电磁感应中常见模型
电磁感应模型总结
电磁感应模型总结
电磁感应模型是描述电磁感应现象的一种模型，包括法拉第电磁感应定律、楞次定律和麦克斯韦方程组等。
1. 法拉第电磁感应定律：当导体运动于磁场中或磁场变化时，导体内将产生感应电动势。
2. 楞次定律：感应电动势的方向与磁场变化的方向相反，且大小与磁场变化的速率成正比。
3. 麦克斯韦方程组：描述了电场和磁场的变化对彼此的影响。
其中包括根据楞次定律得出的一个方程，描述了电场变化产生的磁场；以及根据法拉第电磁感应定律得出的一个方程，描述了磁场变化产生的电场。
电磁感应模型在实际应用中有着广泛的应用，例如发电机、变压器、感应加热等。
在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型
在电磁感应中的动力学问题中有两类常见的模型ab长L，质量m，电阻导轨光滑水平，电阻不计长L，质量m，电阻轨光滑，电阻不计1、如图甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．2、如图所示，足够长的光滑平行导轨MN、PQ倾斜放置，两导轨间距离为L＝1.0 m，导轨平面与水平面间的夹角为30°，磁感应强度为B的磁场垂直于导轨平面向上，导轨的M、P两端连接阻值为R＝3.0 Ω的电阻，金属棒ab垂直于导轨放置并用细线通过光滑定滑轮与重物相连，金属棒ab的质量m＝0.20 kg，电阻r＝0.50 Ω,重物的质量M ＝0.60 kg，如果将金属棒和重物由静止释放，金属棒沿斜面上滑的距离与时间的关系如下表所示，不计导轨电阻，g取10 m/s2.求：(2)所加磁场的磁感应强度B为多大？(3)当v＝2 m/s时，金属棒的加速度为多大？3、边长为L 的正方形闭合金属线框，其质量为m ，回路电阻为R.图中M 、N 、P 为磁场区域的边界，上下两部分水平匀强磁场的磁感应强度大小均为B ，方向如图4所示．现让金属线框在图示位置由静止开始下落，金属线框在穿过M 和P 两界面的过程中均为匀速运动．已知M 、N 之间和N 、P 之间的高度差相等，均为h ＝L ＋5m2gR28B4L4，金属线框下落过程中金属线框平面始终保持竖直，底边始终保持水平，当地的重力加速度为g.试求：(1)图示位置金属线框的底边到M 的高度d ；(2)在整个运动过程中，金属线框中产生的焦耳热；(3)金属线框的底边刚通过磁场边界N 时，金属线框加速度的大小．4、如图所示，两电阻不计的足够长光滑平行金属导轨与水平面夹角为θ，导轨间距为l ，所在平面的正方形区域abcd 内存在有界匀强磁场，磁感应强度为B ，方向垂直斜面向上．将甲、乙两阻值相同、质量均为m 的相同金属杆放置在导轨上，甲金属杆处在磁场的上边界，甲乙相距l.静止释放两金属杆的同时，在甲金属杆上施加一个沿着导轨向下的外力F ，使甲金属杆在运动过程中始终沿导轨向下做匀加速直线运动，加速度大小为gsin θ，乙金属杆刚进入磁场时做匀速运动． (1)甲、乙的电阻R 为多少；(2)设刚释放两金属杆时t ＝0，写出从开始释放到乙金属杆离开磁场，外力F 随时间t 的变化关系；(3)若从开始释放到乙金属杆离开磁场，乙金属杆中共产生热量Q ，试求此过程中外力F 对甲做的功．5、如图9所示，长L1＝1.0 m，宽L2＝0.50 m的矩形导线框，质量为m＝0.20 kg，电阻R＝2.0 Ω.其正下方有宽为H(H>L2)，磁感应强度为B＝1.0 T，垂直于纸面向里的匀强磁场．现在，让导线框从cd 边距磁场上边界h＝0.70 m处开始自由下落，当cd边进入磁场中，ab尚未进入磁场时，导线框做匀速运动．(不计空气阻力，取g＝10 m/s2)求：(1)线框完全进入磁场过程中安培力做的功是多少？(2)线框穿出磁场过程中通过线框任一截面的电荷量q是多少？6、如图所示，绝缘细绳绕过轻滑轮连接着质量为m的正方形导线框和质量为M的物块，导线框的边长为L、电阻为R0，物块放在光滑水平面上，线框平面竖直且ab边水平，其下方存在两个匀强磁场区域，磁感应强度的大小均为B，方向水平但相反，Ⅰ区域的高度为L，Ⅱ区域的高度为2L.开始时，线框ab边距磁场上边界PP′的高度也为L，各段绳都处于伸直状态，把它们由静止释放，运动中线框平面始终与磁场方向垂直，M始终在水平面上运动，当ab边刚穿过两磁场的分界线QQ′进入磁场Ⅱ时，线框做匀速运动．不计滑轮处的摩擦．求：(1)ab边刚进入磁场Ⅰ时，线框的速度大小；(2)cd边从PP′位置运动到QQ′位置过程中，通过线圈导线某横截面的电荷量；(3)ab边从PP′位置运动到NN′位置过程中，线圈中产生的焦耳热．