过一点求曲线的切线方程的三种类型教学内容
函数图像的切线问题(可编辑修改word版)
0 0 0 00 0 0 0 0 0 x = x 0 0 0 0x 1函数图像的切线问题要点梳理归纳1. 求曲线 y ＝f(x)的切线方程的三种类型及其方法(1) 已知切点 P(x 0，f(x 0))，求 y ＝f(x)在点 P 处的切线方程：切线方程为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0).(2) 已知切线的斜率为 k ，求 y ＝f(x)的切线方程：设切点为 P(x 0，y 0)，通过方程 k ＝f′(x 0)解得 x 0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)A(s,t)，求 y ＝f(x)的切线方程：设切点为 P(x 0，y 0)，利用导数将切线方程表示为 y －f(x 0)＝f′(x 0)(x －x 0)，再将A(s,t)代入求出 x 0.2. 两个函数图像的公切线函数 y=f(x)与函数 y=g(x) 存在公切线， 若切点为同一点 P(x 0，y 0)，则有 Error!若切点分别为(x ,f(x )),(x ,g(x )),则有 f '(x ) = g '(x ) =f (x 1 ) -g (x 2 ) .1 12 2题型分类解析1 2- x题型一已知切线经过的点求切线方程例 1.求过点 P (2, 2) 与已知曲线 S : y = 3x - x 3 相切的切线方程. 解：点 P 不在曲线 S 上.设切点的坐标( x , y ) ，则 y = 3x - x 3，函数的导数为 y ' = 3 - 3x 2 ， 切线的斜率为k = y '= 3 - 3x 2 ，∴切线方程为y - y = (3 - 3x 2 )( x - x ) ， 0点 P (2, 2) 在切线上，∴2 - y = (3 - 3x 2 )(2 - x ) ，又 y = 3x - x 3 ，二者联立可得 x 0 = 1,或x 0 = 1 ± 3, 相应的斜率为k = 0 或k = -9 ± 6 32⎩ ⎨2 2 0∴切线方程为 y = 2 或 y = (-9 ± 6 3)( x - 2) + 2 .例 2. 设函数 f ( x ) = g ( x ) + x 2 ，曲线 y = g ( x ) 在点(1, g (1))处的切线方程为 y = 2x + 1，则曲线 y = f ( x ) 在点(1, f (1))处的切线方程为解析： 由切线过 (1, g (1))可得： g (1) = 3 ， 所以 f (1) = g (1) + 12 = 4 ， 另一方面，g ' (1) = 2 ， 且f ' ( x ) =g ' ( x ) + 2x ， 所以 f ' (1) = g ' (1) + 2 = 4 ， 从而切线方程为：y - 4 = 4( x - 1) ⇒ y = 4x例 3. 已知直线 y = kx +1与曲线 y = x 3 + ax + b 切于点(1, 3) ，则b 的值为解析：代入(1, 3) 可得： k = 2 ， f ' ( x ) = 3x 2 + a ，⎧⎪ f (1) = a + b + 1 = 3⎧a = -1 所以有⎨⎪ f ' (1) = 3 + a = 2 ，解得 ⎩b = 3题型二已知切线方程（或斜率），求切点坐标（或方程、参数）例 4.已知函数 f ( x ) = ln x + 2x ，则：（1） 在曲线 f ( x ) 上是否存在一点，在该点处的切线与直线4x - y - 2 = 0 平行 （2） 在曲线 f ( x ) 上是否存在一点，在该点处的切线与直线 x - y - 3 = 0 垂直解：设切点坐标为( x 0, y 0 ) ∴ f '(x ) = 1+ 2 x 0由切线与4x - y - 2 = 0 平行可得：f ' ( x ) = 1 + 2 = 4 ⇒ x = 1∴ y = f ⎛ 1 ⎫= ln 1 + 1 00 ⎪⎝ ⎭ 2∴切线方程为： y - 1 + ln 2 = 4 ⎛ x - 1 ⎫⇒ y = 4x - ln 2 - 12 ⎪ ⎝ ⎭0 x⎩（2）设切点坐标( x 0, y 0 ) ∴ f '(x ) = 1 x 0+ 2 ，直线 x - y - 3 = 0 的斜率为1∴ f '( x ) =1x 0 + 2 = -1 ⇒ x 0 = - 13 而 x 0 ∈(0, +∞)∴ x 0= - 1不在定义域中，舍去 3∴不存在一点，使得该点处的切线与直线 x - y - 3 = 0 垂直例 5.