卷积计算
卷积计算(图解法)
(1) n<0
x(m) m 0 4 h(n-m) m n-6 n0
y(n) = x(n) ∗ h(n) = 0
x(m) m
(2)在0≤n≤4区间上
0
4 h(n-m) m
n-6 0 n 4
∴ y(n) = ∑ x(m)h(n − m) = ∑1⋅ a
m=0 n m=0
n
n
n−m
=a
n
m=0
∑a
−m
1− a =a −1 1− a
n
−( n+1)
1− a =1− a
1+n
x(m)
(3)在4<n≤6区间上
m 0 4 h(n-m) m n-6 0
1+n
∴ y(n) = ∑x(m)h(n − m)
m=0
4
= ∑1⋅ a
m=0 n
4
n−m
=a
n
m=0
∑a
n−4
4
−m
4 6 n
1− a a −a =a = −1 1− a 1− a
−(1+4)
x(m) m 0 4 h(n-m) m 0 n-6
7
(4)在6<n≤10区间上
∴ y(n) = =
m=n−6
∑x(m)h(n − m)
=a
n m=n−6 −( 4+1)
n
m=n−6
∑1⋅ a
n
n
n−m
∑a
=
4
−m
6
n
10
=a
a
−( n−6)
−a −1 1− a
a
n−4
−a 1− a
综合以上结果， 可归纳如下： 综合以上结果，y(n)可归纳如下： 可归纳如下
时域卷积和频域卷积转换公式
时域卷积和频域卷积转换公式时域卷积和频域卷积是数字信号处理中常用的两种卷积方法。
它们可以互相转换，以便在不同的领域中进行信号处理。
时域卷积是指在时域中对两个信号进行卷积运算。
假设有两个信号x(t)和h(t)，它们在时域中的卷积运算可以表示为y(t) = x(t) * h(t)。
其中，*表示卷积运算。
卷积运算的计算公式如下：y(t) = ∫[x(τ) * h(t-τ)] dτ这个公式表示了在时域中的卷积运算，其中τ是一个积分变量，用来表示h(t)信号在时间轴上与x(t)信号相互叠加的位置。
频域卷积是指将时域信号转换为频域信号后进行卷积运算。
假设有两个信号X(f)和H(f)，它们在频域中的卷积运算可以表示为Y(f) = X(f) × H(f)。
其中，×表示点乘运算。
频域卷积的计算公式如下：Y(f) = X(f) × H(f)这个公式表示了在频域中的卷积运算。
在频域中进行卷积运算的好处是可以通过快速傅里叶变换（FFT）等算法，提高卷积运算的效率。
将时域卷积转换为频域卷积可以通过傅里叶变换实现。
具体步骤如下：1. 对信号x(t)和h(t)分别进行快速傅里叶变换，得到它们在频域中的表示X(f)和H(f)。
2. 将X(f)和H(f)相乘，得到频域中的卷积结果Y(f)。
3. 对Y(f)进行逆傅里叶变换，得到在时域中的卷积结果y(t)。
将频域卷积转换为时域卷积可以通过逆傅里叶变换实现。
具体步骤如下：1. 对信号X(f)和H(f)分别进行逆傅里叶变换，得到它们在时域中的表示x(t)和h(t)。
2. 将x(t)和h(t)进行卷积运算，得到时域中的卷积结果y(t)。
通过时域卷积和频域卷积的转换，我们可以在不同的领域中选择合适的方法进行信号处理，以满足不同的需求和要求。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的卷积方法可以提高计算效率和信号处理的质量。
计算卷积的方法
* 0 -1 1 1 b f 2 (t 1)[ u (t 1) u (t 1)] f1 a[u(t ) u(t 1)] t t j 2 2 2 f 2 f1 f 2 ( ) f1 (t ) du (t ti t j )
i 1 j 1 ti
0.25ab
0
1
2
3
ab t 4
2
0 t 1
f1 f2
=
ab ab t 2 4
1 t 2
2 t 3
ab 2 (3 t 2t ) 4
结语:若f1(t)与f2(t)为有限宽度的脉冲,f1*f2的面积为f1和 f2面 积之积, f1*f2的宽度为f1和 f2宽度之和. Gtk [(t t j ) ti ] 方法二.利用门函数直接计算卷积分
t t 1 t t 1
2 ab 2 [(t 1) u (t 1) t u (t ) 4
(t 3)(t 1)u (t 1) (t 4) u (t 2)]
2
*下式错在哪里？ u (t 1) * [u (t 2) u (t 3)]
0
ti
t tj
ti
u(t t j t i )
t tj
1.将被卷积的两个函数f(t)和 h(t)都表示成单位阶跃u(t)移 位加权之和. p
f (t )
f
i 1
i
(t )u (t ti )......... . 1
h(t )
h
j 1
p
q
j
2 (t )u (t t j )......
