2019-2020学年浙江省台州市椒江区九年级(上)期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年浙江省台州市椒江区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝5B．（x﹣3）2＝13C．（x﹣6）2＝32D．（x﹣6）2＝40 3．（4分）下列说法中正确的是（）A．必然事件发生的概率是0B．“任意画一个等边三角形，其内角和是180°”是随机事件C．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得D．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在下雨4．（4分）已知点A（﹣1，﹣3）关于x轴的对称点A′在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．35．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣1）（x+3）经变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+1），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位6．（4分）如图，某物体由上下两个圆锥组成．其轴截面ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝90°，若下面圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．27．（4分）《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．26寸B．25寸C．13寸D．寸8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣2﹣，）B．（﹣2﹣，2﹣）C．（﹣3，2﹣）D．（﹣3，）9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接，OA、OB、OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、△COG、△AOD的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S 1＞S2＞S3B．S3＜S1＝S2C．＜S3D．＞110．（4分）模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论P A+PB＝PC．应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，F是△DEG 内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（）A．B．5C．3D．二、填空题（本题共有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）数学学习应经历“观察、实验、猜想、证明”等过程．如表是几位数学家“抛掷硬币”的实验数据：实验者棣莫弗蒲丰德⋅摩根费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数204840406140100003600080640出现“正面朝上”的次数10612048310949791803139699频率0.5180.5070.5060.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为（精确到0.1）．12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．13．（5分）如图，四边形ABCD内接于圆，点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE．若∠ABC＝115°，则∠DAE的度数为．14．（5分）一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是．15．（5分）如图，抛物线y＝﹣x﹣的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB 为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆AB上的一动点，连接EP，N 是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是．16．（5分）定义：在平面直角坐标系中，我们将函数y＝x2+2的图象绕原点O逆时针旋转60°后得到的新曲线L称为“逆旋抛物线”．（1）如图①，已知点A（﹣1，a），B（b，6）在函数y＝x2+2的图象上，抛物线的顶点为C，若L上三点A′、B′、C′是A、B、C旋转后的对应点，连接A′B′、A′C′、B′C′，则S△A′B′C′＝；（2）如图②，逆旋抛物线L与直线y＝相交于点M、N，则S△OMN＝．三、解答题（题共有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0（2）（x+3）2＝4（x﹣3）2．18．（8分）LED显示屏是一种平板显示器，可以显示计算机生成的动态图文画面．如图①是平面显示的8×8正三角形网格的示意图，其中每个小正三角形的边长均为1，位于AD 中点处的输入光点P按②的程序移动．（1）请在图①中画出光点P经过的路径；（2）求光点P经过的路径总长．19．（8分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会（The2ndChinaInternationalImportExpo）在上海国家会展中心开幕．