Matlab(R2009a版)-第8讲 计算方法的MATLAB实现
#Matlab-第8讲 计算方法的MATLAB实现
14.05.2019
8.2.2 线性方程组求解中的变换
• 上三角变换 • U=triu(x)返回矩阵x的上三角部分； • U=triu(x,k)返回第k条对角线以上部分的元 素。
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程序实例
• >> a=[12 -3 3;-18 3 -1;1 1 1]; • >> triu(a) • ans = • • • 12 0 0 -3 3 3 -1 0 1
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Jacobi迭代法
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Jacobi.m
• function s=jacobi(a,b,x0,eps) • %jacobi迭代法皆线性方程组 • %a为系数矩阵，b为方程组ax=b中的右边的矩阵b， x0为迭代初值 • if nargin==3 • eps=1.0e-6; • elseif nargin<3 • error • return • end
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不动点迭代法
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staticiterate.m
• function s=staticiterate(x,eps) • %不动点迭代法解非线性方程组，x为迭代初值， eps为允许误差 • if nargin==1 • eps=1.0e-6; • elseif nargin<1 • error • return • end
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程序实例
• • • • • • • • • >> fzero('x^3-3*x-1',2) ans = 1.8794 >> fzero('x^3-3*x-1',[1,4]) ans = 1.8794 >> fzero('x^3-3*x-1',[2,4]) ??? Error using ==> fzero The function values at the interval endpoints must differ in sign.
如何使用MATLAB进行数值计算
如何使用MATLAB进行数值计算使用MATLAB进行数值计算一、引言数值计算是现代科学与工程领域中不可或缺的一部分，它能够解决许多实际问题，包括求解方程、优化问题和模拟实验等。
而MATLAB作为一种功能强大的数值计算软件，被广泛应用于各个领域。
本文将介绍如何使用MATLAB进行数值计算，并结合实例进行说明。
二、MATLAB基础首先，我们需要了解MATLAB的基本操作和语法，以便能够熟练运用。
MATLAB使用矩阵和数组来存储和处理数据，因此，熟悉矩阵和数组操作是非常重要的。
MATLAB中的矩阵和数组是通过方括号来定义的，例如：A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]表示一个3x3的矩阵A，其中每个元素由空格或分号隔开。
我们可以使用括号或索引来访问矩阵中的元素。
例如，要访问矩阵A的第二行第三列的元素，可以使用A(2,3)。
MATLAB提供了大量内置的数学函数，包括算术运算、三角函数、指数和对数函数等。
这些函数可以直接应用于矩阵和数组，简化了数值计算的过程。
三、方程求解方程求解是数值计算中的一个重要任务，MATLAB提供了多种方法来求解方程，包括代数方法和数值方法。
1. 代数方法对于一些简单的方程，例如一元一次方程或二次方程，可以直接使用MATLAB内置的解方程函数进行求解。
例如，对于一元一次方程ax + b = 0，可以使用solve函数来求解。
代码示例：syms x;eqn = a*x + b == 0;sol = solve(eqn, x);其中，syms x;指定x为符号变量，eqn为方程表达式，sol为方程的解。
2. 数值方法对于一些复杂的方程，无法用解析方法求解。
这时，可以使用数值方法来近似求解。
MATLAB提供了多种数值求解方法，包括二分法、牛顿法和割线法等。
这些方法可以通过迭代逼近的方式求解方程的根。
代码示例：f = @(x) x^2 - 4;x0 = 2;x = fzero(f, x0);其中，f为方程的表达式，x0为初始猜测值，x为方程的根。
Matlab(R2009a版)_MATLAB简述
结束迭代；否则，转（5）；
（5）若k=n则令：X(0)X(k1)，转（2）开始新的一轮迭代，
否则转（6）， （6）构造新的迭代方向：
k
f ( X ) (k1) 2 f (X (转k) )（23）
并令k=k+1,
S (.k 1 ) f( X (k 1 ))kS (k )
4-4 共轭梯度法
例题：用MATLAB使用共轭梯度法求解无约束优化问题，已知：
（2）产生中间插入点并计算其函数值
x1a0.38(b2a),f1f(x1) x2a0.61(b8a),f2f(x2) （3）比较函数值 f1和 f 2，确定区间的取舍：
若 f1 f2 ，则新区间 a,ba,x2
令 bx2,x2x 1,f2f1 记 N0 0
若 f1 f2 ，则新区间 a,bx1,b
➢编辑已有的M文件：
从MATLAB命令窗口的Flie菜单中选择
Open M-file命令。
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函数文件
函数文件是另一种形式的M文件，每一个函数文 件都定义一个函数。Matlab提供的标准函数大部分 是由函数文件定义的。
