波函数和薛定谔方程
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2、测量物理量x及其几率可以由波函数求出
如 t时刻，x (3,3.5)找到粒子的几率W
3.5
2
W
(x, y, z,t) dxdydz
3
• 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现?
源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理：
在空间某点p处，t时刻的波的振幅有前一时刻
波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波
第二章 波函数与薛定谔方程
•2.1波函数的统计解释 •2.2 态迭加原理 •2.3 薛定谔方程 •2.4 定态薛定谔方程 •2.5 一维无限深势阱 •2.6 线性谐振子 •2.7 势垒贯穿（隧道效应）
§2.1波函数的统计解释
• 一、波函数
• 1、平面波是描述具有确定能量（ν）和
动量（λ）的粒子的波函数：
同一状态，不影响归一化，ei 称为相因子
4，自由粒子波函数不可归一化
例：
p (r,t)
Ae i
(
pr
Et
)
而
p
2
d
§2.2 态迭加原理
波粒二象性
波函数的统计解释 态迭加原理
一、量子力学的基本原理之一
态迭加原理
1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种 可能值以一定几率出现，如
x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20%
2 c11 c22 2 c11 c22 c1 1 c22
c11c1 1 c11c22 c22c1 1 c22c22
c1 1
2
c2 2
2 c1c212
c1 c21 2
6、态迭加原理的一般形式 当 1, 2 ,n 为体系的可能状态时，他们的
线性迭加 c11 c22 cnn cnn
而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包
的形式，即为许多单色平面波的叠加。
1
(r,t) ＝ (2)3/2
(p )ei(p rE)t/d3p
(5)
式中： E p 2 ，不难证明
2m
i
t
(2 1)3/2
(p )Ei(p e r E)/td3p
2 2 (2 1 )3/2 (p )p 2ei(p r E)/td3p
也是体系的一个可能状态。当体系处n 于 态时，
体系部分的处于 1, 2 ,n 态之中
§2.3 薛定谔方程
经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由牛 顿运动方程求出
量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。
实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定， 并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确 性，归根结底，只能靠实验来检验
下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是
E p2 2m
(1)
m的是波粒的子角质频量率，按照和德波布矢罗意k关（系k ， 2与 粒）子，运由动下相式联给系出
E
，
k
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
的各种性质，测量其他物理量的可能值，
及取这些值的几率
三、波函数的归一化
• 1、以波函数(x, y, z, t) 描写粒子的状态，
t时刻（x,y,z）位置波函数强度
以dw(x,y,z,t)表示在（x x+dx,y y+dy,z • dz )位置找到粒子的几率
由波函数的统计解释：
dw(x, y, z,t) c (x, y, z,t) 2 d
T时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几 率密度
w(x, y, z,t) dw(x, y, z,t) c (x, y, z,t) 2
d
2、波函数的归一化
c (x, y, z,t) 2 d 1
c
1
2 d
c ：成为归一化常数，
令 c则w 2
例：给定(x) 1 cos 2x
2a
或者说，与具有一定能量E和动量 的粒子相联
系(的r是,t平)～面单e i色(k 波r 。t) e i(p r E )/ t
(3)
由(3)式可得
i E
i t p
22p 2
利用(1)式，可以得出
(i22)(Ep2)
t 2m
2m
即： i(r,t)22(r,t)
(4)
t
2m
注意：方程(4)中 (r,t)是一个单色平面波。
将其归一化
x (0, a)
解:令以归一化波函数为 (x),设(x) c(x)
• 归一化：
(x) 2dx 1 c 2 a cos2 2x dx
40
a
1 c 2
a 1 cos
4x
a dx
1
c
2
a
1
40 2
42
解得：c 2
8 a
c2
2 a
3、任意相因子
一般(x, y, z,t)为复函数，ei 与描写
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻 粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必 须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
一、薛定谔方程的引入
下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调 的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其 地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
Ae •
ψ(r, t)
i
(
pr
Et
)
它描写当粒子不受外力F
(r, t )作用，因而E ,
P不变的
自由粒子运动。
2、一 般F≠0,在外力场中，势能
V (r ,t),
(r , t)满足薛定谔方程和边界条件称为
波函数
二、波函数的物理意义—统计解释
• 1、经典波表示 y(x,t
•2、量子力学的波函数
∴
( i t 2 m 2 2 ) (2 1 )3 /2 (p ) (E p 2 /2 m ) e i(p r E )/ d t3 p
的干涉，若 y1为一列波，y2为一列波，则 y y1 y2 也是一个可能的波动状态
4、态迭加原理
如果 1和 2是体系的可能状态，则它们的线性
迭加 1 2 也是这个体系的一个可能状态，
而且当粒子处于 1 和 2 的线性迭加态时，粒
子是既处于 1 态，也处于 2 态
5、状态迭加——干涉项
一般，为复函数，如1 10ei1 , 2 20ei2
), E((rr,,tt)),不P(表r ,示t) 任何具体物
理量 3、
(r ,
t)
2表示在时刻t位置
r 附近单位体积
内发现粒子的几率（probalitily),及t时刻在 r
附近发现粒子的几率密度
4态、）波，函数表(示不r,微仅t)观可体以系告的诉量我子们态在（状态(r、, t)
位置测量出粒子的几率，还可以描写体系
如 t时刻，x (3,3.5)找到粒子的几率W
3.5
2
W
(x, y, z,t) dxdydz
3
• 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现?
