简单的三角函数表示，从而简化方程的形式。
例3：求解积分∫(x^2)/(1+x^4) dx。
解：引入换元变量 u = x^2，那么 du = 2x dx，从而可将原式转化为∫(1/2)/(1+u^2) du。
然后我们再用一个三角换元法 u = tanθ，那么 du = sec^2θ dθ，从而原式变为∫(1/2) sec^2θ dθ。
三、指数换元法指数换元法是将一个复杂的指数函数用一个较简单的指数函数表示，从而简化方程的形式。
例4：求解积分∫x^2 e^x dx。
解：首先，我们可以使用分部积分法将上述积分转化为∫x d(x^2 e^x)。
然后，我们引入一个指数换元法u = x^2 e^x，得到 du = (2x + x^2) e^x dx。
通过代入变量，我们可以将原始积分简化为∫1/2 du。
四、分子分母同时换元法当需要对一个复杂的有理函数进行积分或求导时，分子分母同时换元法是非常有用的一种技巧。
小学奥数教师版-1-3-5 换元法
换元法教学目标对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．例题精讲【例1】计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a=--+1()6a b =-16611=⨯=【答案】16【巩固】11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯=【答案】【巩固】9计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】【巩固】0.054321计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【关键词】希望杯，2试【解析】换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -)10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】(10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____。
换元法解分式方程
三角函数
在处理三角函数相关的数学问题 时，换元法可以帮助我们将三角 函数转化为更易于处理的代数问
题。
换元法的历史与发展
历史
换元法的思想可以追溯到古代中国的数学家们。在《九章算术》等古代数学著作中，就已经出现了换 元法的思想。随着数学的发展，换元法逐渐成为一种重要的数学方法，被广泛应用于各种数学问题中 。
02
确定新变量与原方程中未知数的 关系。
替换原方程中的未知数
将原方程中的未知数用新变量表示出 来。
将所有含有未知数的项都替换为新变 量。
化简方程
对替换后的方程进行化简，以便更容易地解出新变量的值。 可以使用代数方法，如合并同类项、提取公因式等。
解出新变量的值
解出新变量的值，通常需要对方程进行因式分解或使用求根 公式。
实例三：二元一次方程组的换元法解法
总结词
通过换元法将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
详细描述
对于形如 $begin{cases} x + y = a x - y = b end{cases}$ 的二元一次方程组，可以通 过换元法将其转化为 $begin{cases} t_1 + t_2 = a t_1 - t_2 = b end{cases}$ 的形式， 其中 $t_1 = x, t_2 = y$。这样可以将二元一次方程组转化为更简单的形式，便于求解。
考虑特殊情况
对于某些分式方程，需要考虑特殊情况或边 界条件，以确保解的完整性和准确性。例如， 当分母接近零或变量取极大/极小值时，可 能需要额外验证解的合理性。
பைடு நூலகம்5
换元法与其他解法的比 较
与因式分解法的比较
因式分解法适用于解整式方程，通过 将方程的左边和右边都化为0，然后 对左边或右边的多项式进行因式分解， 从而求解方程。而换元法主要用于解 分式方程，通过引入新的变量来简化 原方程，适用于无法直接因式分解或 化简的复杂分式方程。
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换元法对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．”三、换元思想解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简．【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624++⨯++-+++⨯+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令1111246a +++=，111246b ++=，则：原式11()()66a b a b =-⨯-⨯-1166ab b ab a =--+1()6a b =-11166=⨯= 【答案】16【巩固】 11111111111111(1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111234a =++，则原式化简为：1111(1555a a a a +(+)(+)-+)=【答案】15【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 令621739458126358947a ++=；739458358947b +=，原式378378207207a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()3786213789207126207a b =-⨯=⨯= 【答案】9【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)⨯(0.210.3210.43210.54321+++)-(0.10.210.3210.43210.54321++++)⨯(0.210.3210.4321++) 例题精讲教学目标【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++，原式=(0.1x +)y ⨯-(0.1y +)0.1x ⨯=⨯(y x -)0.054321=【答案】0.054321【巩固】 计算下面的算式(7.88 6.77 5.66++)⨯(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)⨯(9.3110.98+)【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式a =⨯(10b +)-(10a +)b ⨯=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=⨯(a b -) 10=⨯(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=⨯=【答案】0.2【巩固】 (10.120.23)(0.120.230.34)(10.120.230.34)(0.120.23)++⨯++-+++⨯+=____ 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，六年级，二试 【解析】 设0.120.23a +=，0.120.230.34b ++= 原式()()110.34a b b a b a =+⨯-+⨯=-=【答案】0.34【巩固】 计算：⑴ (10.450.56++)⨯(0.450.560.67++)-(10.450.560.67+++)⨯(0.450.56+)⑵621739458739458378621739458378126358947358947207126358947207⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭739458358947⎛⎫+ ⎪⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】迎春杯 【解析】 ⑴ 该题相对简单，尽量凑相同的部分，即能简化运算.