函数 f ( x ) = a ln x - bx 2 上一点 P (2, f (2))处的切线方程为 y = -3x + 2 ln 2 + 2 ，求a , b 的值思路：本题中求a , b 的值，考虑寻找两个等量条件进行求解， P 在直线y = -3x + 2 l n 2 + 2 上，∴ y = -3⋅ 2 + 2 l n 2 + 2 = 2 l n 2 - 4 ，即 f (2) =2ln2 - 4 ，得到a , b 的一个等量关系，在从切线斜率中得到 x = 2 的导数值，进而得到a , b 的另一个等量关系，从而求出a , b解： P 在 y = -3x + 2 ln 2 + 2 上，∴ f (2) = -3⋅ 2 + 2 ln 2 + 2 = 2 ln 2 - 4∴ f (2) = a ln 2 - 4b = 2 ln 2 - 4又因为 P 处的切线斜率为-3af ' ( x ) = a - 2bx x⎧a ln 2 - 4b = 2 ln 2 - 4 ⎧a = 2 ∴ f ' (2) = - 4b = -3 , 2 ⎪⎨ a ⎪⎩ 2- 4b = -3 ⇒ ⎨b = 1例 6.设函数 f ( x ) = x 3 - ax 2 - 9x - 1(a < 0) ，若曲线 y = 线12x + y = 6 平行，求a 的值f ( x ) 的斜率最小的切线与直思路：切线斜率最小值即为导函数的最小值，已知直线的斜率为-12 ，进而可得导函数的0 0 ∴⎪ -最小值为-12 ，便可求出a 的值解： f ' ( x ) = 3x 2- 2ax - 9 = 3⎛x 2- ⎝2 a + 13 9 a 2 ⎫ - ⎭ 1a 2 - 9 = 3⎛ x - 3 ⎝1 ⎫2 a ⎪3 ⎭- 1 a 2 - 93∴ f ' ( x ) = f ⎛ 1 a ⎫= - 1 a 2 - 9 直线12x + y = 6 的斜率为-12 ，依题意可得：min3 ⎪ 3⎝ ⎭- 1a 2 - 9 = -12 ⇒ a = ±3 3 题型三公切线问题a < 0 ∴a = -3 例 7.若存在过点(1,0)的直线与曲线 y = x 3 和 y = ax 2 +15x - 9 都相切,则a 等于( )4A. -1 或-2521 B. 1 或C. - 7 或-25 D. - 7或76444 644思路：本题两条曲线上的切点均不知道，且曲线 y = ax 2 +15 x - 9 含有参数，所以考虑4先 从 常 系 数 的 曲 线 y = x 3 入 手 求 出 切 线 方 程 ， 再 考 虑 在 利 用 切 线 与 曲 线y = ax 2 + 15 x - 9 求出 a 的值.设过(1,0) 的直线与曲线 y = x 3 切于点(x , x 3 ),切线方4程为 y - x 3= 3x 2( x - x 0 0) ，即 y = 3x 2 x - 2x 3 ，因为(1,0) 在切线上，所以解得： x = 00 0 0或 x = 3， 即 切 点 坐 标 为 (0,0) 或⎛ 3 , 27 ⎫ .当 切 点(0,0) 时 ， 由 y = 0 与22 8 ⎪y = ax 2 + 15x - 9 相切可得4⎛ 15 ⎫2⎝ ⎭25 ⎛ 3 27 ⎫∆ = 4 ⎪ - 4a (-9) = 0 ⇒ a = - 64 ，同理，切点为 , ⎪ 解得a = -1⎝ ⎭ ⎝ 2 8 ⎭答案：A小炼有话说：（1）涉及到多个函数公切线的问题时，这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手，将切线求出来，再考虑切线与其他函数的关系 （2）在利用切线与 y = ax 2 +15 x - 9 求a 的过程中，由于曲线 y = ax 2 +15 x - 9 为抛物44线，所以并没有利用导数的手段处理，而是使用解析几何的方法，切线即联立方程后的∆ = 0 来求解，减少了运算量.通过例 7，例 8 可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面，求有关导数的问题时可以用到解析的思想，而有些在解析中涉及到切线问题时，若曲线可写成函数的形式，那么也可以用导数来进行处理，（尤其是抛物线） 例 8.若曲线C ：y = x 2 与曲线C ：y = ae x 存在公切线，则a 的最值情况为（）18A. 最大值为e 224B. 最大值为e 28C. 最小值为e 24D.最小值为 e2⎧⎪ y '= 2x解析：设公切线与曲线C 切于点(x , x 2)，与曲线C 切于点(x , ae x 2) ，由⎨ 可得：1 1 12 2⎧ 2x - x 2⎪⎩ y ' = ae xae x 2- x 2⎪2x = 1 1 ⇒ x = 2x - 2 2x = ae x 2 = 1 ，所以有⎨ 1 x - x 1 2 ，所以 ae x 2 = 4x - 4 ， 1x - x 2 1 2 2 1 ⎪2x = ae x 2⎩ 1即 a =4( x 2 - 1) ，设 f ( x ) =4( x -1) ，则 f '( x ) =4(2 - x ) .