7、(2011·天津·11)(18分)如图所示，两根足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ间距为L＝0.5 m，其电阻不计，两导轨及其构成的平面均与水平面成30°角．完全相同的两金属棒ab、cd分别垂直导轨放置，每棒两端都与导轨始终有良好接触，已知两棒质量均为m＝0.02 kg，电阻均为R＝0.1 Ω，整个装置处在垂直于导轨平面向上的匀强磁场中，磁感应强度B＝0.2 T，棒ab在平行于导轨向上的力F作用下，沿导轨向上匀速运动，而棒cd恰好能够保持静止，取g＝10 m/s2，问：(1)通过棒cd的电流I是多少，方向如何？(2)棒ab受到的力F多大？(3)棒cd每产生Q＝0.1 J的热量，力F做的功W是多少？8、(15分)如图所示，两平行光滑的金属导轨MN、PQ固定在水平面上，相距为L，处于竖直方向的磁场中，整个磁场由若干个宽度皆为d的条形匀强磁场区域1、2、3、4……组成，磁感应强度B1、B2的方向相反，大小相等，即B1＝B2＝B.导轨左端MP间接一电阻R，质量为m、电阻为r的细导体棒ab垂直放置在导轨上，与导轨接触良好，不计导轨的电阻．现对棒ab施加水平向右的拉力，使其从区域1磁场左边界位置开始以速度v0向右做匀速直线运动并穿越n个磁场区域．(1)求棒ab穿越区域1磁场的过程中电阻R产生的焦耳热Q；(2)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中拉力对棒ab所做的功W；(3)规定棒中从a到b的电流方向为正，画出上述过程中通过棒ab的电流I随时间t变化的图象；(4)求棒ab穿越n个磁场区域的过程中通过电阻R的净电荷量q.9、(16分)如图所示，在水平面上固定一光滑金属导轨HGDEF，EF//GH，DE＝EF＝DG＝GH＝EG＝L.一质量为m足够长导体棒AC 垂直EF方向放置在金属导轨上，导轨与导体棒单位长度的电阻均为r，整个装置处在方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中．现对导体棒AC施加一水平向右的外力，使导体棒从D位置开始以速度v0沿EF方向做匀速直线运动，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触．(1)求导体棒运动到FH位置，即将要离开导轨时，FH两端的电势差．(2)关于导体棒运动过程中回路产生的感应电流，小明和小华两位同学进行了讨论．小明认为导体棒在整个运动过程中是匀速的，所以回路中电流的值是恒定不变的；小华则认为前一过程导体棒有效切割长度在增大，所以电流是增大的，后一过程导体棒有效切割长度不变，电流才是恒定不变的，你认为这两位同学的观点正确吗？请通过推算证明你的观点．(3)求导体棒从D位置运动到EG位置的过程中，导体棒上产生的焦耳热．10、（重庆市2012（春）高三考前模拟测）（16分）如题23-1图所示，边长为L、质量为m、总电阻为R的正方形导线框静置于光滑水平面上，处于与水平面垂直的匀强磁场中，匀强磁场磁感应强度B随时间t变化规律如题23-2图所示．求：（1）在t=0到t=t0时间内，通过导线框的感应电流大小；（2）在t=2t时刻，a、b边所受磁场作用力大小；（3）在t=0到t=t0时间内，导线框中电流做的功。
核心素养微专题6 电磁感应中的“杆+导轨”模型
(1)若涉及变力作用下运动问题，可选用动量守恒和能量守恒的方法解决。
(2)若涉及恒力或恒定加速度，一般选用动力学的观点。若涉及运动时间
问题也可选用动量定理求解。
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二轮 ·物理
[示例3] 如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的水 平面中有两根固定的足够长的金属平行导轨，在导轨上面平放着两根导 体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的 质量都为m，电阻都为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导 轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求： (1)当cd棒速度减为0.8v0时的加速度大小； (2)从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能； (3)两棒之间距离增加量Δx的上限。
