关于卷积计算
卷积的运算法则
卷积是信号处理和图像处理中常用的一种运算法则。
在离散情况下，卷积可以被定义为两个离散序列的线性组合。
以下是卷积的运算法则：
1. 线性性质：卷积具有线性性质，即对于输入序列的线性组合，卷积的结果等于每个输入序列与相应权重进行卷积后再相加。
2. 交换律：卷积运算满足交换律，即输入序列的卷积可以交换顺序，不影响最终结果。
3. 结合律：卷积运算满足结合律，即多个输入序列的卷积可以按照不同的分组方式进行计算，最终结果保持一致。
4. 分配律：卷积运算满足分配律，即输入序列与一个常数的乘积先进行卷积运算，等于将输入序列进行卷积后再与该常数相乘。
这些运算法则使得卷积在信号处理和图像处理中非常有用。
通过卷积运算，可以实现信号的平滑、滤波、特征提取等操作。
在深度学习中，卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）利用卷积运算对图像进行特征提取和模式识
别，取得了很大的成功。
卷积运算
卷积运算信号的卷积运算是信号处理领域中最重要的运算之一。
随着对信号与系统理论研究的深入，特别是计算机技术的不断发展，不仅使卷积方法在很我领域得到了很广泛的应用，而且卷积运算的逆运算---反卷积的问题也受到了越来越大的重视和应用。
比如，在语音识别、地震勘探、超声诊断、光学成像、系统辨识及其他诸多信号处理领域中，甚至可以说卷积与反卷积的问题无处不在，而且很多的问题，都是有待深入研究的课题。
所以，大家要切实理解和掌握好卷积分运算的各个方面，打好牢固的基础。
下面，我们来看看卷积的定义是怎样的。
信号的卷积积分（简称卷积），定义为：简记为，其中的星号是卷积运算符。
注意不要与我们在编写计算机程序时所用的乘法的表示符号搞混了。
在信号处理课程里，乘法往往是用居中的点来表示的，或者干脆不写居中的点，而直接将要进行乘积运算的信号(包括直流信号---它是一个常数)连在一起写。
信号的卷积运算对应着一定的物理背景，这要在我们进一步学习了关于系统的激励与响应的关系之后，才能更深入地理解。
不仅如此，信号的卷积运算还对应着一定的几何解释。
从定义式我们可以看出：(1) 在积分式中，信号自变量改变了符号，这对应在几何波形上，就是将信号进行了反褶变换；(2) 并且，信号f2的波形位置与积分变量的取值有关，积分变量在积分限内的不断变化，将导致信号的波形发生移动，即是对它不断进行平移操作；(3) 最后，每当信号处在一个新位置，都要与信号f1相乘，且依据积分的定义，要将这些乘积加起来，而其结果实际上对应着两信号波形相交部分的面积。
所以，卷积运算可以用几何图解方式来直观求解。
下面我们来说明如何用它的几何意义来求解两信号的卷积。
将信号的自变量改为，信号变为。
对任意给定的，卷积的计算过程为：(a) 将关于ｒ进行反褶得到；(b) 再平移至ｔ0得到；(c) 与相乘得到；(d) 对ｒ进行积分得，即；不断变化，就可以得到s(t)。
从上面的计算步骤可以看出：卷积计算的几何求解可以通过对信号进行"反褶、平移、相乘、积分"等运算来完成。
卷积的几种计算方法以及程序实现FFT算法
数字信号处理
用一个例子说明计算卷积的基本方法。 例子：设函数 f1（t）=u(t) – u(t-3),f2(t)=e-tu(t),试计算其卷积 y(t)= f1（t）* f2(t)。
e ( t 1) )u(t 2)
Made by 霏烟似雨
数字信号处理
ht 1
e
t 2
u (t ) u (t 2)
e t 1
e t u (t )
O
t
波形
O
2
t
2. 今有一输油管道，长 12 米，请用数字信号处理的方法探测管道内部的损伤，管道的损伤可能为焊 缝，腐蚀。叙述你的探测原理，方法与结果。 （不是很清楚） 探测原理：因为输油管道不是很长，可以考虑设计滤波器器通过信号测量来测试管道的损伤，当有 焊缝时，所接受的信号会有所损失，当管道式腐蚀时，由于管壁变得不再是平滑的时候，信号的频率 就会有所改变。
1 e 2
u( ) u( 2) e (t ) u(t ) d