可知 f ( x ) 在(1, 2) 单调递e x 2e xe x增，在(2, +∞) 单调递减，所以 a max = f (2) = 4e2题型四切线方程的应用例 9.已知直线 y = kx 与曲线 y = ln x 有公共点，则k 的最大值为 . 解：根据题意画出右图，由图可知，当直线和曲线相切时， k 取得最大值.设切点坐标为( x 0, y 0 ) ，则 y 0 = ln x 0， y ' = 1 x y ' x = x 0= 1，∴切线方程为 x 0y - ln x = 1( x - x ) ， 原点在切线上，∴ln x = 1， x = e ∴斜率的最大值为0 0 01 .e例 10.曲线 y = e x 在点(2, e 2 )处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A. e 2B. 2e 2C. 4e 2D. e 2思路： f' ( x ) = e x由图像可得三角形的面积可用切线的横纵截距计算，进而先利用求出切线方程 ∴ f ' (2) = e 2 所以切线方程为： y - e 2 = e 2 ( x - 2) 即e 2 x - y - e 2 = 0 ，2与两坐标轴的交点坐标为(1, 0) (0, -e 2)∴ S = 1⨯1⨯ e 2= e2 2例 11.一点 P 在曲线 y = x 3 - x + 2上移动，设点 P 处切线的倾斜角为，则角的取值3范围是( )．0 2O526104826x^24a5l2ae^xx^2 a2 ae^x5542x 2⎨0 0 0 0 0 0 00 00 0 00 00 0 0 0 00 0 0A. ⎡0,⎤B. ⎡0,⎫ ⎡ 3,⎫C.⎡ 3,⎫D. ⎛3⎤⎢ 2 ⎥ ⎢ 2 ⎪ ⎢ 4⎪ ⎢ 4 ⎪ ,⎥⎣ ⎦⎣ ⎭ ⎣ ⎭⎣ ⎭⎝ 2 4 ⎦思路：倾斜角的正切值即为切线的斜率，进而与导数联系起来. y ' = 3x 2 - 1 ，对于曲线上任意一点 P ，斜率的范围即为导函数的值域： y ' =3x 2 - 1∈[-1, +∞) ，所以倾斜角的范围 是⎡0,⎫ ⎡ 3,⎫.答案：B ⎣⎢ 2 ⎪ ⎢ 4⎪ ⎭ ⎣ ⎭例 12.已知函数 f ( x ) = 2x 3 - 3x ，若过点 P (1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y = 求t 的取值范围f ( x ) 相切， 思路：由于并不知道 3 条切线中是否存在以 P 为切点的切线，所以考虑先设切点( x 0 , y 0 ) ，切线斜率为k ，则满足 ⎧⎪ y = 2x 3 - 3x ，所以切线方程为 y - y = k ( x - x ) ，即⎪k = f ' ( x ) = 6x 2 - 3 0 0 ⎩0 0 y - (2x 3 - 3x ) = (6x 2- 3)( x - x ) ，代入 P (1, t ) 化简可得： t = -4x 3 + 6x 2 - 3 ，所以 若 存 在 3 条 切 线 ， 则 等 价 于 方 程 t = -4x 3 + 6x 2 - 3 有 三 个 解 ， 即g ( x ) = -4x 3 + 6x 2 - 3 有三个不同交点，数形结合即可解决解：设切点坐标( x 0 , y 0 ) ，切线斜率为k ，则有：y = t 与⎧⎪ y ⎨ = 2x 3 - 3x ∴ 切线方程为： y - (2x 3 - 3x ) = (6x 2 - 3)( x - x ) ⎪k = f ' ( x ) = 6x 2 - 30 0 0 0 ⎩0 0 因为切线过 P (1, t ) ，所以将 P (1, t ) 代入直线方程可得：t - (2x 3 - 3x ) = (6x 2- 3)(1 - x )⇒ t = (6x 2 - 3)(1 - x ) + (2x 3 - 3x )= 6x 2 - 3 - 6x 3 + 3x + 2x 3 - 3x = -4x 3 + 6x 2 - 30 0 极大值 极小值 所以问题等价于方程t = -4x 3 + 6x 2 - 3 ，令 g ( x ) = -4x 3 + 6x 2 - 3 即直线 y = t 与 g ( x ) = -4x 3 + 6x 2 - 3 有三个不同交点g ' ( x ) = -12x 2 + 12x = -12x ( x - 1)令 g ' ( x ) > 0 解得0 < x < 1所以 g ( x ) 在(-∞, 0) , (1, +∞) 单调递减，在(0,1) 单调递增g ( x ) = g (1) = -1, g ( x ) = g (0) = -3所以若有三个交点，则t ∈ (-3, -1)所以当t ∈ (-3, -1) 时，过点 P (1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y =f ( x ) 相切例 13. 