2020年北京海淀区空中课堂高二数学-排列与组合的综合应用 课件
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2020年北京海淀区空中课堂高二数学-组合 课件
C
m n
n(n
1)(n
2)L m!
(n
m
1)
①
Cnm
n! m!(n
m)!
②
公式②中，当m=n时，由于0！=1，因此 Cnn 1
当m=0时，得到 Cn0 1
（形式1多用于计算，形式2多用于化简变形）
二、组合数
➢ 教材22页练习A
(5)C50 = 1,
C51 = 5,
C52
=
5´ 2´
4= 1
➢ 两个性质的作用
➢ 教材22页练习A
n个不同的黑球
…
1个白球
三、组合数的性质
➢
教材第24页习题1-2B题1、计算
C22
C32
C42
...
C2 100
➢
解：
C
2 2
C
2 3
C42
...
C2 100
C33
C
2 3
C
2 4
...
C2 100
C43
C
2 4
...
C2 100
...
C3 101
166650
小结
➢ 组合 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 直接法和间接法 ➢ “至多”与“至少”问题 ➢ 分组、分配问题
10,
C53 =
5创4 3创2
3 = 10, 1
C54
=
5创4 4创3
3? 2?
2 1
=
5,
C55 = 1
➢ 发现
二、组合数
➢ 求证： 证明：
所以
三、组合数的性质
➢ 性质1
三、组合数的性质
教材第18页
2020学年高中数学第1章计数原理1.2.3排列与组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
解析 (1)根据分步乘法计数原理得有 C26C24C22＝90 种．
(2)在(1)的基础上，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；
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第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种 方法．
由分步乘法计数原理可得 C26C24C22＝xA33， 所以 x＝C26AC2433C22＝15. 因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
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课前教材预案
要点 分组问题的基本模型 组合中的分组问题，一般有4种基本情况：即 ___无__序__不__均_匀__分__组__、__有_序__不__均__匀_分__组__、__无__序_均__匀__分__组__和_有____ _序__均__匀__分__组___.如：将6个人进行如下分组，求各对应情 况下的分组方法数：
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然 后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法． ②将两块板与已有的三块板之一并放，如|00|||0000|， 有 C13种插法．故共有 C15·(C23＋C13)＝30 种．
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解析 (1)四个不同的小球放入四个不同的盒子，没 有特殊要求，即每个球都可以放入任何一个盒子中，所 以每个球放入盒子中时都有4种选择，所有的放法种数 为4×4×4×4＝256.
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(2)恰有 1 个盒子内放有 2 个球，则先将 4 个球分为 2,1,1 三组，有分法C24AC1222C11种；再放入四个盒子中的三个， 有放法 A34种，由分步乘法计数原理得，共有C24AC1222C11A34＝ C24A34＝144 种放法．
(2)在(1)的基础上，这个过程可以分两步完成： 第一步分为三份，每份两本，设有 x 种方法；
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第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有 A33种 方法．
由分步乘法计数原理可得 C26C24C22＝xA33， 所以 x＝C26AC2433C22＝15. 因此分为三份，每份两本一共有 15 种方法．
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课前教材预案
要点 分组问题的基本模型 组合中的分组问题，一般有4种基本情况：即 ___无__序__不__均_匀__分__组__、__有_序__不__均__匀_分__组__、__无__序_均__匀__分__组__和_有____ _序__均__匀__分__组___.如：将6个人进行如下分组，求各对应情 况下的分组方法数：
(3)恰有两个空盒子，插板分两步进行． 先在首尾两球外侧放置一块隔板，并在 5 个空隙中 任选 1 个空隙插一块隔板，有 C15种插法，如|00|0000|，然 后将剩下的两块隔板插入形成空盒． ①这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子， 如||00||0000|，有 C23种插法． ②将两块板与已有的三块板之一并放，如|00|||0000|， 有 C13种插法．故共有 C15·(C23＋C13)＝30 种．
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解析 (1)四个不同的小球放入四个不同的盒子，没 有特殊要求，即每个球都可以放入任何一个盒子中，所 以每个球放入盒子中时都有4种选择，所有的放法种数 为4×4×4×4＝256.