e t e 2 u ( )u (t )d e t e 2 u ( 2)u (t )d
4) 定积分限（关键）
3 当 t>3 时，f1（τ ）与 f2(t-τ )的图形的图形仅在[0,3]内有重叠，如图 c,所以
综上所述有：
3、 利用卷积的特性计算
卷积作为一种数学运算方法， 具有某些特殊的有用特性。在卷积运算中要注意应用卷积的 特性简化运算，尤其要重视应用奇异函数的卷积特性。 （1） 微积分等效特性
计算卷积的方法
* 0 -1 1 1 b f 2 (t 1)[ u (t 1) u (t 1)] f1 a[u(t ) u(t 1)] t t j 2 2 2 f 2 f1 f 2 ( ) f1 (t ) du (t ti t j )
i 1 j 1 ti
0.25ab
0
1
2
3
ab t 4
2
0 t 1
f1 f2
=
ab ab t 2 4
1 t 2
2 t 3
ab 2 (3 t 2t ) 4
结语:若f1(t)与f2(t)为有限宽度的脉冲,f1*f2的面积为f1和 f2面 积之积, f1*f2的宽度为f1和 f2宽度之和. Gtk [(t t j ) ti ] 方法二.利用门函数直接计算卷积分
t t 1 t t 1
2 ab 2 [(t 1) u (t 1) t u (t ) 4
(t 3)(t 1)u (t 1) (t 4) u (t 2)]
2
*下式错在哪里？ u (t 1) * [u (t 2) u (t 3)]
0
ti
t tj
ti
u(t t j t i )
t tj
1.将被卷积的两个函数f(t)和 h(t)都表示成单位阶跃u(t)移 位加权之和. p
f (t )
f
i 1
i
(t )u (t ti )......... . 1
h(t )
h
j 1
p
q
j
2 (t )u (t t j )......
de r (t ) *g dt
卷积尺寸计算
卷积尺寸计算
卷积尺寸计算是深度学习中常见的技术，在卷积神经网络中起到重要的作用。
卷积尺寸计算的目的是确定卷积操作后输出特征图的尺寸。
在卷积神经网络中，卷积层通过卷积操作对输入特征图进行滤波处理，得到输
出特征图。
卷积操作包括使用一个滤波器（也称为卷积核）对输入特征图进行遍历，计算滤波器与输入特征图之间的乘积累加和。
卷积操作涉及到两个重要的参数：滤波器的大小和步幅。
滤波器的大小通常表示为一个正方形或矩形的维度，例如3x3或5x5。
滤波器
的大小决定了在每次卷积操作中需要考虑的邻域的大小。
步幅是指在进行卷积操作时每次滤波器在输入特征图上移动的距离。
步幅的大
小决定了输出特征图的尺寸。
卷积尺寸的计算公式如下所示：
输出尺寸 = （输入尺寸 - 滤波器尺寸 + 2 * 零填充）/ 步幅 + 1
其中，输入尺寸是指输入特征图的尺寸，滤波器尺寸是指滤波器的大小，零填
充是指在输入特征图的边缘填充0的数量，步幅是指滤波器在输入特征图上每次移动的距离。
通过这个公式，我们可以确定卷积操作后输出特征图的尺寸。
这对于神经网络
架构设计以及网络参数的调整非常重要。
总结来说，卷积尺寸计算是在卷积神经网络中确定卷积操作后输出特征图尺寸
的重要步骤。
了解如何计算卷积尺寸可以帮助我们更好地理解和设计深度学习模型。
卷积的参数量计算
卷积的参数量计算
卷积神经网络（Convolutional Neural Network, CNN）是用于图像、
语音识别等领域的深度学习算法，它在深度学习领域具有重要的地位。
卷积层是CNN网络中最主要的组成部分，参数的数量与其输入图像大小、卷积核大小、卷积核数量等相关。
卷积神经网络参数的数量计算通常可以简化为以下几个步骤：
1. 输入图像的大小为m×n，卷积核大小为p×q，卷积核数量为k。
2. 每个卷积核需要k个不同的通道，因此输入图像需要先转换为k通
道图像。
3. 对于每个卷积核，其参数数量为p×q×k+1，其中1表示偏置项的数量。
因此，k个卷积核的参数数量为(k×p×q×k)+(k×1)=k×(p×q×k+1)。
4. 总参数数量为k×(p×q×k+1)。
