双曲线的简单几何性质(教案)(精)
教学设计2：3.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质
21yb的哪些代数特性获得的？椭圆的顶点、长轴、短轴、中心是如何定义的？类比椭圆几何性质的研究，从双曲线方程21yb，你可以独立发现哪些几何性质？有没有双曲线所特有的性质？问题1如何研究双曲线的几何性质？师生活动：类比椭圆几何性质的研究方法，对双曲线21,(0,0)ya bb的角度分析）类比椭圆的范围、对称性、顶点的研究，通过方程2221x yb研究双曲线的范21yb，可以直观发现双曲线上的（，纵坐标的范围是y R．“数”的角度：根据方程22221x y ab ①， 得到222211x y a b，∴x ≤－a ，或x ≥a ；y R ．由（x ，y ）的范围，可以发现双曲线不是封闭的曲线．双曲线位于直线x a 及其左侧，以及直线x a 及其右侧的区域，并且两支都向外无限延伸． （2）对称性“形”的角度：双曲线既关于坐标轴对称，又关于原点对称．“数”的角度：用−x 代x ，−y 代y ，−x ，−y 分别代x ，y ，方程的形式不变，所以双曲线关于坐标轴、原点对称．双曲线的对称中心叫做双曲线的中心. （3）顶点“形”的角度：从图形直观上可以发现双曲线与x 轴有两个交点A 1（－a ，0）和A 2（a ，0），与y 轴没有公共点．这与椭圆不同. “数”的角度：令y =0，得到x =a 或x =−a ，所以A 1（－a ，0）和A 2（a ，0）， 令x =0,y 2=−b 2,没有实数解。
追问2：能否类比椭圆把B 1（0，－b ），B 2（0，b ）两点画在y 轴上？线段B 1B 2有何几何意义？师生活动：引导学生画图，学习线段B 1B 2称为双曲线的虚轴，△22A OB 是直角三角形，且2OA a ，22A B c ，2OB b ，线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a ，a 叫做双曲线的实半轴长；线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b ，b 叫做双曲线的虚半轴长.并且在紧接着的渐近线的研究中就要用到它．追问3：在双曲线29x －24y ＝1位于第一象限的曲线上画一点M ，测量点M 的横坐标x M 以及它到直线3x －2y＝1的距离d ，向右拖动点M ，观察x M 与d 的大小关系，你发现了什么？ 师生活动：通过GGB 软件作图，在向右拖动点M 时，点M 的横坐标M x 越来越大，d 越来越小，但是d 始终不等于0.经过两点A 1，A 2作y 轴的平行线x ＝±3，经过两点B 1，B 2作x 轴的平行线y ＝±2，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是032xy ．可以发现，双曲线22194x y 的两支向外延伸时，与两条直线032x y 逐渐接近，但永远不相交．一般地，双曲线22221x y ab （0a ,0b ）的两支向外延伸时，与两条直线0x ya b逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交。
双曲线的简单几何性质教学设计
双曲线的简单几何性质教学设计本教学设计旨在向学生介绍双曲线的简单几何性质，帮助他们理解双曲线的形状及其应用。
教学设计分为三个部分：引入教学、知识讲解及应用实践。
引入教学：
1. 导入：以一个真实生活的例子开始引入，比如一辆汽车以恒定速度在一条高速公路上行驶时，汽车与高速公路之间的距离是如何变化的。
2. 提问：通过向学生提问，引导他们思考距离的变化是否会随着时间变化而改变，进一步引出双曲线的概念。
知识讲解：
1. 定义：简要介绍双曲线的定义，即平面上距离差的绝对值为常数的点的集合。
2. 性质讲解：
a. 双曲线的对称性：双曲线关于两条虚轴对称。
b. 双曲线的渐近线：解释双曲线具有两条渐近线的特点，并引导学生思考渐近线与双曲线的关系。
c. 双曲线的焦点与准线：定义焦点和准线，并说明双曲线焦点到准线的距离是常数。
d. 双曲线的离心率：详细解释双曲线的离心率概念，并介绍离心率与双曲线形状之间的关系。
应用实践：
1. 练习题：给学生提供一些双曲线的练习题，让他们运用所学知识解答。
例如，给定一个双曲线方程，要求学生画出该双曲线及其渐近线，并计算其焦点、离心率等。
2. 实际应用：引导学生思考双曲线在实际生活中的应用，如双曲线在天体力学、射影几何等领域的应用，并鼓励学生自行寻找双曲线的实际应用案例。
通过以上教学设计，学生可以对双曲线的简单几何性质有一个基本的了解。
教师可以通过观察学生在引入教学及应用实践环节的表现来评估学生对双曲线的理解程度。
此外，教师还可以鼓励学生之间的合作与讨论，以促进他们对双曲线概念的深入理解。
2.2《双曲线的几何性质》教案(新人教选修2-1))
2.3 双曲线的简单几何性质一、教学目标知识与技能：1、使学生掌握双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质，并能根据方程求出双曲线的渐近线、离心率等。
2、理解离心率和双曲线形状间的变化关系。
过程与方法：通过启发和引导，让学生明确双曲线性质的研究过程和研究方法，培养学生类比、分析归纳、猜想、数形结合等能力和数学思想。
情感、态度与价值观：通过对问题的探究，培养学生对待知识的科学态度，并能用运动的、变化的观点分析事物。
二、教学重点、难点重点：双曲线的几何性质及初步运用。
难点：双曲线的渐近线。
三、教学过程(一)复习提问引入新课1．椭圆有哪些几何性质，是如何探讨的？2．双曲线的两种标准方程是什么？(二)讲授新课下面我们研究双曲线的几何性质：1、运用几何画板演示得到双曲线221169x y-=的范围：44,x x y R ≤-≥∈或进一步归纳出22221x y a b-=的范围。