本次进博会将共建开放合作、创新、共享的世界经济，见证海纳百川的中国胸襟，诠释兼济天下的责任担当．小滕、小刘两人想到四个国家馆参观：A．中国馆；B．俄罗斯馆；C．法国馆；D．沙特阿拉伯馆．他们各自在这四个国家馆中任意选择一个参观．每个国家馆被选择的可能性相同（1）求小滕选择A中国馆的概率；（2）用画树状图或列表的方法，求小滕和小刘恰好选择同一国家馆的概率20．（8分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．22．（12分）如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB＝4，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，△OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移m个单位长度，对应得到△O′A′B′当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求m的值．23．（12分）如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝α，P在△AOB外移动，将△POB绕点O按顺时针方向旋转α得到△OP′A，且点A、P′、P三点在同一条直线上．（1）【观察猜想】在图①中，∠APB＝；在图②中，∠APB＝；（用含α的代数式表示）（2）【类比探究】如图③，若α＝90°，请补全图形，再过点O作OH⊥AP与点H，探究线段PB，P A，OH之间的数量关系，并证明你的结论；【问题解决】若α＝90°，AB＝5，BP＝3，求点O到AP的距离24．（14分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝ax2+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD 称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝（1）图①是抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标，点B坐标，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形，|D|为．（2）如果抛物线y＝m（x﹣1）2﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝（x﹣1）2﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．参考答案一、选择题（本题共有10小题，每小题4分，共40分.请选出一个符合题意的正确选项，不选，多选，错选均不得分）1．（4分）剪纸是中国特有的民间艺术，在如图所示的四个剪纸图案中，既是轴对称又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．故选：B．2．（4分）用配方法解方程x2﹣6x+4＝0时，配方结果正确的是（）A．（x﹣3）2＝5B．（x﹣3）2＝13C．（x﹣6）2＝32D．（x﹣6）2＝40解：用配方法解方程：x2﹣6x+4＝0x2﹣6x+9＝﹣4+9（x﹣3）2＝5故选：A．3．（4分）下列说法中正确的是（）A．必然事件发生的概率是0B．“任意画一个等边三角形，其内角和是180°”是随机事件C．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得D．如果明天降水的概率是50%，那么明天有半天都在下雨解：A、必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，故本选项错误；B、“任意画一个等边三角形，其内角和是180°”是必然事件，故本选项错误；C、投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法求得，故本选项正确；D、明天降雨的概率是50%表示降雨的可能性，故本选项错误；故选：C．4．（4分）已知点A（﹣1，﹣3）关于x轴的对称点A′在反比例函数y＝的图象上，则实数k的值为（）A．﹣3B．﹣C．D．3解：点A（﹣1，﹣3）关于x轴的对称点A'的坐标为（﹣1，3），把A′（﹣1，3）代入y＝得k＝﹣1×3＝﹣3．故选：A．5．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣1）（x+3）经变换后得到抛物线y＝（x﹣3）（x+1），则这个变换可以是（）A．向左平移2个单位B．向右平移2个单位C．向左平移4个单位D．向右平移4个单位解：y＝（x﹣1）（x+3）＝（x+1）2﹣4，顶点坐标是（﹣1，﹣4）．y＝（x﹣3）（x+1）＝（x﹣1）2﹣4，顶点坐标是（1，﹣4）．所以将抛物线y＝（x﹣1）（x+3）向右平移2个单位长度得到抛物线y＝（x﹣3）（x+1），故选：B．6．（4分）如图，某物体由上下两个圆锥组成．其轴截面ABCD中，∠A＝60°，∠ABC＝90°，若下面圆锥的侧面积为1，则上部圆锥的侧面积为（）A．B．C．D．2解：连接AC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SSS）∴∠BAC＝30°，∴＝tan∠BAC＝tan30°＝，设圆锥的底面周长为c，则上部圆锥的侧面积＝×c×AB，下面圆锥的侧面积＝×c×BC，∴上部圆锥的侧面积：下面圆锥的侧面积＝AB：BC＝，∵下面圆锥的侧面积为1，∴上部圆锥的侧面积为，故选：C．7．（4分）《九章算术》是一本中国乃至东方世界最伟大的一本综合性数学专著，标志着中国古代数学形成了完整的体系．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”朱老师根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道AB＝1尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为（）A．