举个例子，假设输入图像大小为64×64，卷积核大小为3×3，卷积核数
量为32，则参数数量为32×(3×3×32+1)=9,248个。
在实际使用中，卷积层通常不是独立使用的，而是与其他层组合使用的。
通过调整卷积核的数量和大小，可以改变网络的复杂程度和准确性。
然而，由于卷积层的参数数量通常是整个网络中最多的，因此卷
积层的参数优化和压缩是深度学习中经常探讨的问题。
以上是卷积神经网络参数数量计算的一些简要介绍。
在实际应用中，还需要对数据进行预处理、选择合适的网络架构、调整训练超参数等工作，才能取得良好的效果。
计算卷积的方法.ppt
dg ( t ) r ( t ) e ( t ) h ( t ) e ( t ) dt
de (t) *g(t) dt
e ( t ) e ( t ) u ( t )
de ( t ) d ( e ( t ) u ( t ))de ( t ) u ( t ) e ( t ) ( t ) dt dt dt
方法一:
h (t )
t
e( )
0
*
0
h(t ) 非零值下限是－ 卷积分下限是零 u( ) 非零值下限是 0
h(t ) 非零值上限是 t 卷积分上限是 t u( ) 非零值上限是
若两个函数的左边界分别为tl1,tl2,右边界分别为 tr1,tr2,积分的 下限为max[tl1,tl2];积分的上限为min[tr1,tr2].
f f ( ) f ( t ) d 1 2 1 2 f
0 t-2 1
t
3 . if 1 t 2
1
b ab 2 ab 2 t a ( t ) d ( t ) 0 t 0 2 4 4
t
a t-2 0 t 1
ab (2 t 1 ) 4
2.各分段内卷积积分限的确定 。
分解成单位阶跃分量之和
f (t1 )
f( t t ) 1 1 f ( 0)
t1
t1
u ( t ) g ( t ) DaHarma ln tegr
*.Duharmal integral
r(t) e(0 )g(t) e ( )g(t )d 0
1
b ab 2 1 f f a ( t ) d ( t ) 1 2 0 02 4
卷积池化计算公式
卷积池化计算公式
卷积和池化是深度学习中常见的操作，它们在图像处理和计算机视觉领域有着广泛的应用。
卷积操作和池化操作的结果尺寸可以通过以下公式进行计算：
1. 卷积操作：
设输入图像的大小为 (H_1, W_1, C_1)，卷积核的数量为 N，卷积核的尺寸为 (k_h, k_w)，卷积步长（stride）为 (s_h, s_w)，填充（padding）数量为 (p_h, p_w)，则卷积后的图像尺寸大小为：H_2 = (H_1 + 2 * p_h - k_h) / s_h + 1
W_2 = (W_1 + 2 * p_w - k_w) / s_w + 1
C_2 = N
2. 池化操作：
设输入图像的大小为 (H_1, W_1, C_1)，卷积核的数量为 N，卷积核的尺寸为 (k_h, k_w)，卷积步长（stride）为 (s_h, s_w)，填充（padding）数量为 (p_h, p_w)，则池化后的图像尺寸大小为：H_2 = (H_1 + 2 * p_h - k_h) / s_h + 1
W_2 = (W_1 + 2 * p_w - k_w) / s_w + 1
C_2 = N
总之，在实际应用中，卷积和池化操作通常结合使用，以实现图像的特征提取和尺寸变换。
通过调整卷积核的大小、步长和填充等参数，可以灵活地控制特征图的大小和形状，满足不同场景下的需求。
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这里说到的卷积计算，只是指我们对图像进行某种滤波处理或者是边缘检测、锐化等应用要用到的运算。
通常，要进行卷积的话就必须要有一个模板（掩模），这些模板的实际就是在卷积计算是所用到的点乘系数，下面会详细说明。
当然，以上说的只是一种理解，而不是卷积本身的概念。
下面举例说明一下卷积运算。