源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理：
在空间某点p处，t时刻的波的振幅有前一时刻
波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波
第二章 波函数与薛定谔方程
•2.1波函数的统计解释 •2.2 态迭加原理 •2.3 薛定谔方程 •2.4 定态薛定谔方程 •2.5 一维无限深势阱 •2.6 线性谐振子 •2.7 势垒贯穿（隧道效应）
§2.1波函数的统计解释
• 一、波函数
• 1、平面波是描述具有确定能量（ν）和
动量（λ）的粒子的波函数：
同一状态，不影响归一化，ei 称为相因子
4，自由粒子波函数不可归一化
例：
p (r,t)
Ae i
(
pr
Et
)
而
p
2
d
§2.2 态迭加原理
波粒二象性
波函数的统计解释 态迭加原理
一、量子力学的基本原理之一
态迭加原理
1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种 可能值以一定几率出现，如
x 2-2.5 3-3.5 4-4.5 5-5.5 w 10% 20% 40% 20%
2 c11 c22 2 c11 c22 c1 1 c22
c11c1 1 c11c22 c22c1 1 c22c22
c1 1
2
c2 2
2 c1c212
c1 c21 2
6、态迭加原理的一般形式 当 1, 2 ,n 为体系的可能状态时，他们的
线性迭加 c11 c22 cnn cnn
而描述自由粒子的一般状态的波函数，具有波包
的形式，即为许多单色平面波的叠加。
1
(r,t) ＝ (2)3/2
(p )ei(p rE)t/d3p
(5)
式中： E p 2 ，不难证明
2m
i
t
(2 1)3/2
(p )Ei(p e r E)/td3p
2 2 (2 1 )3/2 (p )p 2ei(p r E)/td3p
也是体系的一个可能状态。当体系处n 于 态时，
体系部分的处于 1, 2 ,n 态之中
§2.3 薛定谔方程
经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由牛 顿运动方程求出
量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律
1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。
实际上应该认为它是量子力学的一个基本假定， 并不能从什么更根本的假定来证明它。它的正确 性，归根结底，只能靠实验来检验
下面，首先讨论自由粒子，其能量与动量的关系是
E p2 2m
(1)
m的是波粒的子角质频量率，按照和德波布矢罗意k关（系k ， 2与 粒）子，运由动下相式联给系出
E
，
k
ห้องสมุดไป่ตู้
(2)
的各种性质，测量其他物理量的可能值，
及取这些值的几率
三、波函数的归一化
• 1、以波函数(x, y, z, t) 描写粒子的状态，
t时刻（x,y,z）位置波函数强度
以dw(x,y,z,t)表示在（x x+dx,y y+dy,z • dz )位置找到粒子的几率
由波函数的统计解释：
dw(x, y, z,t) c (x, y, z,t) 2 d
T时刻在(x,y,z)点附近单位体积内找到粒子的几 率密度
w(x, y, z,t) dw(x, y, z,t) c (x, y, z,t) 2
d
2、波函数的归一化
c (x, y, z,t) 2 d 1
c
1
2 d
c ：成为归一化常数，
令 c则w 2
例：给定(x) 1 cos 2x
2a
或者说，与具有一定能量E和动量 的粒子相联
系(的r是,t平)～面单e i色(k 波r 。t) e i(p r E )/ t
(3)
由(3)式可得
i E
i t p
22p 2
利用(1)式，可以得出
(i22)(Ep2)
t 2m
2m
即： i(r,t)22(r,t)
(4)
t
2m
注意：方程(4)中 (r,t)是一个单色平面波。
将其归一化
x (0, a)
解:令以归一化波函数为 (x),设(x) c(x)
• 归一化：
(x) 2dx 1 c 2 a cos2 2x dx
40
a
1 c 2
a 1 cos
4x
a dx
1
c
2
a
1
40 2
42
解得：c 2
8 a
c2
2 a
3、任意相因子
一般(x, y, z,t)为复函数，ei 与描写
当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻 粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。
所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必 须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
一、薛定谔方程的引入
下面用一个简单的办法来引进这个方程。应强调 的是：薛定谔方程是量子力学最基本的方程，其 地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当。
Ae •
ψ(r, t)
i
(
pr
Et
)
它描写当粒子不受外力F
(r, t )作用，因而E ,
P不变的
自由粒子运动。
2、一 般F≠0,在外力场中，势能
V (r ,t),
(r , t)满足薛定谔方程和边界条件称为
波函数
二、波函数的物理意义—统计解释
• 1、经典波表示 y(x,t
•2、量子力学的波函数
∴
( i t 2 m 2 2 ) (2 1 )3 /2 (p ) (E p 2 /2 m ) e i(p r E )/ d t3 p
的干涉，若 y1为一列波，y2为一列波，则 y y1 y2 也是一个可能的波动状态
4、态迭加原理
如果 1和 2是体系的可能状态，则它们的线性
迭加 1 2 也是这个体系的一个可能状态，
而且当粒子处于 1 和 2 的线性迭加态时，粒
子是既处于 1 态，也处于 2 态
5、状态迭加——干涉项
一般，为复函数，如1 10ei1 , 2 20ei2
), E((rr,,tt)),不P(表r ,示t) 任何具体物
理量 3、
(r ,
t)
2表示在时刻t位置
r 附近单位体积
内发现粒子的几率（probalitily),及t时刻在 r
附近发现粒子的几率密度
4态、）波，函数表(示不r,微仅t)观可体以系告的诉量我子们态在（状态(r、, t)
位置测量出粒子的几率，还可以描写体系