第四章多姿多彩的几何图形4.3.3_余角和补角

62°23′
x
若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数。
解： 设这个角是x °，
则它的补角是（180-x）°,
余角是(90-x) °
由题意得：
（180-x）= 4 (90-x) x =60 答：这个角的度数是60 °
10
如图，已知AOB是一直线，OC是
∠ AOB的平分线， ∠ DOE是直角， 图中哪些角互余？哪些角互补？哪些
角相等？
C
D
E
4
3
1
2
O
A
B
11
由题意得：
90-x=2 x x=30 答：∠ 的度数为30度。
12
（2）如果∠1的补角是∠1的3倍，求∠1的度数。
解：设∠1的度数为x度， ∠1的补角（180-x）度。 由题意得： 180-x=3x
-4x=-180
x=45 答:∠1为45°.
13
14
已知:两个角互为补角，它们的差
余角等于 62°12’
7
图中给出的各角，那些互为补角？
10
o
30o
60
o
80o
100o
120
o
150
o
170
o
8
我来试一试：
∠α
5° 32°
∠α的余角
85° 58° 45° 13° 27°37′ (90 x)
∠α的补角
175° 148° 135° 103° 117°37′ (180 x)
∠2+∠3=90°，那么
╳ ∠1、∠2、∠3互为余角（ ）
28
如图，两直线相交形成的四个角中 ∠1=30°，那么∠2、∠3和∠4各等于 多少度?
解: ∵ ∠1 与∠2互补， ∠1=30°
∴ ∠2=180°-∠1=180°-30°=150°(互补的定义)
∴ ∠3=∠1=30°
(对顶角相等)
东
东
40
如图，射线OA表示北偏东32°方
则∠AOB等于
向线，射线OB表示南偏东43°方向线，
41
乙地对甲地的方位角 乙地
甲地
1. 先找出中心点,然后画出方向指标
42
乙地对甲地的方位角 乙地
甲地
2. 把中心点和目的地用线连接起來
43
乙地对甲地的方位角 乙地
北
甲地
3.度量向北的射线和蓝色线之间的角度
D
解： ∵ ∠1+ ∠BOC = 90 ° ∠2+ ∠BOC = 90°
∴ ∠1 = 90 °－ ∠BOC
∠2 = 90 ° － ∠BOC
∴ ∠1 = ∠2
21
如图，∠1与∠2互余，∠3与∠4互余，
如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？
2
1
4
3
22
两个角的和等于180°（平角），
就说这两个角互为补角，简称互补。 如果∠1+∠2=180°，那么∠1与∠2互为补角
25
两直线相交形成了∠1、∠2、∠3和∠4 ,
其中的∠1和∠3叫做对顶角，
∠2和∠4也是对顶角.
26
如图，∠1与∠2互补，∠3与∠4互补，
如果∠1=∠3，那么∠2与∠4相等吗？
1
2
4
3
27
判断：（正确的打“√”，错误的打“╳”。） ①一个角的余角一定是锐角（ √ ）
╳
②一个角的补角一定是钝角（
能说∠1 、∠2、∠3 互余（互补）吗？
不能，互余或互补是两个角之间的数量关系。
4
（错） 互为余角只是对两个角而言的。
（对）
互为余角仅仅表明了两个角的数量关系，
而与角的位置关系无关。
1、已知：∠1+∠2=90°，
⑴∠1与∠2互为 余角 ； ⑵∠1的余角是 ∠2 ；
⑶∠2的余角是 ∠1
；
2 、已知∠1＝27°48’，则它的
西 C
60 °
正北：
西北方向：射线OE 西南方向：射线OF
F
G
25°
G
H
B 南
东南方向：射线OG
东北方向：射线OH
用角度表示方向：一般以正北、
正南为基准，用向东或向西旋转的 角度表示方向，如图所示，OA方向
可表示为 北偏西60°
顶点是中心点
方位角的特征
边:一边是南(北)线, 另一边是视线
如图，下列说法中错误的是（ D ）
3
提问答疑，理解定义
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
如果1与2互余，那么1的余角是2 ，
同样2的余角是1 ； 如果1与2互补，那么1的补角是2 ， 同样2的补角是1。
（2）互余、互补的两角是否一定有公共顶点或公共边？
两角互余或互补，只与角的度数有关，与位置无关。
（3）若∠1 + ∠2 + ∠3 = 90°（180°）,
2
1
思考：如何画一个已知∠BOC的补角？
C O B
24
C
如图，∠1与∠BOC 的补角， ∠2是∠BOC 的补角。
A
1
O 2 B
那么∠1与∠2相等吗?
