集合与命题的常见错误归纳分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析
数学中的集合与命题逻辑关系分析数学作为一门严谨的科学，集合论和命题逻辑是其重要的基础理论。
本文将对数学中的集合与命题逻辑的关系进行分析，并探讨它们在数学推理和证明中的应用。
一、集合论基础集合是数学中最基本的概念之一，它是由一些确定的对象所组成的整体。
集合论研究的是集合的性质、运算以及集合之间的关系。
集合可以用数学符号表示，比如用大写字母A、B、C等表示集合，用小写字母a、b、c等表示集合中的元素。
集合间的关系包括等于、包含、相交等。
两个集合相等表示它们具有完全相同的元素。
一个集合包含另一个集合，表示前一个集合中的所有元素都属于后一个集合。
两个集合相交表示它们有共同的元素。
二、命题逻辑基础命题逻辑是研究命题与命题间关系的数学分支。
命题是陈述性句子，其可以被判定为真或假。
命题逻辑通过符号和运算符号来表达、连接和分析命题。
命题之间有与、或、非等常见的逻辑连接词。
与运算表示两个命题同时为真时整体命题才为真。
或运算表示两个命题中至少一个为真时整体命题为真。
非运算表示对命题的否定。
三、集合与命题逻辑的关系1. 集合与命题的关系集合中的元素可以看作是命题，而集合本身可以看作是表示多个命题的逻辑组合。
比如，集合A可以表示为{a, b, c}，其中a、b、c是具体的命题。
这样，集合A就表示了这些命题的逻辑组合。
2. 集合运算与命题逻辑的关系集合运算和命题逻辑运算有着一定的对应关系。
并集运算可以看作是命题的或运算，表示两个集合中的元素组成的集合。
交集运算可以看作是命题的与运算，表示两个集合中同时满足的元素组成的集合。
补集运算可以看作是命题的非运算，表示集合中不满足某个条件的元素组成的集合。
3. 集合与命题逻辑在数学推理中的应用集合与命题逻辑在数学推理和证明中起着重要的作用。
通过对集合中的元素进行逻辑分析，可以推导出集合的性质和运算规律。
通过命题逻辑的推理规则，可以证明一些数学定理和命题。
集合论与命题逻辑的结合，为数学推理提供了一个严密的逻辑基础。
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语
高中数学部分错题分析1-集合与常用逻辑用语注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念与运算【一】知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素〔假设A a ∉那么B a ∈〕，那么称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，那么A ＝B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法〔VENN 图〕.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N ＋或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R.【二】疑难知识导析1.符号⊆，，⊇，，＝，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“＝”两种情况，同样“⊇”包括“”和“＝”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围、用集合表示不等式〔组〕的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断、空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B ＝Φ易漏掉的情况.5.假设集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.假设集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、VENN 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有N 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n2－1【三】经典例题导讲【例1】 集合M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝，那么M ∩N ＝〔 〕A 、〔0，1〕，〔1，2〕B 、｛〔0，1〕，〔1，2〕｝C 、｛Y ｜Y ＝1，或Y ＝2｝D 、｛Y ｜Y ≥1｝ 错解：求M ∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么、事实上M 、N 的元素是数而不是实数对（X ，Y ），因此M 、N 是数集而不是点集，M 、N 分别表示函数Y ＝X2＋1（X ∈R ），Y ＝X ＋1（X ∈R ）的值域，求M ∩N 即求两函数值域的交集、 正解：M ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， N ＝｛Y ｜Y ＝X ＋1，X ∈R ｝＝｛Y ｜Y ∈R ｝、 ∴M ∩N ＝｛Y ｜Y ≥1｝∩｛Y ｜（Y ∈R ）｝＝｛Y ｜Y ≥1｝， ∴应选D 、注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分｛X ｜Y ＝X2＋1｝、｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝、｛（X ，Y ）｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，这三个集合是不同的、【例2】 A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝，B ＝｛X ｜AX －2＝0｝且A ∪B ＝A ，求实数A 组成的集合C 、 错解：由X2－3X ＋2＝0得X ＝1或2、当X ＝1时，A ＝2， 当X ＝2时，A ＝1、错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B ＝时，仍满足A ∪B ＝A.