已知曲线 C:x 2=y ，P 为曲线 C 上横坐标为1 的点，过 P 作斜率为 k(k ≠0)的直线交 C于另一点 Q ，交 x 轴于 M ，过点 Q 且与 PQ 垂直的直线与 C 交于另一点 N ，问是否存在实数 k ， 使得直线 MN 与曲线 C 相切？若存在，求出 K 的值，若不存在，说明理由.思路： 本题描述的过程较多， 可以一步步的拆解分析.点 P (1,1) ， 则可求出PQ : y = kx - k + 1，从而与抛物线方程联立可解得Q (k - 1,(k - 1)2)，以及 M 点坐标，从而可写出QN 的方程，再与抛物线联立得到 N 点坐标.如果从 M , N 坐标入手得到 MN 方程，再根据相切(∆ = 0) 求 k ，方法可以但计算量较大.此时可以着眼于 N 为切点，考虑抛物线 x 2 = y 本身也可视为函数 y = x 2 ，从而可以 N 为入手点先求出切线，再利用切线过 M 代入 M 点坐标求k ，计算量会相对小些.解：由 P 在抛物线上，且 P 的横坐标为 1 可解得 P (1,1)∴设 PQ : y - 1 = k ( x - 1) 化简可得： y = kx - k + 1∴ M ⎛ k - 1,0⎫k⎪ ⎝⎭⎨ y = kx - k + 1⎪ ∴⎧ y = x 2 ⎩消去 y ： x 2 - kx + k - 1 = 0 ∴ x = 1, x = k - 1 ∴Q (k - 1,(k - 1)2)12设直线QN : y - (k - 1)2= - 1 ⎡⎣ x - (k - 1)⎤⎦ 即 y = (k - 1)2- 1⎡⎣ x - (k - 1)⎤⎦kk⎧ y = x 2∴ 联立方程： ⎨ y = (k - 1)2 - 1 ⎡ x - (k - 1)⎤ ⎩⎪ k ⎣ ⎦∴ x 2 + 1 x - (k - 1)⎛ k - 1 + 1 ⎫ = 0 k k ⎪⎝ ⎭∴ x ⋅ x = -(k - 1)⎛ k - 1 + 1 ⎫ ⇒ x= -⎛ k - 1 + 1 ⎫Q N k ⎪ N k ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎛ ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 ⎫2 ⎫ ∴ N - k - 1 + k ⎪, k - 1 + k ⎪ ⎪ ⎝ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎭由 y = x 2 可得： y ' = 2x∴切线 MN 的斜率k= y ' |= -2 ⎛k - 1 + 1 ⎫MNx = x Nk ⎪⎝ ⎭⎛ 1 ⎫2⎛1 ⎫ ⎡ ⎛ 1 ⎫⎤ ∴ MN : y - k - 1 + k ⎪ = -2 k - 1 + k ⎪ ⎢ x + k - 1 + k ⎪⎥⎝ ⎭ ⎝⎭ ⎣ ⎝ ⎭⎦⎛ 1 - k ⎫代入 M k ,0⎪ 得：⎝ ⎭⎛ 1 ⎫2⎛1 ⎫ ⎡ 1 ⎛1 ⎫⎤ - k - 1 + k ⎪ = -2 k - 1 + k ⎪ ⎢1 - k + k - 1 + k ⎪⎥⎝ ⎭ ⎝⎭ ⎣ ⎝ ⎭⎦∴k -1 +1= 2k ⇒k 2+k -1 = 0 ,∴k =-1 ±5 k 2小炼有话说：（1）如果曲线的方程可以视为一个函数（比如开口向上或向下的抛物线，椭圆双曲线的一部分），则处理切线问题时可以考虑使用导数的方法，在计算量上有时要比联立方程计算∆= 0 简便（2）本题在求N 点坐标时，并没有对方程进行因式分解，而是利用韦达定理，已知Q 的横坐标求出N 的横坐标.这种利用韦达定理求点坐标的方法在解析几何中常解决已知一交点求另一交点的问题.例14.设函数 f(x)＝x3＋2ax2＋bx＋a，g(x)＝x2－3x＋2，其中x∈R，a、b 为常数，已知曲线 y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线 l.(1)求a、b 的值，并写出切线 l 的方程；(2)若方程 f(x)＋g(x)＝mx 有三个互不相同的实根 0、x1、x2，其中 x1<x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立，求实数 m 的取值范围.【解答】(1)f′(x)＝3x2＋4ax＋b，g′(x)＝2x－3.由于曲线 y＝f(x)与y＝g(x)在点(2,0)处有相同的切线，故有 f(2)＝g(2)＝0，f′(2)＝g′(2)＝1.由此得Error!解得Error!