特殊的平行四边形证明(拔高)
特殊平行四边形证明
特殊平行四边形证明设特殊平行四边形ABCD的两对边分别平行，其中AB与CD平行，BC与AD平行；设AB=CD，BC=AD。
我们要证明对角线AC和BD互相平分，并且AC=BD。
首先，我们可以通过观察发现，在特殊平行四边形ABCD中，角BAD和角CDA分别等于角BCD和角ADC，这是因为平行线AB与CD分别与平行线AD与BC交叉，形成了对应角。
因此，我们可以得出：角BAD=角CDA (1)角BCD=角ADC (2)A________BD--------C我们可以注意到四边形ABCD可以分成两个三角形：△AED和△BEC。
根据上述所得到的结论，我们知道角BAD等于角CDA，角BCD等于角ADC。
由于BD是BC的延长线，所以角BCD也等于角BCE。
根据三角形内角和定理，我们可以得到三角形△BEC中的角BEC等于角BCD+角BCE，即角BCD+角BCE=角BCD+角BCD=2角BCD同样地，我们可以得到△AED中的角AED等于角BAD+角AED，即角BAD+角AED=角BAD+角BAD=2角BAD根据题设条件，我们知道AB=CD，所以△AEB和△CED是等腰三角形，因此角AEB等于角BEA，角CED等于角CED。
通过观察我们可以发现，角AEB等于角BEA等于角BEC，角CED等于角CDE等于角BCE。
所以角AEB=角BEA=角BEC (3)角CED=角CDE=角BCE (4)现在，我们可以将(3)代入△BEC的等式中，得到：角BCD+角BEC=2角BCD=2角AEB同样地，将(4)代入△AED的等式中，得到：角BAD+角AED=2角BAD=2角CED由于以E点为顶点的两个角分别等于以B点和C点为顶点的两个角的两倍，所以根据角等于其对边所对的弧长，我们可以得出：∠BAE=∠BCE (5)∠CDE=∠CAE (6)由(5)、(6)两式可知，∠BAE=∠BCE，∠CAE=∠CDE，根据等腰三角形的性质，我们可以得到AE=CE。
人教八年级数学特殊平行四边形相关知识归纳总结与例题精讲
菱形的性质
性质 1 菱形的四条边都相等； 性质 2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；
菱形的判定
菱形判定方法 1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
注意此方法包括两个条件： （1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂 直．
菱形判定方法 2:四边都相等的四边形是菱形．
例 1 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形， F 是 AB 上一点， DF 交 AC 于 E． 求证：∠ AFD= ∠CBE ．
例 2 已知：如图 ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD 、 BC 分别交于 E、 F． 求证：四边形 AFCE 是菱形．
然后再加上相
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例 1 已知：如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点为 OB 上的一点， DG ⊥ AE 于 G，DG 交 OA 于 F． 求证： OE=OF ．
O， E 是
例 2 已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，分别过点 A 、 C 两点作 l 1∥ l2，作 BM ⊥ l 1 于 M ， DN ⊥ l1 于 N ，直线 MB 、DN 分别交 l 2 于 Q、P 点．
求证：四边形 PQMN 是正方形．
例 3、（ 2008 海南） 如图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、C 不重合），点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB .
（ 1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥ PD ； （ 2）设 AP=x, △PBE 的面积为 y.