函数文件的基本结构 函数文件由function语句引导，其基本结构为： function 输出形参表 = 函数名（输入形参表） 注释说明部分 函数体语句 其中，以function开头的一行为引导行，表示该M 文件是一个函数文件。 当输出形参多于一个时，应该用方括号括起来。
>> syms x; >> f=sin(x)+3*x^2; >> g=diff(f,x)
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符号表达式的替换
用给定的数据替换符号表达式中的指定的符号变量
subs(f,x,a) 用 a 替换字符函数 f 中的字符变量 x a 是可以是 数/数值变量/表达式 或 字符变量/表达式
MATLAB中的数学计算方法详解
MATLAB中的数学计算方法详解在科学研究和工程领域中，数学计算方法的应用是不可避免的。
MATLAB作为一种强大的数学工具，提供了丰富的数学函数和算法，为用户提供了便捷的数学计算方式。
本文将详细介绍MATLAB中常用的数学计算方法，包括数值计算、符号计算以及优化算法等。
一、数值计算方法数值计算是MATLAB中应用最广泛的数学计算方法之一。
它通过将数值代入数学模型，利用数值逼近的方式求得近似解。
MATLAB提供了各种数值计算函数，如插值、积分、微分等。
下面我们将介绍其中几种常用的数值计算方法。
1. 插值方法插值是一种通过已知数据点来估计未知数据点的方法。
在MATLAB中，可以使用interp1函数实现一维数据的插值。
该函数支持多种插值方法，例如线性插值、样条插值等。
用户只需提供已知的数据点和插值点，即可得到插值结果。
2. 数值积分方法数值积分是计算定积分近似值的方法。
在MATLAB中，可以使用quad函数来进行一维定积分计算。
该函数采用自适应的数值积分算法，能够适应不同类型的函数。
用户只需提供被积函数和积分区间，即可得到积分结果。
3. 数值微分方法数值微分是计算函数导数的方法。
在MATLAB中，可以使用diff函数对函数进行数值微分。
该函数可以计算一阶和二阶导数，还支持多点数值微分和符号数值微分。
通过数值微分，可以方便地求得函数在给定点的导数近似值。
二、符号计算方法符号计算是指在计算过程中处理符号表达式而不是数值。
MATLAB的Symbolic Math Toolbox提供了强大的符号计算功能，可以进行代数操作、求解方程、求导、积分等。
下面我们将介绍几种常用的符号计算方法。
1. 代数操作在MATLAB中，可以使用符号计算功能进行代数操作，如多项式求解、多项式展开、多项式化简等。
通过定义符号变量和符号表达式，可以进行各种代数计算，方便用户进行复杂的代数操作。
2. 方程求解MATLAB的符号计算工具箱提供了solve函数用于求解方程。
使用Matlab进行数值计算和数值方法
使用Matlab进行数值计算和数值方法近年来，数值计算和数值方法在科学研究和工程实践中的重要性日益凸显。
数值计算和数值方法作为一种通过计算机模拟和近似求解数学问题的手段，已经广泛应用于各个领域，如物理学、化学、工程学、经济学等。
而Matlab作为一种常用的科学计算软件，具有简单易学、功能强大、可扩展性强等优点，成为了数值计算和数值方法的首选工具。
一、Matlab的基本使用Matlab是一种基于矩阵运算的数学软件，它提供了丰富的数值计算函数库和直观的交互式编程环境，使得数值计算变得更加简单快捷。
在使用Matlab进行数值计算时，我们首先需要了解一些基本的概念和操作。
1. 数组和矩阵Matlab中最基本的数据结构是数组和矩阵。
数组是一种只有一个维度的数据结构，而矩阵则是二维的。
我们可以使用Matlab中的命令来创建和操作数组和矩阵，例如可以使用"zeros"来创建一个全零矩阵，使用"eye"来创建一个单位矩阵，使用"rand"来创建一个随机矩阵等。
2. 数值计算函数库Matlab提供了丰富的数值计算函数库，包括数值积分、微分方程求解、线性代数运算等。
这些函数库使得我们能够轻松地进行各种数值计算操作。
例如，我们可以使用"integral"来进行数值积分，使用"ode45"来求解常微分方程，使用"eig"来计算矩阵的特征值等。
3. 图形绘制除了数值计算，Matlab还提供了强大的图形绘制功能。
我们可以使用Matlab中的绘图函数来绘制各种图形，如曲线图、散点图、三维图等。
这样可以更直观地观察和分析数值计算的结果。
二、数值方法的应用数值方法是指通过数值计算的手段来近似求解数学问题的方法。
在实际科学研究和工程实践中，常常会遇到一些复杂的数学问题，无法直接通过解析的方式求出精确解。
这时候，数值方法便可以派上用场。
matlab第八讲数值计算
quad('sin(x)./x',0,1) %注意./ Warning: Divide by zero. In inlineeval at 13 In inline.subsref at 25 In quad at 62
ans =
0.9461
quad('sin(x)./x',eps,1) ans =
运行结果： p=
0.5057 1.1225 s=
R: [2x2 double] df: 3 normr: 0.0052
作业
1.求函数
1
y e 3 sin 3t
在[0，π]的零点
2. 求一元函数y=x2-2x-5极小值点
多元函数y=(x1-1)2+(x2-2)2极小值点
3.解方程组 1 1 1 6 0 4 1x 5
1 sin xdx
0x
matlab命令： x=eps:0.001:1; %eps表示什么？ y=sin(x)./x; %注意./ trapz(x,y) ans =
0.9461
由于辛普森公式quad、科特斯公式quad8这二种方法依 据的积分法不同于梯形法，因此它们的语法就和 trapz 不 同；
fval = 2.6131e-010
[x,fval]=fminunc('x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)+2*x(1)-4*x(2)',[2,2])
x= 02
fval = -4