所以 a＝－2，b＝5，切线 l 的方程为 x－y－2＝0.(2)由(1)得f(x)＝x3－4x2＋5x－2，所以 f(x)＋g(x)＝x3－3x2＋2x.依题意，方程 x(x2－3x＋2－m)＝0 有三个互不相同的实根 0、x1、x2，故x1、x2是方程 x2－3x＋2－m＝0 的两相异的实根．1所以Δ＝9－4(2－m)>0，即 m>－ .4又对任意的x∈[x1，x2]，f(x)＋g(x)<m(x－1)恒成立．特别地，取 x＝x1时，f(x1)＋g(x1)－mx1<－m 成立，得 m<0.由韦达定理，可得 x1＋x2＝3>0，x1x2＝2－m>0，故 0<x1<x2.对任意的x∈[x1，x2]，有 x－x2≤0，x－x1≥0，x>0，则 f(x)＋g(x)－mx＝x(x－x1)(x－x2)≤0，4 4 又 f(x 1)＋g(x 1)－mx 1＝0，所以函数 f(x)＋g(x)－mx 在 x∈[x 1，x 2]的最大值为 0.1 于是当－ <m<0 时，对任意的 x∈[x 1，x 2]，f(x)＋g(x)<m(x －1)恒成立． 4 1综上，m 的取值范围是(－ ，0).4 例 15.如图 3－1，有一正方形钢板 AB CD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线 OC 是以直线 AD 为对称轴，以线段 AD 的中点 O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来， 使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为 2 米，问如何画切割线 EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．解法一：以 O 为原点，直线 AD 为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧 OC 的方程为y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点 C 的坐标为(2,1)，1 ∴22a ＝1，a ＝ ， 4 1 故边缘线 OC 的方程为 y ＝ x 2(0≤x ≤2)， 4要使梯形 ABEF 的面积最大，则 EF 所在的直线必与抛物线1 弧 OC 相切，设切点坐标为 P (t ， t 2)(0<t <2)，4 1 1 t ∵y ′＝ x ，∴直线 EF 的方程可表示为 y － t 2＝ (x －t )， 2 4 21 1 1 1 即 y ＝ tx － t 2.由此可求得 E (2，t － t 2)，F (0，－ t 2).∴ 2 4 4 4 1 1|AF |＝|－ t 2－ －1 |＝1－ t 2，4 4 1 1 |BE |＝|t － t 2－ －1 |＝－ t 2＋t ＋1. 设梯形 ABEF 的面积为 S (t )，则 15 5 5 S (t )＝－ (t －1)2＋ ≤ ，∴当 t ＝1 时，S (t )＝ ，2 2 2 2故 S (t )的最大值为 2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75.答：当 AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为 2.5 m 2.解法二：以 A 为原点，直线 AD 为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y＝ax2＋1(0≤x≤2)．1∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a＋1＝2，a＝，41故边缘线OC 的方程为y＝x2＋1(0≤x≤2)．4要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P 1(t，t2＋1)(0<t<2)，41 1 1∵y′＝x，∴直线EF 的方程可表示为y－t2－1＝t(x－t)，2 4 21 1即y＝tx－t2＋1，2 41 1由此可求得E(2，t－t2＋1)，F(0，－t2＋1).4 41 1∴|AF|＝1－t2，|BE|＝－t2＋t＋1，4 4设梯形ABEF 的面积为S(t)，则1S(t)＝ |AB|·(|AF|＋|BE|)21 1 1＝1－t2＋(－t2＋t＋1)＝－t2＋t＋24 4 21 5 5＝－ (t－1)2＋≤ .2 2 25∴当t＝1 时，S(t)＝，2故S(t)的最大值为 2.5.此时|AF|＝0.75，|BE|＝1.75.答：当AF＝0.75 m，BE＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m2.【点评】与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．。