设0.450.56a =+，0.450.560.67b =++，有原式=(1a +)b ⨯-(1b +)0.67a b ab a ab b a ⨯=+--=-=⑵ 设621739458126358947a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，739458358947b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 原式378378378621378()9207207207126207a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯=-⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】⑴0.67 ⑵9【巩固】 计算： 573734573473()123217321713123217133217⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⨯++-+++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭= 。
【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级【解析】 设573123217a =++、733217b =+，则有441313444()131313455131239a b a ba b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-=-=⨯=原式【例 2】 计算：1111111111112200723200822008232007⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-+++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算【解析】 令111232007a =+++，111232008b =+++，原式()()1112008a b b a b ab a ab b a =+⨯-+⨯=+--=-=【答案】12008【巩固】 111111111111111111213141213141511121314151213141⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⨯+++-++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111111213141a +++=，111213141b ++=，原式115151a b a b ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭115151ab a ab b =+--1()51a b =-1115111561=⨯=【答案】1561【巩固】 计算1111111111111111())()5791179111357911137911+++⨯+++-++++⨯++（）（【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】清华附中【解析】 设111157911A +++=，1117911B ++=，原式111313A B A B ⎛⎫⎛⎫=⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111313A B A A B B =⨯+-⨯- ()113A B =-11113565=⨯= 【答案】165【巩固】 计算11111111111111111111234523456234562345⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⨯++++-+++++⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算【解析】 设111112345A ++++=，11112345B +++=原式=1166A B A B ⎛⎫⎛⎫⨯+-+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166A B A A B B ⨯+⨯-⨯-⨯=1166A B ⨯-⨯ 16=⨯(A B -)16=【例 3】 计算：212391239112923912341023410223103410⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++++⨯-++++⨯+++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】迎春杯【解析】 设123923410t =++++，则有22211111(1)222222t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫+⨯-+-=+-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】【例 4】 计算11112111311143114120092009++++++++++【考点】换元法 【难度】4星 【题型】计算 【解析】 设3N =+11412009++. 原式=112N++11111N++=121N N ++111N N ++ =112121N N N N ++=++. 【答案】1【例 5】 计算：22222811811811111118118118811⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+÷++⨯-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦【考点】换元法 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 (法一)设811x =，则原式2211881111288x x x x x x x x +--==⎛⎫⎛⎫++⨯-+⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (法二)设811118x =+，那么222228112118x =++，所以222228112118x +=-．而2222211112811811111228118118118118888x x ⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=+-⨯=+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭．这样原式转化为()()222228888121288x x x x x x x x ----=⨯=--+-⨯． 在这里需要老师对于()()()()a b c d a b c a b d ac bc ad bd +⨯+=+⨯++⨯=+++的计算进行简单的说明.【答案】88【例 6】 计算：22010200920111⨯+【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设a=2009,原式2221)211 +2121a a aa a a a+++===+++（（）【答案】1【巩固】计算200820092007 200820091+⨯⨯-（4级）【考点】换元法【难度】2星【题型】计算【解析】设2008a=原式(1)(1)(1)1a a aa a++-=+-22111a aa a+-=+-=【答案】1。