de r (t ) *g dt
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
rk r ( k N / 2)
，则后半段的 DFT 值表达式：
X 1[
N N / 2 1 N / 2 1 r ( k ) N N rk k ] x1[r ]WN / 22 x1[r ]WN ， k ] X 2 [k ] （ k=0,1, … ,N/2-1 ） / 2 X 1[ k ] ，同样， X 2 [ 2 2 r 0 r 0
d it L Ri t et dt
t
t 2
u(t ) u(
i(t )
L 1H
2) 冲激响应为 h(t ) e u(t ) 3)
i(t ) e( ) h(t ) d
程序： function test x = rand(1 , 2 .^ 13) ; tic X1 = fft(x) ; toc tic X2 = dit2(x) ; toc tic X3 = dif2(x) ; toc tic X4 = real_fft(x) ; toc max(abs(X1 - X2)) max(abs(X1 - X3)) max(abs(X1 - X4)) return ; function X = dit2(x) N = length(x) ; if N == 1 X=x; else X1 = dit2(x(1:2:(N-1))) ; X2 = dit2(x(2:2:N)) ; W = exp(-1i * 2 * pi / N * (0:(N/2-1))) ; X = [X1 + W .* X2 , X1 - W .* X2] ; end return ;
传统卷积公式
传统卷积公式
传统卷积公式（也称为一维离散卷积公式）是用于计算离散信号之间的卷积操作的数学公式。
给定两个离散信号 $f[n]$ 和
$g[n]$，它们的卷积结果 $y[n]$ 可以通过以下公式计算：$$
y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} f[k] \cdot g[n-k]
$$
其中，$n$ 是卷积结果的索引，$f[k]$ 和 $g[n-k]$ 分别是信号$f[n]$ 和 $g[n]$ 在索引 $k$ 和 $n-k$ 处的取值。
在计算过程中，$k$ 的取值范围为负无穷到正无穷，但对于离散信号而言，只
有有限个元素是非零的，因此实际计算只需要对存在的元素进行求和。
卷积操作模拟了两个信号之间的相互影响，常用于信号处理、图像处理和机器学习等领域。
卷积计算原理
卷积计算原理
卷积计算是一种用于图像处理和信号处理的数学运算方法，它通过在输入信号上滑动一个若干大小的滤波器（也称为卷积核或卷积矩阵），将输入信号和滤波器进行相乘并求和的方式来计算输出信号的每个元素。
具体来说，给定一个2维的输入信号矩阵（也可以是3维的，如RGB图像），以及一个2维的滤波器矩阵，卷积计算过程可以分为以下几个步骤：
1. 输入信号矩阵与滤波器矩阵进行点乘：
- 卷积操作中，通常使用滤波器的矩阵来表示卷积核
- 输入信号矩阵的每个元素与滤波器矩阵相乘，得到一个对应位置的乘积结果矩阵
2. 对乘积结果矩阵进行求和：
- 对乘积结果矩阵的所有元素进行求和，得到一个标量值
3. 将求和结果放置在输出信号矩阵的对应位置：
- 输出信号矩阵的每个元素都对应一个滤波器矩阵在输入信号上的一个滑动窗口位置
- 将第2步的求和结果放置在输出信号矩阵对应位置，即该滑动窗口中心位置对应的输出信号元素的值
4. 重复上述步骤，直到覆盖完输入信号矩阵的所有位置：
- 在输入信号矩阵上滑动滤波器矩阵，计算输出信号矩阵的所有元素
这就是卷积计算的基本原理，通过滑动滤波器在输入信号上，将输入信号的局部信息与滤波器矩阵进行卷积操作，获得对应位置的输出信号元素。
卷积计算在图像处理与信号处理中有着广泛的应用，如图像滤波、边缘检测、特征提取等。
卷积计算过程和步骤
卷积计算过程和步骤
卷积（Convolution）是一种在信号处理和图像处理中广泛应用的数学运算。
卷积计算过程主要包括以下步骤：
确定卷积核（kernel）：卷积核是一个函数或数组，表示卷积操作中要应用的滤波器。
在信号处理中，卷积核可以用来表示滤波器、小波变换等；在图像处理中，卷积核可以表示模糊、边缘检测、滤波等操作。
确定输入信号（或图像）：输入信号可以是数字信号、模拟信号或图像信号。
在卷积操作中，输入信号通常是二维数组或一维数组。
确定步长（stride）：步长是卷积操作中每次移动的距离。
步长可以是正数、负数或零，通常用来控制输出信号的尺寸和分辨率。
初始化输出信号：在卷积操作开始时，需要初始化一个与输入信号尺寸相同的输出信号数组。
输出信号的每个元素表示对应位置的卷积结果。
卷积计算：卷积计算是通过将卷积核在输入信号上滑动，逐点与输入信号相乘并求和来实现的。
在每一步中，将卷积核与输入信号在当前位置进行点积，并将结果累加到输出信号的对应位置。
更新输出信号：卷积计算完成后，输出信号将包含卷积的结果。
根据需求，可以使用步长对输出信号进行更新，以调整输出信号的尺寸和分辨率。
终止条件：卷积操作的终止条件通常包括输出信号的尺寸、卷积核的位置以及计算时间等。
当满足终止条件时，卷积操作将停止。
总之，卷积计算过程主要包括确定卷积核、输入信号、步长，初始化输出信号，进行卷积计算，更新输出信号以及终止条件等步骤。
通过卷积操作，可以实现信号和图像的滤波、边缘检测、去噪等多种处理功能。
第二章卷积图解计算
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
( ff1τt)) 1(
() ff22(τt)
1 1 2 2
步骤
∞
将f2 (τ )反 得f2 (− ) 折 τ
f2 (−τ)
1 2
1 1
0 0
1 1
t
f1(τ )
0 τ 0
1 1
2 2
1Байду номын сангаас
