2005-2006第二学期概率论与随机过程
概率论与随机过程----第四讲
2017/2/27
北京邮电大学电子工程学院
16
f 1 ,f 2为(,)上的实可测函数，则f = f 1 +i.f 2为复可测函数。 关于可测函数有下面的结论： 定理2.1.2 （1） f 是(,) 上的实可测函数 对xR~(1) ，{: f ()x} （2.1.3） （2） f = (f 1, f 2,… f n) 是(,)上的 n 维实可测函数 k=1,2,…， f k R~(1) 是(,) 上的实可测函数 证明： （1） 的必要性利用实可测函数的定义显然成立
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为此引入辅助集合类：
={C：CR， f -1(C))(f -1())} 只须证明是包含的-代数（略，见P25）。 （2.1.2)
假设该结论成立，则有：σ()
即： f -1 (σ()) f -1 () (f -1 ()) 定义2.1.2 设(,)，(R, )是可测空间（、分别是Ω、R 上的σ-代数），f 是Ω到R上的映射，若对每一个B，有f -1() ，称 f 是(,)到(R, )上的可测映射。 二、可测函数和随机变量 可测映射的具体化即为可测函数 (1) (1) 的可测映射，则 R , Б 定义2.1.2 设 f 是(,)到 ~ n ~ n 称 f 为(,)上的实可测函数；若 f 是 (,)到 R ,Б 上的可测映射，则称 f 为 (,)上的n维实可测函数。
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逆象具有如下性质：
f 1R ，f 1 f 1 B f 1B ，B R f 1B1 \ B2 f 1 B1 \ f 1B2 ，B1，B2 R 1 f Bt f 1Bt ，Bt R，t T T是任一指标集 t T tT
概率论复习(一)随机过程西电宋月
x ， y
( x 1 ) 2 2 1 2
所以X=x条件下Y的条件概率密度为
pY | X ( y | x )
p( x , y ) pX ( x )
2 2 (y x 2 1 ) 1 1 ] e xp[ 2 2 2 2 2 2 1 2 1
lim
0
F ( x, y ) F ( x, y )/ 2 FY ( y ) FY ( y )/ 2
F ( x , y ) y d FY ( y ) dy
亦即 FX |Y
( x | y)
x
p( u, y )du pY ( y )
随机过程 Stochastic processes
西安电子科技大学
宋月
E-mail songyue25@
引言 本课程的研究对象
概率论主要是以一个或有限个随机变量为研究 对象的. 随着科学技术的不断发展,人们发现几乎一切可 观察现象都具有随机性. 必须对一些随机现象的变化过程进行研究.即需 要研究无穷多个随机变量
对于任意的x(0<x<1),在X=x的条件下,Y的条件概率 密度 1
pY | X ( y | x ) 1 x 0 0 x y1 其它
于是得关于Y的边缘概率密度为
y 1 dx ln(1 y ) pY ( y ) f ( x, y )dx 0 1 x 0 其它
FX |Y ( x | y j ) P{ X x | Y y j }
xi x
p
p ij
j
xi x
p
概率论与随机过程----第二讲
B
n 1
n
λA
（由BnλA ，则A Bnλ() ，且A Bn
n 1 2017/2/27
A B
n
λA）
北京邮电大学电子工程学院 8
第一节 集合代数和σ -代数
2. λA是包含的λ-系
（λA ，只要证明对任意的B B λA 由B λ ()，Aλ ()
第一节 集合代数和σ -代数
简单回顾上一讲的内容： 1. 集代数、σ -代数、单调类、 ()、μ()的定义 2. 它们之间的关系
σ -代数（可列可加） 集代数（有限可加）
σ -代数 单调类 集代数+单调类 σ -代数 μ()、 () 是存在且唯一的 是集代数，μ() = ()
Ω=Aλ() ）
若B,C λA且B C，有B\C λA