26寸B．25寸C．13寸D．寸解：设圆心为O，过O作OC⊥AB于C，交⊙O于D，连接OA，∴AC＝AB＝×10＝5，设⊙O的半径为r寸，在Rt△ACO中，OC＝r﹣1，OA＝r，则有r2＝52+（r﹣1）2，解得r＝13，∴⊙O的直径为26寸，故选：A．8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点B在第一象限，点A在y轴的正半轴上，AO＝AB＝2，∠OAB＝120°，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是（）A．（﹣2﹣，）B．（﹣2﹣，2﹣）C．（﹣3，2﹣）D．（﹣3，）解：作B′H⊥x轴于H．由题意：OA′＝A′B′＝2，∠B′A′H＝60°，∴∠A′B′H＝30°，∴AH′＝A′B′＝1，B′H＝，∴OH＝3，∴B′（﹣3，），故选：D．9．（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，连接，OA、OB、OC，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B、C分别作BE，CF垂直y轴于点E、F，OB与CF相交于点G，记四边形BEFG、△COG、△AOD的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S 1＞S2＞S3B．S3＜S1＝S2C．＜S3D．＞1解：∵点A、B、C为反比例函数y＝（k＞0）上不同的三点，AD⊥x轴，BE，CF垂直y轴于点E、F，∴S△BOE＝S△COF＝S△AOD＝k，∴S△BOE﹣S△GOF＝S△COF﹣S△GOF，∴S1＝S2＜S3，∴S1﹣S2＝0，故A、B、D错误，C正确；故选：C．10．（4分）模型结论：如图①，正△ABC内接于⊙O，点P是劣弧AB上一点，可推出结论P A+PB＝PC．应用迁移：如图②，在Rt△EDG中，∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，F是△DEG 内一点，则点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为（）A．B．5C．3D．解：模型结论：∵将△PBC绕C点顺时针旋转60°，∴∠PCD＝60°，PC＝CD，AD＝PB，∠CAD＝∠CBP，∵∠PBC+∠P AC＝180°，∠DAC+∠P AC＝180°，∴P，A，D在一条直线上，∴△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝DC，∴PB+P A＝P A+AD＝PD＝PC；应用迁移：如图2：以DG为边作等边三角形△MGD，以DF为边作等边△DFP．连接EM，作MN⊥ED，交ED的延长线于N．∵△MGD和△DFP是等边三角形∴PF＝DF＝PD，∠FDP＝∠GDM＝60°，DG＝MD，∴∠FDG＝∠MDP，∴△DFG≌△DPM（SAS），∴FG＝PM，∴EF+DF+FG＝EF+PF+PM，∴当E、F、P、M四点共线时，EF+PF+PM值最小，且EF+PF+PM＝EM，∵∠EDG＝90°，DE＝3，DG＝2，∴∠EDM＝150°，∴∠NDM＝30°，∵MD＝DG＝2．∴MN＝DM＝，DN＝3，∴NE＝DE+DN＝3+3＝6，∴EM＝＝＝，∴点F到△DEG三个顶点的距离和的最小值为，故选：D．二、填空题（本题共有6小题，每小题5分，共30分）11．（5分）数学学习应经历“观察、实验、猜想、证明”等过程．如表是几位数学家“抛掷硬币”的实验数据：实验者棣莫弗蒲丰德⋅摩根费勒皮尔逊罗曼诺夫斯基掷币次数204840406140100003600080640出现“正面朝上”的次数10612048310949791803139699频率0.5180.5070.5060.4980.5010.492请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5（精确到0.1）．解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5．故答案为0.5．12．（5分）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为10米．解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．13．（5分）如图，四边形ABCD内接于圆，点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，连接AE．若∠ABC＝115°，则∠DAE的度数为50°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝65°，∵点B关于对角线AC的对称点E落在边CD上，∴∠B＝∠AEC＝115°，∴∠BAE＝115°﹣65°＝50°．故答案为：50°．14．（5分）一次函数y1＝﹣x+b与反比例函数y2＝（x＞0）的图象如图所示，当y1＜y2时，自变量x的取值范围是0＜x＜2或x＞4．解：当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2．故答案为0＜x＜2或x＞4．15．（5分）如图，抛物线y＝﹣x﹣的图象与坐标轴交于A、B、D，顶点为E，以AB为直径画半圆交y轴的正半轴于点C，圆心为M，P是半圆AB上的一动点，连接EP，N 是PE的中点，当P沿半圆从点A运动至点B时，点N运动的路径长是π．解：连接EM，MN．对于抛物线y＝﹣x﹣＝（x﹣1）2﹣2，∴E（1，﹣2），由题意A（﹣1，0），B（3，0），∴M（2，0），∴EM⊥x轴．