近世代数环与域
近世代数第四章 环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要内容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要内容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R 无零因子且阶大于1，则R 中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l 且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数． 有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子． 二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R 也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l 中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(00Q y x y x ∈∀⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数(吴品三)习题解答第三章 环与域
k1 k2 ,b = m , m1 2 2 2
k1 2 m2 k 2 2 m1 .显然,经过约分之后, a ± b 仍是分母为 2 的非负整 2 m1 m2
k1 k 2 ∈ A. 2 m1 m2
数次方幂的既约分数,从而 a ± b ∈ A .同理, ab =
按环的定义,容易证得, A 关于数目加法、乘法作成一个环. 10. 设 S 表示 A 的一切不是(左零因子,也不是右)零因子的元的集合,证明, S 是( A ,·)的子半群. [证] a, b S ,今用反证法证明 ab 不是 A 的左零因子. 如 若 ab 为 A 的 左 零 因 子 , 则 有 c A , c ≠0, 使 得 ( ab)c =0. 所 以
(ab) 1 = b 1a 1 .
[ 证 ] 因 为 a , b 是 A 的 正 则 元 , 所 以 a , b
1 1
A , 使 得
aa 1 = a 1a =1, bb(bb1 )a 1 = aa 1 =1; 且
因为 E 是环,所以( f 1 - f 2 )∈ E ,( f 1 · f 2 )∈ E . 又因为 H 是 G 的子群 , f 1 ( x H ) f 1 ( x ) H , f 2 ( x H ) f 2 ( x ) H . 所以对 x G , h H ,有: ( f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H ); ( f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ))∈( f 1 ( x ) · f 2 ( x ) + H ). 所以 x G , h H , ( f 1 - f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )- f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) - f 2 ( x ) + H =( f 1 - f 2 )( x )+ H ; ( f 1 · f 2 )( x + h )= f 1 ( x + h )· f 2 ( x + h ) f 1 ( x ) f 2 ( x ) + H =( f 1 f 2 )( x )+ H . 从而( f 1 - f 2 )∈ B H ,( f 1 · f 2 )∈ B H ,故 B H 是 E 的一个子环. 14*. 设( A ,+,·)是一个环,对 A 规定加法与乘法: f , g A A , x A ,命
近世代数 第18讲
第18 讲§3 除环、域（Division ring and field）本讲的教学目的和要求：继整环之后，除环是另一个需要我们密切关注的环类。
与整环相比，除环少了“交换性”这个“好性质”，但也同时增添了“R为乘群”这个更好的性质。
仔细口味起来，整环与除环相比，有相同性，当然也有不同处。
相同处为：都有单位元，都是无零因子环；不相同处为：前者可以是零环，而后者不行；前者可换而后者不一定可换；前者不具备“R为乘群”，但后者具备。
我们把整环的优点（可换性）与除环的优点（可逆性）凑合在一起，则成了另一个更“好”的代数体系---域。
以上就是本讲内容的背景。
学习本讲要求掌握：1、整环与除环的区别和联系。
2、整环的几种判定。
3、四元数除环的意义。
4、域的运算规则和域的判定法则。
本讲的教学难点和重点：本讲的重点有二个：①除环的几个判定法则。
②域的运算法则的证明。
由于本讲中只涉及到二个主要概念，所需的知识面不广，故不存在什么难点。