当A ＝0时，B ＝，符合题设，应补上，故正确答案为C ＝｛0，1，2｝、正解：∵A ∪B ＝A ∴B A 又A ＝｛X ｜X2－3X ＋2＝0｝＝｛1，2｝∴B ＝或{}{}21或 ∴C ＝｛0，1，2｝ 【例3】M ∈A ，N ∈B ， 且集合A ＝{}Z a a x x ∈=,2|，B ＝{}Z a a x x ∈+=,12|，又C ＝{}Z a a x x ∈+=,14|，那么有： 〔 〕A 、M ＋N ∈A B. M ＋N ∈B C.M ＋N ∈C D. M ＋N 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵M ∈A ，∴M ＝2A ，A Z ∈，同理N ＝2A ＋1，A ∈Z ， ∴M ＋N ＝4A ＋1，应选C错因是上述解法缩小了M ＋N 的取值范围.正解：∵M ∈A ， ∴设M ＝2A1，A1∈Z ， 又∵N B ∈，∴N ＝2A2＋1，A2∈ Z ，∴M ＋N ＝2（A1＋A2）＋1，而A1＋A2∈ Z ， ∴M ＋N ∈B ， 应选B.【例4】 集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0｝，集合B ＝｛X ｜P ＋1≤X ≤2P －1｝、假设BA ，求实数P 的取值范围、错解：由X2－3X －10≤0得－2≤X ≤5、 欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ P 的取值范围是－3≤P ≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B ＝时，符合题设、正解：①当B ≠时，即P ＋1≤2P －1P ≥2.由B A 得：－2≤P ＋1且2P －1≤5.由－3≤P ≤3.∴ 2≤P ≤3②当B ＝时，即P ＋1》2P －1P 《2.由①、②得：P ≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A ∩B ＝、A ∪B ＝，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题、【例5】 集合A ＝｛A ，A ＋B ，A ＋2B ｝，B ＝｛A ，AC ，AC2｝、假设A ＝B ，求C 的值、分析：要解决C 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式、解：分两种情况进行讨论、〔1〕假设A ＋B ＝AC 且A ＋2B ＝AC2，消去B 得：A ＋AC2－2AC ＝0，A ＝0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故A ≠0、∴C2－2C ＋1＝0，即C ＝1，但C ＝1时，B 中的三元素又相同，此时无解、〔2〕假设A ＋B ＝AC2且A ＋2B ＝AC ，消去B 得：2AC2－AC －A ＝0，∵A ≠0，∴2C2－C －1＝0，即（C －1）（2C ＋1）＝0，又C ≠1，故C ＝－21、点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.【例6】 设A 是实数集，满足假设A ∈A ，那么a -11∈A ，1≠a 且1（A.⑴假设2∈A ，那么A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶假设A ∈A ，证明：1－a 1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A （ －1∈A （ 21∈A （ 2∈A∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，那么A ＝a -11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶A ∈A （ a -11∈A （a --1111∈A （111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知A ∈A 时，a -11∈A ， 1－a 1∈A .现在证明A ，1－a 1， a -11三数互不相等.①假设A ＝a -11，即A2－A ＋1＝0 ，方程无解，∴A ≠a -11②假设A ＝1－a 1，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴A ≠1－a 1③假设1－a 1 ＝a -11，即A2－A ＋1＝0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否那么证明欠严谨.