求切线方程的三种方法
求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。
这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。
一、利用导数求切线方程。
咱先说说这个用导数的方法。
导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。
比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。
那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。
这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。
就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。
二、设切点法。
再来说说设切点法。
有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。
这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。
那这个点既在曲线上又在切线上哦。
如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。
然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。
再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。
这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。
三、利用已知切线方程的形式来求。
还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。
比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。
对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。
这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。
就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。
宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。
曲线切线求法
曲线切线求法摘要：1.曲线切线的基本概念2.求曲线切线的方法3.实例演示与应用正文：在数学和工程领域中，曲线切线是一个重要的概念。
切线是指在曲线上某一点，与该点处曲率相同的直线。
求曲线切线的方法有很多，本文将介绍几种常见的方法，并通过实例进行演示。
一、曲线切线的基本概念曲线切线是为了描述曲线在某一点处的局部性质而引入的概念。
在平面上，给定一条曲线C，设点P为曲线C上任意一点，点Q为曲线C上与点P 相邻的另一点，那么连接PQ的直线称为曲线C在点P处的切线。
切线的斜率等于曲线在点P处的曲率。
二、求曲线切线的方法1.斜率法求曲线切线的第一种方法是利用曲线在某一点的斜率。
对于一曲线上某点P（x，y），我们可以通过求该点前后相邻两点的斜率来得到切线的斜率。
斜率公式为：m = (y2 - y1) / (x2 - x1)其中，m为切线斜率，(x1, y1)和(x2, y2)为曲线上的两点。
2.导数法求曲线切线的另一种方法是利用曲线的导数。
对于一曲线的方程y =f(x)，我们可以求其在某一点处的导数，得到切线的斜率。
导数公式为：m = dy/dx |_(x=a)其中，m为切线斜率，a为曲线上的某一点。
3.切线方程法已知曲线方程y = f(x)，我们可以求出曲线在任意一点处的切线方程。
切线方程的一般形式为：y - y1 = m(x - x1)其中，(x1, y1)为曲线上的某一点，m为切线斜率。
三、实例演示与应用1.实例一：求圆的切线已知圆的方程为x + y = r，其中r为半径。
设圆上两点分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，求AB的切线方程。
解：首先求两点间的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