×mgsin θ＝ma，解得加速度大小为 2.5 m/s2，B 正确；金属杆滑至底端
的整个过程中，整个回路中产生的焦耳热为 mgh－12mv2m，电阻 R 产生的
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二轮 ·物理
焦耳热一定小于 mgh－21mvm2 ，C 错误；金属杆达到最大速度后，根据受 力平衡可得 mgsin θ＝F 安＝BIL，得 I＝mgBsiLn θ＝neSv－，得v－＝ρgnseiBn θ， 其中 n 为单位体积的电子数，ρ 为金属杆的密度，所以杆中定向运动的 电荷沿杆长度方向的平均速度与杆的粗细无关，D 正确。 [答案] BD
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二轮 ·物理
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二轮 ·物理
2．单杆“倾斜导轨”模型 匀强磁场与导轨垂直，磁感应强度为 B，导轨间距 L，导体棒 质量 m，电阻 R，导轨光滑，电阻不计(如图)
物理 模型
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二轮 ·物理
棒 ab 由静止释放后下滑，此时 a＝gsin α，棒 ab 速度 v↑→
完整版电磁感应定律单杆导轨模型含思路分析
单杆+导轨”模型1.单杆水平式（导轨光滑）注：加速度a的推导，a=F合/m （牛顿第二定律），F合=F-F安，F安=BIL ,匸E/R 整合一下即可得到答案。
v变大之后，根据上面得到的a的表达式，就能推出a变小这里要注意，虽然加速度变小，但是只要和v同向，就是加速运动，是a减小的加速运动（也就是速度增加的越来越慢，比如1s末速度是1, 2s末是5, 3s末是6, 4s末是6.1，每秒钟速度的增加量都是在变小的）2.单杆倾斜式（导轨光滑）BLv T【典例1】如图所示，足够长的金属导轨固定在水平面上，金属导轨宽度L二1.0 m,导轨上放有垂直导轨的金属杆P,金属杆质量为m= 0.1 kg,空间存在磁感应强度B= 0.5 T、竖直向下的匀强磁场。
连接在导轨左端的电阻R= 3.0約金属杆的电阻r 二1.0約其余部分电阻不计。
某时刻给金属杆一个水平向右的恒力F, 金属杆P由静止开始运动，图乙是金属杆P运动过程的v—t图象，导轨与金属杆间的动摩擦因数尸0.5。
在金属杆P运动的过程中，第一个2 s内通过金属杆P的电荷量与第二个2 s内通过P的电荷量之比为3 : 5。
g取10 m/s2。
求：（1）水平恒力F的大小；⑵前4 s内电阻R上产生的热量。
【答案】（1）0.75 N （2）1.8 J【解析】（1）由图乙可知金属杆P先做加速度减小的加速运动,2 s后做匀速直线运动当t= 2 s时，v= 4 m/s,此时感应电动势E= BLv感应电流1=吕R+ rB2I2v安培力F = BIL =R+ r根据牛顿运动定律有F —F '―卩m= 0解得 F = 0.75 N o过金JI杆p的电荷量厂"二磊^甘十）；△型BLx所以尸驚qa为尸的位移）设第一个2 s內金属杆P的位移为Xi ；第二个肚内P的位移为助则二号g，又由于如：血=3 : 5麻立解得«=8mj IL=<8m前4 s内由能量守恒定律得其中 Q r : Q R = r : R = 1 : 3解得 Q R = 1.8 J o注：第二问的思路分析，要求 R 上产生的热量，就是焦耳热，首先想到的是公式Q=l2Rt ，但是在这里，前2s 的运动过程中，I 是变化的，而且也没办法求出I 的有效值来（电荷量对应的是电流的平均值，求焦耳热要用有效值，两者不一样）， 所以这个思路行不通。
法拉第电磁感应定律考察的三类五个模型