【例7】 设集合A ＝｛a ｜a ＝12+n ，n ∈N ＋｝，集合B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝，试证：A B 、证明：任设a ∈A ，那么a ＝12+n ＝（n ＋2）2－4（n ＋2）＋5 （n ∈N ＋），∵ N ∈N ×，∴ N ＋2∈N ×∴ A ∈B 故 ①显然，1{}*2,1|N n n a a A ∈+==∈，而由B ＝｛b ｜b ＝542+-k k ，k ∈N ＋｝＝｛b ｜b ＝1)2(2+-k ，k ∈N ＋｝知1∈B ，于是A ≠B ②由①、② 得A B 、点评：〔1〕判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系、〔2〕判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义、【四】典型习题导练1、集合A ＝｛X ｜X2－3X －10≤0，X ∈Z ｝，B ＝｛X ｜2X2－X －6》0， X ∈ Z ｝，那么A ∩B 的非空真子集的个数为〔 〕A 、16B 、14C 、15D 、322、数集｛1，2，X2－3｝中的X 不能取的数值的集合是〔 〕A 、｛2，－2 ｝B 、｛－2，－5 ｝C 、｛±2，±5 ｝D 、｛5，－5｝3. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛Y ｜Y ＝X2＋1，X ∈R ｝，那么P ∩Q 等于〔 〕A 、PB 、QC 、D 、不知道4. 假设P ＝｛Y ｜Y ＝X2，X ∈R ｝，Q ＝｛（X ，Y ）｜Y ＝X2，X ∈R ｝，那么必有〔 〕A 、P ∩Q ＝B 、P QC 、P ＝QD 、P Q5、假设集合M ＝｛11|<x x ｝，N ＝｛x ｜2x ≤x ｝，那么M N ＝ 〔 〕A 、}11|{<<-x xB 、}10|{<<x xC 、}01|{<<-x xD 、∅6.集合A ＝｛X ｜X2＋（M ＋2）X ＋1＝0，X ∈R ｝，假设A ∩R ＋＝，那么实数M 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿、7.〔06高考全国II 卷〕设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--假设()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
高中生集合与函数概念学习中的典型错误及归因研究
Ｄ ． ， （ ） ＝ √ Ｙ １， 占 （ ｖ ） ： √ ．
一 Ｙ Ｊ—
解 集 的 并集 。
用 必要 条 件 代替 ， 解 集可 能扩 大 【 例６ １已知 方 程 一 ２ “＋ ４ ： ０的 两 根
答 错 误 的原 因 。 人在 学 习时 应 在错 误 中找 到
中图分类号 ： Ｇ ４ ２
文献标识 码： Ａ
文章编 号： １ ６ ７ ４ － ０ ９ ８ Ｘ（ ２ ０ １ ３ ） ０ ８（ ａ ） ． ０ １ ５ ７ — ０ ２
面对 数学 练 习题 ， 我 们 因 为对 习题 有 了
正 确 的 解 决方 法和 解 答 思 路 ， 往往 忽 略了解
创 新 教 育
Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ｅ ｎ ｄ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｉ ｎ ｎ ｏ ｖ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｈ ｅ ｒ ： ａ ｌ ｄ ！
高 中生 集 合 与 函数 概 念 学 习 中的典 型 错 误 及 归因研 究
胡 晓飞 杨惠娟 （ 昭通学院 数学 与统 计学院 云南 昭通
解数 学题 时经常需要 分类讨论 。 分 类 讨 论 的原 则 ：（ １ ） 不遗漏， 即 划 分 所 得 的 子
个 数 学 习题 的解 决 ， 可 以采 取 多种 不
口 ） ， 且 Ｂ： Ｒ， 求 实数 ａ的取 值 范 围。 项 的总 和 应 该 等于 母 项 ；（ ２ ） 每 次 划分 应 对 过程清晰， 思 维 合 理而 经 济， 具 有 事 半 功 倍 学 生 可能 出错 的原 因 ：（ １ ） 不 清 楚 条 件 按 照同一 标 准 亍；（ ３ ） 不 重复 ， 即 划 分 得 的作用。 而 策 略 性 错误 有 两 个 含义 ： 一 是 策 与 条件 之 间的联 系 ， 以 及 条件 和 结 论 之 间的 子项 之 间 是不 相 容 的并 列关 系， 不 能是 交 叉 略 产生 错 误 的导 向， 因而 未能 使 问题 得 到 解 关系， 想 不 到 用 数 形 结 合 的 方 法 帮助 理 解 关 系或 是 从 属关 系；（ ４ ） 划 分应 当按 照层次 决； 二是 策 略 明显 地 增 加 了解 题 过 程 的难 题 意 ；（ ２ ） 会应 用数 形 结 合 的 方 法 ， 但会 因 逐 级 进行 。 度， 如果 加 上 时 间限制 这 个 因 素 ， 问题 很 有 为 考虑 不 全面 而忽 略 ａ ＝ １ 也成立。 【 例４ 】若 函数 ｆ （ ｘ ） ＝ｍ ｘ ＋ｍ ｘ － （ － ３， 对 可能得 不到解决。 策 略 性 错 误 主 要 表 现 为 １ ． ２概念、 性质 混 淆不 清 Ｘ∈ Ｒ ， ＿ 厂 （ ） ＞０恒 成 立 ， 求 ｌ 的取 值 范 围。 