A
B
E
D
C
图5
例题讲解 例一 .分析：（ 1）因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形
特殊平行四边形证明
特殊平行四边形证明
证明如下：
首先，我们假设有一个平行四边形ABCD，其中AB∥CD，并且AC与BD相交于O。
由于AB∥CD，所以有∠BAD=∠BCD（对应角）、∠ABD=∠ACD（同位角）。
又由于平行四边形的两组对角线互相平分，所以我们可以得到两个重要的等角关系：
∠BAO=∠DAO (1)
∠CAO=∠CDO (2)
然后，我们在平行四边形ABCD中作AO的垂线，垂足为O'，并且连接CO'和DO'。
由于AO是ABCD的对角线，根据垂心定理，AO是CO'与DO'的公共垂线。
所以CO'和DO'垂直于AO，即∠CO'O=∠DO'O=90°。
又根据(1)，∠BAO=∠DAO，我们可以得到三角形BAO和DAO是相似三角形。
同理可得三角形CAO和CDO是相似三角形。
由于相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：
OA/OD=BA/AD (3)
OA/OC=DA/CA (4)
QA:QD=QO:OA=QO:OD (5)
PA:PB=PO:OA=PO:OC (6)
其中，P和Q是AO的中点。
根据三角形的相似比例关系，我们可以进一步得到：OA/OD=OB/OC，并且DA/CA=DB/CB。
由于BA∥CD，所以根据平行四边形的内角性质，我们可以得到
∠ADB=∠BCA（同位角）。
综上所述，我们证明了平行四边形ABCD的对角线互相平分，并且有直角相等，即一个特殊平行四边形。
证毕。
特殊平行四边形的证明(讲义及答案)
特殊平行四边形的证明（讲义）➢知识点睛菱形已知条件中有某个特殊的四边形，往往从其性质着手考虑．要证明某个四边形是特殊的四边形，则需要考虑其判定或定义．在求解时，具体选择哪一条性质与判定，往往需要结合题目给出的条件进行分析．➢精讲精练1.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．求证：四边形ABCD是菱形．DA EOB C F2.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°．AG∥CD，交BC于点G，E，F分别为AG，CD的中点，连接DE，FG，DG．（1）求证：四边形DEGF是平行四边形；（2）当点G是BC的中点时，求证：四边形ABGD是矩形．A DFEB G C3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，O为AB的中点，连接DO并延长至点E，使OE=DO，连接AE，BE．（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？请说明理由．O ED C BA4. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，交AB 于点E ，点F 在DE 上，且AF =CE =AE ． （1）求证：四边形ACEF 是平行四边形；（2）当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形？请说明理由．FED CBA5. 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，过点A 作BC的平行线交BE 的延长线于点F ，连接CF ．若AB ⊥AC ，试判断四边形ADCF 的形状，并证明你的结论．FEDCB6. 如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 边上，且AE =AF ． （1）求证：BE =DF ；（2）连接AC ，交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM =OA ，连接EM ，FM ，则四边形AEMF 是什么特殊四边形？请证明你的结论．MOFED C B A7. 如图，在△ABC 中，O 是AC 边上的一动点（不与点A ，C 重合），过点O作直线MN ∥BC ，直线MN 与∠BCA 的平分线相交于点E ，与∠DCA （△ABC 的外角）的平分线相交于点F ．（1）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？请证明你的结论． （2）在（1）的条件下，∠ACB 的大小为多少时，四边形AECF 为正方形（不要求说明理由）？ABCD E F NMOABC D8. 如图，□ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，BD =12 cm ，AC =6 cm ，点E在线段BO 上从点B 以1 cm/s 的速度运动，点F 在线段OD 上从点O 以2 cm/s 的速度运动．（1）若点E ，F 同时运动，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，四边形AECF 是平行四边形；（2）在（1）的条件下，当AB为何值时，四边形AECF是菱形，为什么？9. 如图所示，在等边三角形ABC 中，BC =8 cm ，射线AG ∥BC ，点E 从点A 出发沿射线AG 以1 cm/s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2 cm/s 的速度运动，设运动时间 为t （s ）．（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时，求证：四边形AFCE 是平行四边形； （2）填空：①当t 为_______s 时，四边形ACFE 是菱形；②当t 为_______s 时，△ACE 的面积是△ACF 的面积的2倍．GF E DCB A10. 如图所示，在△ABC 中，分别以AB ，AC ，BC 为边在BC 的同侧作等边△ABD ，等边△ACE ，等边△BCF ，连接DF ，EF ． （1）求证：四边形DAEF 是平行四边形；（2）探究下列问题：（只填满足的条件，不需证明） ①当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是矩形； ②当△ABC 满足____________条件时，四边形DAEF 是菱形；③当△ABC 满足____________条件时，以D ，A ，E ，F 为顶点的四边形不存在．FEDCBA11. 顺次连接四边形各边中点，所得的四边形是_____________；顺次连接对角线__________的四边形的各边中点，所得的四边形是矩形；顺次连接对角线____________的四边形的各边中点，所得的四边形是菱形；顺次连接对角线______________的四边形的各边中点，所得的四边形是正方形．