分式方程与无理方程(非常规)

分式方程与无理方程（非常规）
例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解 例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 例3、解方程x x 1-
＋x
1-1=x 例4、解方程1-x +24-y +39-z =2
1
（x+y+z ） 例5、解方程x -5+x +2=5+2
例6、求方程的整数解2x +y 2=32 例7、已知实数x 1，x 2，•••x n 满足
1+2
11
x x =
1
+2
22
x x =•••=
1
+2
n n x x ，
x 1+x 2+•••x n +
11x +21x +•••+n x 1=3
10。

求x 1 例8、已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且a+b 1=b+c 1=c+d 1=d+a
1
=x ， 试求x 的值
例9、已知关于x 的方程（a 2
-1）(1-x x )2-(2a+7)( 1
-x x
)+1=0有实数根 （1）求a 的取值范围
（2）若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且1-11x x +1-22x x =11
3
，求a 的值
练习： 1、方程 x -
x 4=x
x 3的实数根的个数为 个 2、如果a+b-21-a -42-b =33-c -
2
1
c-5，则a+b+c 的值为 3、若方程p x -=x 有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是
4、若实数x ，y ，z 满足x+
y 1=4，y+z 1=1，z+x 1=3
7
，则xyz 的值为 5、满足x y +x y-x 2003-y 2003+xy 2003=2003的正整数对的个数
是
6、已知
a 1-a =1，那么代数式a
1
+a 的值为 7、对于x 的哪些实数值，等式12-+x x +1-2-x x =2成立？
8、解方程16+16x
+x
x +16=
416x
分式方程与无理方程
解分式方程与无理方程时，主要用到的技巧有观察法、配方法、换元法、数形结合法、韦达定理法、方程的不等式解法等。

解题时，要注意从方法技巧的角度去提高分析问题、解决问题的能力。

例1、求方程x+2-x ＝4＋2的实数解
解：显然x ≥2，观察方程两边，取⎩⎨⎧2
=2-4
=x x 得x=4
令y=2-x ，则原方程变形为y 2
＋y ―(2＋2)=0，此方程有两个异号
的实根，从而有唯一的非负根。

经检验知，x=4是原方程的实数解.
例2、解方程x a -+b x -=b a -（a ＞b ） 解：显然有b ≤x ≤a ，
观察知，x 1=a ，x 2=b 是原方程的解. 当b ＜x ＜a 时，有x a -≥0，b x -≥0
以x a -、b x -为直角边作直角三角形，则斜边为b a - 由三角形任意两边之和大于第三边得，x a -+b x - ＞b a - 所以除x 1=a ，x 2=b 外，原方程再无实数解 经检验知，x 1=a ，x 2=b 是原方程的解
说明：观察法解方程的缺点是有时会减根，因此在用观察法初步得出方程
的解之后，还要全面考虑，找到方程的全部解。