不 能 正 确识 别模 式 常见 的表现 有：（ １ ） 临近 概 念辨 别不 清 ； 学 生 可 能 出 错 的原 因是 没有 考 虑 ＝０ 西 蒙 等人 从 ２ ０ 世纪５ Ｏ 年代起 ， 以信 息 （ ２ ） 基本 数学 概 念 理 解 不透 彻 ； 的情况 。 分 类 不 当 的一 个 常 见 表 现 是 以 偏 １ １ 加 工 观 点 对 人 解 决 问题 的 过 程 进 行 了一 系 忽略特例， 这和 学 生 解题 时 的分 类意 【 例２ 】若 Ａ＝ 扛ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， Ｂ＝ ｛ ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， ｃ： 概全、 列研 究 ， 得 出 人 们 所 面 临 的 问 题 大 多数 是 １ 识 不强 、 思 考 问题 不 周密 有关 。 通 过 模 式 识 别 来 解 决 的 。函数 的 值 域 问题 ｛ （ 五 ） ｌ ｙ ＝ 二 ｝ ， 这 三个 集 合 分 别表 示 什么？ ２ ． ２ 不 等价 变 换 是 重点 ， 对 学生来说也 是难 点 。 求 值 域 的 学 生可 能 出错 的原 因：（ １ ） 对 集 合 描 述 在 某 些 球 解 题 中， 由于对 作 为解 题依 据 方 法 一 般 有 数形 结合法 、 换元法、 分离 常数 法的定义不清楚 ， 不 知 道 各 个 符 号 表 示 的 的 命 题 进 行 不 等 价 变 换 ， 常 导 致 解 集 的 缩 法、 判 别 式 法 和 利 用 导 数 求 出 单 调 性 进 而 意 义 ；（ ２ ） 虽然 知 道各 个 符 号 表 示 的意 义 ， 小或扩 大， 这 是 学 生 经 常 出现 的 一 种 逻 辑 求 得 函 数 的 值 域 。哪 一 种 类 型 用 哪 一种 方 但记 不 清 楚 反比例 函数 的 值 域 和 图像 。 错误。 法就需 要学生进行模式 辨认 。 辨 认 的 正 确 １ ． ３忽略公式、 性 质 成 立 的 条 件 用 充分 条 件 代 替 ， 解 集 可能 缩 小 与 否决 定 着所 提 取 的方 法 合 适与 否， 从 而决 形 式 地 记忆 性 质 、 公式 ， 不 注 重 公式 成 【 例５ 】解 不等 式 ｌ ｏ ｇ ， （ ４ ｘ － ３ ） ＞ ０． 定 解题 的结 果 正 确与 否。 立 的 条件 ， 对 公式 、 性 质 的 本 质 和应 用 缺 乏 ｒ ３ ＞１ 深刻理解， 因此 不 考虑 是 否 具 备应 有条 件 ，
高三复习数学11_集合与命题(有答案)
1.1 集合与命题一、解答题。
1. 集合与元素(1)集合元素的三个特征：________、________、________．(2)元素与集合的关系是________或________关系，用符号________或________表示．(3)集合的表示法：________、________、________．2. 集合间的关系(1)子集：对任意的x∈A，都有x∈B，则A________B（或________）．(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A________B（或B________A）．(3)空集：空集是任意集合的子集，是任何非空集合的真子集．即⌀⊆A，⌀________B （B≠⌀）．(4)若A含有n个元素，则A的子集有________个，A的非空子集有________个，非空真子集有________个．(5)集合相等：若A⊆B，且B⊆A，则________．3. 集合的运算4. 命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以________的陈述句叫做命题．其中________的语句叫真命题，________的语句叫假命题．（常见结构：若p，则q）5. 简单的逻辑联结词(1)命题中的“________”、“________”、“________”叫做逻辑联结词．含逻辑联接词的命题称为复合命题．(2)简单复合命题的真值表：记忆口诀：“p∧q命题”________；“p∨q命题”有真为真；“¬p命题”________．6. 四种命题及相互关系7. 四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有________的真假性；(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性________关系．8. （2019·河北衡水中学模拟）已知集合A={x|y=√x2−2x}，B={y|y=x2+1}，则A∩B=（）A.[1,+∞）B.[2,+∞)C.(−∞,0]∪[2,+∞)D.[0,+∞）9. 已知集合A={x|−1<x<2}，B={y|y=x+a,x∈A}，C={z|z=x2,x∈A}，若B⊆C求实数a的取值范围．10. 已知p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根；q：不等式4x2+4(m−2)x+1>0的解集为R．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．11. 命题p：函数y=3x−3−x是R上的增函数．命题q：函数y=3x+3−x是R上的减函数．则在命题p∨q，p∧q，(¬p)∧q，p∧(¬q)中，真命题个数是________．12. （2019·济南一中模拟）原命题：“a，b为两个实数，若a+b≥2，则a，b中至少有一个不小于1”，下列说法错误的是（）A.