D
解： ∠1与∠2相等。
∵ ∠1+ ∠BOC = 180 °
∠2+ ∠BOC = 180 °
同角的 补角相等
∴ ∠1=180 °－ ∠BOC
∠2= 180 ° －∠BOC ∴ ∠1 = ∠2
∠4=∠2 =150° (对顶角相等)
答: ∠2等于 150°, ∠3等于 30°, ∠4等于 150° .
29
互为余角
互为补角
对顶角
1
对应图形
数量关系
1
2
4
2
2
1
3
∠1+ ∠2 = 90° ∠1+ ∠2 = 180°
∠1= ∠3
∠2= ∠4
性
质
同角（或等角） 同角（或等角） 的余角相等。 的补角相等。 对顶角相等
西
东
南
射线OB的方向就是北偏东40°，
即客轮B所在的方向. 射线OC的方向就是南偏西10°，
即货轮C所在的方向. 射线OD的方向就是北偏西45° 即海岛D所在的方向.
西
北 ●
●
D
45°40°
●
B
O 60°
东
C
●
10°
南
●
A
同角或等角的补角相等
1.余角和补角的性质
同角或等角的余角相等
方位角的表示
2.方位角
方位角的特征
顶点是观测点
一边是南(北)线,另一边是视线
树叶洒下的泪滴既已落下，何须再弯
腰拾起；与其肩负苦涩的回忆，不如走向
明天，沐浴春雨.
30
猜谜语： （打一数学概念）
谜底：对顶角
31
• 1.一个角的补角是它的3倍， 这个角是多少度？
1. ∠1=120 °, ∠1与∠2互补, ∠3与∠2互余, 则∠3= 30 ° . 2.如图所示：点O为直线AB上的一点， OD平分∠AOB， ∠COE = 90 ° 则∠BOC = ∠DOE ， ∠COD = ∠AOE 。
你知道表示方向的一个成语吗? “四面”—东、南、西、北
“八方”--东、南、西、北和
东北、东南、西北、西南
如果我们在屏幕的O点位置上，
你能说出O点的四面八方么？
西北 北 东北
西
O
东 东南
西南
南
D
北
30 °
正东：
射线OA 射线OB 射线OC 射线OD
E
正南：
H 东 A
E
F
75 °
45°
O
45°
正西：
一张长方形纸片，沿
1
一个角折叠后，折痕与长 方形的边形成了几个角？
2
4 3
∠1与∠2有什么数量关系？
∠1+∠2=90° ∠3与∠4又有什么数量关系？
∠3+∠4=180°
2
2
1 4 3
如果两个角的和为90° (直角)，那么 称这两个角 互为余角 ，简称“互余”。
如果两个角的和为180°(平角)，那么 称这两个角 互为补角，简称“互补”。
44
45
说出B在A的 北偏东40°
那么A在B的 南偏西40°
北
● ●
B B
西
B
●
40° 40° 70°
●
A
65°
●B
东
●
B
南
46
如图.货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它 南偏东60°的方向上,同时,在它北偏东40°, 南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分 别发现了客轮B,货轮C和海岛D.仿照表示灯塔 方位的方法画出表示客轮B,货轮C和海岛D方向 北 的射线.
为30 °
求:这两个角的度数。
15
探究:余角和补角的性质
2
1
画出∠COB的余角
A C
O
B
D
19
∠1与∠COB互余， ∠ 2与∠COB互余
A C 1 O 2 D B
根据图形:
⑴猜一猜: ∠1 与∠2相等吗？
同角的余角相等。
20
A
1 O 2
C
如图，∠1与∠COB互余，
∠ 2与∠COB互余
B
则∠1与∠2相等。
A.OD的方向是北偏东30°
B.OC的方向是南偏东60°
C.OB的方向是西南方向
A
北 D
D.OA的方向是北偏西60°
B
60° 45° O
60° 30°
C
3、A看B的方向是北偏东30°， 那么B看A的方向是（ （A）南偏东60° ）