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(2)恰有 1 个盒子内放有 2 个球，则先将 4 个球分为 2,1,1 三组，有分法C24AC1222C11种；再放入四个盒子中的三个， 有放法 A34种，由分步乘法计数原理得，共有C24AC1222C11A34＝ C24A34＝144 种放法．
排列与排列数综合运用 (共20张PPT)
再考虑其他元素，先特殊后一般； 位置分析法：以位置为主，优先考虑特殊位置，
再考虑其他位置，先分类后分步；
及时演练1 1、7位同学站成两排（前3后4），一共有多少种
不同的站法？
N A73 A44 7 6 5 4 3 2 1 5040
总共有5040种不同的站法
2、7位同学站成一排，其中甲站中间，共有多少 种不同的站法？
①全体排成一排，男生互不相邻
A44 A55
②全体排成一排，男女生各不相邻
A44 A55
相除法
例6、5名男生4名女生排成一排，甲乙丙三人自左
向右（不一定相邻）的顺序不变，有多少种不同
的排列方法？
分析：
由于甲乙丙的顺序不变，但是在甲乙丙之间可以安排其他人，不妨
先不考虑甲乙丙的顺序问题，将所有元素全排列，但是在全排列中甲乙丙
总共有5904个优惠号
小结2
当问题的正面分类较多或计算较复杂，而问题的反 面分类较少或计算更简便时往往使用“间接法”，通 常含“至多”、“至少”之类的词语
使用间接法解答时可以先不考虑特殊位置(元素)， 而列出所有位置(元素)的全排列，再从中减去不满足 特殊位置(元素)要求的排列
及时演练2 1、7名班委中有A、B、C三名同学，现有7种不同 职务对7名班委进行职务分工 ①若正副班长两职只能从这三名同学中产生，则 有多少种不同分工方案？
N A63 A33 6 5 4 3 2 1 720
总共有720种不同的站法
间接法
例3、某通讯公司推出一组手机号码，号码前7 位固定，从“*******0000”到“*******9999” 共10000个号码，规定后四位含“4”或“7”的一 律为“优惠号”，则这组号码中共有多少个“优 惠号”？
2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.2组合的综合应用课件新人教A版选修2_3
答案 (1)8 955 (2)8 955 (3)8 955
题型二 与几何有关的组合问题
例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再
无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同 的三角形？
【自主解答】 解法一 以从共线的 4 个点中取点 的多少作为分类的标准．
第 1 类：共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点， 共有 C24C18＝48 个不同的三角形；
解析 若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四 位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以 组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成 的没有重复数字的四位数的个数为 C25C23A44＋C25C13C13A33 ＝720＋540＝1 260.
答案 1 260
(2)含有 0 的：这时 0 只能排在除首位(万位)以外的四 个位置中的一个，有 A14种排法；再从 2，4，6，8 中任取 一个，有 C14种取法；从 5 个奇数数字中任取 3 个，有 C35种 取法，再把取出的 4 个数全排列有 A44种方法，故有 A14C14C35 A44种排法．(4 分) 第二步：对每一类进行分步计算
◎变式训练
1．某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8 名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的 选法？
(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的 选法？
(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的 选法？
解析 (1)至少有 3 名女生的选法可分为如下四类： 有 3 名女生：C36·C510种选法；有 4 名女生：C46·C410种 选法；有 5 名女生：C56·C310种选法；有 6 名女生：C66·C210 种选法．所以至少有 3 名女生共有 C36·C510＋C46·C410＋ C56·C310＋C66·C210＝8 955 种选法．
题型二 与几何有关的组合问题
例2 平面内有12个点，其中有4个点共线，此外再
无任何3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同 的三角形？
【自主解答】 解法一 以从共线的 4 个点中取点 的多少作为分类的标准．
第 1 类：共线的 4 个点中有 2 个点为三角形的顶点， 共有 C24C18＝48 个不同的三角形；
解析 若取的 4 个数字不包括 0，则可以组成的四 位数的个数为 C25C23A44；若取的 4 个数字包括 0，则可以 组成的四位数的个数为 C25C13C13A33.综上，一共可以组成 的没有重复数字的四位数的个数为 C25C23A44＋C25C13C13A33 ＝720＋540＝1 260.