（ 由B,C λA， 有B,Cλ() ，且对任意 取定的Aλ()，有A B,A Cλ() ； 然而A B A C ，必有(A C)\ (A B) λ() 即(A C)\ (A B) =A (C\B) λ()，即C\B λA
第一节 集合代数和σ -代数
定理1.1.10 设，是由Ω的一些子集组成的非空集合类， 且
1. 若为λ -系, 是π -系，则：σ () 2. 若为单调类, 是集代数，则： σ ()
证明1：由于 ，是包含的λ -系
则也包含所生成的最小λ -系λ ()，即λ () 而是π -系，由定理1.1.9：λ ()= σ ()
1. Ω ； 2. 若 A,B ，A-B ；
而A-B=A-(AB) ABA 因此： A-B
《概率论与随机过程》课程自学内容小结
大学2015～2016学年秋季学期本科生课程自学报告课程名称：《概率论与随机过程》课程编号：07275061报告题目：大数定律和中心极限定理在彩票选号的应用学生：学号：任课教师：成绩：评阅日期：随机序列在通信加密的应用2015年10月10日摘 要：大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，较多文献给出了不同条件下存在的大数定律和中心极限订婚礼，并利用大数定律与中心极限定理得到较多模型的收敛性。
但对于他们的适用围以及在实际生活中的应用涉及较少。
本文通过介绍大数定律与中心极限定理，给出了其在彩票选号方面的应用，使得数学理论与实际相结合，能够让读者对大数定律与中心极限定理在实际生活中的应用价值有更深刻的理解。
1. 引言在大数定律与中心极限定理是概率论中很重要的定理，起源于十七世纪，发展到现在，已经深入到了社会和科学的许多领域。
从十七世纪到现在，很多国家对这两个公式有了多方面的研究。
长期以来，在大批概率论统计工作者的不懈努力下，概率统计的理论更加完善，应用更加广泛，如其在金融保险业的应用，在现代数学中占有重要的地位。
本文主要通过对大数定律与中心极限定理的分析理解，研究探讨了其在彩票选号中的应用，并给出了案例分析，目的旨在给出大数定律与中心极限定理应用对实际生活的影响，也对大数定律与中心极限定理产生更深刻的理解。
2. 自学容小结与分析2.1 随机变量的特征函数在对随机变量的分析过程中，单单由数字特征无法确定其分布函数，所以引入特征函数。
特征函数反映随机变量的本质特征，可唯一的确定随机变量的分布函数、随机变量X 的特征函数定义为：定义1 ][)()(juX jux e E dx e x p ju C ==⎰+∞∞-(1)性质1 两两相互独立的随机变量之和的特征函数等于各个随机变量的特征函数之积。
性质1意味着在傅立叶变换之后，时域的卷积变成频域的相乘，这是求卷积的简便方法。
类比可知求独立随机变量之和的分布的卷积，可化为乘法运算，这样就简便了计算，提高了运算效率。
第2讲 第二章随机过程的概念
RXY ( s, t ) E[ X ( s)Y t ]
互协方差函数为
BXY ( s, t ) Cov[ X ( s), Y t ]
E{[ X ( s) mX ( s)][Y (t ) mY (t )]}
例7 已知实随机过程X(t)具有自相关函数R(s,t), 令 Y(t)=X(t+a)－X(t) 求RXY(s, t), RYY(s, t).
设m n,
j 1
BY (n, m) min n, m pq,
RY (n, m) BY (n, m) E[Yn ]E[Ym ]
min n, m pq nmp 2
定义 设 X t , t T 和 Y t , t T 是两个随机过程,
2 1 2
x 1 t2
2 2
1 t 1 s
2
2 x1 x2
s, t 0, s t
例4 若从t=0开始每隔1/2秒抛掷一枚均匀的硬币做试 验，定义一个随机过程： t时出现正面； cos t , X (t ) t时出现反面. 2t 求 1) 一维分布函数F(1/2；x)和F(1,x); 2) 二维分布函数F(1/2, 1;x, y). 解（1） 这是独立随机过程（即在不同时刻的随机变量 相互独立） ，所以过程的有限维统计特性由一维确 定。 X(t cosπt 2t ) p 1/2 1/2
X t 的值称为随机过程在t时所处的状态。 X t 所有可能的值的集合，称状态空间， 记为I.