2、结合几何画板演示得到双曲线是轴对称图形，也是中心对称图形。
3、类比椭圆的顶点，得到双曲线的顶点坐标。
4、借助于双曲线的顶点，画出以渐近线为对角直线的矩形，得到渐近线的一般表达式，再结合几何画板说明渐近线的特征：逐渐靠近，永不相交。
5、说明离心率与双曲线开口程度的关系。
由于正确认识了渐近线的概念，对于离心率的直观意义也就容易掌握了，为此，介绍一下双曲线的离心率以及它对双曲线的形状的影响：1）双曲线焦距与实轴的比ce a =叫做双曲线的离心率，且1c e a=>。
2） 222222221c a b b e a a a +===+ 所以离心率越大，渐近线的斜率越大，渐近线变得越开阔。
例1求双曲线22169144x y -=的实轴长和虚轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．分析：由双曲线的标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用双曲线的实轴长、虚轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在y 轴上的渐近线是a y x b=±．解：把方程化为标准方程 2222143x y -= 由此可知：半实轴长4a =，半虚轴长3b =，5c=。
双曲线的简单几何性质精品教案
2.2.2 双曲线的简单几何性质学习目标 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a ，b ，c ，e 间的关系.4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题.知识点一 双曲线的简单几何性质思考 类比椭圆的几何性质，结合图象，你能得到双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的哪些几何性质？答案 范围、对称性、顶点、离心率、渐近线.x ≥a 或x ≤－a y ≥a 或y ≤－a 知识点二 双曲线的离心率思考1 如何求双曲线的渐近线方程？答案 将方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的“1”换成“0”，如图，即由x 2a 2－y 2b 2＝0得x a ±yb ＝0，作直线x a ±y b ＝0，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的各支向外延伸时，与两直线无限接近，把这两条直线叫做双曲线的渐近线.思考2 椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度，在双曲线中，双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征，怎样描述双曲线的“张口”大小呢？答案 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的各支向外延伸无限接近渐近线，所以双曲线的“张口”大小取决于b a 的值，设e ＝c a ，则ba ＝c 2－a 2a＝e 2－1. 当e 的值逐渐增大时，ba的值增大，双曲线的“张口”逐渐增大.双曲线的半焦距c 与实半轴长a 的比值e 叫做双曲线的离心率，其取值范围是(1，＋∞).e 越大，双曲线的张口越大. 知识点三 双曲线的相关概念(1)双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x .类型一 双曲线的简单几何性质例1 求与椭圆x 2144＋y 2169＝1有共同焦点，且过点(0,2)的双曲线方程，并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程.解 椭圆x 2144＋y 2169＝1的焦点是(0，－5)，(0,5)，焦点在y 轴上，于是可设双曲线的方程是y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0).又双曲线过点(0,2)，所以c ＝5，a ＝2， 所以b 2＝c 2－a 2＝25－4＝21. 所以双曲线的标准方程为y 24－x 221＝1.所以双曲线的实轴长为4，焦距为10，离心率e ＝c a ＝52，渐近线方程是y ＝±22121x .反思与感悟 根据双曲线方程研究其性质的基本思路(1)将双曲线的方程转化为标准方程.(2)确定双曲线的焦点位置，弄清方程中的a ，b 所对应的值，再利用c 2＝a 2＋b 2得到c 的值. (3)根据确定的a ，b ，c 的值求双曲线的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程等.跟踪训练1 求双曲线9y 2－16x 2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.解 把方程9y 2－16x 2＝144化为标准方程y 242－x 232＝1.由此可知，实半轴长a ＝4，虚半轴长b ＝3；c ＝a 2＋b 2＝42＋32＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)； 离心率e ＝c a ＝54；渐近线方程为y ＝±43x .类型二 由双曲线的几何性质求标准方程例2 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线方程： (1)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103； (2)过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x . 