12. 如图，已知四边形ABCD 的两条对角线AC ，BD 互相垂直，四边形A 1B 1C 1D 1是中点四边形．若AC =3，BD =4，则四边形A 1B 1C 1D 1的面积为_______________．D 1C 1B 1A 1DC BA【参考答案】➢精讲精练1.（1）证明略．提示：先证AB=AD=BC，再证四边形ABCD是平行四边形，则四边形ABCD 是菱形．2.（1）证明略．提示：先证四边形AGCD是平行四边形，得到AG=CD，进而可得EG=DF，则四边形DEGF是平行四边形．（2）证明略．提示：先证明四边形ABGD是平行四边形，再结合∠B=90°，进而可得四边形ABGD是矩形．3.（1）证明略．提示：由OE=DO，AO=BO得，四边形AEBD是平行四边形；又因为AB=AC，AD是△ABC的角平分线，所以AD⊥BC，进而得证四边形AEBD是矩形．（2）当△ABC是等腰直角三角形，即AB=AC，∠BAC=90°时，四边形AEBD 是正方形；理由略．4.（1）证明略．提示：先证AC∥EF，∠EAC=∠AEF，又AF=CE=AE，则∠EAF=∠AEC，AF∥CE，即证得四边形ACEF是平行四边形．（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形，理由略．5.四边形ADCF是菱形，证明略．6.（1）证明略．提示：证明△ABE≌△ADF．（2）四边形AEMF是菱形，证明略．7.（1）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，证明略；（2）当∠ACB=90°时，四边形AECF是正方形．8.（1）当t=2 s时，四边形AECF是平行四边形；（2）当AB=时，四边形AECF是菱形．9.（1）证明略；（2）①8；②165或163．10.（1）证明略；（2）①150°；②AB=AC≠BC；③∠BAC=60°．11.平行四边形；互相垂直；相等；互相垂直且相等12.3。
人教版八年级数学下《平行四边形的性质》拔高练习
《平行四边形的性质》拔高练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．42．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．43．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．155．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E ，且AE ＝3，则AB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，已知点E 在边BC 上，∠BAE ＝∠DAC ，AB ＝7，AD ＝10，则CE ＝ ．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC的周长为 ．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是 ．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 cm 2．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝ ．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．《平行四边形的性质》拔高练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分）1．（5分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，α＝60°．若AB＝OD＝2，则▱ABCD的面积是（）A．8B．C．2D．4【分析】根据等边三角形的判定得出△DOC是等边三角形，再根据平行四边形的性质和的面积公式即可求解．【解答】解：∵在▱ABCD中，∴AB＝DC，∵α＝60°．AB＝OD＝2，∴△DOC是等边三角形，∴△DOC的面积＝，∴▱ABCD的面积＝4△DOC的面积＝4，故选：D．【点评】本题考查了平行四边形的性质和面积，解此题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．2．（5分）如图，在▱ABCD中，连接AC，∠ABC＝∠CAD＝45°，AB＝，则BC的长是（）A．B．2C．2D．4【分析】根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝、∠D＝∠CAD＝45°，由等角对等边可得出AC＝CD＝，再利用勾股定理即可求出BC的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝，BC＝AD，∠D＝∠ABC＝∠CAD＝45°，∴AC＝CD＝，∠ACD＝90°，即△ACD是等腰直角三角形，∴BC＝AD＝＝2．故选：B．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理，根据平行四边形的性质结合∠ABC＝∠CAD＝45°，找出△ACD是等腰直角三角形是解题的关键．3．（5分）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E 点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【分析】根据平行四边形的性质可知∠AEB＝∠EBC，又因为BE平分∠ABC，所以∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE＝3，同理可证FD＝3，继而可求得EF＝AE+DE﹣AD．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，则∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可证：DF＝DC＝AB＝3cm，则EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．4．（5分）如图，在▱ABCD中AE⊥BC，垂足为E，AF⊥CD，垂足为F，若AE：AF＝2：3，▱ABCD的周长为40，则AB的长为（）A．8B．9C．12D．15【分析】根据平行四边形的对边相等，可知一组邻边的和就是其周长的一半．根据平行四边形的面积，可知平行四边形的一组邻边的比和它的高成反比．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴BC+CD＝40÷2＝20，根据平行四边形的面积公式，得BC：CD＝AF：AE＝3：2．