2.实例二：求椭圆的切线已知椭圆的方程为x/a + y/b = 1，求椭圆上某点的切线方程。
解：求椭圆在点P处的斜率m，然后利用切线方程公式得到切线方程。
总之，求曲线切线的方法有很多，如斜率法、导数法和切线方程法等。
过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型舒云水过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒解：由题设知点P 在曲线上，∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得)1)(23()2(100030x x x x --=---﹒解得10=x ，或210-=x ﹒所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)87,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒例 3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方程为：))(64()63(00302040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得))(64()63(000302040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒2. 求过曲线34313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。
求曲线过某点的切线方程步骤
求曲线过某点的切线方程步骤在求曲线过某点的切线方程步骤所有需要考虑的问题中，如何提高办公室求曲线过某点的切线方程步骤是一项重要内容，为所管理人员所重视。
而且这代表了求曲线过某点的切线方程步骤的一个新方向和新趋势。
如果能够实现管理求曲线过某点的切线方程步骤，不仅利于提高办公室求曲线过某点的切线方程步骤的效率，还有利于节约企业的管理成本。
因为办公室管理求曲线过某点的切线方程步骤是一种求曲线过某点的切线方程步骤合理的管理方法，能够利用最低成本，实现最高的求曲线过某点的切线方程步骤效率，以及获得最大的利益。
但是办公室求曲线过某点的切线方程步骤仍然存在很多问题，是企业目前没有意识到或意识到而并未解决的。
一、求曲线过某点的切线方程步骤存在的问题（一）求曲线过某点的切线方程步骤的管理意识低通常管理者的管理意识强弱决定了一项管理求曲线过某点的切线方程步骤是否求曲线过某点的切线方程步骤合理和效率的高低，管理者具有良好的管理意识是一项良好素质。
当管理者的管理意识足够精细，管理求曲线过某点的切线方程步骤才能够深入贯彻的执行，能够充分考虑到各方面的因素以及需要，并及时提出解决方法，提高管理求曲线过某点的切线方程步骤的效率。
因此管理者的管理思想是管理求曲线过某点的切线方程步骤的客观条件。
然而通过实际求曲线过某点的切线方程步骤中调查发现，大多企业中的管理层人员通常缺乏求曲线过某点的切线方程步骤的管理意识，对一些可以高效率完成的管理求曲线过某点的切线方程步骤，由于缺乏管理意识操作，导致管理求曲线过某点的切线方程步骤进行的缓慢拖沓，甚至无法进行。
（二）求曲线过某点的切线方程步骤制度不够健全通过分析大多的企業的组织结构图，会发现了解到很多组织结构都偏粗劣，很多部门的管理求曲线过某点的切线方程步骤有特别大的相似性，而且管理求曲线过某点的切线方程步骤的叙述概念较笼统，一般都没有针对不同的办公室制定不同的管理办法。
因此导致管理人员的求曲线过某点的切线方程步骤同样概念模糊笼统，在一些方面无法做到面面俱到，求曲线过某点的切线方程步骤更无及谈精细、创新。
用导数求切线方程的四种类型知识讲解
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
求切线的方程(教师版)
求切线的方程
上课教师
上课班级
主备人
丰文伟
审核人
上课时间
教学目标
进一步理解导数的几何意义，并会应用求曲线的切线方程．
教学重点与强化方法
会利用导数的几何意义求曲线的切线的方程．
教学难点与突破方法
会区分在曲线上一点和过曲线上一点的切线．
前置学案
1．导数的几何意义： 在 处的导数________就是 在 处的___________．
（二）分析诱导
（三）解题步骤
（四）变式训练
变式1.在曲线 上求一点P，使过点P点的切线与直线 平行．
变式2.已知函数 ，过点 作曲线 的切线，求此切线方程．
变式3.求曲线 过点(0,－1)的切线方程.
（五）小结提炼
四、当堂检测
1．曲线 在 处的切线方程为____________．
2．如图，函数 的图象在点P处的切线方程是 ，则 =.