根据时间集和状态空间的不同，随机过程分为 四类： 1) T, I 均为离散;
2) T 离散, I 连续;
西安邮电学院2005-2006第一学期通信工程专业《概率论与随机过程》期末考试A卷及答案
上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线7．设}0,{≥n X n 是具有三个状态0，1，2的齐次马氏链，一步转移概率矩阵为,4/14/304/12/14/104/14/3210210⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P 初始分布0(0){}13,0,1,2i p P X i i ====试求(1)}1,0{20==X X P ；(2)}1{2=X P ；(3)0135{1,1,1,2}P X X X X ====．8. 考虑随机电报信号．信号)(t X 由只取I +或I -的电流给出(图1画出了)(t X 的一条样本曲线)．这里2/1})({})({=-==+=I t X P I t X P ，而正负号在区间),(τ+t t 内变化的次数),(τ+t t N 是随机的，且假设),(τ+t t N 服从泊松分布，亦即事件}),({k t t N A k =+=τ的概率为,)()(λτλτ-=e kA P k k ,2,1,0=k ．其中0>λ是单位时间内变号次数的数学期望，试讨论)(t X 的平稳性．图1上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线上 装 订 线专业班级: 姓名: 班内序号: 西安邮电学院试题专用纸 密 封 装 订 线概率论与随机过程试题参考答案（A ）一、计算题（共8小题，每小题满分10分，共80分）1. 由题意大家是围圆桌就座，所以只要这些人就座的相对位置一样，那么就是相同的就坐方式.因此a 位男士和b 位女士不同的就座方式共有:()!1)!(-+=++b a ba b a 种当2a b +=，只有一种就坐方式，因此所求概率1P =；当2a b +>时，把甲乙两人看作一人，则()1-+b a 人的就座方式共为()!2-+b a 种;又甲乙两人的不同就座方式为2种，所以甲乙两人坐在一起的概率为:2(2)!2(1)!(1)a b P a b a b ⨯+-==+-+-. 2. 随机变量X 的所有可能取值为3，4，5. 而且35110P X C =1(=3)=，2335310C C P X C =11(=4)=，2435610C C P X C =11(=5)=.因此345~136101010X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭3()()0;<=≤=当时，X F X P X x 134()()(3)10≤<=≤===当时，;X F X P X x P X 445()()(3)(4);10≤<=≤==+==当时，X F X P X x P X P X 5()()(3)(4)(5)1≥=≤==+=+==当时，X F X P X x P X P X P X .所求分布函数为0,3;1,34;10()4,45;101, 5.x x F x x x <⎧⎪⎪≤<⎪=⎨⎪≤<⎪⎪≥⎩3. 因为X 与Y 相互独立，所以()()()⎩⎨⎧>≤≤=⋅=-其他,00,10,,y x e y f x f y x f y Y X由卷积公式得()()()()dx x z f x f dx x z x f z f Y X Z -⋅=-=⎰⎰+∞∞-+∞∞-,又由已知可知，当⎩⎨⎧>-≤≤010x z x ，亦即⎩⎨⎧<≤≤zx x 10时，上述积分的被积函数不等于零，即可得()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥≥-=⋅>-=⋅=------⎰⎰0001,111,11010z z e dx e z e e dx e z f z zx z z x z Z4. XY的分布律为Y X ⋅所以0831831)(=⨯+⨯-=X E ，0831831)(=⨯+⨯-=Y E ，0821821)(=⨯-⨯=XY E ， 故Cov(,)()()()0X Y E XY E X E Y =-=，即X 和Y 是不相关的。
《概率论与随机过程》第3章习题答案
《概率论与随机过程》第三章习题答案3.2 随机过程()t X 为()()ΦωX +=t cos A t 0式中，A 具有瑞利分布，其概率密度为()02222>=-a eaa P a A ，σσ，()πΦ20，在上均匀分布，A Φ与是两个相互独立的随机变量，0ω为常数，试问X(t)是否为平稳过程。