四、数值积分
梯形方法trapz 辛普森公式quad 科特斯公式quad8 精度依次提高
梯形方法
观察f(x)与x轴的交点，大致可以看出有四个穿越x轴的交点， 具体位置不是很清楚，所以希望图像能够局部放大，以便看 得更加清楚
在Matlab中实现数值计算与优化算法
在Matlab中实现数值计算与优化算法数值计算与优化算法在工程和科学领域中扮演着重要的角色。
而Matlab作为一种强大的数值计算和数据分析工具，提供了丰富的函数和工具箱，可以方便地实现各种数值计算和优化算法。
本文将介绍在Matlab中实现数值计算和优化算法的一些常用方法和技巧。
1. 数值计算基础在进行数值计算之前，首先需要了解一些数值计算的基本概念和方法。
Matlab 提供了丰富的数学函数，例如矩阵运算、符号计算等。
通过使用这些函数，我们可以进行矩阵运算、数值积分、微分、微分方程求解等操作。
2. 数值计算方法在实际的数值计算中，我们经常需要解决一些复杂的问题，例如求解非线性方程、最小化函数、解线性方程组等。
Matlab提供了多种数值计算方法，例如牛顿法、拟牛顿法、全局优化算法等。
这些方法可以帮助我们高效地解决各种数值计算问题。
3. 数值优化算法数值优化是指在给定约束条件下求解最优解的问题。
在实际应用中，数值优化算法经常被用于解决一些优化问题，例如最小二乘法、线性规划、非线性规划等。
Matlab提供了多个优化工具箱，例如Optimization Toolbox和Global Optimization Toolbox，可以帮助我们实现各种数值优化算法。
4. 遗传算法遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的优化算法。
在遗传算法中，通过适应度评价、选择、交叉和变异等操作，逐步搜索解空间，最终找到最优解。
Matlab 提供了一个遗传算法优化工具箱，可以方便地实现遗传算法。
5. 粒子群优化算法粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法。
在粒子群优化算法中，通过模拟粒子在解空间中的运动，寻找最优解。
Matlab提供了一个粒子群优化工具箱，可以方便地实现粒子群优化算法。
6. 约束优化算法约束优化是指在给定约束条件下求解最优解的问题。
在实际应用中，约束优化经常被用于解决一些复杂的问题，例如最小化函数、最大化函数、多目标优化等。
Matlab(R2009a版)_MATLAB简述课件
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命令文件和函数文件的区别
➢命令文件没有输入参数，也不返回输出参数；函 数文件可以带输入参数，也可以返回输出参数。
➢命令文件对工作空间中的变量进行操作，文件中 所有命令的执行结果也返回工作空间中；函数文 件中定义的变量为局部变量，当函数文件执行完 毕时，这些变量也被清除。
➢在调用函数时，MATLAB用两个永久变量nargin和 nargout分别记录调用该函数时的输入实参和输出 实参的个数。只要在函数文件中包含这两个变量， 就可以准确地知道该函数文件被调用时的输入输出 参数个数，从而决定函数如何进行处理。
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代数方程求解
solve(f,v)：求方程关于指定自变量的解，f 可以是用字符串表示的方程、符号表达式或符号 方程； solve 也可解方程组(包含非线性)； 得不到解析解时，给出数值解。
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符号计算
syms x y z %建立符号变量 [x,y,z]=solve(2*x+3*y-z-2,8*x+2*y+3*z-
(t + y)/(b + y) + (b^2*t - 4*a*c)^(1/2)
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>> f2=subs(f1,b,y) f2 =
(t + y)/(2*y) + (t*y^2 - 4*a*c)^(1/2) >> f3=subs(f2,t,2) f3 =
(y + 2)/(2*y) + (2*y^2 - 4*a*c)^(1/2) >> f4=subs(f3,y,3) f4 =
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2019/2/16 1
课程主要内容
• • • • • • • • • • 第1章 MATLAB简介 第2章 数值运算 第3章 单元数组和结构 计 第8章 计算方法的MATLAB实现 第9章 优化设计 第10章 SIMULINK仿真初探
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• 对角变换
• U=diag(x)返回矩阵x主对角线上的元素，返回结 果是一列向量形式； • U=diag(x,k)返回第k条对角线上的元素值。 • 当x为向量时生成矩阵。
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程序实例
• >> a=[12 -3 3;-18 3 -1;1 1 1]; • >> diag(a) • ans = • • • 12 3 1
12x1 3x2 3x3 15 18x1 3x2 x3 15 x x x 6 1 2 3
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程序实例
• • • • • • • • • • • • >> a=[12 -3 3;-18 3 -1;1 1 1]; >> b=[15;-15;6]; >> x1=a\b x1 = 1.0000 2.0000 3.0000 >> x2=inv(a)*b x2 = 1 2 3
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程序实例
