材料力学：第6章 弯曲内力
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6. 材料力学第六章弯曲内力
工程力学系
第六章 弯曲内力
轴力图和剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须注明正负
号。弯矩图画在杆件受压一侧，不必再标正负。
FA
1 2
qa
FD
1 2
qa
FHD qa
B
AB段：FN
( x1 )
1 2
qa
(0
x1
a)
x3 C
刚结点
FQ (x1) qx1(0 x1 a)
M
(x1 )
1 2
qx12(0
x1
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-3 如图受集中力偶 M e作用的简支梁，设 M e、a、b 及 l 均
为已知，试绘梁的剪力图与弯矩图。
FA
x1 x2
解 1.求支反力
FB
FA
Me l
FB
Me l
2.列剪力与弯矩方程式
AC段： FQ
( x1 )
FA
Me l
(0 x1 a)
M (x1)
CB段：
FA x1
a)
x1
DC段：FN (x2 )
1 2
qa (0
x2
a)
FQ (x2 ) qa (0 x2 a)
FA
qa
x2
FHD
FD
M (x2 ) qax2(0 x2 a)
CB段：FN (x3) qa (0 x3 a)
FQ (x3 )
1 2
qa
(0
x3
a)
M
( x3 )
qa2
1 2
qx3(0
x3
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-5 叠加法作弯矩图
例6-6 如图外伸梁，已知：q 、l 、F ql ，按叠加法画弯矩图。
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
材料力学 弯曲内力图(2)
集中力偶
m C
Q
图 特 征
水平直线
Q Q Q
斜直线
Q x x
自左向右突变
Q Q 1 C x
无变化
Q C x
x
Q>0 Q<0
x
斜直线 M M2 图 x 与 x x x x x 特 m 征 M 反 M M1 M M M M 增函数 降函数 坟状 盆状 折向与P反向 向 M1 - M 2 = m
160
kNm
130
210
340
280
4.9 å m = 0
Ai
例题 &
解:(1)求支反力:
m=160kN
P=20kN q=20kN/m
A
ÞLeabharlann D B E
1 R = ( 20 ´ 12 + 20 ´ 10 ´ 7 - 160 ) = 148 kN ( -) B 10 å m Bi = 0 Þ 1 Y = ( 160 + 20 ´ 10 ´ 3 - 20 ´ 2 ) = 72 kN ( -) A 10 校核 : å Y OK ! ) i = Y A + R B - 20 ´ 10 - 20 = 0 (
（+） O
9a / 4
4a 4a
a F By 3
qa
＝ qa 4 当FS = 0时; x = 9a / 4; M max = 81qa 2 / 32
x 3．建立坐标系建立
（）
7qa / 4
O
81 qa 2 / 32
qa
FS－x和M－x坐标系
4．确定控制面上的剪 x 力值，并将其标在 FS－x中。 5．确定控制面上的 弯矩值，并将其标在 M－x中。
材料力学_：弯曲内力_：载荷集度、剪力和弯矩间的关系_
dFS( x) q( x) dx
If:在 x=x1 和 x= x2 两个横截面处无集中力作用
x2 x1
dFS
Байду номын сангаас
(
x)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
115
1265
23.6
+
1.7
27
（3）弯矩图 每段弯矩图均为斜直线。
MA0
FRA F
1
2
A
C
F FRB
3
D
B
M C FRA0.2 4.72kN m
M D FRB0.115 3.11kN m
MB 0
200
115
1265
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4.72kN m
+
（4）校核
FRA 1 F 2
二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一向上凸的二次抛物线.
M(x)
FS(x)
O
x
2.梁上无荷载段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线.
FS(x)
弯矩图为斜线.