法拉第电磁感应定律考察的三类五个模型电磁感应现象考查的知识重点是法拉第电磁感应定律，根据法拉第电磁感应定律的表达式tBS ntnE ∆∆=∆∆Φ=)(，有下列三类五个模型转换：一．B 变化，S 不变 （1）B 均匀变化 ①B 随时间均匀变化如果B 随时间均匀变化，则可以写出B 关于时间t 的表达式，再用法拉第电磁感应定律解题，如例1第（1）问．②B 随位置均匀变化B 随位置均匀变化的解题方法类似于B 随时间均匀变化的情形． （2）B 非均匀变化B 非均匀变化的情况在高中并不多见，如例1第（3）问．如果题目给出了B 非均匀变化的表达式，也可用后面给出的求导法求解．【例1】如图1所示，固定于水平桌面上的金属框架cdef ，处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上，可无摩擦滑动．此时abed 构成一个边长为l 的正方形，棒的电阻为r ，其余部分电阻不计．开始磁感强度为B 0．（1）若从t =0时刻起，磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，同时棒保持静止．求棒中的感应电流．在图上标出感应电流的方向；（2）在上述（1）情况中，始终保持棒静止，当t =t 1末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？（3）若t =0时刻起，磁感强度逐渐减小，当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感应电流，则磁感强度应怎样随时间变化（写出B 与t 的关系式）？解析：将加速度的定义式和电磁感应定律的表达式类比，弄清k 的物理意义，写出可与at v v t +=0相对照的B 的表达式kt B B +=0；第（3）问中B 、S 均在变化，要能抓住产生感应电流的条件（①回路闭合；②回路中有磁通量的变化）解题．（1）磁感强度均匀增加，每秒增量为k ，得k tB =∆∆∵感应电动势2S kl tB tE =∆∆=∆∆Φ=∴感应电流rkl rE I 2==d图1由楞次定律可判定感应电流方向为逆时针，棒ab 上的电流方向为b→a ． （2）t=t 1时，B=B 0+kt 1 又∵F=BIl ∴rkl kt B F 310)(+=（3）∵棒中不产生感应电流 ∴回路中总磁通量不变 ∴Bl （l+vt ）=B 0l 2 得vtl l B B +=0二．B 不变，S 变化 （1）金属棒运动导致S 变化金属棒在匀强磁场中做切割磁感线的运动时，其感应电动势的常用计算公式为BLv E =，此类题型较常见，如例2．【例2】如图2所示，两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l =0.2m ，在导轨的一端接有阻值为R =0.5Ω的电阻，在x ≥0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感强度B =0.5T ．一质量为m =0.1kg的金属直杆垂直放置在导轨上，并以v 0=2m/s 的初速度进入磁场，在安培力和一垂直于杆的水平外力F 的共同作用下做匀变速直线运动，加速度大小为a =2m/s 2、方向与初速度方向相反．设导轨和金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好．求：（1）电流为零时金属杆所处的位置；（2）电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F 的大小和方向；（3）保持其他条件不变，而初速度v 0取不同值，求开始时F 的方向与初速度v 0取值的关系．解析：杆在水平外力F 和安培力的共同作用下做匀变速直线运动，加速度a 方向向左．杆的运动过程：向右匀减速运动→速度为零→向左匀加速运动；外力F 方向的判断方法：先假设，再根据结果的正负号判断．（1）感应电动势E=Blv ，感应电流I=RBlv RE =∴I=0时v=0 ∴x =av 22=1（m ）（2）当杆的速度取最大速度v 0时，杆上有最大电流I m =RBlv 0RBlv I I m 22'0==安培力F 安=BI ’l=Rv l B 2022=0.02（N ）向右运动时F+F 安=ma ，得F=ma- F 安=0.18（N ），方向与x 轴相反 向左运动时F- F 安=ma ，得F=ma+F 安=0.22（N ），方向与x 轴相反 （3）开始时v=v 0，F 安=BI m l=R v l B 022F+F 安=ma ，F=ma- F 安=ma-Rv l B 022∴当v 0< 22lB maR=10m/s 时，F >0，方向与x 轴相反当v 0>22lB maR =10m/s 时，F <0，方向与x 轴相同（2）导轨变形导致S 变化常常根据法拉第电磁感应定律解题，如例3.