∴BC＝12，CD＝8，∴AB＝CD＝8，故选：A．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行四边形的一组邻边的和等于周长的一半，平行四边形的一组邻边的比和它的高的比成反比．5．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，BC＝7，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE＝3，则AB的长为（）A．5B．4C．3D．【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠DEC＝∠DCE，进而得出DE＝DC＝AB求出即可．【解答】解：∵在▱ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，∴∠DEC＝∠ECB，∠DCE＝∠BCE，AB＝DC，∴∠DEC＝∠DCE，∴DE＝DC＝AB，∵AD＝BC＝7，AE＝3，∴DE＝DC＝AB＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出DE＝DC ＝AB是解题关键．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）6．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，已知点E在边BC上，∠BAE＝∠DAC，AB＝7，AD＝10，则CE＝ 5.1．【分析】由▱ABCD的性质及∠BAE＝∠DAC可得∠BAE＝∠BCA，进而可判定△BAE∽△BCA，可得，可BE的长，即可得CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，且AD＝BC＝10，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠BAE＝∠DAC，∴∠BAE＝∠BCA，∵∠B＝∠B，∴△BAE∽△BCA，∴，∵AB＝7，BC＝10，∴BE＝4.9，∴EC＝5.1．故答案为：5.1．【点评】本题主要考查相似三角形的判定及性质、平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到∠BAE＝∠BCA是判定三角形相似的前提，熟练运用相似形的性质是解题的关键．7．（5分）如图，平行四边形ABCD 的周长为20，对角线AC 的长为5，则△ABC 的周长为 15 ．【分析】因为ABCD 是平行四边形，由题意得AB +BC ＝10，而AC 知道，那么△ABC 的周长就可求出．【解答】解：∵平行四边形中对边相等，∴AB +BC ＝20÷2＝10，∴△ABC 的周长＝AB +BC +AC ＝10+5＝15．故答案为：15．【点评】本题考查了平行四边形的性质，三角形的周长等知识，灵活应用性质是解题的关键．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，BC ＝10，AC ＝8，BD ＝14，△AOD的周长是 21 ．【分析】根据平行四边形的性质可得AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7，即可求△AOD 的周长．【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD ＝BC ＝10，AO ＝CO ＝AC ＝4，BO ＝DO ＝BD ＝7∴△AOD 的周长＝AD +AO +DO ＝21故答案为21【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质解决问题是本题的关键．9．（5分）如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 交于点P ，BF 与CE 交于点Q ，若S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，则图中阴影部分的面积为 50 cm 2．【分析】连接E 、F 两点，由三角形的面积公式我们可以推出S △EFC ＝S △BCQ ，S △EFD ＝S △ADF ，所以S △EFG ＝S △BCQ ，S △EFP ＝S △ADP ，因此可以推出阴影部分的面积就是S △APD +S △BQC ．【解答】解：连接E 、F 两点，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴△EFC 的FC 边上的高与△BCF 的FC 边上的高相等，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理：S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝20cm 2，S △BQC ＝30cm 2，∴S 四边形EPFQ ＝50cm 2，故答案为：50．【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，题目综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底等高的三角形．10．（5分）如图，平行四边形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ADC 与∠BCD 的平分线分别交AB 于F ，E ，则EF ＝ 1 ．【分析】由题意可得AD ＝AF ＝3，BC ＝BE ＝3，即可求EF 的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥BA，AD＝BC＝3∵DF平分∠ADC∴∠ADF＝∠CDF∵DC∥AB∴∠CDF＝∠DF A∴∠ADF＝∠AFD∴AD＝AF＝3同理可得BE＝BC＝3∵EF＝AF+BE﹣AB∴EF＝3+3﹣5＝1故答案为：1【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分）11．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M为边AD的中点，过点C作AB的垂线交AB于点E，连接ME，已知AM＝2AE＝4，∠BCE＝30°．（1）求平行四边形ABCD的面积S；（2）求证：∠EMC＝2∠AEM．【分析】（1）利用平行四边形的性质以及直角三角形的性质得出CE的长，进而得出答案；（2）利用全等三角形的判定得出△AEM≌△DNM（ASA），根据全等三角形的性质得到EM＝MN，根据直角三角形的性质得到MN＝MC，根据等腰三角形和三角形的外角的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵M为AD的中点，AM＝2AE＝4，∴AD＝2AM＝8．