EM＝MA＝MB＝2，∴点E在⊙M上，∵EN＝NP，∴MN⊥EP，∴∠MNE＝90°，∴点N的运动轨迹是以EM为直径的半圆，点N运动的路径长＝×2π•2＝π，故答案为π．16．（5分）定义：在平面直角坐标系中，我们将函数y＝x2+2的图象绕原点O逆时针旋转60°后得到的新曲线L称为“逆旋抛物线”．（1）如图①，已知点A（﹣1，a），B（b，6）在函数y＝x2+2的图象上，抛物线的顶点为C，若L上三点A′、B′、C′是A、B、C旋转后的对应点，连接A′B′、A′C′、B′C′，则S△A′B′C′＝3；（2）如图②，逆旋抛物线L与直线y＝相交于点M、N，则S△OMN＝．解：（1）∵点A（﹣1，a），B（b，6）在函数y＝x2+2的图象上，当x＝﹣1时，y＝3，∴A（﹣1，3），当y＝6时，x＝2，∴B（2，6），S△OAB＝S△OA′B′，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AB的解析式为y＝x+4，∴D（0，4），∵C（0，2），∴CD＝4﹣2＝2，∴S△ABC＝CD•（1+2）＝＝3，∴S△A′B′C′＝3，故答案为：3；（2）如图②所示，设直线y＝与y轴交于E，由旋转的性质得，OE＝OE′＝，∠OGF＝∠EOE′＝60°，OE′⊥FG，∴∠OFG＝30°，∴OF＝2OE′＝3，∴OG＝，∴直线FG的解析式为：y＝﹣x+3，解方程组，得，x＝，∴|x M′﹣x N′|＝，∴S△OMN＝OF＝，故答案为：．三、解答题（题共有8小题，第17-20题每题8分，第21题10分，第22，23题每题12分，第24题14分，共80分）17．（8分）解下列方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0（2）（x+3）2＝4（x﹣3）2．解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1，∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，则x＝＝1±；（2）∵（x+3）2＝4（x﹣3）2，∴x+3＝2（x﹣3）或x+3＝﹣2（x﹣3），解得x＝9或x＝1．18．（8分）LED显示屏是一种平板显示器，可以显示计算机生成的动态图文画面．如图①是平面显示的8×8正三角形网格的示意图，其中每个小正三角形的边长均为1，位于AD 中点处的输入光点P按②的程序移动．（1）请在图①中画出光点P经过的路径；（2）求光点P经过的路径总长．解：（1）光点P经过的路径如图所示．（2）光点P经过的路径总长＝2π×2＝4π．19．（8分）2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会（The2ndChinaInternationalImportExpo）在上海国家会展中心开幕．本次进博会将共建开放合作、创新、共享的世界经济，见证海纳百川的中国胸襟，诠释兼济天下的责任担当．小滕、小刘两人想到四个国家馆参观：A．中国馆；B．俄罗斯馆；C．法国馆；D．沙特阿拉伯馆．他们各自在这四个国家馆中任意选择一个参观．每个国家馆被选择的可能性相同（1）求小滕选择A中国馆的概率；（2）用画树状图或列表的方法，求小滕和小刘恰好选择同一国家馆的概率解：（1）∵共有四个国家馆参观：A．中国馆；B．俄罗斯馆；C．法国馆；D．沙特阿拉伯馆，∴小滕选择A中国馆的概率是；（2）根据题意画图如下：共有16种等可能的结果数，其中小滕和小刘恰好选择同一国家馆的有4种，则小滕和小刘恰好选择同一国家馆的概率是＝．20．（8分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有实数根．（1）求m的取值范围；（2）如果m是符合条件的最小整数，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0与方程（m ﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，求此时k的值．解：（1）化为一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，∴，解得：m≥且m≠1（2）由（1）可知：m是最小整数，∴m＝2，∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化为x2﹣4x＝0，解得：x＝0或x＝4，∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0与（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一个相同的根，∴当x＝0时，此时k﹣3＝0，k＝3，当x＝4时，16（k+1）+4+k＝0，∴k＝﹣1，∵k+1≠0，∴k＝﹣1舍去，综上所述，k＝3．21．（10分）如图，已知AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，过点B作BC⊥PO于点D，交⊙O于点C，连接AC、PC（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）若∠BPC＝60°，PB＝3，求阴影部分面积．【解答】（1）证明：连接OC，如图：∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵AB是⊙O的直径，PB切⊙O于点B，∴AB⊥PB，∠PBO＝∠OBC+∠PBC＝90°，∵BC⊥PO，∴BD＝CD，∴PO是BC的垂直平分线，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∴∠OCB+∠PCB＝∠OBC+∠PBC＝90°，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，PB、PC为⊙O的切线，∴PB＝PC，∵∠BPC＝60°，PB＝3，∴△PBC是等边三角形，∴BC＝PB＝3，∠PBC＝60°，∴∠OBC＝30°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠AOC＝60°，∵OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴AC＝OC＝OB＝PB＝，∴扇形OAC的面积＝＝，△OAC的面积＝×（）2＝，∴阴影部分面积＝﹣．