答案 1 260
(2)含有 0 的：这时 0 只能排在除首位(万位)以外的四 个位置中的一个，有 A14种排法；再从 2，4，6，8 中任取 一个，有 C14种取法；从 5 个奇数数字中任取 3 个，有 C35种 取法，再把取出的 4 个数全排列有 A44种方法，故有 A14C14C35 A44种排法．(4 分) 第二步：对每一类进行分步计算
◎变式训练
1．某大学要从16名大学生(男10人，女6人)中选出8 名学生组成“假期下乡送科学小组”．
(1)如果小组中至少有3名女生，可有多少种不同的 选法？
(2)如果小组中至少有5名男生，可有多少种不同的 选法？
(3)如果小组中至多有3名女生，可有多少种不同的 选法？
解析 (1)至少有 3 名女生的选法可分为如下四类： 有 3 名女生：C36·C510种选法；有 4 名女生：C46·C410种 选法；有 5 名女生：C56·C310种选法；有 6 名女生：C66·C210 种选法．所以至少有 3 名女生共有 C36·C510＋C46·C410＋ C56·C310＋C66·C210＝8 955 种选法．
排列与组合ppt课件
数。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
从10个不同字母中取出 5个字母的所有排的个
数。
从8个不同数字中取出4 个数字的所有排列的个
数。
从n个不同元素中取出m 个元素的所有排列的个
数。
03
CHAPTER
组合的计算方法
组合的公式
组合的公式：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)
"!"表示阶乘，即n! = n * (n-1) * ... * 3 * 2 * 1。
3
排列组合在计算机科学中的应用
计算机科学中，排列组合用于算法设计和数据结 构分析。
排列与组合的未来发展
排列与组合理论的发展方向
随着数学和其他学科的发展，排列与组合理论将不断发展和完善，出现更多新 的公式和定理。
排列与组合的应用前景
随着科学技术的发展，排列与组合的应用领域将更加广泛，特别是在计算机科 学、统计学和信息论等领域的应用将更加深入。
在计算排列和组合时，使用的 公式和方法也不同。
02
CHAPTER
排列的计算方法
排列的公式
01
02
03
排列的公式
P(n, m) = n! / (n-m)!， 其中n是总的元素数量， m是需要选取的元素数量 。
排列的公式解释
表示从n个不同元素中取 出m个元素的所有排列的 个数。
排列的公式应用
适用于计算不同元素的排 列组合数，例如计算从n 个不同数字中取出m个数 字的所有排列的个数。
该公式用于计算从n 个不同元素中选取k 个元素（不放回）的 组合数。
组合的计算方法
直接使用组合公式进行计算。 当n和k较大时，需要注意计算的复杂性和准确性。
可以使用数学软件或在线工具进行计算。
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-计数原理复习 课件
②解：先将三个组看作不同的组，第一步先从6人中选2人给第一组，第二步剩 下的4人中选2人给第二组，第三步剩下的2人自成一组，最后再除以三组的全 排列【设计方案】
所以一共有 C62C42C22 15 种.
A33
三、典型例题
➢ 例3. 【人教B版选修2-3第26页思考题】求(x 2 y z)5展开式中含x2 y2 z 项
因此，一共有C62 C42 C22 =90 种.
上述解法有问题吗？
对于问题②，可以列举吗？怎么列举？
6个人分别记为ABCDEF，A与谁一组呢，可能有AB,AC,AD,AE,AF五种可能.
当AB一组时，将剩下的CDEF平均分成两组，谁与C一组呢？有 CD,CE,CF三种情形.
解：6个人分别记为ABCDEF,那么将他们平均分成三组，有下列情况： 【AB,CD,EF】 ， 【AB,CE,DF】 ， 【AB,CF,DE】， 【AC,BD,EF】 ， 【AC,BE,DF】 ， 【AC,BF,DE】， 【AD,BC,EF】 ， 【AD,BE,CF】 ， 【AD,BF,CE】， 【AE,BC,DF】 ， 【AE,BD,CF】 ， 【AE,BF,CD】， 【AF,BC,DE】 ， 【AF,BD,CE】 ， 【AF,BE,CD】，共15种.
的系数.
解：x2 y2 z 这项的系数为C52C32 (2)2 120 .
三、典型例题
➢ 例4. 【人教B版选修2-3第31页习题】设(3x 1)8 a8x8 a7 x7 L a1x a0 ，
（1）求 a8 a7 L a2 a1 ；
（2）求 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0；
3.含 x2 y2z 项的系数为 C51 24 120 .
(x 2 y z)5为 5 个 (x 2 y z) 相乘，由多项式运算法则知，是从每个
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-排列 课件
四、排列数公式的两种不含形白式球 含白球
➢
教材第11页例2、求证：
Anm
mAnm1
Am n1
证明：
Anm
m Anm 1
(n
n! m)!
m
(n
n! m
1)!
n!(n m 1) n! m (n m 1)!
n!(n m 1 m)
(n m 1)!
(n 1)! [(n 1) m]!
n的阶乘，记作 n! Ann n! （规定0！=1）
四、排列数公式的两种形式
Anm n(n 1) (n 2)L (n m 1) (n, m N , m n)
42
18
11
Anm
n! (n m)!
(n, m N , m
n)
四、排列数公式的两种形式
➢ 形式1：Anm n(n 1) (n 2)L (n m 1) 教材第14页练习A
k )]!
n
n! m
!