一、 除环设R 是一个幺环，在§2中已知，R 的所有可逆元做成一个 乘法群S 。
我们总是希望S 能尽量的“大”，最好是“大”到子 ∙⋅R —R 的一切非零元。
如果真能办到，就成了下面要研究的对象—除环。
定义1：设R 是一个环，如果满足下列条件，则称R 是一个除环.(也可以称为体)① R 必有非零元(R 至少含有两个元)② R l ∈③ ∙⋅R 中每个元都有逆元.将上除环的定义“浓缩”为：R 是除环⇔R 是一个含有R l 的非零环且的每个非零元都可逆。
性质1. 除环R 必是无零因子环，但反之不成立.证明: 设R a ∈≠0.如果a 是左零因子R b ∈≠∃⇒0 使 0=ab .但非零元必可逆R a ∈∃⇒-1 使 R l a a =-1.∴ ()?00011⇒=⇒==--b a ab a显然，整数环应是元零因子环，但它不是除环。
性质2. 对除环R 而言,一切非零元构成的集合∙⋅R 是一个乘法群.(收上用记号*R )(这是§2中结论2的观点)利用性质2. 得到判断除环的一种方法.结论: 非零环R 是除环∙⇒R 是一个乘法群.明示: 对于除环R 而言,乘法群∙⋅R 习惯上叫做除环R 的乘群.由上可知:除环R 是由两个群—加群{}+,R 和⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅∙,R 乘群凑合而成的;而环中的分配律恰似一座桥,在这个群间建立了联系. 结论2. 设R 是一个有限的非零环,那么R 是除环⇔R 是无零因子环.证明: ()⇔ 由性质1()⇔ R 是无零因子环.2ξ⇔∙⋅R 是乘法半群,又 R 中满足消去律∙⇒R 中也满足消去律,由于∙⋅R 有限,由第二章⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅⇒∙,R 是一个群,∴ R 是除环.二、域我们知道,整环是可变换的,而除环未必能变换,将这两 者统一在一起.则得到一种新的代数体系—域.定义2:设除环R 是变换环,那么称R 为域,记为F .明示:域必是除环⇒域具有除环所有的性质.前面曾介绍的很多数环都是域(称为数域):有理数域Q ,实数域R ,复数域C .当p 为素数时,p Z 也是域,我们很容易发现:要找一个非域的除环是不容易的,下面“编造”出一个—四元数除环。
近世代数--第三章小结
第三章 环与域总结第一节 加群、环的定义定义：一个交换群叫做一个加群。
⑴一个加群的唯一的单位元叫做零元，记作0。
⑵元a 的唯一的逆元叫做a 的负元，记作-a ，简称负a 。
环的定义：〔•+,,R 〕①〔R +〕是交换群〔R 对+封闭〕；②· ：R R R →⨯满足结合律，即()()bc a c ab R c b a =∈∀,,,③+和·都满足分配律：即对R c b a ∈∀,,满足()ac ab c b a +=+()ca ba a c b +=+称R 在+和·运算下是环。
①.R 是一个加群；②.R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；③.这个乘法适合结合律：()()c ab bc a =，不管c b a ,,是R 的哪三个元；④.两个分配律都成立：()()bc ba a c b ac ab c b a +=++=+,，不管c b a ,,是R 的哪三个元。
环满足如下运算：①00a a =,对R a ∈∀②()ac ab c b a -=-()bc ac c b a -=-③()()()()ac c a ac c a c a =--=-=-,④()()∑∑∑∑=====⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=++++++m i nj j i n j j m i i n n b a b a b b b a a a 11112121 定义：〔•+,,R 〕，假设对R b a ∈∀,,有ba ab =,即满足交换律的环是交换环。
〔•+,,R 〕，假设R e ∈∃,对a ae ea R a ==∈∀,则称e 为R 的一个单位元。
一般地，一个环不一定有单位元。
〔•+,,R 〕，含有单位元e ，,R a ∈假设R b ∈∃，使得e ba ab ==,则称b 是a 的逆元。
〔•+,,R 〕，0,≠≠b b a ，假设0=ab ,则称a 为左零因子，b 为右零因子。
既是左零因子又是右零因子的元叫做零因子。
近世代数-环与域题解讲解