解 (1)e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k >0)，则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1①或y 29k －x 2k ＝1.②把(3,92)代入①，得k ＝－161，与k >0矛盾，无解； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线方程为y 281－x 29＝1.(2)由渐近线方程3x ±y ＝0，可设所求双曲线方程为x 219－y 2＝λ(λ≠0)，(*)将点P (2，－1)代入(*)，得λ＝35， ∴所求双曲线方程为x 2359－y 235＝1.反思与感悟 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1 (mn >0)，从而直接求得.若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，还可以将方程设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，避免讨论焦点的位置.跟踪训练2 已知圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆C ：x 250＋y 225＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程. 解 椭圆C ：x 250＋y 225＝1的两焦点为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，故双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则G 的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，且a 2＋b 2＝25.∵圆M 的圆心为(0,5)，半径为r ＝3. ∴|5a |a 2＋b 2＝3⇒a ＝3，b ＝4. ∴双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.类型三 直线与双曲线的位置关系例3 已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的取值范围.解 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝4，得(1－k 2)x 2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＜0，解得k ＞52或k ＜－52， 则k 的取值范围为k ＞52或k ＜－52. (2)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解. 当1－k 2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解； 当1－k 2≠0时，应满足Δ＝4k 2＋20(1－k 2)＝0， 解得k ＝±52，故k 的值为±1或±52.反思与感悟 (1)直线与双曲线的公共点就是以直线的方程与双曲线的方程联立所构成方程组的解为坐标的点，因此对直线与双曲线的位置关系的讨论，常常转化为对由它们的方程构成的方程组解的情况的讨论.(2)直线与椭圆的位置关系是由它们交点的个数决定的，而直线与双曲线的位置关系不能由其交点的个数决定.(3)弦长公式：直线y ＝kx ＋b 与双曲线相交所得的弦长与椭圆的相同：d ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|. 跟踪训练3 经过点M (2,2)作直线l 交双曲线x 2－y 24＝1于A ，B 两点，且M 为AB 中点.(1)求直线l 的方程； (2)求线段AB 的长.解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 214＝1①，x 22－y224＝1②，①－②得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)4＝0.又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝4，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4＝k . ∴直线l 的方程为y －2＝4(x －2)， 即4x －y －6＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －6＝0，x 2－y 24＝1，得3x 2－12x ＋10＝0，∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝103.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝21023.1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( ) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案 C解析 双曲线的标准方程为x 24－y 28＝1，故实轴长为4.2.设双曲线x 2a ＋y 29＝1的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )A.－4B.