Anm
所以
Anm
A A k mk n nk
五、排列的应用
➢ 排列模型
判断下列问题是否是排列问题，如果是排列，请用排列数回答：
(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成点的坐标,可得到多少个不同的点的坐标? A120
Байду номын сангаас
(2)从学号为1到10的十名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方式?
Am n1
所以
Anm
mAnm 1
Am n1
n个不同的黑球
…
1个白球 从这n+1个球中任取m个球排成一 列，有多少种不同的排法？
➢ 用计数原理直接解释例2中的等式
2020年北京海淀区空中课堂高二数学-二项式定理 课件
可能的结果
ab
ab
aa, ab, bb
引入
问题3：三个箱子均装着标有字母a,b的两个大小，形状一样的球， 从每个箱子中摸出一个球，共摸出3个球，有可能出现哪些结果？ 每一种结果有多少种情况？
1
可能的结果
ab
aaa, aab,
2
3
abb,
bbb
ab
ab
引入
问题1： a, b
可能的结果 a, b
每一种结果的情况数 1, 1
5555 9 (56 1)55 9
C505 5655
... C5r5 5655r (1)r
...
C 54 55
56(1)54
C 55 55
(1)55
9
C505 5655
... C5r5 5655r (1)r
...
C 54 55
56(1)54
8
因为上式各项均是8的倍数，所以 5555 9能被8整除.
证明:已知
(a b)n Cn0 an Cn1an1b ... Cnr anr br L Cnnbn (n N ) 令a=b=1，则2n Cn0 Cn1 Cn2 L Cnr L Cnn
例题分析
例5.已知 (x2 1)n 的展开式的各项二项式系数和是1024,求展开式中 二项式系数最大的项. 解：由题意可知2n=1024，所以n=10. 由二项式系数的性质，二项式系数最大的项为
C42
abbb,
C
1 4
bbbb
C40
引入
代数运算公式
(a b)1 a b,
1, 1 1C,11 2C,10 1
(a b)2 a2 2ab b2
C22 C21 C20
ab
ab
aa, ab, bb
引入
问题3：三个箱子均装着标有字母a,b的两个大小，形状一样的球， 从每个箱子中摸出一个球，共摸出3个球，有可能出现哪些结果？ 每一种结果有多少种情况？
1
可能的结果
ab
aaa, aab,
2
3
abb,
bbb
ab
ab
引入
问题1： a, b
可能的结果 a, b
每一种结果的情况数 1, 1
5555 9 (56 1)55 9
C505 5655
... C5r5 5655r (1)r
...
C 54 55
56(1)54
C 55 55
(1)55
9
C505 5655
... C5r5 5655r (1)r
...
C 54 55
56(1)54
8
因为上式各项均是8的倍数，所以 5555 9能被8整除.
证明:已知
(a b)n Cn0 an Cn1an1b ... Cnr anr br L Cnnbn (n N ) 令a=b=1，则2n Cn0 Cn1 Cn2 L Cnr L Cnn
例题分析
例5.已知 (x2 1)n 的展开式的各项二项式系数和是1024,求展开式中 二项式系数最大的项. 解：由题意可知2n=1024，所以n=10. 由二项式系数的性质，二项式系数最大的项为
C42
abbb,
C
1 4
bbbb
C40
引入
代数运算公式
(a b)1 a b,
1, 1 1C,11 2C,10 1
(a b)2 a2 2ab b2
C22 C21 C20
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大空位 小空位
二、排列与组合的综合应用
➢ 直接法与间接法
例、平面内有9个点，其中4个点在一条直线上，此外没有3个点在一条直线
上，过这9个点可以作多少个三角形？
(2)
C53 C41 C52 C42 C51 80 或 C93 C43 80
(1)
二、排列与组合的综合应用
➢ “至多”“至少”问题
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题
例、如图，沿网格线从A点到B点有多少条最短的线路？例如图中所画的就
是一条最短线路。
B
解：从A到B的最短路线需要走10步，
其中有4步向上走，6步向右走；
故，共有 C140 = 210
A
二、排列与组合的综合应用
➢ 与几何有关的排列组合问题 例、在如图7x4的方格纸上（每小方格均为正方形） （1）其中有多少个矩形？ （2）其中有多少个正方形？
1
2
3
4
5
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 教材第25页习题1-2B
若R4断路，有 23 = 8 种， 若R4不断，有3种， 故共有11种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第25页习题1-2B
(1)C41 ?A44 96 (2) A32 ?A33 36
二、排列与组合的综合应用
所以，共有24+72+24+32=152（个）
013579 013579 013579 013579
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
(1) A66 = 720
(2)C31 鬃C31 A44 = 216
甲 乙 其余
(3)2 A22 鬃C41 A22 ?A33 192