解：由题意可得:()[]()()002121020022222002222=⇒+=*+=⎰⎰⎰⎰∞--∞φφωπσφπσφωX E πσσπd t cos da e a a dad eat cos a t a a ()()()[]()()()()()()[]()()()()()12021202120202120202221202022021012022022202010022222200201021212122112210212212121221212222222222222t t cos t t cos t t cos det t cos da e e a t t cos dea d t t cos t t cos a d ea d t cos t cos da eaadad e at cos a t cos a t t t t R a a a a a a a -=-⨯=-⨯-=-⨯⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫-∞+-=-⨯-=⎩⎨⎧⎭⎬⎫+++---=++=++==-∞∞---∞∞-∞--∞⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ωσωσωσωωφφωωπσφπφωφωσφσπφωφωX X E σσσσπσπσσπXX ）（，可见()[]t X E 与t 无关，()21t t R ，XX 与t 无关，只与()12t t -有关。
∴()t X 是平稳过程另解：()[][]0022000000[cos()][cos()][];(,)cos()cos(())cos()cos(())t E A t E A E t E A R t t E A t t E A E t t E X ωΦωΦτωΦωτΦωΦωτΦ⎡⎤=+=+=⨯=⎣⎦⎡⎤⎡⎤+=+++=+++⎣⎦⎣⎦[][][])cos()cos())cos((τωτωτωω0200022222A E t E A E =+Φ++= ∴()t X 是平稳过程3.3 设S(t) 是一个周期为T 的函数，随机变量Φ在（0，T ）上均匀分布，称X(t)=S （t+Φ）,为随相周期过程，试讨论其平稳性及各态遍历性。
概率论与随机过程第2章(15)
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
统计平均描述法：
统计平均描述法所关心的是: 随机过程在某时刻或不同时刻的平均特 征—均值； 偏离均值的程度—方差， 不同时刻随机变量之间的相关程度 —相 关函数，等数字特征。 总之，统计平均描述法是从统计平均的意 义上研究随机过程的宏观特性。
X (t , 2 ) x2 ( kt s )
t1
经过判别电路, 大于门限 电压为 “1”,小于门限电 压为“0”
X (t , 1 ) x1 ( kt s )
t1
t
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
按样本函数形式分类
类别 不确定随机过程 确定随机过程
过去观测值与未来值的关系 结果不可预测（不能描述成t的函数） 可预测（可描述成t的函数）
随机过程的分类
按时间和状态分类 类别 连续随机过程 离散随机过程 连续随机序列 离散随机序列
电压噪声 X ( t 1 , )
X( t )
状态 连续 离散 连续 离散 X( t )
时间 连续 连续 离散 离散
X ( t 1 , )
t
t1
X( t )
经过采样 X ( t 1 , )
样本函数
X (t , 3 ) x3 ( kt s )
2 X
2015年10月15日3时9分
概率论与随机过程
2. 均方值与方差
2 X (t ) [ X 2 (t )]
原点矩：
方差：
2
x p X ( x, t )dx
2
2 X ( t ) D X ( t ) E X ( t ) m X ( t )
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（1） 1 、 1 ； （2） 1 、 1 ；（3） 1 、 1 ； 4） 1 、 1 .
2
2
2
2
3．设相互独立的两个随机变量 X 和 Y 均服从参数为 1 的 0-1 分布，则随机变 2
量 Z max{X ,Y}的分布律是( ).
(1)
Z
0
1
(2)
Z
0
1
2
P
0.5
0.5
P
0.25 0.5 0.25
线
线
订
班内序号 :
订
9．有两箱同种类的零件，第一箱装 50 只，其中 10 只一等品；第二箱装 30 只， 其中 18 只一等品，今从两箱中任挑出一箱，然后从该箱中取两次做不放回抽样， 求：（1）第一次取得零件是一等品的概率；（2）已知第一次取得的零件是一等品， 第二次取到的零件也是一等品的概率。
装
6
3
6
试求概率 P{X (0) 1, X (1) 0, X (2) 2}及极限分布。
总 印 600 份
8. 设 X (t) a cos( t ),t (,) ，其中 a 和 是常数， 是在 (0, 2 ) 上 服从均匀分布的随机变量．讨论随机过程 X (t) a cos( t ) 的各态历经性．
装
封
姓名:
上
密
专业班级 :
西安邮电学院试题专用纸
共3 页
第1页
总印
西安邮电学院 2005--2006 学年第二学期期末试题卷
考试专业级别: 通信工程专业 考试课程：概率论与随机过程 (B)
题 号
一
1
2
3
二
456
7
8
总分 9
得 分
阅 卷5．设随机变量 X1, X 2 ,, X n , 相互独立，且服从同一分布，其分布律
订
装
装
封
姓名:
上
密
专业班级 :
Z
0
1
Z
0
1
(3)
(4)
P
0.75 0.25
P
0.25
0.75
4．将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，
则 X 和 Y 的相关系数等于( ).