－3C.2D.1 答案 A解析 ∵方程表示双曲线，∴a <0，标准方程为y 29－x 2－a ＝1，∴渐近线方程为y ＝±3－ax ， ∴3－a ＝32，解得a ＝－4. 3.已知双曲线x 2a 2－y 25＝1(a ＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A.3414B.324C.32D.43答案 C解析 由题意知a 2＋5＝9, 解得a ＝2，e ＝c a ＝32.4.等轴双曲线的一个焦点是F 1(－6,0)，则其标准方程为( ) A.x 29－y 29＝1 B.y 29－x 29＝1 C.y 218－x 218＝1 D.x 218－y 218＝1 答案 D解析 ∵等轴双曲线的焦点为(－6,0)，∴c ＝6， ∴2a 2＝36，a 2＝18.∴双曲线的标准方程为x 218－y 218＝1.5.若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是____________.答案 (±7，0)解析 由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ， 得m ＝3，c ＝7，且焦点在x 轴上.6.设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为________________. 答案 y ＝±22x解析 由条件知2b ＝2,2c ＝23， ∴b ＝1，c ＝3，a 2＝c 2－b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 2＝1，因此其渐近线方程为y ＝±22x .1.渐近线是双曲线特有的性质，两方程联系密切，把双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)右边的常数1换为0，就是渐近线方程.反之由渐近线方程ax ±by ＝0变为a 2x 2－b 2y 2＝λ，再结合其他条件求得λ就可得双曲线方程.2.准确画出几何图形是解决解析几何问题的第一突破口.对圆锥曲线来说，渐近线是双曲线特有的性质.利用双曲线的渐近线来画双曲线特别方便，而且较为精确，只要作出双曲线的两个顶点和两条渐近线，就能画出它的近似图形.3.直线与双曲线的位置关系，可以通过由直线方程与双曲线方程得到的方程来判断，首先看二次项系数是否为零，如果不为零，再利用Δ来判断直线与双曲线的关系.4.弦长问题可以利用弦长公式，中点弦问题可使用点差法.一、选择题1.过双曲线x 2―y 2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 设弦与双曲线交点为A ，B (A 点在B 点上方)，由AB ⊥x 轴且过右焦点，可得A ，B 两点横坐标为22，代入双曲线方程得A (22，2)，B (22，－2)，故|AB |＝4. 2.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )A.y ＝±14xB.y ＝±13xC.y ＝±12xD.y ＝±x答案 C解析 因为e ＝c a ＝52，所以c 2a 2＝54，又因为c 2＝a 2＋b 2，所以a 2＋b 2a 2＝54，得b 2a 2＝14，所以渐近线方程为y ＝±12x .3.若直线x ＝a 与双曲线x 24－y 2＝1有两个交点，则a 的值可以是( )A.4B.2C.1D.－2 答案 A解析 ∵双曲线x 24－y 2＝1中，x ≥2或x ≤－2，∴若x ＝a 与双曲线有两个交点，则a >2或a <－2，故只有A 选项符合题意.4.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线，交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为( ) A. 6 B. 3 C. 2 D.33答案 B解析 如图，在Rt △MF 1F 2中，∠MF 1F 2＝30°. 又|F 1F 2|＝2c ， ∴|MF 1|＝2c cos 30°＝433c ， |MF 2|＝2c ·tan 30°＝233c . ∴2a ＝|MF 1|－|MF 2|＝233c .∴e ＝ca＝ 3. 5.如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1作倾斜角为30°的直线l ，l 与双曲线的右支交于点P ，若线段PF 1的中点M 落在y 轴上，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±xB.y ＝±3xC.y ＝±2xD.y ＝±2x答案 C解析 设F 1(－c,0)，M (0，y 0)，因为M 为PF 1中点，且PF 1倾斜角为30°，则P ⎝⎛⎭⎫c ，233c ，将其代入双曲线方程得c 2a 2－43c 2b2＝1，又有c 2＝a 2＋b 2，整理得3⎝⎛⎭⎫b a 4－4⎝⎛⎭⎫b a 2－4＝0，解得⎝⎛⎭⎫b a 2＝2或⎝⎛⎭⎫b a 2＝－23(舍去). 故所求渐近线方程为y ＝±2x .6.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 225＝1 答案 A解析 令y ＝0，可得x ＝－5，即焦点坐标为(－5,0)， ∴c ＝5，∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，∴ba ＝2， ∵c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.二、填空题7.