O
x
dFS( x) q( x) dx
A
C
F 3 FRB
DB
1）集中力作用的C,D 两点： 剪力图发生突变,突变值F=25.3kN。
200
材料力学课件06弯曲内力
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16
剪力运算规则
梁上某截面上的剪力，可以由该截面左侧（或右侧）梁上全 部外力来计算，左侧向上（右侧向下）的外力对该截面产生 正的剪力；左侧向下（或右侧向上）的外力对该截面产生负 的剪力。 (可见剪力与所在截面的绝对位置无关,却与外加荷载的相对 位置有关)
求得支反力
RA 35kN, RB 25kN
②写出梁的剪力方程和弯矩方程
图6.14 例 6.4 图 外伸梁
CA 段为： Q1 20
0 x 1
M1 20x 0 x 1
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22
AB段为：
Q2 RB 10(5 x) 25 10 x
(1 x 5)
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14
弯矩的符号规定：
口诀：左顺右逆，弯矩为正；（左逆右顺为负）。
注：上述“左”、“右”、“顺”、“逆”与剪力符号规定作 相同理解。
图6.10 弯矩M正负规定示意图
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15
例6.1 确定图示简支梁x截面处的内力 a P b
mC
1 qa2 2
②写出刚架的各杆的弯矩方程：
图6.21 例 6.7图 平面刚架
AB杆：
M (x) 1 qx2 2
0 x a
BC杆： M ( y) 1 qa2
2
0 y b
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31
③根据弯矩方程画弯矩图：
刚架弯矩图规定：刚架弯矩图一律画在杆件受压的一侧，即画 在杆件弯曲变形凹入的一侧，而不再标注弯矩的正负符号。
轴线 弯曲后轴线
材料力学—弯曲内力
FB
FB′
B
FB = FD = qa
q
C
qa2
A
qa2
A
D
aa
qa
FS
qa2
M
q
D
a
aB
B
qa
qa
＋
－
2a
C
q
B
C
2a
qa
－ qa
＋ 0.5qa2
§4-5 叠加法画弯矩图
当梁在荷载作用下的变形很小时，梁跨 长的改变可忽略不计。此时，梁的支座约束 力、剪力和弯矩均与荷载成线性关系。
F
q(x)
当梁上有几项荷载作用时，由每一项荷载所 引起的梁的支座约束力、剪力和弯矩将不受其他 荷载的影响。
C
D
B
a
a
a
解：⑴ 计算控制截面上的剪力和弯矩
B - ： FS = 0 ， M = 0 ；
D ： FS = qa ， M = －0.5 qa2 ；
C＋： FS = qa ， M =－1.5qa2 ；
C - ： FS = qa ， M =－0.5qa2 ；
A＋： FS = qa ， M =－1.5qa2 。
F
A C
B
l/2
l/2
P71 例4-4 特殊情况
F
A C
B
FA
l/2
l/2
FB
解：⑴ 求支座约束力
FA = FB =
1 2
F
⑵ 列剪力方程、弯矩方程
A
FA
AC 段：
CB 段：
F
x
C
B
x
l/2
l/2
FB
FS =
1 2
第6章弯曲内力(1,2)
背口诀，快速记（42字）
剪力等于外力和;
弯矩等于力矩和; 左上右下剪为正;
左上右上弯为正;
左顺右逆弯为正; 与上不符皆为负。
3、简便法求梁内力的步骤 步骤： （1）先分别判断梁上各外力在截面上 引起的内力符号，并求出相应的内力数 值。 （2）由外力与内力大小规律，将截面 上的各内力代数和，即为所有外力作用 下梁截面的内力。
F 0, M 0,
y F
FSF FRB 0 M F FRB d 0
解得：
FSF FRB
-
M F FRB d +
（二）简便法求内力
1、外力与内力大小规律
a A
F1
m
F2 b B x
F
y
0:
m
FAy
a F1
x
F By
F2 b
FAy F1 FQ 0
FQ FAy F1
FAy
x
FQ
FQ
F By
任一横截面上的剪力等于该横截面任一侧所有外力的 代数和。
a
F1
m
F2 b B x
M
C
0:
A
m
x
FAy x F1 x a M 0 M FAy x F1 x a
FAy
FAy
a F1
F By
F2 b
M
M
x
四. 剪力方程和弯矩方程· 剪力图和弯矩图
剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力 和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩
随截面位置的变化规律，或称为内力方程。显示这种变化规
律的图形则分别称为剪力图和弯矩图，它们是梁配钢筋和承 载能力计算的依据。 梁剪力图的画法：取纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表 示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的剪力的大小，规 定正剪力画在横坐标轴的上方，负剪力画在横坐标轴的下方， 画出的图形即为梁的剪力图。 梁弯矩图的画法：取纵横坐标轴，横坐标轴与梁轴线平行，表 示梁的截面位置，纵坐标轴表示梁截面对应的弯矩的大小，规 定梁的弯矩图画在梁的受拉侧，因为正弯矩使梁下侧受拉，所 以正弯矩画在横坐标轴的下方；负弯矩使梁的上侧受拉，所以 负弯矩画在横坐标轴的上方，画出的图形即为梁的弯矩图。
材料力学第6章 弯曲内力
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6.1 梁的内力—剪力和弯矩