近世代数第四章-环与域题解讲解第四章环与域§ 1环的定义一、主要内容1.环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环.2.环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：a tiG S ——>■戊 f 占€ S *3 循环坏的定义和性质.■■；加群是循环群的环称为循环环•其性債在本节内的主要有s1）循环环必为交怏环；，2）循坏环的子环也是循坏环；3〉循环环的子加群必为子环；. '4）pq是互异素数）阶环必为循环环*二、释疑解难1 •设R是一个关于代数运算十，•作成的环•应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的.所以有时把这个环记为（R,十，•）（或者就直接说“ R 对十，•作成一个环”）•但不能记为R,-,十）•因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同•我们知道，环的代数运算符号只是一种记号.如果集合只有二代数运算记为:,®，又R对：作成一个交换群，对®满足结合律且①对: 满足左、右分配律，即by） =（◎㊉仍叮门㊉门* （⑴力㊉匸=@0小{底^芒扎则就左能说尿对叫，㊉静作成一个氐或记为侦宀㊉X 就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序.2 •设R对二代数运算十，•作成一个环•那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为（R, 十）；又R 对“ • ”作成一个半群，这个乍群记为（R，- ）•再用左、右分配律把二者联系起来就得环（R，十.•）.现在啊，引：K中的这个半辟（氏，* ［是占lit有可能作血一小將呢？回甞是百定的"降非I ^1 = H禺若tJ^A—刖空#?中任蕊元隶日兴O懸右< .D -0=^=0,这说.明Q 不是^尺* • 7杓单悅元.W.B. <1在C R,・）中坦逑有逆元* 因此- ）Hftfe作血半PT而不能作庇曲.遊--比"如覲去艸Oi^PA R的全睹耶呼元索对乘怯是否作成群呃？这是可能的.例如任何敢據就舅于这轴繪磁.芳播，R旳全休卄*元血荷不fife作就靜的*如傾數环和整觀歼★等等-& 由于在环K中倉；a *0 = （）P =<D »寂-- '芒显7?的左电右rXX边）单位兀=!=>芒启半那〔杞* •［的屋g r双边〉单便元.儿丹阶诟环环的稠竽元和其有単悅元酌承件-设R^<a>—{ 0 > cz » Su . < n—1〉£1、戈一个n阶餡环环，且/ —臭业収T 三例阐弱艮有学位元的鋼件和I其稱警兀的情况-以下三例均假W 尺=<« ）. H阶馅环环，B- a2—山2. WWE.0>1 1 R 有单位元 Mn 保1.证发、则有整救材心茨 矗 lt+ HU = 1 - 于屋对R 中仟意元巌如冇（伍心）（珂“ ）—（sztjfc »U = 5< 1 ——NTT JtL — Sti ・ 由于斥足可换环，故叫是尺的单■也元* 反之+设尺有樂位尤-=炖’则w = a 、 «(r<? * =s C/>r>Hti — U (tk — 1 ><!/ = 0 T 于是算I M —丄”设th 一 1 =呵丫则tk + «<—7 >—1 > 放"山)・1“ 例2 田是R 的科等元=> k 泌产一札 证 设S 显环尺的科尊元，耻 {£«>' = t 2Au = co > CA ；F — f)a=0,01由于a^R 灼加醉的H 砂応索.枚比I 和一" 反之■设^\kt^ — “则因科皿一0.故(点卢一i 、0=a 冃.ta — jfer 14 — e £*ku —^^ = <iu)\却皿是*的幕等元. 例3 环R 有2冲一"屛个幕零元・Jl 中少【小为扣的不同*因 数的个栽•声 n 为压与打 的盘大公闵ffcdm 》的不同素因数的 个數. 证 设”=时拧…金冇 是啊旋标准分解式・由上例知・R 中壽 等充的个数就足冋余式 kI 1 — J — 0 (nv^l rr) ( 1 ) 的解的个數・疝这牛同余式的济的个数等于m个同余式■ b 匕工* — j=0 < mod <i^1 ,2 »**- t JM) < 2)的解的个敷的来税.但易知，对一令固定2,当帆I 矗时ft(2)R 冇册小半a 杠fll-[bT(X 故脅證致 获仪|总剔=1..于是 p.^Vt 戸？丨此匸一】* 悄\讥屋巳一、、一2 —工 战卞是方磊住> 的一个非零粧*又0晁然为其一解哀而冃方程(仍没冇别昶擀.即此时方程O 只有阿亍解.干堆同余式门)有2旳l申w个解,即R有旷梢计名柿牛慕奪元.三、习题4. 1解答1・1H 虽據覇知乘怯。
近世代数
近世代数
近世代数是数学中的一个分支，它研究的对象是代数结构，如群、环、域等，以及它们之间的关系和性质。
这个领域的主要目标是揭示这些结构的本质和共性，并开发出一些通用的技术和方法来处理这些结构和它们之间的关系。
近世代数主要研究群、环、域等代数结构的性质和关系。
群是一种代数结构，它由一个集合以及一个二元运算组成，满足封闭性、结合律、存在单位元素以及每个元素都有逆元素等性质。
环是另一种代数结构，它由一个集合以及两个二元运算组成，分别满足加法和乘法的封闭性、结合律、分配律、存在单位元素和每个元素都有加法和乘法的逆元素等性质。
域是群和环的进一步推广，它不仅满足群和环的所有性质，还满足乘法的交换律。