已知双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (4，＋∞)解析 ∵等轴双曲线的离心率为2，且双曲线C 的开口比等轴双曲线更开阔， ∴双曲线C ：x 24－y 2m ＝1的离心率e >2，即4＋m 4>2.∴m >4.8.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是____________.答案 (－12,0)解析 双曲线方程可变为x 24－y 2－k ＝1，则a 2＝4，b 2＝－k ，c 2＝4－k ，e ＝ca ＝4－k 2，又∵e ∈(1,2)，则1<4－k2<2，解得－12<k <0. 9.过点(0,1)作直线l 与双曲线4x 2―ay 2＝1相交于P ，Q 两点，且∠POQ ＝π2(O 为坐标原点)，则a 的取值范围是______________. 答案 0<a ≤3解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，4x 2－ay 2＝1，得：(4－ak 2)x 2－2akx －a －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝(－2ak )2＋4(a ＋1)(4－ak 2)＞0， ①x 1x 2＝－a －14－ak 2，y 1y 2＝4－k 24－ak 2，由∠POQ ＝π2，得OP ⊥OQ ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0，则－a －14－ak 2＋4－k 24－ak 2＝0，② 由①②得0<a ≤3. 三、解答题10.根据下列条件，求双曲线的标准方程.(1)与双曲线x 29－y 216＝1有共同的渐近线，且过点(－3，23)；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .解 (1)设所求双曲线方程为x 29－y 216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，所以双曲线方程为x 29－y 216＝14，即4x 29－y 24＝1.(2)设渐近线方程为y ＝±32x 的双曲线方程为x 24－y 29＝λ. 当λ＞0时，2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ，∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1. ∴双曲线的标准方程为x 29－y 2814＝1或y 29－x 24＝111.已知双曲线x 2－y 22＝1，过P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？若能，求出l 的方程；若不能，请说明理由. 解 设l 与双曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21－y 212＝1，x 22－y222＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－(y 1＋y 2)(y 1－y 2)2＝0，即(x 1＋x 2)－y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝0， 又直线过P (1,1)且为线段AB 中点，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，所以k AB ＝2，所以l 方程为y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，2x 2－y 2＝2，消去y ，得2x 2－4x ＋3＝0， 因为Δ＝16－4×2×3＜0，故直线l 与双曲线没有交点，即直线l 不存在.12.已知直线l ：x ＋y ＝1与双曲线C ：x 2a 2－y 2＝1(a >0). (1)若a ＝12，求l 与C 相交所得的弦长. (2)若l 与C 有两个不同的交点，求双曲线C 的离心率e 的取值范围.解 (1)当a ＝12时，双曲线C 的方程为4x 2－y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，4x 2－y 2＝1，消去y ，得3x 2＋2x －2＝0. 设两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－23，x 1x 2＝－23， 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝(x 1－x 2)2＋(x 1－x 2)2 ＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝2×289＝2143. (2)将y ＝－x ＋1代入双曲线x 2a2－y 2＝1中得(1－a 2)x 2＋2a 2x －2a 2＝0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a 2≠0，4a 4＋8a 2(1－a 2)＞0，解得0<a <2且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝1＋a 2a ＝1a 2＋1， 所以e >62且e ≠2， 即离心率e 的取值范围是⎝⎛⎭⎫62，2∪(2，＋∞). 13.若原点O 和点F (－2,0)分别为双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，求OP →·FP →的取值范围.解 由双曲线方程x 2a 2－y 2＝1(a >0)知b ＝1， 又F (－2,0)，∴c ＝2.∴a 2＋1＝c 2＝4，∴a 2＝3，∴双曲线方程为x 23－y 2＝1. 设双曲线右支上点P (x ，y )，且x ≥ 3. OP →·FP →＝(x ，y )·(x ＋2，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝43x 2＋2x －1＝43⎝⎛⎭⎫x ＋342－74. ∵x ≥3，∴当x ＝3时，上式有最小值3＋2 3. 故OP →·FP →的取值范围为[3＋23，＋∞).。