在▱ABCD的面积中，BC＝CD＝8，又∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠BCE＝30°，∴BE＝BC＝4，∴AB＝6，CE＝4，∴▱ABCD的面积为：AB×CE＝6×4＝24；（2）证明：延长EM，CD交于点N，连接CM．∵在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，在△AEM和△DNM中∵，∴△AEM≌△DNM（ASA），∴EM＝MN，又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，∴MN＝MC，∴∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM．【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练应用平行四边形的性质是解题关键．12．（10分）如图，平行四边形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点M为BC上一点，连接AM，且AB＝AM，点E为BM中点，AF⊥AB，连接EF，延长FO交AB于点N．（1）若BM＝4，MC＝3，AC＝，求AM的长度；（2）若∠ACB＝45°，求证：AN+AF＝EF．【分析】（1）如图1中，连接AE，在Rt△ACE中，求出AE，再在Rt△AEM中求出AM即可；（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．由Rt △EHA≌Rt△EGC（HL），推出AH＝CG，由Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），推出FH＝FG，由△AON≌△COF（ASA），推出AN＝CF，推出AN+AF＝FC+AF ＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，由EF＝FH，即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，连接AE．∵AB＝AM，BE＝EM，∴AE⊥BM，在Rt△ACE中，∵AC＝，EC＝EM+CM＝5，∴AE＝＝，在Rt△AEM中，AM＝＝．（2）如图，连接AE，作EH⊥AF于F，EG⊥DC交DC的延长线于E．∵∠AEC＝∠AFC＝90°，∴∠AEC+∠AFC＝90°，∴A，E，C，F四点共圆，∴∠AFE＝∠ACE＝45°，∴∠EF A＝∠EFG＝45°，∵EH⊥F A，EG⊥FG，∴EH＝EG，∵∠ACE＝∠EAC＝45°，∴AE＝EC，∴Rt△EHA≌Rt△EGC（HL），∴AH＝CG，∵EF＝EF，EH＝EG，∴Rt△EHF≌Rt△EGF（HL），∴FH＝FG，∵AB∥CD，∴∠OAN＝∠OCF，∵∠AON＝∠COF，OA＝OC，∴△AON≌△COF（ASA），∴AN＝CF，∴AN+AF＝FC+AF＝FG﹣CG+FH+AH＝2FH，∵EF＝FH，∴AN+AF＝EF．【点评】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、四点共圆、角平分线的性质定理、等腰直角三角形的判定和性质的等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．13．（10分）如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？【分析】根据AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，可以得到∠C的度数，由四边形ABCD是平行四边形可以得到∠B、∠D的度数，然后根据解直角三角形的相关知识可以求得AB、BC的长，根据特殊角的三角函数可以求得AE的长，由平行四边形的面积等于底乘以高，可以求得四边形ABCD的面积．【解答】解：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∴∠AEC＝∠AFC＝90∵∠EAF＝60°，∴∠C＝360﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝120，∴∠B＝60°∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝4；cm．∵∠D＝∠B＝60°，∴∠DAF＝30°．∴AD＝2DF＝6cm．∴BC＝AD＝6cm在Rt△ADF中，AF＝＝3（cm），∴ABCD的面积＝CD•AF＝4×3＝12（cm2）．【点评】本题考查平行四边形的性质、平行四边形的面积，30°角所对的直角边和斜边的关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．利用数形结合的思想解答问题．14．（10分）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝10，BD＝16，AB＝6，求△OCD的周长．【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝6，OA＝OC＝5，OB＝OD＝8，∴△OCD的周长＝6+5+8＝19．【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，属于中考基础题．15．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝8，AC⊥BC．求BC，CD，AC，OA的长，以及平行四边形ABCD的面积．【分析】根据平行四边形的性质得到AD＝BC＝8，OA＝OC＝AC，根据勾股定理求出AC的长，根据平行四边形的面积公式即可求出平行四边形ABCD 的面积．【解答】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝10，OA＝OC＝AC，∵AB＝10，BC＝8，由勾股定理得：AC＝＝6，∴OA＝3；∴▱ABCD的面积是BC×AC＝8×6＝48．答：BC＝8，CD＝10，AC＝6，OA＝3，▱ABCD的面积是48．【点评】本题主要考查对平行四边形的性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出AC的长度是解此题的关键．。
平行四边形的判定证明
1、如图，在四边形ABCD 中，AC BC AC AD ⊥⊥,,垂足为A ，C ，且CD AB =。
求证：四边形ABCD 是
2、 如图，在□ABCD 中，点E ，F 在AD ，BC 上，且CF AE =，AF 与BE 交于点M ，CE 与DF 交于点N 。