二、基础训练
曲线 在点 处的切线方程为__________．
二、例题选讲
类型一：已知斜率，求ຫໍສະໝຸດ 线的切线方程例1．求与直线 平行的抛物线 的切线方程．
类型二：已知过曲线上一点，求切线方程
例2．求过曲线 上的点 的切线方程．
类型三：已知过曲线外一点，求切线方程
例3．求过点 且与曲线 相切的直线方程．
（一）选题目的
3．曲线 在点A处的切线的斜率为3，求该曲线在A点处的切线方程．
4．过原点作曲线 的切线，求切点的坐标．
五、课堂总结
六、课后作业
1．已知曲线
（1）求曲线在点 处的切线方程；
（2）求曲线过点 的切线方程.
2．已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切线方程为 ，求函数的解析式．
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过一点求曲线的切线方程的三种类型
过一点求曲线的切线方程的三种类型
舒云水
过一点求曲线的切线方程有三种不同的类型，下面举例说明﹒
1.已知曲线)(x f y =上一点))(,(00x f x P ，求曲线在该点处的切线方程﹒
这是求曲线的切线方程的基本类型，课本上的例、习题都是这种类型﹒其求法为：先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率，后写出切线方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，并化简﹒
例1 求曲线33)(23+-=x x x f 在点)1,1(P 处的切线方程﹒
解：由题设知点P 在曲线上，
∵x x y 632-='，∴曲线在点)1,1(P 处的切线斜率为3)1(-='f ，所求的切线方程为)1(31--=-x y ，即43+-=x y ﹒
2. 已知曲线)(x f y =上一点))(,(11x f x A ，求过点A 的曲线的切线方程﹒
这种类型容易出错，一般学生误认为点A 一定为切点，事实上可能存在过点A 而点A 不是切点的切线，如下面例2，这不同于以前学过的圆、椭圆等二次曲线的情况，要引起注意，这类题型的求法为：设切点为))(,(00x f x P ，先求出函数)(x f 的导数)(x f '，再将0x 代入)(x f '求出)(0x f '，即得切线的斜率（用0x 表示），写出切线方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -，再将点A 坐标),(11y x 代入切线方程得
)(01x f y -=)(0x f ')(01x x -，求出0x ，最后将0x 代入方程
)(0x f y -=)(0x f ')(0x x -求出切线方程﹒
例2 求过曲线x x y 23-=上的点)1,1(-的切线方程﹒ 解：设切点为点)2,(0300x x x -，232-='x y ，切线斜率为2320-x ， 切线方程为))(23()2(020030x x x x x y --=--﹒
又知切线过点)1,1(-，把它代入上述方程，得 )1)(23()2(100030x x x x --=---﹒ 解得10=x ，或2
10-=x ﹒
所求切线方程为)1)(23()21(--=--x y ，或
)21)(243()181(+-=+--x y ，即02=--y x ，或0145=-+y x ﹒ 上面所求出的两条直线中，直线02=--y x 是以)1,1(-为切点的切线，而切线0145=-+y x 并不以)1,1(-为切点，实际上它是经过了点)1,1(-且以)8
7,21(-为切点的直线，如下图所示﹒这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点﹒
3. 已知曲线)(x f y =外一点))(,(11x f x A ，求过点A 作的曲线的切线方程﹒
这种类型的题目的解法同上面第二种类型﹒
例3 过原点O 作曲线6324+-=x x y 的切线，求切线方程﹒（2009年全国卷Ⅰ文21题改编 ）
解：由题设知原点O 不在曲线上，设切点坐标为
P )63,(20400+-x x x ， x x y 643-='，切线斜率为（03064x x -），切线方
程为：
))(64()63(003
02040x x x x x x y --=+--﹒ 又知切线过点)0,0(，把它代入上述方程，得
))(64()63(0003
02040x x x x x --=+--﹒ 整理得：0)2)(1(2020=-+x x ﹒ 解得20-=x ，或20=x ﹒ 所求切线方程为：x y 22-=或x y 22=﹒
练习：1.求曲线14)(23+-=x x x f 在点)2,1(-P 处的切线方程﹒
2. 求过曲线3
4313+=x y 上的点)4,2(的切线方程﹒
3.过点)2,0(作抛物线12++-=x x y 的切线，求切线方程﹒ 答案：1.035=-+y x ；2.044=--y x 或02=+-y x ；3.023=+-y x 或02=--y x ﹒。