【例3】如图3所示，半径为a 的圆形区域内有均匀磁场，磁感强度为B ＝0.2T ，磁场方向垂直纸面向里，半径为b 的金属圆环与磁场同心地放置，磁场与环面垂直，其中a ＝0.4m ，b ＝0.6m ，金属环上分别接有灯L 1、L 2，两灯的电阻均为R 0＝2Ω，一金属棒MN 与金属环接触良好，棒与环的电阻均忽略不计（1）若棒以v 0＝5m/s 的速率在环上向右匀速滑动，求棒滑过圆环直径OO ’的瞬时（如图所示），MN 中的电动势和流过灯L 1的电流．（2）撤去中间的金属棒MN 将右面的半圆环OL 2O ’以OO ’为轴向上翻转90º，若此时磁场随时间均匀变化，其变化率为π4=∆∆tB （T/s ），求L 1的功率． 解析：（1）当棒滑过圆环直径OO ’的瞬时，棒的有效长度为2a ，灯L 1、L 2是并联的．E 1＝B 2av ＝0.2×0.8×5 ＝0.8（V ） 4.028.011===R E I （A ）（2）将右面的半圆环OL 2O’以OO’为轴向上翻转90º后，圆环的有效面积为半圆．其图3中B 随时间是均匀变化的，注意此时灯L 1、L 2是串联的．32.0222=⨯∆∆=∆∆Φ=a tB t E π （V ）R E P 221)2(=＝1.28×102（W ）另外还可在S 不规则变化上做文章，如金属棒旋转、导轨呈三角形等等． 三．磁场变化的同时导体棒切割磁感线【例4】如图4所示，两根平行金属导轨固定在水平桌面上，每根导轨每米的电阻为r 0=0.10Ω/m ，导轨的端点P 、Q 用电阻可以忽略的导线相连，两导轨间的距离l =0.20m 。
电磁感应基本模型
电磁感应基本模型
解题知识思路
例题1：光滑导轨，竖直放置在垂直于纸面向里的匀强磁场中，已知导轨宽L=0.5m，磁感应强度B=0.2T．有质量为m=2g,阻值为r=0.5Ω的导体棒AB紧挨导轨，沿着导轨由静止开始下落，如图所示，设串联在导轨中的电阻R阻值为2Ω，其他部分的电阻及接触电阻均不计．问：
(1)导体棒AB在下落过程中，产生的感应电流的方向和AB棒受到的磁场力的方向？
(2)当导体棒AB的速度为4m/s(设并未达到最大速度)时，AB两端电压多大？以及导体棒的加速度多大？
（3）导体棒最终稳定时速度多大？
（4）若稳定时导体棒下降高度为2.5m,求此过程导体棒产生的热量为多大？电阻R产生的热量为多大？
（5）若稳定时导体棒下降高度为2.5m，求通过导体棒横截面的电量多少？及此过程所需要时间？
例题2如图所示，处于水平面内的长平行金属框架内接有电阻R1、R2，R1=3Ω，R2=6Ω，框架电阻不计，垂直框架平面的匀强磁场B=1.0T，平行框架间距L=0.5m，一金属杆ab质量m=0.2kg,沿垂直于框架方向放在框架上，其电阻r=1Ω，金属杆可以沿框架接触良好的无摩擦地滑动，现用恒力F拉着金属杆使其由静止向右运动，到达稳定时v=5m/s求：
（1）此时导体棒AB产生的感应电动势E和AB棒上的感应电流方向及导体棒AB两端的电压U ab；（2）求恒力F多大？
（3）当速度为2m/s时，求导体棒此时的加速度？
（4）若金属杆由静止达到稳定时其位移为x=12m,求金属杆产生的热量？以及此过程中通过金属杆的电量？。
电磁感应中的“杆+导轨”模型
电磁感应中的“杆+导轨”模型电磁感应中的“杆+导轨”模型一、单棒模型阻尼式：在单棒模型中，导体棒相当于电源，根据洛伦兹力的公式，可以得到安培力的特点为阻力，并随速度减小而减小，加速度随速度减小而减小，最终状态为静止。
根据能量关系、动量关系和瞬时加速度，可以得到公式B2l2v R rF和q mv/Bl，其中q表示流过导体棒的电荷量。
需要注意的是，当有摩擦或者磁场方向不沿竖直方向时，模型的变化会受到影响。
举例来说，如果在电阻不计的光滑平行金属导轨固定在水平面上，间距为L、导轨左端连接一阻值为R的电阻，整个导轨平面处于竖直向下的磁感应强度大小为B的匀强磁场中，一质量为m的导体棒垂直于导轨放置，a、b之间的导体棒阻值为2R，零时刻沿导轨方向给导体棒一个初速度v，一段时间后导体棒静止，则零时刻导体棒的加速度为0，零时刻导体棒ab两端的电压为BLv，全过程中流过电阻R的电荷量为mv/Bl，全过程中导体棒上产生的焦耳热为0.二、发电式在发电式中，导体棒同样相当于电源，当速度为v时，电动势E＝Blv。
根据安培力的特点，可以得到公式22Blv/l＝Blv/(R＋r)。
加速度随速度增大而减小，最终特征为匀速运动。
在稳定后的能量转化规律中，F-BIl-μmg=m*a，根据公式可以得到a=-(F-μmg)/m、v=0时，有最大加速度，a=0时，有最大速度。
需要注意的是，当电路中产生的焦耳热为mgh时，电阻R中产生的焦耳热也为mgh。
1.如图所示，相距为L的两条足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ与水平面的夹角为θ，N、Q两点间接有阻值为R的电阻。