（1） 1 （2） 0
（3） 0.5
(4) 1
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总 印 600 份
3. 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量Y 在 1～X 中等可能地取一整数值．试求 (X ,Y ) 的分布律及关于 X ,Y 的边缘分布律．
西安邮电学院试题专用纸
线
线
订
订
班内序号 :
4.
设二维随机变量 (X ,Y) 的密度函数为
f
(x,
y)
1 2
,
0,
证 X 和Y 是不相关的，但 X 和Y 不是相互独立的．
x2 y2 2, 其他.
试验
6. 研究一机械装置，设它在[0,t) 内发生“震动”的次数 N(t) 是强度为 5（次
/h）的泊松过程，并且当第 100 次“震动”发生时，此机械装置发生故障，试求(1) 这一装置寿命的概率密度；(2)这一装置的平均寿命；（3）相继两次“震动”时间间 隔的概率密度；（4）相继两次“震动”的平均时间.
P( X j
(1) j1 3 j ) 2a j3
( j 1,2,) ，则辛钦大数定理对此序列(
).
（1）适应
（2）不适应
（3）当常数 a 取适当的数值时适应 （4）无法判别
二、计算题（共 9 小题，每小题满分 10 分，共 90 分）
1．甲、乙、丙三人各自去破译一个密码，他们能破译出的概率分别为 1 3 , 1 4, 1 5 ．试求：（1）恰有一人能破译出的概率； (2) 密码能被破译的概率．
5．某单位内部有 260 部电话分机，每部分机有 4%的时间使用外线与外界通 话，可以认为每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能 以 95% 把 握 保 证 各 分 机 在 用 外 线 时 不 必 等 候 ．（ (1.64) 0.9495 ，
(1.65) 0.9505 ， (1.66) 0.9515 ）
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线
线
订
班内序号 :
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西安邮电学院 2005--2006 学年第二学期期末试题卷
考试专业级别: 通信工程专业 考试课程：概率论与随机过程 (A)
题 号
一
1
2
3
二
456
7
8
总分 9
得 分
阅 卷 人
总 印 600 份
(附卷纸 2 页)
5．设随机变量 X1, X 2 ,, X n ,相互独立，且服从同一分布，其分布函数为
4
8
P(AC) 0 ．求：（1） A, B,C 都发生的概率；（2） A, B,C 至少有一个发生的概率；
(3) A, B,C 都不发生的概率．
答卷说明:1.本试题共两大题,满分 100 分，考试时间 2 小时，试题共 6 页，请 考生先阅读完试题，察看有无缺页、重页，如有缺页、重页，请立刻向监考人 员询问具体事宜；2.解答应写出必要文字说明和重要的演算步骤，只写出答案 的不得分;3.试题解答过程写在相应题目的空白处,否则不得分.
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装
上
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7．设齐次马氏链{X (n),n 1}的状态空间 I {0,1,2}，一步转移概率矩阵为
1/ 2 1/ 3 1/ 6
P 1/ 3 2 / 3
0
，
0 1/ 2 1/ 2
它的初始状态的概率分布为
P{X (0) 0} 1 ， P{X (0) 1} 2 , P{X (0) 2} 1 ，
F ( x) a 1 arctan x ， b 0，则辛钦大数定理对此序列(
).
b
（1）适应
（2）无法判别
（3）当常数 a, b 取适当的数值时适应 （4）不适应
二、计算题（共 9 小题，每小题满分 10 分，共 90 分）
1．设 A, B,C 是三个事件， P(A) P(B) P(C) 1 , P(AB) P(BC) 1 ,
一、选择题（在每个小题的四个被选答案中，选出一个正确的答案， 并将其号码填在题后的括号内，每小题 2 分，共 10 分。）
1．设 0<P(A)<1,0<P(B)<1 P( A | B) P( A | B) 1,则( ).
（1）事件 A 与 B 不相容
（2）事件 A 与 B 相互对立
（3）事件 A 与 B 不独立
（4）事件 A 与 B 相互独立
2 ． 设 连 续 型 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数 为 F( x) A B arctan x
( x )，则常数 A、B 分别等于(
).
2．
设随机变量 X
的密度函数为
f
(x)
ax,
0,
0 x 1, 其他.
（2） X 的分布函数 F(x) ．
试求：（1）常数 a ；