【参考教案】《双曲线的简单几何性质》(人民教育出版社)
一、教案内容：《双曲线的简单几何性质》1. 教学目标（1）理解双曲线的定义及标准方程。
（2）掌握双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
（3）能够运用双曲线的性质解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的定义及标准方程。
（2）双曲线的焦点、实轴、虚轴、顶点等基本几何性质。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：通过复习椭圆的相关知识，引导学生思考双曲线的定义及性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的定义、标准方程及基本几何性质。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对双曲线性质的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考双曲线在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的定义及标准方程。
（2）练习双曲线的性质分析。
二、教案内容：《双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系》1. 教学目标（1）掌握双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）能够运用焦点与实轴、虚轴的关系解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
3. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组讨论法等，引导学生主动探究、合作交流。
4. 教学过程（1）导入：复习双曲线的定义及基本几何性质。
（2）新课讲解：介绍双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（3）案例分析：分析具体的双曲线例子，让学生加深对焦点与实轴、虚轴关系的理解。
（4）课堂练习：布置相关的练习题，巩固所学知识。
（5）总结拓展：引导学生思考焦点与实轴、虚轴关系在实际问题中的应用。
5. 课后作业（1）复习双曲线的焦点与实轴、虚轴的关系。
（2）练习运用焦点与实轴、虚轴关系解决实际问题。
三、教案内容：《双曲线的顶点与渐近线》1. 教学目标（1）掌握双曲线的顶点与渐近线。
（2）能够运用顶点与渐近线解决实际问题。
2. 教学重点与难点（1）双曲线的顶点与渐近线。
2.3.2 双曲线的简单几何性质教学设计
第二章第2.3.2 节双曲线的简单几何性质（4课时）主备教师:陈本川一、内容及其解析本节课要学的内容是双曲线的一些基本性质，其核心内容是双曲线的离心率及渐近线，理解它关键是先让学生理解直观的图形，从中抽象出双曲线的性质。
学生已经学过双曲线概念和标准形式，本节课的内容双曲线的基本性质就是在其基础上的发展。
由于它还与椭圆、抛物线等圆锥曲线有密切的联系，并有参照对比的作用。
是双曲线的核心内容。
教学重点是双曲线的性质及范围，解决重点的关键是引导学生动手、动脑，从图形的直观得到双曲线性质的准确刻画。
二、目标及其解析1、目标定位（1）了解双曲线的基本性质（2）能够根据双曲线的标准方程及性质进行简单的运算。
2、目标解析（1）是指：双曲线的中变量的范围，顶点，对称性，离心率，渐近线等等。
（2）是指：能够根据双曲线中ca..之间的关系能求出双曲线的标准方程及离心b率。
三、问题诊断分析在本节双曲线性质的教学中，学生可能遇到的问题是双曲线的一些基本概念会与椭圆的概念产生混淆，产生这一问题的原因是学生对各种曲线的概念把握不清。
要解决这一问题，就要类比着椭圆的概念及性质学习，其中关键是借助图形直观类比。
四、教学支持条件分析在本节课双曲线的性质教学中，准备使用多媒体辅助教学。
因为使用多媒体辅助教学有利于学生对双曲线性质从直观到具体的把握。
五、教学设计过程复习：问题1：椭圆的概念？椭圆的性质有哪几条？问题一：双曲线性质有哪些？设计意图：掌握双曲线的几何性质师生活动：问题1你能从图中看出它的范围吗？问题2它具有怎样的对称性？问题3双曲线上哪些点比较特殊？中心： 顶点：实轴： 虚轴：渐近线：思考：对于不同的双曲线，我们发现，双曲线开口大小不一样，那么用什么量可以刻画双曲线开口大小呢？问题4：你能根据例1概况、归纳、推导出双曲线的第二定义？引申（双曲线的第二定义）：若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：例1、 求双曲线22916144y x -=的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程. （设计意图：双曲线几何性质的应用） 解：把方程22916144y x -=化为标准方程221169y x -=.沧源民族中学 高二年级 数学 教学设计 2013.2.9由此可知，半实轴长4a =，半虚轴长3b =. 225c a =+= 所以，焦点坐标是(0,5)± 离心率54c e a ==，渐近线方程是043y x ±= 变式训练：如果双曲线2216436x y -=上一点P 到双曲线右准线的距离d 等于8，求点P 到右焦点F 的距离|PF|。