求证：四边形EMFN 是平行四边形。
3、如图，在□ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是各边上的点，且CG AE =，CF AH =。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
4、如图，在四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 各边的中点。
求证：四边形EFGH 是平行四边形。
5、如图，已知E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点。
求证：四边形HGFE 是平行四边形。
6、如图，在□ABCD 中，以AB ，DC 为边在两侧作等边 和等边
，求证：四边形EBFD 是平行四边形。
7、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BC
CF AD AE ⊥⊥，，垂足分别为E ，F ，且AE=CF 。
求证：四边形ABCD 是平行四边形。
8、如图，在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作两条直线分别与AB ，BC ，CD ，AD 交于G ，F ，H ，E 四点。
求证：四边形EGFH 是平行四边形。
特殊平行四边形拔高题含答案
第II 卷（非选择题）一、解答题（题型注释）1．如图.在平面直角坐标系中.正方形OABC 的边长为a ．直线y=bx+c 交x 轴于E.交y 轴于F.且a 、b 、c 分别满足-(a-4)2≥0.228c b b =-+-+（1）求直线y=bx+c 的解析式并直接写出正方形OABC 的对角线的交点D 的坐标；（2）直线y=bx+c 沿x 轴正方向以每秒移动1个单位长度的速度平移.设平移的时间为t 秒.问是否存在t 的值.使直线EF 平分正方形OABC 的面积？若存在.请求出t 的值；若不存在.请说明理由； 点P 为正方形OABC 的对角线AC 上的动点（端点A 、C 除外）.PM ⊥PO.交直线AB 于M.求PCBM的值2．如图.矩形OABC 摆放在平面直角坐标系xOy 中.点A 在x 轴上.点C 在y 轴上.OA=3.OC=2.P 是BC 边上一点且不与B 重合.连结AP.过点P 作∠CPD=∠APB.交x 轴于点D.交y 轴于点E.过点E 作EF ∥AP 交x 轴于点F ． （1）若△APD 为等腰直角三角形.求点P 的坐标；（2）若以A.P.E.F 为顶点的四边形是平行四边形.求直线PE 的解析式．3．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起.使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合.联结DF.点M.N 分别为DF.EF 的中点.联结MA.MN ．（1）如图1.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 上.请判断MA.MN 的数量关系和位置关系.直接 写出结论；（2）如图2.点E.F 分别在正方形的边CB.AB 的延长线上.其他条件不变.那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立.请加以证明；若不成立.请说明理由．BFNME CDA FCBEMNAD图1 图24．如图.已知正方形ABCD.AC 、BD 相交于点O.E 为AC 上一点.AH ⊥EB 交EB 于点H.AH 交BD 于点F ． （1）若点E 在图1的位置.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论；（2）若点E 在AC 的延长线上.请在图2中按题目要求补全图形.判断OE 与OF 的数量关系.并证明你的结论．5．已知一个矩形纸片OACB.将该纸片放置在平面直角坐标系中.点A （11.0）.点B （0.6）.点P 为BC 边上的动点（点P 不与点B 、C 重合）.经过点O 、P 折叠该纸片.得点B′和折痕OP ．设BP=t ．（Ⅰ）如图①.当∠BOP=30°时.求点P 的坐标；（Ⅱ）如图②.经过点P 再次折叠纸片.使点C 落在直线PB′上.得点C′和折痕PQ.若AQ=m.试用含有t 的式子表示m ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下.当点C′恰好落在边OA 上时.求点P 的坐标（直接写出结果即可）． 6．阅读下列材料：已知：如图1.在Rt △ABC 中.∠C=90°.AC=4.BC=3.P 为AC 边上的一动点.以PB.PA 为边构造□APBQ .求对角线PQ 的最小值及此时APAC的值是多少．在解决这个问题时.小明联想到在学习平行线间的距离时所了解的知识：端点分别在两条平行线上的所有线段中.垂直于平行线的线段最短．进而.小明构造出了如图2的辅助线.并求得PQ的最小值为3．参考小明的做法.解决以下问题：（1）继续完成阅读材料中的问题：当PQ的长度最小时.APAC= ；（2）如图3.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）．以PE.PB为边作□PBQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ；（3）如图4.如果P为AB边上的一动点.延长PA到点E.使AE=nPA（n为大于0的常数）.以PE.PC为边作□PCQE.那么对角线PQ的最小值为.此时APAC= ．7．在图1、图2、图3、图4中.点P在线段BC上移动（不与B、C重合）.M在BC的延长线上．（1）如图1.△ABC和△APE均为正三角形.连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2.若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形.连接CE．则∠ECM的度数为°．②如图3.若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形.连接CE．则∠ECM的度数为°．（3）如图4.n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形.连接CE.请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n 的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数）.并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．8．已知O是坐标原点.点A的坐标是（5.0）.点B是y轴正半轴上一动点.以OB.OA为边作矩形OBCA.点E.H分别在边BC和边OA上.将△BOE沿着OE对折.使点B落在OC上的F点处.将△ACH沿着CH对折.使点A落在OC上的G 点处。