逆命题为：a，b为两个实数，若a，b中至少有一个不小于1，则a+b≥2，为假命题B.否命题为：a，b为两个实数，若a+b<2，则a，b都小于1，为假命题C.逆否命题为：a，b为两个实数，若a，b都小于1，则a+b<2，为真命题D.a，b为两个实数，“a+b≥2”是“a，b中至少有一个不小于1”的必要不充分条件13. 设A={x|x2+px+q=0}≠⌀，M={1,3,5,7,9}，N={1,4,7,10}．若A∩M=⌀，A∩N=A，求p、q的值．14. 小结与反思___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________________ __________________15. 已知集合A={1,2,3,4},B={y|y=3x−2,x∈A}，则A∩B=（）A.{1}B.{4}C.{1,3}D.{1,4}16. 设集合A={x∈N|14≤2x≤16}，B={x|y=ln(x2−3x)}，则A∩B中元素的个数是（）A.1B.2C.3D.417. 命题“若x，y都是偶数，则x+y也是偶数”的逆否命题是（）A.若x+y是偶数，则x与y不都是偶数B.若x+y是偶数，则x与y都不是偶数C.若x+y不是偶数，则x与y不都是偶数D.若x+y不是偶数，则x与y都不是偶数18. 已知集合A={1,3,√m}，B={1,m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或319. 已知c>0且c≠1，设P：函数y=c x在R上单调递减；Q：不等式x+|x−2c|>1的解集为R，若“P或Q”是真命题，“P且Q”是假命题，则c的取值范围是（）A.(12,+∞) B.(1,+∞) C.(0,12] D.(0,12]∪(1,+∞)20. 已知命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数，则m ≤1”，则下列结论正确的是（ ）A.否命题“若函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数，则m >1”是真命题B.逆命题“若m ≤1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是增函数”是假命题C.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m >1，则函数f (x )=e x −mx 在(0,+∞)上不是增函数”是真命题21. 下列命题：①“全等三角形的面积相等”的逆命题；②“若ab =0，则a =0”的否命题；③“正三角形的三个角均为60∘”的逆否命题．其中真命题的序号是________（把所有真命题的序号填在横线上）22. 已知M ={(x,y)|y−3x−2=a +1}，N ={(x,y)|(a 2−1)x +(a −1)y =15}，若M ∩N =⌀，则a 的值为________．23. 非空数集A 如果满足：①0∉A ；②若对∀x ∈A ，有1x ∈A ，则称A 是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R |x 2+ax +1=0}；②{x|x 2−4x +1<0}；③{y|y =ln x x ，x ∈[1e ,1)∪(1,e]}；④{y|y ={2x +25，x ∈[0,1)x +1x，x ∈[1,2]}． 其中“互倒集”的个数是________．24. 已知集合A ={x|x 2−2x −3≤0},B ={x|x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R ,m ∈R } 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值；若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．25. 已知集合A ={y|y 2−(a 2+a +1)y +a (a 2+1)>0}，B ={y|y =12x 2−x +52,0≤x ≤3}．若A ∩B =⌀，求a 的取值范围；当a 取使不等式x 2+1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A)∩B ．26. 已知全集U=R，非空集合A={x|x−2x−(3a+1)<0}，B={x|x−a2−2x−a<0}．当a=12时，求(∁U B)∩A；命题p:x∈A，命题q:x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析1.1 集合与命题一、解答题。
高考数学集合知识的命题意图与解答技巧分析