整个装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。
将质量为m、阻值也为R的金属杆cd垂直放在导轨上，杆cd由静止释放，下滑距离x时达到最大速度。
重力加速度为g，导轨电阻不计，杆与导轨接触良好。
求：1)杆cd下滑的最大加速度和最大速度；2)上述过程中，杆上产生的热量。
(高中段)第3讲综合考法电磁感应中的三类杆模型
θ
，方向沿导轨平面
[迁移] 上例中，若已知金属杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。现用沿导轨平 面向上的恒定外力F作用在金属杆cd上，使cd由静止开始沿导轨向上运动，求 cd的最大加速度和最大速度。 解析：分析金属杆运动时的受力情况可知，金属杆受重力、导轨平面的支持 力、拉力、摩擦力和安培力五个力的作用，沿斜面方向由牛顿第二定律有 F－mgsin θ－F安－Ff＝ma 又F安＝BIL，I＝2ER＝B2LRv， 所以F安＝BIL＝B22LR2v Ff＝μFN＝μmgcos θ
可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a＝BUL1t1 由C＝QU和I＝Qt ，得I＝CtU＝CtU1 1 由牛顿第二定律有F－BIL＝ma 可得F＝BLtC1 U1＋BmLUt11。
[答案] 见解析
[迁移] 若上例第(3)问变成：图3中导体棒在恒定水平外力F作用下，从 静止开始运动，导轨与棒间的动摩擦因数为μ，写出导体棒的速度大小随时间 变化的关系式。
[解题指导] 以单棒为研究对象，当单棒的加速度 a＝0 时，导体棒达到稳
定速度。以双棒为研究对象，二者相互作用的过程满足动量守恒。
[解析] 设 a 棒刚进入磁场时的速度为 v，根据机械能守恒定律有 mgh
＝1mv2，刚进入磁场时，a 棒切割磁感线产生的感应电动势 E＝BLv，根据闭 2
合电路欧姆定律有
＝0时，a＝0，杆 大，vm＝BF2RL2 保持静止
vm＝mgBR2sLin2 α
大，vm＝mB2gLR2
图像 观点
重力做的功(或减 重力做的功(或减
F做的功一部分转化 少的重力势能)一 少的重力势能)一
动能全部转
能量 化为内能： 为杆的动能，一部 部分转化为杆的 部分转化为杆的
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答案：(1)设在整个运动过程中，棒运动的最大距离为 S,则△^^BLS又因为q=「左=BLS/R,这样便可求出 S=qR/BL 。
(2)在整个运动过程中，金属棒的动能，一部分转化为电能，另一部分克服摩擦力做功，根据能量守恒 定律，则有 mv 2/2=E+ mgS又电能全部转化为 R 产生的焦耳热即 E=Q 由以上三式解得：Q= mv 2/2-卩mgq/BL 。
《电磁感应中的常见模型》学案一、单杆模型 1•如图水平放置的光滑平行轨道左端与一电容器 C 相连，导体棒ab 的 电阻为R,整个装置处于竖 ab 向右做匀速运动；若由于外力作用使棒的速度突然变为零，则下 直向上的匀强磁场中，开始时导体棒 列结论的有(BD ) A .此后ab 棒将先加速后减速 B . ab 棒的速度将逐渐增大到某一数值 C •电容C 带电量将逐渐减小到零 D .此后磁场力将对 ab 棒做正功 2 •如图两个粗细不同的铜导线，各绕制一单匝矩形线框，线框面积相等，让线框平面与磁感线方向 垂直，从磁场外同一高度开始同时下落，则 XX X X X X X X X X B X XX X X X A •两线框同时落地 B .粗线框先着地 C •细线框先着地 D .线框下落过程中损失的机械能相同 3•如图所示，在竖直向上磁感强度为B 的匀强磁场中，放置着一个宽度为 L 的金属框架，框架的右 v 沿框架向左运动。
已知 端接有电阻R 。
一根质量为 m,电阻忽略不计的金属棒受到外力冲击后，以速度 棒与框架间的摩擦系数为 仏在整个运动过程中，通过电阻 R 的电量为q,求:(设框架足够长) (1) 棒运动的最大距离； (2) 电阻R 上产生的热量。