近世代数的研究方法主要是利用抽象代数的思想，即将一些常见的代数概念抽象出来，从而得到一些通用的性质和方法来处理这些抽象的代数结构。
例如，通过将群、环、域等代数结构抽象出来，我们可以得到一些通用的定理，如拉格朗日定理、卡氏定理、高斯引理等，它们在处理各种具体的代数问题时都具有广泛的应用价值。
总之，近世代数是数学中的一个重要分支，它研究的对象是代数结构及其性质和关系，通过抽象代数的思想和方法，揭示了这些结构的本质和共性，为解决各种具体的代数问题提供了一些通用的技术和方法。
近世代数第四章-环与域题解讲解
第四章环与域§1 环的定义一、主要容1．环与子环的定义和例子。
在例子中，持别重要的是效域上的多项式环、n阶全阵环和线性变换环，以及集M的幂集环．2．环中元素的运算规则和环的非空子集S作成子环的充要条件：二、释疑解难1．设R是一个关于代数运算十，·作成的环．应注意两个代数运算的地位是不平等的，是要讲究次序的．所以有时把这个环记为(R，十，·)(或者就直接说“R对十，·作成一个环”)．但不能记为R，·，十)．因为这涉及对两个代数运算所要求满足条件的不同．我们知道，环的代数运算符号只是一种记号．如果集合只有二代数运算记为 ，⊕，又R对 作成一个交换群，对⊕满足结合律且⊕对 满足左、右分配律，即就是说，在环的定义里要留意两个代数运算的顺序．2．设R对二代数运算十，·作成一个环．那么，R对“十”作成一个加群，这个加群记为(R,十)；又R对“·”作成一个半群，这个乍群记为(R，·)．再用左、右分配律把二者联系起来就得环(R，十．·)．三、习题4．1解答1．2．3．4．5．6．7．8．证明：循环环必是交换环，并且其子环也是循环环．§4．2 环的零因子和特征一、主要容１．环的左、右零因子和特征的定义与例子．2．若环R无零因子且阶大于1，则R中所有非零元素对加法有相同的阶．而且这个相同的阶不是无限就是一个素数．这就是说，阶大于l且无零因子的环的特征不是无限就是一个素数．有单位元的环的特征就是单位元在加群中的阶．3．整环(无零因子的交换环)的定义和例子．二、释疑解难１．由教材关于零因子定义直接可知，如果环有左零因子，则R也必然有右零因子．反之亦然．但是应注意，环中一个元素如果是一个左零因子，则它不一定是一个右零因子．例如，教材例l中的元素⎪⎪⎭⎫⎝⎛1就是一个例子．反之，一个右零因子也不一定是一个左零因子．例如，设置为由一切方阵),(Qyxyx∈∀⎪⎪⎭⎫⎝⎛对方阵普通加法与乘法作成的环．则易知⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001是R 的一个右零因子，但它却不是R 的左零因子．2.关于零因子的定义．关于零因子的定义，不同的书往往稍有差异，关键在于是否把环中的零元也算作零因子．本教材不把零元算作零因子，而有的书也把零元算作零因子．但把非牢的零因子称做真零因子．这种不算太大的差异，读者看参考书时请留意．3．关于整环的定义．整环的定义在不同的书中也常有差异．大致有以下4种定义方法： 定义1 无零因子的交换环称为整环(这是本教材的定义方法)． 定义2 阶大于l 且无零因子的交换环，称为整环． 定义3 有单位元且无零因子的交换环，称为整环．定义4 阶大于1、有单位元且无零因子的交换环，称为整环．以上4种定义中，要求整环无零因子、交换是共同的，区别就在于是否要求有单位元和阶大于1．不同的定义方法各有利弊，不宜绝对肯定哪种定义方法好或不好．这种情况也许到某个时期会得到统一．但无论如何现在看不同参考书时应留意这种差异．本教材采用定义1的方法也有很多原因，现举一例。
近世代数课件(全)--3-1-环的定义与性质
,则
n
n
(1) a( ai ) aai
i 1
i 1
n
n
(2) ( ai )a aia
i 1
i 1
n
m
nm
(3) ( ai )( bj ) aibj
i 1
j 1
i1 j1
(4) (ma)(nb) (mn)ab
2020/9/27
三、子环
定义4 若环 R 的非空子集 S 关于环 R 的加法与乘法也做成环，称 S 为 R 的子环
3.除环和域
定义 8 设 R 为有单位元 1R 的环,
a( 0) R ,如果存在 b R ,使得
,则称
a
为
ab ba 1R R 的可逆元,并称
b
为
a
的逆元.
•若a 可逆, 则 a 的逆元唯一, 且 a 的逆元也可逆.可逆元 a 的唯一的
逆元记作 a1 ,且 (a1 )1 a.
2020/9/27
两个消去律成立.即设 a, b, c R, b 0
,如果 ab cb 或 ba bc ,则 a c.
2020/9/27
2.整环 定义 7 一个交换的,有单位元 1R 且
1R 0 的无零因子环 R 称为整环.
例 6 整数环, 高斯整环 都是整环, 而偶数环为 无零因子环.
2020/9/27
2020/9/27
不是左零因子也不是右零因子的元素， 叫做正则元.
2020/9/27
例5
设 M M2(R),
A
1 0
1 0
,
B
1 1
1
1
都是 M 的非零元,而 AB 0 ,所以 A, B
分别为 M 的左右零因子.