• >> a=[12 -3 3;-18 3 -1;1 1 1]; • >> tril(a) • ans = • • • 12 0 0 -18 3 0 1 1 1
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程序实例
• • • • • • • • • • >> tril(a,1) ans = 12 -3 0 -18 3 -1 1 1 1 >> tril(a,-1) ans = 0 0 0 -18 0 0 1 1 0
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第8章 计算方法的MATLAB实现
• 随着计算机的迅速发展与广泛运用，在众多的领 域，科学计算方法的应用越来越广泛了，而 MATLAB在进行科学计算方面有着无与伦比的优 势。本章介绍MATLAB在计算方法中的运用。
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8.1 方程求根
• • • • roots见多项式求根；roots(多项式系数矩阵) fzero可求解非线性方程，它的格式为： fzero(‘function’,x0) 其中function为求解的方程，x0为估计的根，x0可 为标量或长度为2的向量，为向量时函数的两端的 值应该符号相反，此时求区间上的解。只能求解 x0附近的一个解。即使在某个区间内有多个解， 但是区间端点符号相同的话仍然出错。
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8.2.1 直接解法
• 关于线性方程组的直接解法有许多种，比如Gauss 消去法、列主元消去法、平方根法等。而在 MATLAB中，线性方程组的直接解法只需用符号 “/”或“\”就解决问题。还可以使用逆阵函数来求 解： x=inv(A)*B。
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程序实例
• 求解下列方程组
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程序实例
• • • • • • • • • >> fzero('x^2-3*x+2',0) ans = 1.0000 >> fzero('x^2-3*x+2',3) ans = 2.0000 >> fzero('x^2-3*x+2',[0,4]) ??? Error using ==> fzero The function values at the interval endpoints must differ in sign.
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程序实例
• >> a=[12 -3 3;-18 3 -1;1 1 1]; • >> diag(a,1) • ans = • -3 • -1 • >> diag(a,-1)
• ans = • -18 • 1
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8.2.3 迭代解法
• 迭代解法非常适用于求解大型稀疏系数矩阵的方 程组，在线性方程组常用的迭代解法主要有Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel迭代法。
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程序实例
• • • • • • • • • • >> triu(a,1) ans = 0 -3 3 0 0 -1 0 0 0 >> triu(a,-1) ans = 12 -3 3 -18 3 -1 0 1 1
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• 下三角变换
• U=tril(x)返回矩阵x的下三角部分； • U=tril(x,k)返回第k条对角线以上下部分的元素。
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程序实例
• • • • • • • • • >> fzero('x^3-3*x-1',2) ans = 1.8794 >> fzero('x^3-3*x-1',[1,4]) ans = 1.8794 >> fzero('x^3-3*x-1',[2,4]) ??? Error using ==> fzero The function values at the interval endpoints must differ in sign.
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8.2.2 线性方程组求解中的变换
• 上三角变换
• U=triu(x)返回矩阵x的上三角部分； • U=triu(x,k)返回第k条对角线以上部分的元素。
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程序实例
• >> a=[12 -3 3;-18 3 -1;1 1 1]; • >> triu(a) • ans = • • • 12 0 0 -3 3 3 -1 0 1
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8.2 线性方程组数值解法
• 线性方程组的求解不仅在工程技术领域涉及到， 而且在其他的许多领域也经常碰到，因此这是一 个应用相当广泛的课题。 • 关于线性方程组的数值解法一般分为两类：一类 是直接法，就是在没有舍入误差的情况下，通过 有限步四则运算求得方程组准确解的方法。另一 类是迭代法，就是先给定一个解的初始值，然后 按一定的法则逐步求出解的各个更准确的近似值 的方法。