4. 如图固定在水平桌面上的金属框 cdef 处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒ab 搁在框架上可无摩擦地滑动，此时构成一个边长为L 的正方形，棒的电阻为 r ，其余部分电阻不计，开始时磁感应强度为B⑴若从t=0时刻起，磁感应强度均匀增加，每秒增量为 k 同时保持棒静止，求棒中的感应电流，在图上标出感应电流的方向；⑵在上述情况中，始终保持静止，当 ⑶若从t=0时刻起，磁感应强度逐渐减小，应电流，则磁感应强度应怎样随时间变化（写出C 的电容器与竖直放置的金属导轨 EFGH 相连，一起置于垂直纸面向里，磁感应强度 金属棒 ab 因受约束被垂直固定于金属导轨上，且金属棒 ab 的质量为m 、电阻为R, L,现解除约束让金属棒 ab 从静止开始沿导轨下滑，不计金属棒与金属导轨间的摩擦， 求金属棒下落的加速度.mg m+C 2B 2L 26.如图，电动机用轻绳牵引一根原来静止的长l=1m,质量m=0.1kg 的导体棒AB,导体棒的电阻 R=1 Q,导体棒与竖直 “n 型金属框架有良好的接触，框架处在图示方向的磁感应强度为 B=1T 的匀强磁场中，且 足够长，已知在电动机牵引导体棒时，电路中的电流表和电压表的读数分别稳定在 l=1A 和U=10V ，电动机自身内阻r=1 Q ，不计框架电阻及一切摩擦，取g=10m/s 2,求：导体棒到达的稳定速度？二、双杆1.如图所示，两金属杆均可忽略不计且不可伸长的柔软导线将它们连接成闭合回路，并悬挂于水平、光滑、不导电的圆棒两侧。
X X >B oXX >XXe X X xd X a Xt=t 1S 末时需加的垂直于棒的水平拉力为多大？ 当棒以恒定速度v 向右做匀速运动时，可使棒中不产生感B 与t 的关系式）？答案： rJ b T a, (B+kt 1)kL 3BLr L +vt5.如图电容为为B 的匀强磁场中，金属导轨的宽度为 答案:ab 和cd 长均为L,电阻均为R,质量分别为 M 和m 。
现用两根质量和电阻已知两金属杆都处于水平位置，整个装置处在一个与回路平面垂直磁感强度为B的匀强磁场中，求金属杆ab向下做匀速运动时的速度。
析与解当金属杆ab以速度v向下做匀速运动时，cd杆也将以速度 v向上做匀速运动，两杆同时做切割磁感线运动，回路中产生的感应电动势为分别以ab杆和cd杆为研究对象进行受力分析，画出受力分析图如图所示，根据力学平衡方程、则：Mg = BIL+T T=mg+BIL 又因为I = E/R= BLv/R，所以2 2V=(M-m)gR/(2B L )。
或者以系统为对象，由力的平衡求解。
2 .如图所示，平行导轨MN和PQ相距0.5m，电阻忽略不计。
其水平部分粗糙，水平部分置于 B=0.6T竖直向上的匀强磁场中，倾斜部分处没有磁场。
已知导线电阻均为0.15 0,开始时a、b相距足够远，b放置在水平导轨上，现将a从斜轨上高0.05m处由静止开始释放，求:(g=10m/s2)。
(1)回路中的最大感应电流是多少？(2)如果导线和导轨间动摩擦因数厅0.1，当导线b的速度最大时，导线 a的加速度是多少？分析与解：(1)当导线a沿倾斜导轨滑下时，根据机械能守恒定律，导线a进入水平导轨时速度最大, 即vmj2gh=1 m/s。
此时，导线a开始做切割磁感线运动，回路中产生的感应电流最大，即I m=E m/R= BLv m/(2r)=1A。
⑵经分析可知，当导线 b的速度达到最大值时，导线b所受的安培力与摩擦力大小相等，方向相反，即umg=BIL，此时导线a受到的摩擦力和安培力方向都向右，即F=y mgBIL=2卩mg根据牛顿第二定律，导线a产生的加速度为 a=F/m=2g=20m/s2，方向水平向右。
三、线框1.在如图所示的倾角为0的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小为B的匀强磁场，区域I的磁场方向垂直斜面向上，区域n的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为 m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场I区时，恰好以速度V1做匀速直线运动；当 ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量大小为△E k，重力对线框做功大小为W1, 安培力对线框做功大小为 W2,下列说法中正确的有(CD )E=2BLv。
倾斜部分光滑。
且a和b的质量均为 0.2kg，dA .在下滑过程中，由于重力做正功，所以有V2>V1。
B .从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，机械能守恒。