假设一图像（矩阵）为：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
现在要对其进行锐化，采用用Roberts 算子和Sobel 算子，其中Roberts 算子
采用的计算模板为 ，根据其计算公式，以上述中的图（矩阵）的中间的点（5）为例，该点用Roberts 的模板计算过程如下： g(i,j) = |-5 + 9| + |-6 + 8| = 4 + 2 = 6,也就是说，5 这点通过卷积计算之后的值为6。
在计算的时候，只要把矩阵中的点与模板的点一一对应即可：
1 2 3
4 5 6
7 8 9
在要进行处理的点5中，对应模板上的位置，就得出5的系数是-1,6和8的系数是0，9的系数是1（针对x 模板而言，如果是针对y 模板，则5和9的系数是0，6的系数是-1，8的系数是1），然后求两模板运算结果的绝对值之和，参照Robert 算子的公式。
然后到Sobel 算子，它的模板比Roberts 的要复杂一些，但运算的方法是一样的。
采用上面所说的对应方法，根据dx 和dy ，可得1和7的系数是-1, 4的系
数是-2，6的系数是2，3和9的系数是1，其余为0（针对x 模板），Sobel 算子的Roberts 最大的一个不同就是，前者计算的当前位置是模板的中心位置，后者计算的当前位置是左上角，一般来说，模板采取都是m ×m （m 是奇数），所以大部分模板的计算当前位置都是模板的中心位置（我们接触到的模板就只有Robert 算子不是奇数×奇数的）。
至于模板，题目应该会给定，但上面所说到的这两个模板，大家最好还是记一记。
而在空间平滑滤波增强中，中值滤波和邻域平均，这两者与卷积的计算有相似之处，但卷积是不同的。
其中两者同样具有模板的概念，但中值滤波只是在模板覆盖的点里求中值，领域平均则是求平均值，具体参看书本60页到64页。
(,)|(1,1)(,)||(1,)(,1)|
g i j f i j f i j f i j f i j =++-++-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101202101x d ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=121000121y d
下面是点5进行卷积的结果
g(i,j) = |-1－2×4－7＋3＋2×6＋9 | + |-1 + 7＋2×8＋9－2×2－3|
＝9＋24＝33
利用上面说到的办法，把矩阵所有的点都进行一次卷积运算，然后得出新的矩阵便是题目的答案。
需要说明的一点就是，边缘的点，是不能直接利用模板运算的。
1 2 3 4 5 6
7 8 9
如上图，由于1所处的位置不足以形成一个九宫格，所以这进行计算之前，要先对原图像进行扩展，一般是采用加零法，扩展之后如下：
0 0 0 0 0
0 1 2 3 0
0 4 5 6 0
0 7 8 9 0
0 0 0 0 0
经过扩展之后，1这个点便可以进行计算了。
除了加零法，还可以使用复制法，就是说扩展的一圈上的点与边缘的点是一样的，如：
1 1
2
3 3
1 1
2
3 3
4 4
5
6 6
7 7 8 9 9
7 7 8 9 9
然而，在实际应用中，扩展图像会对图像边缘的滤波结果带来一定的不良影响，这种影响会随着模板（掩模）尺寸的增大而加大。
因此最好的一个方法还是使滤波模板中心距原图像边缘的距离不小于(n-1)/2个像素或点，这里的n 是指模板的尺寸，如3×3的模板，n 就是3。
在考试的时候，如果题目就此情况没有说明要求的话，建议问问老师。
还需要注意的一点就是，任何一点运算后的值只保留在最终结果中，而不是将这个运算结果替代原来的值。
例如，5经运算之后的值是33，但对6这点运算时，5这个点取值不是33，它依然取原来的值5。
也就是说，卷积运算结果与图像的点的遍历顺序无关。
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=101202101x d。