专题19 平行四边形、矩形、菱形--拔高题
专题19 平行四边形、矩形、菱形阅读与思考平行四边形、矩形、菱形的性质定理与判定定理是从对边、对角、对角线三个方面探讨的，矩形、菱形都是特殊的平行四边形，矩形的特殊性由一个直角所体现，菱形的特殊性是由邻边相等来体现，因此它们除兼有平行四边形的一般性质外，还有特有的性质；反过来，判定一个四边形为矩形或菱形，也就需要更多的条件.连对角线后平行四边形、矩形、菱形就与特殊三角形联系在一起，所以讨论平行四边形、矩形、菱形相关问题时，常用到特殊三角形性质、全等三角形法；另一方面，又要善于在四边形的背景下思考问题，运用平行四边形、矩形、菱形的丰富性质为解题服务，常常是判定定理与性质定理的综合运用.熟悉以下基本图形：例题与求解【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________.D(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路：从发现矩形内含的特殊三角形入手.【例2】下面有四个命题：①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形；②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形；④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形；其中，正确的命题的个数是（ ） B. 2 C. 3 (全国初中数学联赛试题)解题思路：从四边形边、角、对角线三类元素任意选取两类，任意组合就产生许多判定平行四边形的命题，关键在于对假命题能突破正规的、标准位置的图形构造反例否定.【例3】如图，菱形ABCD 的边长为2，BD ＝2，E ，F 分别是边AD ，CD 上的两个动点且满足AE +CF ＝2.（1）判断△BEF 的形状，并说明理由； （2）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.DACB(烟台中考试题)解题思路：对于（1）由数量关系发现图形特征；对于（2），只需求出BE 的取值范围.【例4】如图，设P 为等腰直角三角形ACB 斜边AB 上任意一点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BC 于点F ，PG ⊥EF 于点G ，延长GP 并在春延长线上取一点D ，使得PD ＝PC .求证：BC ⊥BD ，BC ＝BD .AB(全国初中数学联赛试题)解题思路：只需证明△CPB ≌△DPB ，关键是利用特殊三角形、特殊四边形的性质.【例5】在□A BCD 中，∠BAD 的平分线交直线BC 于点E ，交直线DC 的延长线于点F .图3图2图1DFC（1）在图1中证明CE ＝CF ；（2）若∠ABC ＝90°，G 是EF 的中点（如图2），直接写出∠BDG 的度数；（3）若∠ABC ＝120°，FG ∥CE ，FG ＝CE ，分别连结DB ，DG （如图3），求∠BDG 的度数.(北京市中考试题)解题思路：对于（1），由角平分线加平行线的条件可推出图中有3个等腰三角形； 对于（2），用测量的方法可得∠BDG =45°，进而想到等腰直角三角形，连CG ，BD ，只需证明△BGC ≌△DGF ，这对解决（3），有不同的解题思路. 对于（3）【例6】如图，△ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM ＝AC ，点N 在AC 上，且AN ＝MC ，AM 与BN 相交于点P . 求证：∠BPM ＝45°.NMB(浙江省竞赛试题)解题思路：条件给出的是线段的等量关系，求证的却是角度等式，由于条件中有直角和相等的线段，因此，可想到等腰直角三角形，解题的关键是平移AN 或AC ，即作ME ⊥AN ，ME ＝AN ，构造平行四边形.，能力训练A 级1. 如图，□ABCD 中，BE ⊥CD ，BF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，若CE ＝2，DF ＝1，∠EBF ＝60°，则□ABCD 的面积为________.第1题A2. 如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，且AD ≠CD ，过点O 作OM ⊥AC ，交AD 于点M ，若△CDM 周长为a ，那么□ABCD 的周长为 ________.第2题MB(浙江省中考试题)3. 如图，在Rt△ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝78°，过C 作CF ∥AB ，连结AF 与BC 相交于G ，若GF ＝2AC ，则∠BAG 的大小是________.第3题FA(“希望杯”竞赛试题)4. 如图，在菱形ABCD 中，∠B ＝∠EAF ＝60°，∠BAE ＝20°，则∠CEF 的大小是________.第4题BDC(“希望杯”邀请赛试题)5. 四边形的四条边长分别是a ，b ，c ，d ，其中a ，c 为对边，且满足222222a b c d ab cd +++=+，则这个四边形一定是（ ）A.两组角分别相等的四边形B. 平行四边形C. 对角线互相垂直的四边形D. 对角线相等的四边形6.现有以下四个命题：①对角线相等的四边形是矩形；②对角线互相垂直的四边形是菱形；③有一个角为直角且对角线互相平分的四边形为矩形；④菱形的对角线的平方和等于边长的平方的4倍.其中，正确的命题有（ ）A. ①②B.③④C. ③D. ①②③④7. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD AF 平分∠DAB ，过点C 作CE ⊥BD 于E ，延长AF ，EC 交于点H ，下列结论中：①AF ＝FH ；②BO ＝BF ；③CA ＝CH ；④BE ＝3ED .正确的是（ ）A. ②③B.③④C. ①②④D. ②③④HB(齐齐哈尔中考试题)8. 如图，矩形ABCD 的长为a ，宽为b ，如果12341(S S )2S S ==+，则4S ＝（ ）A.38abB. 34abC. 23abD. 12ab第8题AB E F(“缙云杯”竞赛试题)9. 已知四边形ABCD ，现有条件：①AB ∥DC ；②AB ＝DC ；③AD ∥BC ；④AD ＝BC ；⑤∠A＝∠C ；⑥∠B ＝∠D .从中取两个条件加以组合，能推出四边形ABCD 是平行四边形的有哪几种情形请具体写出这些组合.(江苏省竞赛试题)10. 