2.3.2双曲线的简单几何性质教学设计(优秀教案)
双曲线的简单几何性质教案一、学习目标知识目标: 了解双曲线的简单几何性质，如范围、对称性、顶点、渐近线、离心率。
能力目标: 通过观察、类比、转化、概括等探究，提高学生运用方程研究双曲线的性质的能力. 情感目标: 使学生在合作探究活动中体验成功, 激发学习热情，感受事物之间处处存在联系.二、学习重点、难点1. 教学重点：双曲线的范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等几何性质；2. 教学难点：双曲线的渐近线.三、学习过程：（一）复习式导入：在椭圆部分，我们曾经从图形和标准方程两个角度来研究椭圆的几何性质。
那么，你认为应该研究双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的哪些性质呢？范围、对称性、顶点、离心率等.这就是我们今天要共同学习的内容：双曲线的简单几何性质 （二）新课：我们先来研究一下焦点坐标在x 轴上的双曲线的简单几何性质。
1双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的简单几何性质（1）范围从图形看，x 的取值范围是什么？ 师生： 从标准方程能否得出这个结论呢？ y 的范围呢？R y ∈（2）对称性从图形看，双曲线关于什么对称性？ 生：关于x 轴、y 轴和原点都是对称的那么，类比椭圆几何性质的推导，从标准方程如何得出这个结论呢？提示：用y -代替原方程中的y ，若方程不变，则该曲线……关于x 轴对称。
同理，若用x -代替原方程中的x ，若方程不变，则该曲线关于y 轴对称。
若用y x --,分别代替原方程中的y x ,，若方程不变，则该曲线关于原点对称。
所以，双曲线是关于x 轴、y 轴和原点都是对称的。
x 轴、y 轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫做双曲线的中心。
（3）顶点椭圆的顶点有几个？（4个）它是如何定义的？（椭圆与对称轴的交点）类比椭圆顶点的定义，我们把双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点。
由图形可以看到，双曲a x a x -≤≥或012222≥-=ax b y 2222,1a x ax≥≥∴即ax a x -≤≥∴或线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点有几个？顶点坐标是？(,0)a ± 虽然对比椭圆，双曲线只有两个顶点，但我们仍然把(0,)b ±标在图形上。
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案
《2.2.2 双曲线的简单几何性质》教案【教材分析】由曲线方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何所研究的主要问题之一，本课就是根据前节导出的双曲线标准方程来进一步研究它的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）.本节课的主要内容是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，（这样，学生会感到容易接受）.【教学目标】1.知识与技能(1)给定双曲线方程，能正确写出有关几何元素，包括顶点、焦点、实轴虚轴长、离心率、渐近线方程等，认识相关元素的内在联系.(2)给定相关几何元素，正确得出相应的双曲线方程.(3)理解离心率、渐近线对双曲线张口大小的影响，能正确说出其中的规律.2.过程与方法(1)在经历一个较完整的数学问题探求过程中，提高学生的观察猜想和验证能力.(2)在椭圆与双曲线性质的类比过程中，提高学生的归纳能力.(3)在几何性质探求过程中，培养学生曲线方程思想和意识.3.情感、态度与价值观培养学生主动探求知识、合作交流的意识，改变学习方式，改善数学学习信念.【教学重点】双曲线的离心率和渐近线.【教学难点】双曲线的离心率对双曲线的刻画，渐近线的含义及离心率与渐近线斜率间的联系. 【教学方法】启发式、发现法.【教学准备】多媒体【教学课时】1课时【教学过程】1.创设情境，引入课题（1）问题情景师问1：首先请同学们回忆一下我们是从哪些方面研究椭圆的？学生答：首先研究了椭圆的标准方程，接着研究了椭圆的几何性质.师问2：很好，那么类似地双曲线是否也具有一些几何性质呢？（引出本节课的内容）注：本节课主要是由椭圆的几何性质通过类比联想，归纳出类似于椭圆几何性质的双曲线的几何性质，故进行下面的复习回顾.（2）复习回顾复习1:双曲线的概念及标准方程，(其中）（让学生适当举例）复习2:椭圆的几何性质标准方程范围对称性 关于坐标轴对称，关于原点中心对称顶点离心率a ce =刻画椭圆扁平程度的几何量2.活动探究，认识性质(1)范围、对称性、顶点的探求结合椭圆的性质，让学生类比猜想得出双曲线的相关性质（范围此阶段限于ax ≥），并结合方程加以数学的验证.(2)双曲线的渐近线师问3:根据椭圆的上述四个性质，能较为准确地把 191622=+y x 画出来吗？学生答：能，确定椭圆的四个顶点然后用光滑的曲线连起来。
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双曲线的简单几何性质
山丹一中周相年
教学目标:
(1 知识目标
能通过双曲线的标准方程确定双曲线的顶点、实虚半轴、焦点、离心率、渐近线方程等,熟练掌握双曲线的几何性质 .