高考数学集合知识的命题意图与解答技巧分析江苏省白蒲高级中学(226511) 陈建军●摘 要:集合知识是高中数学教学中的基础知识,集合知识是高中教学中几何、函数和数列等知识的基础,因此集合知识的相关题目也是高考中数学试卷上必定会出现的问题,充分理解题目的命题意图,并使用相应的解答技巧进行解答就显得尤为重要.本文就针对高考数学集合知识的命题意图与解答技巧进行分析.关键词:高考;高中数学;集合知识;命题意图;解答方法中图分类号:G632 文献标识码:B 文章编号:1008-0333(2016)21-0009-02 一、集合知识的概念和关系(一)集合知识的重要性集合论(Set Theory)在19世纪末被首次提出,由德国数学家康托尔创立.集合论是现代数学的基础所在,现代数学中的各项数学概念都可以使用集合论的概念加以定义,也就是说集合论适用于各种复杂的数学概念和理论.集合论在现代数学理论的各项分支内也得到了广泛使用,在更好的定义各项数学分支的同时,也推进了现代数学的不断发展.现代数学强调数学语言的统一性,需要最大程度地将数学语言进行简化,而集合语言是现代数学语言的基础所在.在高中数学教学中,集合论贯穿了学生的整个高中数学历程,是重要的基本概念.在内容的编排上,集合论在高一数学教材的第一章第一节,由此可以看出集合知识的地位和重要性.(二)集合的概念及题型集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,将其中的对象称为元素,简单的来说,由一个或多个元素所构成的就是集合.集合是高考数学中的必考内容,按照所考核的方面不同,题型设计也会有所不同.通常针对集合关系、运算方法和术语符号的考查等对知识进行简单应用的考核,题型设计为填空题和选择题;而针对以集合为基础的函数、几何、方程等知识进行考核,为了考核高中学生的整体数学思维和数学能力,确保学生的逻辑能力,题型设计为解答题.(三)集合基本关系集合的概念分为多个方面,包括子集、全集和空集,高考数学对学生集合关系的掌握有很严格的要求,主要考查对子集、全集和空集等概念的理解程度,并熟练掌握集合之间的各种关系,以学生的整体数学思维和思想为主要考查对象.在重庆2015年数学高考试卷中就有相应的题目:已知全集U ={1,2,3,4},集合A ={1,2},B ={2,3},则∁U (A ∪B )=( ).A .{1,3,4} B .{3,4} C .{3} D .{4}因为A ∪B ={1,2,3},而U ={1,2,3,4},故▶化,以便使函数概念的本质能够被学生充分地认识.四、培养学生在函数学习过程中的建模能力(一)在函数知识已经被学生掌握以后,教师应当鼓励学生在生活实际中运用到函数知识,有利于学生将整体性的函数思维构建出来,提高自主学习的能力,体验到知识点在生活中运用的快乐和成就感.(二)数学教师应当在学生对问题进行解答时让他们对已知条件加强重视,对关键信息有所把握,能够综合分析出掌握了的有效信息.总结出此问题的一般思路可表示如下(1)读:阅读理解文字表达的题意,分清条件和结论,理顺数量对应关系,即函数关系.(2)建:将文字语言转化为数学语言,利用数学知识,建立相应的函数模型.正确进行建“模”是关键的一关.五、在解决函数问题中应用到类比和归纳思想(一)类比和归纳函数的方法是高中数学教学中常常会使用到的方法,简单来说,类比、化归的方法可以用来解决常见的函数问题,其能够在目标和已知条件之间通过转化后建立相关的联系,以便将解决问题的难度降低.(二)我们可以举例分析,比如研究了指数函数后我们可以模仿指数函数的研究内容和方式研究对数函数,在这里放手让他们研究.在函数的教学中无非研究三个要素,和性质图象,在研究函数时,图象和性质又是一对双胞胎,它们相辅相成.在数学函数学习过程中,学生深刻地掌握到数学的类比、化归、数形结合思想后,有利于学生的应变能力在数学问题解决过程中得到提升,促进函数学习兴趣的提高.因此,数学教师在课堂中,首先应当引导学生对初中阶段的函数知识点进行复习和巩固,有利于完整地将初高中之间的函数课程衔接好;在教学计划设计时,应当根据学生的学习特点、兴趣和心理展开,对于函数概念的重难点,智慧地选用一些恰当的生活实例进行知识点的运用和分析,有利于学生能够快速地掌握到知识内容.参考文献[1]杨黎.超级画板与高中函数教学整合的有效性研究[D ].海南师范大学,2012.[2]任兴发.化归思想在高中函数教学中的应用研究[D ].内蒙古师范大学,2013.[3]傅婷.基于翻转课堂教学模式的高中函数教学实践研究[D ].陕西师范大学,2014.[4]刘春花.高中函数情境教学研究[D ].内蒙古师范大学,2013.[5]沈红娟.浅议提高高中数学课堂教学效率的途径[J ].高中数学教与学,2011,06:22-23.[6]满海波.支架式教学在函数教学中的应用研究[D ].河北师范大学,2013.[7]刘敏.高中函数概念教学研究[D ].陕西师范大学,2011.[8]高天富.如何提高高中数学函数教学效率策略探讨[J ].数理化学习,2014,04:58.[9]江苏省教育科学“十二五”规划课题《高中数学课程基地促进师生“智慧学习”的实践研究》—9—All Rights Reserved.∁U(A∪B)={4}.这道题目主要考察集合之间的关系和集合的基本概念,是高中数学集合知识中的基础所在. (四)集合基本运算并集与交集的概念也是高中数学集合知识中的重点,属于高考数学的必考题目,学生在解答这类问题需要拥有会求两个集合的并集与交集的能力,同时能够求出给定子集的补集.在高考数学中,还将韦恩图融入了题目之中,学生需要使用韦恩图进行集合运算.在北京2015年数学高考试卷中就有相应的题目:已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( ). A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} D.{-1,0,1}该道题目的正确答案为B,可以从公式{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}中得出.这道题目主要考查学生对集合交集运算的掌握程度,在进行解答时,需要明确“<和”“≤”的区别.另外,使用数轴也可以进行该题目的解答,且更加直观.(五)集合与其他知识的结合上文所述,集合是高中数学中各项数学概念的基础,包括方程、几何和函数等,因此高考数学中会有以集合为基础的组合型复杂题型,将集合语言作为主要表现形式,将各项概念作为载体,考查学生的数学逻辑和数学思想等综合数学能力.