如图，△ABC 为等边三角形，D 、F 分别是BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ， 以AD 为边作等边△ADE .（1）求证：△ACD ≌△CBF ；（2）当D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 为平行四边形，且∠DEF ＝30°，证明你的结论.EACD(江苏省南通市中考试题)11. 如图，在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝90°，点D 为BC 上任一点，DF ⊥AC 于F ，DE ⊥AC 于E ，M 为BC 中点，试判断△MEF 是什么形状的三角形，并证明你的结论.MBCD(河南省中考试题)12. 如图，△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，△ABD ，△ACE ，△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD 的面积.E(山东省竞赛试题)B 级1. 如图，已知ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE ＝2EC ，F 在AB 上，BF ＝2AF ，如果△BEF 的面积为22cm ，则□ABCD 的面积是________.第1题B(“希望杯”竞赛试题)2. 如图，已知P 为矩形ABCD 内一点，PA ＝3，PD ＝4，PC ＝5，则PB ＝________.第2题BC(山东省竞赛试题)3. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝8cm ，现将矩形折叠，使B 点与D 点重合，则折痕EF 长为________.第3题F B C(武汉市竞赛试题)4. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4，将矩形沿AC 折叠，使点D 落在点D '处，CD '交AB 于点F ，则重叠部分△AFC 的面积为 ________.第4题AB(山东省竞赛试题)5. 如图，在矩形ABCD 中，已知AD ＝12，AB ＝5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD 于E ，PF ⊥AC 于F ，那么PE +PF 的值为________.第5题C(全国初中数学联赛试题)6. 如图，菱形ABCD 的边长为4 cm ，且∠ABC ＝60°，E 是BC 的中点，P 点在BD 上，则PE+PC 的最小值为________.第6题EDB(“希望杯”邀请赛试题)7. 如图，△ABC 的周长为24，M 是AB 的中点，MC ＝MA ＝5，则△ABC 的面积是（ ）A. 30B. 24C.16第7题BC(全国初中数学联赛试题)8. 如图，□ABCD 中，∠ABC ＝75°，AF ⊥BC 于F ，AF 交BD 于E ，若DE ＝2AB ，则∠AED的大小是（ ）A. 60°B. 65° ° °第8题B9. 如图，已知∠A ＝∠B ，1AA ，1PP ，1BB 均垂直于11A B ，1AA ＝17，1PP＝16，1BB ＝20，11A B ＝12，则AP+PB 的值为（ ）A. 15B.14C. 13第9题B A1P 1(全国初中数学联赛试题)10. 如图1，△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，现将△ABC 补成矩形，使△ABC 的两个顶点为矩形一边的两个端点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求的矩形可画出两个：矩形ACBD 和矩形AEFB （如图2）.图1图3EDBACB解答问题：（1）设图2中矩形ACBD 和矩形AEFB 的面积分别为1S ，2S ，则1S ________2S （填“＞”、“＝”或“＜”）.（2）如图3，△ABC 是钝角三角形，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图3画出来.（3）如图4，△ABC 是锐角三角形且三边满足BC ＞AC ＞AB ，按短文中的要求把它补成矩形，那么符合要求的矩形可以画出________个，利用图4画出来.（4）在（3）中所画出的矩形中，哪一个的周长最小为什么图4ABC(陕西中考试题)11.四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAD ＝120°，M 为BC 上一点，N 为CD 上一点.求证：若△AMN 有一个内角等于60°，则△AMN 为等边三角形.12. 如图，六边形ABCDEF 中，AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥AF ，对边之差BC －EF ＝ED －AB＝AF －CD ＞0.求证：该六边形的各角相等.EB(全俄数学奥林匹克试题)。
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特殊平行四边形的证明（拔高）
【课前测试】如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；
（2）点E是否在AB的垂直平分线上？若在，请进行证明；
若不在，请说明理由．
【2015 李沧】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD 为邻边作平行四边形ABDE,连接AD,EC
(1)求证ECD
≅
∆
ADC∆
(2)若BD=CD,则四边形ADCE是怎样的特殊四边形
(3)在（2）的基础上，要使ADCE成为一个正方形，则△ABC满足什么条件（添加一个边或角的条件，直接写出结论，无需证明）
【2014 李沧】如图，等腰梯形ABCD 中，CD AB BC AD =,∥，点E 是线段AD 上的一个动点（E 与D A 、不重合），H F G 、、分别是CE BC BE 、、的中点。
（1）当CE BE =时，求证DE AE =；
（2）当点E 运动到什么位置时，四边形EGFH 是菱形？（直接写出结论，不用说明理由）；
（3）若（2）中的菱形EGFH 是正方形，线段EF 与线段BC 有什么关系？证明你的结论
【作业】 如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相较于点O,作∠BAD 和∠BCD 的平分线，分别交BD 于点G 、H ，延长AG 交BC 于点E,延长CH 交AD 于点F 。
（1）求证：∆ABG ≌∆CDH
（2）若∠BAE=2∠EAC ，试判断四边形AECF 是怎样的特殊四边形， 并加以证明。
A B C D E
F H
G 题图
第21。