例题 6-2
（2）计算(jìsuàn)指定截面上的剪力和 弯矩
C截截面面C左（以侧梁的左力半：边为研究对象）：
FAy 2 kN () (+)
FSC Fy FAy 2kN
C截面左侧的力矩：
FAy * 2m (+)
M e 8kN m (-)
M C
M F 2m - M -4kN m O
19
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6.2 剪力图和弯矩图
例题 6-3
(2) 作剪力图(lìtú)和弯矩图
由剪力、弯矩方程画剪力、弯矩图。
注意： 画图时应将剪力图、弯矩图与计算简图 对齐，并注明图名（FS图、M图）、 峰值点的值及正负号。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内
20
力
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6.2 剪力图和弯矩图
(plane bending)。当所有外力均作用在纵向对称面内时，梁只发生平面弯曲。
秦飞 编著《材料力学》 第6章 弯曲(wānqū)内力
6
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯 矩
梁在外力作用下，其任一横截面上的内力可用截面法确定。
（1）截：在横截面m-m处假想地将梁分为两段
原来处于平衡状态的梁，被截出的任意段也处于平衡状态。
秦飞A编y 著《材料力学(cái lieào lìxué)》 第6章 弯
16
曲内力
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6.1 梁的内力(nèilì)—剪力和弯矩 例题 6-2
截面B（以梁右半边为研究对象）：
B左截面
F 2kN (+)
FBy 4kN (-)
FSB左 F FBy -2kN
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M0 8KN.m
q=2KN/m
P=2KN
A D
FAy 1m
1m
B
FBy
2m
1m
C
1m
解： 1、根据平衡条件求支座反力
MA 0
FBy 7KN
MB 0
FAy 3KN
2、求B、D截面上的内力?
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D左、D右、B左、B右截面
上的内力。 M0 8KN.m
上海长江大桥跨江段长10公里，全桥长16.5公里，双向6车道，设计时速100 公里。整个隧桥工程将在2010年完工。
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
3、梁的种类：
静定梁——支座反力可由静力平衡方程确定的梁。
（a）简支梁
（b）悬臂梁
（c）外伸梁
（d）静定组合梁
中间铰
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
FQ Fy (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
M Mo(一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 （力和力偶）向截面形心简化所得 到的主矩。
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
例题 一外伸梁受力如图所示。试求D、B截面上的内力。
M1 2qa2
q
M2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
取左段梁为研究对象:FQ来自 FAy q 2a qa取右段梁为研究对象:
FQc q 2a FBy qa
FQ Fy (一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力 向截面形心简化所得到的主矢。
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
M D右 M D (右侧) FAy 1 M o 3 8
超静定梁——支座反力不能由静力平衡方程完全 确定的梁。
第六章 弯曲内力
二 梁的内力及其求法
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
1、梁的内力—剪力与弯矩
mF a
b
A
FAy
A
FAy
m
x L
m
oM
x
FQ
m
解：(1)、根据平衡条件求支座反力
FAy
Fb L
,
Fa FBy L
B (2)、截取m-m截面左段。
对称轴
对称轴
对称轴
对称轴
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
1、平面弯曲的概念
(2)载荷作用在对称平面内 所有外力都作用在通过杆件轴线的纵向对称平面内(受力特点)。
F
q
M
轴线
弯曲后梁的轴线 （挠曲线）
纵向对称面
(3)杆件轴线在载荷作用平面内弯成一条曲线(变形特点)。
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
M1 2qa2 q
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FQc
FAy q 2a FQc 0
FQc FAy q 2a qa
（剪力FQ的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
q=2KN/m
P=2KN
A D
FAy 1m
1m
B
FBy
2m
1m
C
1m
解： 1、根据平衡条件已求出支座反力
FBy 7KN
FAy 3KN
2、求D左、D右、B左、B右截面上的内力?