(2能力目标
通过类比椭圆的简单几何性质的方法来研究双曲线的简单几何性质, 在老师的指导下让学生积极讨论、归纳,培养学生的观察、研究能力,增强学生的自信心 .
(3 情感目标
通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生自尊、自强、自信、自主等良好的心理潜能和主人翁意识、集体主义精神 . 教学重点:双曲线的几何性质 .
教学难点:双曲线的渐近线 .
教学方法:启发诱导、练讲结合
教学用具 :多媒体
教学过程:
一、复习回顾,问题引入:
问题 1:双曲线的定义及其标准方程?
问题 2:椭圆的简单几何性质有哪些?我们是如何研究的?双曲线是否也有类似性质?又该怎样研究?
二、合作交流,探究性质: 类比椭圆的几何性质的研究方法,我们根据双曲线的标准方程 0, 0(122
22>>=-b a b
y a x 研究它的几何性质 1. 范围:
双曲线在不等式x ≥ a 与x ≤-a 所表示的区域内 .
2. 对称性:
双曲线关于每个坐标轴和原点都对称, 这时, 坐标轴是
双曲线的对称轴, 原点是双曲线的对称中心, 双曲线的对称
中心叫双曲线中心 .
3.顶点:
(1 双曲线和它的对称轴有两个交点 A1(-a,0 、 A2(a,0,
它们叫做双曲线的顶点 .
(2 线段 A1A2叫双曲线的实轴, 它的长等于 2a,a 叫做双曲线的实半轴长; 线段B1B2叫双曲线的虚轴,它的长等于 2b, b叫做双曲线的虚半轴长 .
(3实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线,其方程为: 练一练:
1. 若点 P (2, 4在双曲线上,下列是双曲线上的点有
(1 P (-2, 4 (2 P (-4, 2 (3 P(-2, -4 (4 P (2, -4
2. 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
0(22≠=-m m y x
(1焦点在 x 轴上,实轴长是 10,虚轴长是 8,则方程是
(2焦点在 y 轴上,焦距是 10,虚轴长是 8,则方程是 :
4. 渐近线
(1概念:双曲线 0, 0(12222>>=-b a b
y a x 的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近!故把这两条直线叫做双曲线的渐近线!
(2双曲线 12222=-b
y a x 的渐近线方程为:x a b y ±= ,即 0=±b y a x (3等轴双曲线的渐近线方程为:x y ±=.
(4 利用双曲线的渐近线, 可以帮助我们较准确地画出双
曲线的草图 . 具体做法是:画出双曲线的渐近线, 先确定双
曲线顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并
根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线 .
5. 离心率:
(1定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e=a
c ,叫双曲线的离心率 .
(2范围:由 c>a>0可得 e>1.
思考:离心率可以刻画椭圆的扁平程度,双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征?
(3含义 :离心率是表示双曲线开口大小的一个量 , 离心率越大开口越大 . 思考:你能到处双曲线 0, 0(12222>>=-b a b x a y 的性质吗? 三、学以致用,巩固双基:
例 1 求双曲线 9y 2-16x 2=144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .
练习 1 求双曲线 9y 2-16x 2=-144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程 .
思考 1:请你写出一个以为渐近线的双曲线方程 .
思考 2:你能写出所有以为渐近线的双曲线方程吗 ?
练习 2 求渐近线为 x y 34
±=,且过点 4, 3(的双曲线的标准方程 .
四、小结反思,总结提高:
1. 双曲线 0, 0(122
22>>=-b a b x a y 的简单几何性质:范围,对称性,顶点,离心率,渐进线
2. 比较双曲线的几何性质与椭圆的几何性质的异同
五、作业布置 :
必做:作业案 1-10 选做:作业案 11-12
x y 34
±=x y 34
±=
六、教学反思
渐近线是双曲线的特有性质,也是教学的难点,但课程标准要求相对较低,不要求严格证明,为了突破难点,通过问题引导学生从已有认知水平出发,来发现双曲线的渐近线,然后充分利用多媒体展示,帮助学生进一步直观理解渐近线“渐近”的含义。