22．（12分）如图，在△AOB中，∠OAB＝90°，AO＝AB＝4，以O为原点，OB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，△OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式．（2）把△OAB向右平移m个单位长度，对应得到△O′A′B′当这个函数图象经过△O′A′B′一边的中点时，求m的值．解：（1）过点A作AD⊥x轴于点D，如图1，∵∠OAB＝90°，AO＝AB＝4，∴S△AOB＝＝8∵OD＝DB∴S△AOD＝S△AOB＝4∴k＝2S△AOD＝8∴y＝；答：反比例函数的表达式为y＝；（2）①当边A′B′的中点C在y＝的图象上，如图2，∵∠OAB＝90°，AO＝AB＝4，∴A′（2+m，2），B′（4+m，0），C（3+m，）∴（3+m）＝8∴m＝；②当边A′O′的中点E在y＝的图象上，过点A′作A′D⊥x轴于点D，如备用图，∵O′（m，0），A′（m+2，2）∴中点E（m+，）∴（m+）＝8∴m＝3综上所述：符合条件的m的值有或3．23．（12分）如图，在△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝α，P在△AOB外移动，将△POB绕点O按顺时针方向旋转α得到△OP′A，且点A、P′、P三点在同一条直线上．（1）【观察猜想】在图①中，∠APB＝α；在图②中，∠APB＝180°﹣α；（用含α的代数式表示）（2）【类比探究】如图③，若α＝90°，请补全图形，再过点O作OH⊥AP与点H，探究线段PB，P A，OH之间的数量关系，并证明你的结论；【问题解决】若α＝90°，AB＝5，BP＝3，求点O到AP的距离解：（1）如图①，由旋转知，△AOP'≌△BOP，∴∠OAP'＝∠OBP，∵∠AOB+∠OAP'＝∠OBP+∠APB，∴∠AOB+∠OBP＝∠OBP+∠APB，∴∠APB＝∠AOB，∵∠AOB＝α，∴∠APB＝α；如图②，由旋转知，△AOP'≌△BOP，∴∠OPP'＝α，∠OAP'＝∠OBP，∴∠APB＝∠APO+∠APB＝∠APO+∠AP'O，在△POP'中，∠APO+∠AP'O＝180°﹣∠POP'＝180°﹣α，∴∠APB＝180°﹣α，故答案为：α，180°﹣α；（2）P A＝PB+2OH，理由：如图③由旋转知，△OPB≌△OP'A，∴∠POP'＝∠AOB＝90°，PB＝P'A，OP＝OP'，∴△OPP'是等腰直角三角形，∵OH⊥P A，∴PP'＝2OH，∴P A＝PP'+P'A＝2OH+PB；（3）Ⅰ、如图④，当点P在AB上方时，过点O作OH⊥AP于H，由（1）知，∠APB＝α＝90°，∵AB＝5，PB＝3，根据勾股定理得，P A＝4，由（2）知，P A＝PB+2OH，∴OH＝＝＝Ⅱ、如图⑤，当点P在AB下方时，过点O作OH⊥AP于H，由（1）知，∠APB＝180°﹣α＝90°，∵AB＝5，PB＝3，根据勾股定理得，P A＝4，同（2）的方法得，P A+PB＝2OH，∴OH＝＝，即点O到AP的距离为或．24．（14分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝ax2+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD 称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝（1）图①是抛物线y＝x2﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标（1，0），点B坐标（3，0），惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形菱形，|D|为2．（2）如果抛物线y＝m（x﹣1）2﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．（3）如果抛物线y＝（x﹣1）2﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．解：（1）y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x＝﹣1或3，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0）；顶点D（1，﹣4），点D（1，4），则AB＝AD＝CD＝BC，故惊喜四边形ABCD为菱形；BD＝8，AC＝4，故|D|＝2；故答案为：（1，0）；（3，0）；菱形；2；（2）联立y＝m（x﹣1）2﹣6m、y＝m并解得：x＝1，故：AC＝2＝BD，抛物线的顶点纵坐标为：﹣6m，则m+6m＝BD＝，解得：m＝；（3）抛物线的对称轴为：x＝1；①当m﹣1≤1≤m+3时，即﹣2≤m≤2时，如图1，点B（1，﹣6m），y＝m时，点D（1，8m），即8m＝16，解得：m＝2，则抛物线表达式为：y＝（x﹣1）2﹣12，直线为y＝2，联立上式并解得：x＝1，则AC＝2，而BD＝14m＝28，则|D|＝；②当m﹣1＞1时，即m＞2，如图2，当x＝m﹣1对应的点R的纵坐标为：16，即点R（m﹣1，16）；当x＝m﹣1时，y′＝（x﹣1）2﹣6m＝（m﹣1﹣1）2﹣6m；有中点公式得：16﹣y′＝2m，解得：m＝2（舍去）或10，联立y＝（x﹣1）2﹣6m、y＝m并解得：x＝1±＝1，AC＝2，BD＝14m＝140，故|D|＝；③当m+3＜1，即m＜﹣2时，形成不了惊喜线，故不存在m，综上，m＝2，|D|＝2或m＝10，|D|＝．。