C .从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程，有( W i + A E k)机械能转化为电能。
D .、从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量大小为△E k= W2- W i。
2•如图所示，相距为 d的两水平直线L1和L2分别是水平向里的匀强磁场的边界，磁场的磁感应强度为B,正方形线框abcd边长为L(L<d)、质量为m。
将线框在磁场上方 ab边距L1为h处由静止开始释放, 当ab边进入磁场时速度为％, cd边刚穿出磁场时速度也为叩0。
从ab边刚进入磁场到cd边刚穿出磁场的整个过程中(B )A .线框一直都有感应电流B •线框一定有减速运动的过程C •线框不可能有匀速运动的过程D .线框产生的总热量为mg(d+h+L)3. (2006年普通高等学校夏季招生考试物理上海卷)如图所示，将边长为 a、质量为m、电阻为R的正方形导线框竖直向上抛出，穿过宽度为b、磁感应强度为 B的匀强磁场，磁场的方向垂直纸面向里.线框向上离开磁场时的速度刚好是进人磁场时速度的一半，线框离开磁场后继续上升一段高度，然后落下并匀速进人磁场•整个运动过程中始终存在着大小恒定的空气阻力f且线框不发生转动•求：(1)线框在下落阶段匀速进人磁场时的速度V2；(2 )线框在上升阶段刚离开磁场时的速度V1；(3)线框在上升阶段通过磁场过程中产生的焦耳热Q.a线框在下落阶段匀速进入磁场瞬间B2a 2v2 -〒①B a(2)线框从离开磁场至上升到最高点的过程1 2(mg + f ) h = 2 mv1 ③线框从最高点回落至磁场瞬间1 2(mg - f ) h = 2 mv2 ④③、④式联立解得=\/(mg)2 -f 2⑥(3)线框在向上通过通过过程中V o = 2 v i3 2 2Q = 2 m [ (mg) -f ]评分标准：本题共14分。
第(1)小题4分，得出①、②式各 2分；第(2)小题6分，得出③、④ 式各2分，正确得出结果⑥式 2分，仅得出⑤式1分；第(3)小题4分，得出⑦、⑧式各 2分。
4.如图所示，倾角为 37°的光滑绝缘的斜面上放着 M=1kg的导轨abed, ab// cd。
另有一质量 m=1kg 的金属棒EF平行be放在导轨上，EF下侧有绝缘的垂直于斜面的立柱P、S、Q挡住EF使之不下滑，以OO为界，斜面左边有一垂直于斜面向下的匀强磁场。
右边有平行于斜面向下的匀强磁场，两磁场的磁感应强度均为B=1T，导轨be段长L=1m。
金属棒EF的电阻R=1.2Q，其余电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数(1)(2)(3)失的机械能是多少？ ( sin370=0.6)解: (1)mg = f +2 mv o2 2mv i = Q + (mg + f) (a + b)⑦B'^^ - ( mg + f) (a + b)⑧卩=0.4开始时导轨be边用细线系在立柱 S上，导轨和斜面足够长，当剪断细线后，试求: 求导轨abed运动的最大加速度；求导轨abed运动的最大速度；若导轨从开始运动到最大速度的过程中，流过金属棒EF的电量q=5C，则在此过程中，系统损解:v i = ¥ v2⑤(1)对导轨进行受力分析有：Mg sin37 - f -F 安=MaB 2 L 2V对棒：宀Mmgcos37^ R )则导轨的加速度:Mg sin 日-艸mgsin370- BLv)_B Lva = RR—_ 2m . 0 B L V ,,=gsin37 - 一 P g cos37 --------- (1 一 卩)M MR可见当v=0时，a 最大:a m =gsin370 -m »gcos370 =2.8m/s 2M(2)当导轨达到最大速度时受力平衡即 a=0,此时:(Mgsin370-Mmgcos370)R … ，=5.6m / s (3 )设导轨下滑距离d 时达到最大速度d=6m损失的机械能W=20.32J5. (07重庆)在t=0时，磁场在xOy 平面内的分布如图所示，其磁感应强度的大小均为 B 0,方向垂直于xOy 平面，相邻磁场区域的磁场方向相反。
每个同向磁场区域的宽度均为 1。
整个磁场以速度U 沿x轴正方向匀速移动。
⑴若在磁场所在区域，xOy 平面内放置一由n 匝线圈串联而成的矩形导线框 abed ，线框的be 边平行于x 轴，be=l 0, ab=L ，总电阻为R,线框始终保持静止，求① 线框中产生的总电动势大小和导线中的电流大小； ② 线框所受安培力的大小和方向。