在陕西2015年数学高考试卷中就有相应的题目:设全集为R,函数f(x)=1-x2的定义域为M,则∁R M为( ).A.(-1,1)B.(-1,1)C.(+∞,1)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)该道题目的正确答案为D.首先要使函数f(x)= 1-x2有意义,则1-x2≥0,得出-1≤x≤1,则M=[-1,1],∁R M=(-∞,-1)∪(1,+∞).这道题目将集合与函数进行结合,考查学生对于补集计算和函数定义域的掌握程度,是一道综合性题目.二、高考数学集合知识解答技巧如果对历年来各省份的高考数学试卷进行汇总和分析,可以看出高考数学命题的规律和整体命题意图,按照题型可分为基本型、交汇型、计数型、逆向型和判断型几类,不同类型的题型具有不同的解答技巧. (一)基本型基本型题型的主要目的是考查学生对集合概念的掌握程度,知识面包括了基本概念、集合运算和集合之间的关系,解答基本型题目的方法可分为列举法、定义法、韦恩图法、性质法等等.列举2015年高考全国卷Ⅰ中相应的具体题目:已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-5<x<5},则( ). A.A∩B=Ø B.A∪B=R C.B⊆A D.A⊆B该题正确答案为B.因为x(x-2)>0,因此x<0或x>2,根据图象(图1)可以看出集合A与B,从而得出答案A∪B=R.该题将集合之间的关系与不等式结合,考查学生对集合关系的掌握程度.这种将集合关系与不等式结合的方式是近年来高考数学的热点题型,在进行判断时,可以合理地使用数轴和韦恩图的方法,通过有效的数形结合得出问题答案.(二)交汇型交汇类题型通过各种数学概念与集合的交汇,形成综合知识,对学生集合知识的灵活运用程度进行考查,主要包括了集合与几何解析、函数等方面知识的结合.列举四川2015年数学高考试卷中的相关题目:设集合A={x|x+2=0},集合B={x|x2-4=0},则A∩B=( ).A.{-2}B.{2}C.{-2,2}D.Ø该题正确答案为A.由题目可看出A={-2},B= {-2,2},得出A∩B={-2}.这道题目是集合知识与函数方程的结合,对集合之间的关系和集合运算方面进行考查,在高考数学中属于较为简单的题目. (三)计数型在这类题型中,集合是主要背景,题目对象为计算子集、元素的个数,解答这类题型通常使用图表法和公式法.列举2015年高考全国卷中的相关题目:已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( ). A.3 B.6 C.8 D.10该题正确答案为D.要使x-y∈A,当x=5时,y可以是1,2,3,4,当x=4时,y可以是1,2,3,当x=3时,可以是2,当x=2时,y可以是1,因此得出元素个数为10个.解答这道题目考查集合运算以及集合之间的关系,使用的是分类讨论的数学思想,难度较为基础. (四)逆向型逆向型题目通常已知集合的关系以及集合运算的结果,需要写出集合关系与运算的可能表达式,考查学生的逆向思维和数学逻辑能力.列举上海2015年高考数学试卷中的相应题目:设常数a∈R,集合A={x|(x-1)(x-α)≥0},B= {x|x≥α-1},若A∪B=R,则α的取值范围为( ).A.(-∞,2)B.(-∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)该题的正确答案为B.使用数轴的方法讨论集合A可得出答案(-∞,2].这道题目的思路在于使用分类讨论与数轴相结合的方法,在答题时需要理清公式内各个部分的关系和区别,该题主要考查学生对不等式与集合运算结合的掌握程度,综合难度较高.教师在教学中需要深化集合的概念,强调学生在构建集合概念的心理过程,注重子集、并集等概念相互关系的教学.掌握高考数学中集合知识的命题意图,根据题型的差别使用相应的解答技巧,善用分类讨论、数形结合的数学思想是高中数学学习的关键所在.参考文献[1]沈婕.基于考生水平表现标准科学评价考生及教学———以2014年普通高考(天津卷)数学(理工类)考生水平分析为例[J].考试研究,2015,01:34-45.[2]陈昂,单旭峰,任子朝.我国高考命题的范式和范式转换研究[J].中国高教研究,2015,03:10-14.[3]慧力.三年高考四川卷数学试题分析[J].内江师范学院学报,2008,12:76-80.[4]胡耀华,杨雪艳.新课程标准下的数学高考试卷分析———以部分省份2012年数学高考试卷为例[J].考试研究, 2013,05:11-19.[5]陈国军,卢谢峰,杜超雄,袁拥军.2013年湖南省高考数学学科(理科)考生水平评价及教学建议[J].教育测量与评价(理论版),2013,11:4-21.[6]黄光扬.当前高考命题改革首要关注的若干问题研究[J].课程·教材·教法,2011,06:9-14.[7]卢寒芳.对高考数学模拟试卷命制方法的思考[J].北京教育学院学报(自然科学版),2014,03:18-22,53.—01—All Rights Reserved.。
数学错题分析
数学错题分析一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2 忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。
