相似三角形的判定教案

《相似三角形的判定》教案

课标要求

1．掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2．了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似、三边成比例的两个三角形相似；

3．了解相似三角形判定定理的证明．

教学目标

知识与技能：

1．了解相似三角形及相似比的概念；

2．掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论；

3．掌握相似三角形判定方法：平行线法、三边法、两边夹一角法、两角法；

4．进一步熟悉运用相似三角形的判定方法解决相关问题．

过程与方法：

类比全等三角形的判定方法探究相似三角形的判定，体会特殊与一般的关系，从而掌握相似三角形的判定方法．

情感、态度与价值观：

发展学生的探究能力，渗透类比思想，体会特殊与一般的关系．

教学重点

掌握相似三角形的概念，能运用相似三角形的判定方法判定两个三角形相似．

教学难点

探究三角形相似的条件，并运用相似三角形的判定定理解决问题．

教学流程

一、知识迁移

类比相似多边形的相关知识回答下面的问题：

1．对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形．

2．相似三角形的对应角相等，对应边成比例．

师介绍：“相似”用符号“∽”来表示，读作“相似于”，2题可以用符号表示为

∵△ABC∽△DEF，

∴A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF EF

==．

如何判断两个三角形相似呢？反过来

∵A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F；AB AC BC DE DF

k

EF

===

∴△ABC∽△DEF．

师介绍：△ABC与△DEF的相似比为k，△DEF与△ABC的相似比为1

k

．

追问：当k＝1，这两个三角形有怎样的关系？

引出课题：如何判断两个三角形相似呢？有没有更简单的方法？回顾学习三角形全等时，我们知道，除了可以验证所有的角和边分别相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS，SAS，ASA，AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？

二、探究归纳

（一）平行线分线段成比例

探究1：如图，任意画两条直线l1，l2，再画三条与l1，l2都相交的平行线l3，l4，l5．分别度量l3，l4，l5在l1上截得的两条线段AB ，BC和在l2上截得的两条线段DE，EF的长度，

AB BC 与

DE

EF

相等吗？任意平移l5．

AB

BC

与

DE

EF

还相等吗？

当l3//l4//l5时，

有AB DE

BC EF

=，

BC EF

AB DE

=，

AB DE

AC DF

=，

BC EF

AC DF

=等．

基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．迁移：将基本事实应用到三角形中，

当DE//BC时，有

AD AE BD CE =，BD CE AD AE =，AD AE AB AC =，BD CE

AB AC

=

等． 结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．

应用：如图AB //CD //EF ，AF 与BE 相交于点G ，AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，求BC

CE

的值．

（二）相似三角形的判定

思考：如图1，在△ABC 中，DE ∥BC ，且DE 分别交AB ，AC 于点 D ，E ， △ADE 与△ABC 有什么关系？

图1 图2

分析：用定义证明△ADE ∽△ABC , 需要具备的条件：角：∠A =∠A ，∠ADE =∠B ，∠AED =∠C ；边：

AD AE DE

AB AC BC

==

． 如何证明

AE DE

AC BC

=

呢？ 判定三角形相似的定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．

变式：如图2，DE ∥BC ，且 DE 分别交 BA ，CA 的延长线于点 D ，E ，△ABC 与△ADE 相似吗？

符号语言： ∵DE //BC ∴△ABC ∽△ADE

应用：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且 AD ＝3，DB ＝2．写出图中的相似三角形，并指出其相似比．

探究2：任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的 k 倍．度量这两个三角形的角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论．

在△ABC 与△A′B′C′中，如果满足

AB BC AC

A B B C A C

==

''''''，求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′．

判定三角形相似的定理一：三边成比例的两个三角形相似． 符号语言：

AB BC AC

A B B C A C ==

''''''

ABC A B C '''∴∆∆∽

类比：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果,AB AC

A A A

B A C

'=∠=∠''''，这两个三角形一定相似吗？

判定三角形相似的定理二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言：

,AB AC

A A A

B A

C '=∠=∠''''

ABC A B C '''∴∆∆∽

思考：对于在△ABC 与△A ′B ′C ′中，如果,AB AC

B B A B A

C '=∠=∠''''

，这两个三角形一定相似吗？试着画画看．