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
M0 8KN.m
A D
1m 1m
FAy
q=2KN/m
P=2KN
B
2m FBy 1m
第六章 弯曲内力
一 平面弯曲的概念及梁的种类 二 梁的内力及其求法 三 剪力方程与弯矩方程、剪力图与弯矩图 四 弯矩、剪力和分布荷载之间的关系 五 平面刚架与曲杆的内力图 六 关于内力图的进一步讨论
第六章 弯曲内力
一 平面弯曲的概念及梁的种类
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
1、平面弯曲的概念 讨论杆的弯曲暂时限制在如下的范围: （1）杆的横截面至少有一根对称轴（一个对称面）
（弯矩M的实际方向与假设方向相同，为正弯矩）
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
如以右侧梁作为研究对象，则：
FQc q 2a FBy
q
Mc
qa
FQcC
MC FBy 2a 2qa a M2
2qa2
M2 2qa2
B
a
FBy
为了计算方便，通常取外力比较简单的一段梁作为研究对象。
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A
B
C
FAy
a
4a
a
FBy
取左段梁为研究对象:
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
取右段梁为研究对象:
MC FBy 2a 2qa a M2 2qa2
M Mo(一侧)
截面左侧（或右侧）梁上的所有外力（力和 力偶）向截面形心简化所得到的主矩。
3、求指定截面上的剪力和弯矩
例题 一简支梁受力如图所示。试求C截面（跨中截面）上的内力。
M1 2qa2 q
M2 2qa2
A C
FAy
a
4a
B
a
FBy
解：1、根据平衡条件求支座反力
MA 0 MB 0
FBy 3qa FAy qa
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
2、求C截面（跨中截面）上的内力
剪力 FQ——使截面不产生移动
FBy
弯矩M ——使截面不产生转动
由 Fy 0, 得到：
FQ
FAy
Fb L
由 Mo 0, 得到：
M
FAy
x
Fb L
x
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
2、剪力、弯矩的正、负号规定：
符号规定
左上右下，剪力为正 左顺右逆，弯矩为正
Q
（＋） M
Q
（－）
M
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
C
1m
D左截面：
FQD左 Fy (左侧) FAy 3KN
M D左 M D (左侧) FAy 1
3KN.m
第六章 弯曲内力/二 梁的内力及其求法
M0 8KN.m
A D
1m 1m
FAy
q=2KN/m
P=2KN
B
2m FBy 1m
C
1m
D右截面：
FQD右 Fy (右侧) FAy 3KN
2、凡是以弯曲为主要变形的杆件，通常称为梁。
墙
楼板
梁 q
l
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
P
栏杆
a
A
B
阳台梁
Me Pa
q P
A
B
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
第六章 弯曲内力/一 平面弯曲的概念及梁的种类
上海长江大桥架起"世界第一梁"
上海长江大桥第53号至54号桥墩间，将架起“百米长梁”。这一箱梁长105 米、宽16米、高5米，重2300吨，为世界第一。"百米长梁"超越东海大桥"梁式大 桥"70米的跨度，实现了桥梁史上的一大突破。