易错点5 逻辑联结词理解不准致误错因分析：在判断含逻辑联结词的命题时很容易因为理解不准确而出现错误，在这里我们给出一些常用的判断方法，希望对大家有所帮助：p∨q真<=>p真或q真，命题p∨q假<=>p假且q假（概括为一真即真）；命题p∧q真<=>p真且q真，p∧q假<=>p假或q假（概括为一假即假）；┐p真<=>p假，┐p假<=>p真（概括为一真一假）。
数学错题分析
一、集合与简易逻辑易错点1 遗忘空集致误错因分析：由于空集是任何非空集合的真子集，因此，对于集合BA，就有B=A，φ≠BA，B≠φ，三种情况，在解题中如果思维不够缜密就有可能忽视了 B≠φ这种情况，导致解题结果错误。
尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。
空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。
易错点2忽视集合元素的三性致误错因分析：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。
在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。
易错点3 四种命题的结构不明致误错因分析：如果原命题是“若 A则B”，则这个命题的逆命题是“若B则A”，否命题是“若┐A则┐B”，逆否命题是“若┐B则┐A”。
这里面有两组等价的命题，即“原命题和它的逆否命题等价，否命题与逆命题等价”。
在解答由一个命题写出该命题的其他形式的命题时，一定要明确四种命题的结构以及它们之间的等价关系。
另外，在否定一个命题时，要注意全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
如对“a,b都是偶数”的否定应该是“a,b不都是偶数”，而不应该是“a ,b都是奇数”。
易错点4 充分必要条件颠倒致误错因分析：对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。
集合的运算、命题与充要条件
教学目标
重点、难点
考点及考试要求
集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件，必要条件和充要条件
教学内容
一、基础知识点：
知识点复习： 1、交集的运算性质
A B B A；A B A ；A B B ；A U A；A A A；A
2、并集的运算性质：
例4
p 是 q 的充要条件的是 [ A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5 B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形 D．p：a≠0，q：关于 x 的方程 ax＝1 有惟一解 ]
练习：若 A 是 B 成立的充分条件，D 是 C 成立的必要条件，C 是 B 成立的充要条件，则 D 是 A 成立的 [ A．充分条件 C．充要条件 B．必要条件 D．既不充分也不必要条件 ]
判断充判断充判断充分条件必要条件和充要条件分条件必要条件和充要条件分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件集合的三种运算及集合的思想会判断命题的真假和充分条件必要条件和充要条件知识点复习
（
）
10．已知全集 I＝N，集合 A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则 A．I＝A∪B 11．设集合 M= { x | x A．M =N
k 2
（
）
B．I＝ C I A ∪B
ห้องสมุดไป่ตู้ 1 4
C．I＝A∪ C I B
k 4 1 2
D．I＝ C I A ∪ C I B （ ）
A B B A；A B A ；A B B ；A U U ；A A A；A A。
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集合与命题的常见错误归纳分析
发表时间：2012-07-04T16:44:32.457Z 来源：《学习方法报·语数教研周刊》2012年第29期供稿作者：邱元春[导读] 高一数学的开篇知识就是集合与命题，而命题的很多知识都是建在集合的基础上的．山东诸城第一中学邱元春
高一数学的开篇知识就是集合与命题，而命题的很多知识都是建在集合的基础上的．这部分知识点的掌握都比较重要．但实际上同学们这部分有些知识都掌握得并不是很好，甚至是一些贯穿整个集合于命题知识的内容，这些问题我们不可以忽视．我在教学期间，及时总结一些常见错题，得到一些一手资料，现给出相关归纳分析．
一、错误点：关于集合小范围可推出大范围问题
这个问题的出错率相当之高，而且贯穿于整个命题学习过程中，尤其是在学习命题推出关系的时候，对这个问题掌握的好坏程度直接影响了做题的正确性．
二、错误点：命题的否定形式常常思考得不够透彻，或者不知道否定形式的写法是怎么样的例2 写出命题“男生爱踢足球”的否命题．
错解：男生不爱踢足球．
分析：思维过于直观，认为对命题的否定就是对命题中谓语“爱”的否定“不爱”就可以了．解决问题方法：从否命题的定义以及些否命题的步骤走下手，先把命题写成“如果……那么……”的形式，然后分别对条件和结论写否定形式就是命题的否定形式了．
正解：Step1：命题改写成“如果一个人是男生，那么这个人爱踢足球”；
Step2：分别否定条件和结论：“如果一个人不是男生（是女生），那么这个人不爱踢足球”．故否命题为：“女生不爱踢足球．”
三、错误点：被题目似乎正确的面目所蒙蔽，没看到实质上的东西，结果致使功亏一篑。