0
1 +t −3
−1+ t
τ
−1+ t
f2 (t −τ )
1 2
0
τ
平移
第二章第1讲
1
例
1
计算 f (t) = f1(t) ∗ f2 (t) = ∫−∞ f1(τ ) f2 (t −τ )dτ
当 −1+ t < 0 即 t < 1 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 1 2 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0 t 0 1 2 3
1 1 1× dτ = (4 − t) −3+t 2 2
1
即为重叠部分的面积。 当 −3+t ≥1 即 t ≥ 4 时： f 2 (t −τ ) 和 f1 (τ ) 没有公共的重叠部分， 故卷积 f (t) = f1 (t) ∗ f2 (t) = 0
第二章第1讲 3
f 2 (t −τ ) f1(τ)
4
f (t)
∞
f 2 (t −τ ) f1(τ)
1
−3 + t −1+ t 0
1
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卷积计算
实验二卷积计算及定理
一、授课目的
利用卷积方法观察分析信号、系统的频谱特性
二、授课内容
1、卷积计算
在MATLAB 中，提供了卷积函数conv，即y=conv(x,h)，调用十分方便。
n=1:50; % 定义序列的长度是50
hb=zeros(1,50); % 注意：MATLAB 中数组下标从1 开始
hb(1)=1; hb(2)=2.5; hb(3)=2.5; hb(4)=1;
close all;
subplot(3,1,1);stem(hb);title('系统hb[n]');
m=1:50; % 定义序列的长度
T=0.001; % 定义序列的采样率
A=444.128; %设置信号有关的参数
a=50*sqrt(2.0)*pi;
w0=50*sqrt(2.0)*pi;
x=A*exp(-a*m*T).*sin(w0*m*T); %pi 是MATLAB 定义的π，信号乘可采用“.* ”subplot(3,1,2);stem(x);title('输入信号x[n]');
y=conv(x,hb);
subplot(3,1,3);stem(y);title('输出信号y[n]');
2、卷积定律验证
(1)
n=1:50; % 定义序列的长度是50
hb=zeros(1,50); % 注意：MATLAB 中数组下标从1 开始
hb(1)=1; hb(2)=2.5; hb(3)=2.5; hb(4)=1;
m=1:50; % 定义序列的长度
T=0.001; % 定义序列的采样率
A=444.128; %设置信号有关的参数
a=50*sqrt(2.0)*pi;
w0=50*sqrt(2.0)*pi;
x=A*exp(-a*m*T).*sin(w0*m*T); %pi 是MATLAB 定义的π，信号乘可采用“.* ”
y=conv(x,hb);
k=-25:25;
X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);
magX=abs(X); % 绘制x(n) 的幅度谱
subplot(3,2,1);stem(magX);title('入信号的幅度谱');
angX=angle(X); % 绘制x(n) 的相位谱
subplot(3,2,2);stem(angX) ; title ('输入信号的相位谱')
Hb=hb*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);
magHb=abs(Hb); % 绘制hb(n) 的幅度谱
subplot(3,2,3);stem(magHb);title('系统响应的幅度谱');
angHb=angle(Hb); % 绘制hb(n) 的相位谱
subplot(3,2,4);stem(angHb) ; title ('系统响应的相位谱') ;
n=1:99; k=1:99;
Y=y*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);
magY=abs(Y); % 绘制y(n) 的幅度谱
subplot(3,2,5);stem(magY);title('输出信号的幅度谱');
angY=angle(Y); % 绘制y(n) 的相位谱subplot(3,2,6);stem(angY) ; title ('输出信号的相位谱')
(2)
n=1:50; % 定义序列的长度是50
hb=zeros(1,50); % 注意：MATLAB 中数组下标从1 开始
hb(1)=1; hb(2)=2.5; hb(3)=2.5; hb(4)=1;
m=1:50; % 定义序列的长度
T=0.001; % 定义序列的采样率
A=444.128; %设置信号有关的参数
a=50*sqrt(2.0)*pi;
w0=50*sqrt(2.0)*pi;
x=A*exp(-a*m*T).*sin(w0*m*T); %pi 是MATLAB 定义的π，信号乘可采用“.* ”
y=conv(x,hb);
k=-25:25;
X=x*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);
Hb=hb*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);
n=1:99; k=1:99;
Y=y*(exp(-j*pi/12.5)).^(n'*k);
XHb=X.*Hb;
Subplot(2,1,1);stem(abs(XHb));title('x(n)的幅度谱与hb(n)幅度谱相乘');
Subplot(2,1,2);stem(abs(Y));title('y(n)的幅度谱');。