例3、解方程x x 1-
＋x
1-1=x 解：显然x ≥1.方程两边乘以2后，移项配方，有 0=2x ―2x x 1-
―2x
1-1 =⎥⎦⎤⎢⎣⎡1+1-2-1-x x )x x (＋⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡1+1
-⋅
2-1-x x x )x ( =（x x 1-
-1）2+（1-x -x
1）2
由非负数的性质，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧1=
1-1=1
-x x x
x ，
平方得，x 2
-x-1=0，取不小于1的根，得x=
2
5
+1 经检验知，x=2
5
+1是原方程的解.
例4、解方程1-x +24-y +39-z =
2
1
（x+y+z ） 解：配方得，（1-x -1）2+（4-y -2）2+（9-z -3）2
=0
由非负数的性质得，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧3=9-2=4-1=1-z y x ，得⎪⎩⎪
⎨⎧18=8=2=z y x
经检验知， ⎪⎩
⎪
⎨⎧18=8=2
=z y x 是原方程的解.
例5、解方程x -5+x +2=5+2 解：平方得，x -5•x +2=10
∴x -5、x +2是二次方程t 2
-(5+2)t+10=0的两个根，
∴⎪⎩⎪⎨⎧2=+25=-5x x 或⎪⎩⎪⎨⎧5
=+22
=-5x x ∴x=0 或x=3 经检验知，它们是原方程的解
例6、求方程的整数解2x +y 2=32 ① 解：由2x ≤32，得0≤x ≤8 ②
又由①有y 2=32-2x ，平方后移项，得8x 2=16+2x-y ∵16+2x-y 为整数，∴x 2为整数，设x=2b 2
（b 为整数），代入②得，
0≤2b 2≤8，∴b 2
只能取0，1，4
当b 2
=0时，x 1=0,代入①，得y 1=16
当b 2
=1时，x 2=2,代入①，得y 2=4
当b 2
=4时，x 3=8,代入①，得y 3=0 经检验知，它们是原方程的解
例7、已知实数x 1，x 2，•••x n 满足
1+2
11
x x =
1
+2
22
x x =•••=
1
+2
n n x x ，
x 1+x 2+•••x n +
11x +21x +•••+n x 1=3
10 求x 1 解：∵
1+2
11
x x =
1
+2
22
x x =•••=
1
+2
n n x x ，
∴12
11+x x =22
21+x x =•••=n
n x x 1+2
∴x 1+11x =x 2+21x =•••=x n +n x 1
又∵x 1+x 2+•••x n +
11x +21x +•••+n x 1=3
10
∴n(x 1+
11x )=310 ∴nx 12-3
10x 1+n=0
∵x 1为实数，∴△=（-310）2-4n 2≥0， 解得n ≤3
5
，又∵n ≥1 ∴取n=1 ∴x 1+
11x =310 解得x 1=3或3
1
经检验知，它们是原方程的解
例8、已知实数a ，b ，c ，d 互不相等，且a+b 1=b+c 1=c+d 1=d+a
1
=x ， 试求x 的值
解：∵b 1=x-a ， b=x-c 1 ∴(x-a)( x-c
1)=1
同理得(x-c)( x-a 1)=1 ∴(x-a)( x-c 1)=(x-c)( x-a
1
)
整理得，x+acx=a+c ① 又∵(x-a)( x-
c 1)=1 ∴x 2
-c x -ax+c
a =1 ② 把①代入②得，cx 2
=2c ∵c ≠0, ∴x 2
=2， x=±2
例9、已知关于x 的方程（a 2
-1）(1-x x )2-(2a+7)( 1
-x x )+1=0有实数根 （1）求a 的取值范围
（2）若原方程的两个实数根为x 1,x 2,且1-11x x +1-22x x =11
3
，求a 的值
解：（1）若x ≠1，则原方程可转化为（a 2
-1）x 2
-(2a+7)x(x-1)+ (x-1)2
=0
整理得，（a 2-2a-7）x 2
+(2a+5)x+1=0
①若a 2
-2a-7=0，即a=1±22时，有x=-5
+21
a
显然2a+5=7±42≠0，同时x ≠1， ∴当a=1±22时，原方程有实数解
② 若a 2
-2a-7≠0，当△=（2a+5）2
-4(a 2
-2a-7）≥0，
即a ≥-28
53
且a ≠1±22时，原方程有实数解 由①、②知，当a ≥-28
53
时，原方程有实数解 （2）由题设知，
1-11x x ，1
-22x x 是方程（a 2-1）t 2
-(2a+7)t+ 1=0的两个根， 由韦达定理，得1-7+22
a a =113 ∴3a 2
-22a-80=0 解得a 1=10 a 2=-38 又由（1）知a ≥-2853，而-38＜-28
53
∴a 2=-3
8
应舍去，只取a=10
巩固练习： 1、方程 x -x 4=x
x
3的实数根的个数为 个 答：1
2、如果a+b-21-a -42-b =33-c -2
1
c-5，则a+b+c 的值为 答：20
3、若方程p x -=x 有两个不相等的实数根，则实数p 的取值范围是 答：0≤p ＜
4
1
4、若实数x ，y ，z 满足x+y 1=4，y+z 1=1，z+x 1=3
7
，则xyz 的值为 答：1
5、满足x y +x y-x 2003-y 2003+xy 2003=2003的正整数对的个数是
答：2 6、已知
a 1-a =1，那么代数式a
1
+a 的值为 答：5
7、对于x 的哪些实数值，等式1+2+x x +1-2-x x =2成立？ 答：2
1
≤x ≤1 8、解方程
16+16x +x
x +16=
416x
答：x=9
256。