15
(或C53 10)
(或
C52C32 A22
15)
再将三组学生分配到三所学校，有 A33 6
故，共有 (10 15) 6 150 种。
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题 教材第23页练习B
1234
1
2
3
(1)C42 ?A33 36 (2)34 = 81
(3)6 + 6 = 12
（4）四个相同的小球放入三个不同的盒中，不许有空盒子的放法有多少种？
二、排列与组合的综合应用
➢ 两个基本计数原理 例、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少
种？ 解：第一类，甲在排尾，剩下四人有 A44 种排法， 第二类，甲在第二、三、四位上，则有A31 鬃A31 A33 种排法 由分类计数原理，共有A44 + A33 鬃A31 A31 = 78 种。
➢ 特殊元素或特殊位置优先考虑 教材第36页自测与评估
解：第一类，没有0时，若无9（6），有 A43 = 24 第二类，没有0时，若有9（6），有 2C42 A33 = 72 第三类，有0时，若无9（6），有 C21 A42 = 24 第四类，有0时，若有9（6），有 2C41C21 A22 = 32
2020年海淀区空中课堂 高二年级数学学科
排列与组合的综合应用
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列与组合的定义
名称 排列 组合
定义
从 n 个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列
m(m≤n)个元素
合成一组
➢ 排列数与组合数的定义
名称 排列数 组合数
定义
从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有不同
解：题意要求熄灭的灯不相邻，因此选用插空的方法。 将亮着的9盏灯排成一排，两端的灯不能熄灭，则有8个空位符合条件， 然后在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，故有 C83 = 56 种方法。
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 教材第25页习题1-2B
A33 ?A42 72
有两个空位相 邻，且与第三 个空位不相邻
(1)Cnm = Cnn- m
(2)Cnm+ 1
=
Cnm
+
C m- 1 n
一、排列与组合的基本知识
例、判断下列结论是否正确: (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序. ( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( √ ) (4)若 Cnx = Cnm ,则x=m成立. ( × ) (5) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n m) . ( × )
C72 C53 C71 C54 C55 246
二、排列与组合的综合应用
➢ 分组、分配问题
例、将5名大学生分配到3所学校支教，每所学校至少1名，不同的方法有多 少种？
解：先将5名大学生分组，
若分为1,1,3三组，有 若分为1,2,2三组，有
CC51A51C22C41A42C22 122 0
1+ 1+ 1 C32 = 3
二、排列与组合的综合应用
➢ “隔板”法 例、方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？ 解：建立隔板模型， 将12个完全相同的球排成一列， 在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆， 每一种方法所得4堆球的数目，即为a,b,c,d的一组正整数解， 故原方程的正整数解的组数共有 C131 = 165 种。
(4)2 A22 鬃C41 A33 = 96
前后排 甲乙 选同排
同排 排队
其余
前后排
甲乙 插空
选同排
其余
二、排列与组合的综合应用
➢ 相邻与不相邻问题 例、某城新建的一条道路上有12只路灯，为了节省用电而不影响正常的照
明，可以熄灭其中三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯， 可以熄灭的方法共有多少种？
排列 的个数 组合 的个数
一、排列与组合的基本知识
➢ 排列数、组合数的公式及性质
公式
(1) Anm = n(n - 1)(n - 2)鬃?(n
m + 1) = n! (n - m)!
(2)Cnm =
Anm Amm
=
n(n -
1)(n -
2) 鬃?(n m!
m + 1) =
n!
m!(n - m)!
性质
例、从7名男同学和5名女同学中，选出5人，分别求符合下列条件的选法总数:
（1）男生甲、女生乙必须当选； （2）男生甲、女生乙都不当选；
C130 120 C150 252
（3）男生甲当选，女生乙不当选； C140 210
（4）至少有1名女生当选；
C152 C75 771
× C51C141
（5）至多有2名男生当选；
解（1）C52?C82 280
（2）1ⅹ1的正方形有7ⅹ4=28个， 2ⅹ2的正方形有6ⅹ3=18个 3ⅹ3的正方形有5ⅹ2=10个， 4ⅹ4的正方形有4ⅹ1=4个，
故共有28+18+10+4➢ 与几何有关的排列组合问题 教材第25页习题1-2B
Cn6
小结
➢ 排列、组合的基本知识 ➢ 分类加法计数原理和分步乘法计数原理 ➢ 排列组合应用问题的常用方法